חוקי קפלר.

שלב 1 מתוך 6

אליפסה ומוקד

ביחידה על תנועה מעגלית וכבידה חישבנו מסלולים מעגליים. אבל לוויין שנע קצת מהר מדי או קצת לאט מדי לא נופל ולא בורח: הוא נע במסלול מוארך. יוהנס קפלר מצא, ב־1609, ממדידות של מאדים, שזה מה שקורה לכל כוכבי הלכת. החוק הראשון של קפלר: כל כוכב לכת נע באליפסה, והשמש נמצאת באחד משני המוקדים שלה.

שני מספרים מתארים את המסלול. גודל המסלול הוא הציר הראשי למחצה $a$⁠, חצי מהקוטר הארוך, ביחידות אסטרונומיות: 1 AU הוא המרחק הממוצע של כדור הארץ מהשמש, כ־$1.5 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$⁠. האקסצנטריות $e$⁠ אומרת כמה המסלול מתוח: $0$⁠ הוא מעגל, וקרוב ל־$1$⁠ הוא אליפסה ארוכה וצרה. המוקדים נמצאים על הציר הארוך, כל אחד במרחק $ae$⁠ מהמרכז.

בסצנה האקסצנטריות $0.5$⁠, הרבה יותר מכל כוכב לכת אמיתי, כדי שהצורה תבלוט. הטבעת הדקה היא המסלול של כדור הארץ.

שלב 2 מתוך 6

הקרוב ביותר והרחוק ביותר

הנקודה במסלול הקרובה ביותר לשמש נקראת פריהליון, והרחוקה ביותר אפהליון. שתיהן על הציר הארוך, והמרחקים שלהן מהשמש:

$r_{\min} = a(1 - e) \qquad r_{\max} = a(1 + e)$$r_{\min} =$$a(1 - e) \qquad r_{\max} =$$a(1 + e)$⁠

המסלול של כדור הארץ כמעט מעגלי, $e = 0.017$⁠: בינואר המרחק שלנו מהשמש קטן רק בכ־$3\%$⁠ מאשר ביולי. האקסצנטריות וגודל המסלול נעולים עכשיו.

שלב 3 מתוך 6

שטחים שווים בזמנים שווים

הפעילו את התנועה והסתכלו על כוכב הלכת. החוק השני של קפלר אומר מה קורה למהירות: הקו המחבר את השמש לכוכב הלכת מטאטא שטחים שווים בזמנים שווים. קרוב לשמש הקו קצר, ולכן כדי לטאטא אותו שטח בכל שבוע, כוכב הלכת צריך לעבור דרך ארוכה יותר.

היום אנחנו יודעים שזה שימור של התנע הזוויתי: הכבידה מושכת תמיד אל השמש, ולכן היא לא מסובבת את כוכב הלכת סביבה, ו־$r \cdot v$⁠ בפריהליון שווה ל־$r \cdot v$⁠ באפהליון. נבאו, ואז הצגת שטחים שווים תצבע את השטח שהקו טאטא בחודש האחרון.

שלב 4 מתוך 6

מהר ולאט

בפריהליון ובאפהליון התנועה ניצבת לקו אל השמש, ולכן שימור $r \cdot v$⁠ נותן את יחס המהירויות ישירות:

$\frac{v_{\max}}{v_{\min}} = \frac{r_{\max}}{r_{\min}} = \frac{1 + e}{1 - e}$$\frac{v_{\max}}{v_{\min}} =$$\frac{r_{\max}}{r_{\min}} =$$\frac{1 + e}{1 - e}$⁠

עכשיו המסלול נעול על המסלול של כוכב חמה, המסלול המתוח ביותר מבין כוכבי הלכת. הטריזים של הצגת שטחים שווים מראים את אותו שטח, רחב וקצר מצד אחד וצר וארוך מהצד השני.

שלב 5 מתוך 6

החוק השלישי

ביחידה הקודמת גזרנו את החוק השלישי של קפלר למסלול מעגלי, $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\, r^3$$T^2 =$$\dfrac{4\pi^2}{GM}\, r^3$⁠. הוא נכון גם לאליפסה, עם הציר הראשי למחצה $a$⁠ במקום $r$⁠. סביב השמש, אם מודדים את $a$⁠ ביחידות אסטרונומיות ואת $T$⁠ בשנים, הקבוע יוצא $1$⁠:

$T^2 = a^3$⁠

כך כדור הארץ, $a = 1$⁠, מקיף בשנה אחת. האקסצנטריות נעולה על $0.09$⁠, כמו של מאדים, וכדור הארץ בסצנה מקיף כדי שתוכלו להשוות.

שלב 6 מתוך 6

צורה ושנה

בחוק השלישי אין את האקסצנטריות. גודל המסלול נעול עכשיו על 1 AU, והמסלול מעגל. נבאו מה יקרה לשנה כשנמתח אותו.