שיעור 3 מתוך 4

או, וגם, ולא.

כ־25 דקות · 5 שאלות תרגול

איך מצרפים מאורעות. לפחות שש אחת בשתי קוביות דרך המשלים, למה אסור לחבר סיכויים של מאורעות שיכולים לקרות יחד, מתי כופלים, ולמה למטבע אין זיכרון.

שלב 1 מתוך 5 · לפחות שש אחת

שלב 1 מתוך 5

לפחות שש אחת

מטילים שתי קוביות. מה הסיכוי שתצא לפחות שש אחת? אפשר לספור ישר, אבל קל יותר לספור את המשלים: “אף קובייה לא שש”.

על הלוח דלוקות המשבצות שאין בהן שש בכלל. לקובייה הראשונה יש $5$ ⁠ פאות שאינן שש, וכך גם לשנייה, ולכן $5 \times 5 = 25$ ⁠ משבצות. כל השאר הן המשבצות עם שש אחת לפחות.

לשאלה

שלב 2 מתוך 5

שש בראשונה או בשנייה

עכשיו שני מאורעות על אותה טבלה: שש בקובייה הראשונה (תכלת) ושש בקובייה השנייה (ורוד). המאורע “שש בראשונה או בשנייה” כולל כל משבצת שצבועה באחד הצבעים, וגם את המשבצות ששייכות לשניהם, שצבועות בכתום.

כל אחד מהמאורעות תופס $6$ ⁠ משבצות. נבאו מה הסיכוי של “או”, ואז הסתכלו בפינה של הטבלה.

לשאלה

שלב 3 מתוך 5

מאורעות זרים

כשאין שום משבצת בשני המאורעות יחד, הם נקראים זרים, ורק אז מותר פשוט לחבר: הסיכוי ל” $A$ ⁠ או $B$ ⁠” הוא $P(A) + P(B)$ ⁠.

כשיש חפיפה, היא נספרת פעמיים, ולכן מחסירים פעם אחת את הסיכוי ששניהם יקרו יחד. כאן המאורע הראשון הוא סכום $7$ ⁠. שנו את סכום שני כך ששני המאורעות יחד יכסו בדיוק רבע מהטבלה.

לשאלה

שלב 4 מתוך 5

שלוש פעמים עץ

וגם הוא כמו שלבים בעץ: כל הטלה מתפצלת לשתיים, ושלוש הטלות נותנות $2 \times 2 \times 2 = 8$ ⁠ מסלולים שווי סיכוי. כשההטלות לא משפיעות זו על זו, הן בלתי תלויות, והסיכוי שכולן יצליחו הוא מכפלת הסיכויים.