גדילה בכפל.

שלב 1 מתוך 5

עשר הכפלות

ביחידה על פונקציות קוויות ראיתם כמויות שגדלות בתוספת קבועה: בכל צעד מוסיפים אותו מספר, והגרף הוא קו ישר. כאן הכמות גדלה בכפל קבוע: בכל צעד כופלים אותה באותו מספר. גדילה כזאת נקראת גדילה מעריכית.

על הלוח, כל עמודה היא הכמות אחרי עוד צעד. העמודה הראשונה, בצעד $0$⁠, היא נקודת ההתחלה: $1$⁠. הגדילה בכל צעד נעולה על $\times 2$⁠, כלומר הכמות מוכפלת בכל צעד. כרגע רואים שלושה צעדים: $1, 2, 4, 8$⁠. נבאו מה יהיה אחרי עשרה.

שלב 2 מתוך 5

חזקה

כפל חוזר של אותו מספר נכתב כחזקה. ארבעה צעדים של $\times 3$⁠ הם $3 \times 3 \times 3 \times 3$⁠, ובקיצור $3^4$⁠: הבסיס $3$⁠ הוא המספר שכופלים בו, והמעריך $4$⁠ סופר כמה פעמים. אחרי $n$⁠ צעדים של $\times g$⁠, כשמתחילים מ־$1$⁠, הכמות היא $g^n$⁠.

ספרו את השכבות בעמודה האחרונה: שכבה בהירה אחת להתחלה, ועוד שכבה לכל צעד.

שלב 3 מתוך 5

כל צעד מוסיף יותר

בגדילה קווית כל צעד מוסיף אותו דבר. כאן כל צעד מוסיף שכבה חדשה, והשכבה הכתומה בראש כל עמודה היא מה שהצעד האחרון הוסיף. השוו את השכבות זו לזו: בהכפלה, כל שכבה חדשה גדולה בדיוק כמו כל מה שמתחתיה.

שלב 4 מתוך 5

לעבור את האלף

$1024$⁠ קרוב מאוד ל־$1000$⁠, ולכן עשר הכפלות הן בערך פי אלף. עשרים הכפלות הן בערך פי מיליון, ושלושים בערך פי מיליארד. כאן הגדילה בכל צעד נעולה על $\times 3$⁠, גדילה מהירה עוד יותר. שנו את מספר הצעדים ומצאו את הצעד הראשון שבו הכמות עוברת את האלף.

שלב 5 מתוך 5

תוספת קבועה או הכפלה

השוו שתי תוכניות. בראשונה מתחילים מ־$0$⁠ ומוסיפים $100$⁠ בכל צעד: זו הפונקציה הקווית $y = 100x$⁠, ששיפועה $100$⁠. בשנייה מתחילים מ־$1$⁠ ומכפילים בכל צעד: $y = 2^x$⁠. על הלוח רואים את השנייה. אחרי שישה צעדים יש בה רק $64$⁠, והראשונה כבר ב־$600$⁠. הזיזו את מספר הצעדים ועקבו אחרי השתיים.