ממוצע, חציון ושכיח.

שלב 1 מתוך 6

נקודת האיזון

על הלוח $20$⁠ מדידות של אותו גודל, למשל זמן שלוקח לכדור להתגלגל במורד מסלול. ציר $x$⁠ הוא רק הסדר שבו נמדדו; מה שמעניין אותנו הוא הגובה של כל חרוז, ערך $y$⁠. כל מדידה קצת שונה מהאחרות, ובכל זאת רוצים מספר אחד שיגיד “בערך כמה”.

הממוצע הוא הסכום של כל הערכים חלקי מספר הערכים:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$\bar{x} =$$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$⁠

אפשר לחשוב עליו כעל נקודת איזון: אם כל ערך הוא משקולת על סרגל, הסרגל מתאזן בדיוק בממוצע. לכן סכום המרחקים מהממוצע, מעליו פחות מתחתיו, הוא תמיד $0$⁠. על הלוח הקו הכתום הוא $\bar{y}$⁠, והוא עובר בדיוק ב־$5$⁠.

עכשיו רשימה קצרה, בלי לוח: חשבו את הממוצע.

שלב 2 מתוך 6

הערך שבאמצע

החציון הוא הערך שבאמצע אחרי שמסדרים את הנתונים לפי גודל. חצי מהערכים קטנים ממנו וחצי גדולים ממנו. כשמספר הערכים $n$⁠ אי־זוגי, החציון הוא הערך שבמקום $\frac{n + 1}{2}$⁠ ברשימה המסודרת.

הצעד הראשון הוא תמיד לסדר. נסו.

שלב 3 מתוך 6

מספר זוגי של ערכים

כשמספר הערכים זוגי, אין ערך אחד באמצע. יש שניים, במקומות $\frac{n}{2}$⁠ ו־$\frac{n}{2} + 1$⁠, והחציון הוא הממוצע שלהם. כך גם החציון של $20$⁠ המדידות שעל הלוח: הממוצע של העשירית ושל האחת־עשרה בסדר.

שלב 4 מתוך 6

הערך הנפוץ ביותר

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. הוא היחיד מבין השלושה שמתאים גם לנתונים שאינם מספרים, כמו הצבע האהוב בכיתה, והוא תמיד ערך שבאמת הופיע. אבל כשכל ערך שונה מהאחרים, כמו במדידות שעל הלוח, אין לו משמעות: כל ערך מופיע פעם אחת.

לחנות נעליים השכיח הוא המספר שחשוב: אותה מידה כדאי להזמין יותר.

שלב 5 מתוך 6

מדידה שגויה

הלוח מראה את ממוצע ופיזור: $\bar{y} = 5$⁠. החציון של עשרים המדידות קרוב לו, $5.10$⁠.

עכשיו מישהו רשם מדידה אחת לא נכון, $0$⁠ במקום בערך $5$⁠. מדידה שגויה תוסיף אותה ללוח כחרוז ורוד. נבאו מה יקרה לממוצע ולחציון, ואז הסתכלו.

שלב 6 מתוך 6

הממוצע החדש

המדידה השגויה על הלוח, והלוח שוב מסתיר את הממוצע. לא צריך את כל $21$⁠ הערכים כדי לחשב אותו: מהממוצע הישן חוזרים לסכום, $\bar{x} \cdot n$⁠, מוסיפים את הערך החדש, ומחלקים במספר החדש.

ערך כזה, רחוק מכל השאר, נקרא ערך חריג. לפני שמחליטים איזה ממוצע לדווח, שואלים אם הוא טעות. אם כן, מתקנים אותו או משמיטים. אם לא, כמו משכורת ענק אחת בחברה קטנה, החציון מתאר את הערך הטיפוסי טוב יותר מהממוצע.