ספירת תוצאות.

שלב 1 מתוך 4

עץ של בחירות

בבוקר בוחרים חולצה מתוך $3$⁠, ואחר כך מכנסיים מתוך $2$⁠. כמה תלבושות שונות יש?

על הלוח מצוירת דיאגרמת עץ: מהנקודה למעלה יוצא ענף לכל חולצה, ומכל חולצה יוצא ענף לכל זוג מכנסיים. כל מסלול מלמעלה עד לשורה התחתונה הוא תלבושת אחת, ובשורה התחתונה יש $3 \times 2 = 6$⁠ קצוות.

זה עקרון הכפל: כשבוחרים בשלבים, וכל אפשרות בשלב אחד נפגשת עם כל האפשרויות בשלב הבא, מספר התוצאות הוא מכפלת מספרי האפשרויות.

עכשיו מוסיפים כובע. נבאו כמה תלבושות יהיו, ואז תראו את העץ גדל.

שלב 2 מתוך 4

שתי קוביות

כשמטילים שתי קוביות, העץ היה מתפצל לשש ואחר כך לשש שוב. כאן נוח יותר לצייר טבלה: הקובייה הראשונה לרוחב, השנייה לגובה, ובכל משבצת הזוג שיצא.

שימו לב שהמשבצת $(3,4)$⁠ והמשבצת $(4,3)$⁠ הן שתי תוצאות שונות: $3$⁠ בראשונה ו־$4$⁠ בשנייה, או להפך. ספרו את המשבצות או חשבו לפי עקרון הכפל.

שלב 3 מתוך 4

הטלות מטבע

מטבע נוחת על עץ (ע) או על פלי (פ). בכל הטלה כל מסלול בעץ מתפצל לשניים, ולכן כל הטלה נוספת מכפילה את מספר המסלולים.

שנו את הטלות ועקבו אחרי השורה התחתונה. המספר מתחת לכל קצה הוא כמה פעמים יצא עץ באותו מסלול.

שלב 4 מתוך 4

כמה סדרים?

שלושה ספרים, א, ב ו־ג, עומדים על מדף. כמה סדרים שונים יש להם?

למקום הראשון יש $3$⁠ ספרים לבחירה. אחרי שבחרנו, נשארו $2$⁠ למקום השני, ולמקום האחרון נשאר ספר אחד. העץ מתפצל לשלושה, אחר כך לשניים, ואחר כך ענף יחיד: $3 \times 2 \times 1 = 6$$3 \times 2 \times 1 =$$6$⁠.

מכפלה כזו, מספר כפול כל המספרים השלמים שמתחתיו עד $1$⁠, נקראת עצרת ונכתבת בסימן קריאה: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$3! =$$3 \times 2 \times 1 =$$6$⁠.