מסלולים וחוקי קפלר.

לא בדיוק מעגל

במשך אלפיים שנה אסטרונומים הניחו שכוכבי הלכת נעים במעגלים ובמהירות קבועה, כי המעגל נראה הצורה המושלמת לשמיים. הבעיה הייתה שכוכבי הלכת סירבו לשתף פעולה. מאדים במיוחד הופיע שוב ושוב במקום הלא נכון, בהפרשים שצופים קפדניים יכלו למדוד.

האסטרונום הדני טיכו ברהה מדד במשך עשרים שנה את מקומות כוכבי הלכת, במכשירים הטובים ביותר שנבנו לפני הטלסקופ. כשמת ב־1601, העוזר שלו יוהאנס קפלר ירש את הרישומים ויצא למצוא את המסלול של מאדים. אחרי שנים של מעגלים שנכשלו הוא ניסה אליפסה, והכול התאים. הוא פרסם את התוצאה ב־1609.

החוק הראשון: אליפסה שהכוכב באחד ממוקדיה

אליפסה היא מעגל מתוח. לכל אליפסה יש שתי נקודות מיוחדות בתוכה, המוקדים שלה: מכל נקודה על הקו, סכום המרחקים לשני המוקדים הוא אותו סכום. אפשר לצייר אליפסה בעזרת שתי סיכות, לולאת חוט ועיפרון.

החוק הראשון של קפלר אומר שכל כוכב לכת נע באליפסה שהשמש נמצאת באחד ממוקדיה. המוקד השני ריק. אין שם כלום; זו רק נקודה של הגאומטריה, שמסומנת בסצנה באיקס.

את מידת המתיחה של אליפסה מודדים באקסצנטריות שלה: המרחק מהמרכז אל מוקד, חלקי חצי האורך של הציר הארוך. למעגל יש אקסצנטריות 0, ושני המוקדים שלו מתלכדים במרכז. ככל שהאקסצנטריות עולה לכיוון 1, האליפסה נעשית ארוכה וצרה, והכוכב יושב קרוב יותר ויותר לאחד הקצוות. הנקודה הקרובה ביותר לכוכב היא הפריהליון, והרחוקה ביותר היא האפהליון. במסלול שחצי האורך שלו $a$⁠ והאקסצנטריות שלו $e$⁠, המרחקים שלהם הם $a(1-e)$⁠ ו־$a(1+e)$⁠.

המסלולים של כוכבי הלכת קרובים מאוד למעגלים. האקסצנטריות של כדור הארץ היא 0.017: בתחילת ינואר אנחנו במרחק 147 מיליון קילומטרים מהשמש, ובתחילת יולי 152 מיליון, הבדל שלא הייתם רואים בציור. המסלול של כוכב חמה, עם 0.21, הוא המתוח ביותר מבין השמונה. לשביטים, שנופלים פנימה ממרחק גדול, יכולה להיות אקסצנטריות של 0.99 ויותר.

החוק השני: שטחים שווים בזמנים שווים

כוכב הלכת לא שומר על מהירות קבועה. הוא הכי מהיר בפריהליון והכי איטי באפהליון. קפלר מצא את הכלל שקושר בין המהירות שלו למקום שלו: הקו מהכוכב אל כוכב הלכת סורק שטחים שווים בזמנים שווים. קרוב לכוכב הקו קצר, ולכן כוכב הלכת חייב לעבור דרך ארוכה כדי לסרוק שטח מסוים. רחוק מהכוכב הקו ארוך, וצעד קצר סורק את אותו שטח.

בשני הקצוות של המסלול זה נותן תוצאה פשוטה. המהירות כפול המרחק זהה בשני הקצוות, ולכן בפריהליון כוכב הלכת מהיר יותר פי היחס בין שני המרחקים, $(1+e)/(1-e)$⁠. כדור הארץ מהיר בכ־3 % בינואר מאשר ביולי. כוכב לכת עם אקסצנטריות 0.5 נע ליד הכוכב פי שלושה מהר יותר מאשר בקצה הרחוק.

נסו: בחרו באקסצנטריות את השביט טמפל 1 וצפו בחץ המהירות מתארך כשכוכב הלכת מסתובב סביב הכוכב. אחר כך הזיזו את הצגת שטחים שווים עד האמצע: הטריז המוצלל הוא מה שכוכב הלכת סרק בחלק השנים־עשר האחרון של השנה שלו. הוא ארוך וצר רחוק מהכוכב, קצר ורחב קרוב אליו, והשטח שלו אף פעם לא משתנה. המשיכו עד שטחים שווים כדי לראות את כל המסלול מחולק לשנים־עשר זמנים שווים.

חזרה לניסוי ↑

הגרף שליד הסצנה מודד את זה. לכל חלק שנים־עשר של השנה, העמודה הדרך שעבר מראה כמה מהדרך שלו כוכב הלכת עבר, והעמודה השטח שנסרק מראה כמה שטח סרק הקו שלו אל הכוכב. הדרך משתנה פי כמה; השטח לא משתנה בכלל.

למה השטחים שווים

החוק השני אינו מיוחד לכבידה. הוא נכון לכל דבר שנמשך ישר אל נקודה קבועה. המשיכה יכולה להאיץ את כוכב הלכת או להאט אותו לאורך המסלול, אבל היא אף פעם לא דוחפת אותו הצידה סביב הכוכב, ולכן היא לא יכולה לשנות את הקצב שבו הקו אל הכוכב סורק. את קצב הסריקה הזה, כפול המסה, הפיזיקאים מכנים התנע הזוויתי של כוכב הלכת, ומשיכה שמכוונת אל המרכז משאירה אותו ללא שינוי. זה אותו כלל שגורם להחלקנית להסתובב מהר יותר כשהיא מקרבת את הידיים: ראו תנע זוויתי וגירוסקופים.

כך, כשכוכב הלכת נופל פנימה לכיוון הפריהליון, הכבידה מושכת אותו חלקית לאורך הדרך שלו ומאיצה אותו, והקו אל הכוכב מתקצר. כשהוא מטפס חזרה החוצה, הכבידה מושכת חלקית אחורה ומאטה אותו, והקו מתארך. השטח שנסרק בכל יום נשאר בדיוק אותו שטח.

החוק השלישי: מסלולים גדולים יותר, שנים ארוכות יותר

עשר שנים אחרי שני החוקים הראשונים, קפלר מצא כלל שקושר בין כוכבי הלכת. ריבוע השנה של כוכב לכת עומד ביחס ישר לחזקה השלישית של גודל המסלול שלו. כשמודדים בשנים של כדור הארץ וביחידות אסטרונומיות (AU, המרחק הממוצע בין כדור הארץ לשמש, כ־150 מיליון קילומטרים), הכלל נעשה פשוט:

$P^2 = a^3$⁠

כאן $a$⁠ הוא חצי הציר הארוך של האליפסה, הממוצע של המרחק הקרוב ביותר והרחוק ביותר. מאדים, ב־1.52 AU, מקיף את השמש ב־$\sqrt{1.52^3} \approx 1.88$$\sqrt{1.52^3} \approx$$1.88$⁠ שנים. כוכב חמה, ב־0.39 AU, מקיף אותה ב־0.24 שנים, או 88 ימים.

למסלול גדול יותר לוקח יותר זמן משתי סיבות: לכוכב הלכת יש דרך ארוכה יותר לעבור, והמשיכה של הכוכב שם חלשה יותר, ולכן הוא נע לאט יותר. האקסצנטריות לא משפיעה בכלל. שני מסלולים באותו גודל נמשכים אותו זמן, גם אם אחד מהם מתוח מאוד.

נסו: שנו את גודל המסלול וצפו בכדור הארץ על הטבעת החיוורת שלו ב־1 AU. בחרו כוכב חמה, וכוכב הלכת מקיף את הכוכב כארבע פעמים בזמן שכדור הארץ מקיף אותו פעם אחת. בחרו מאדים, וכדור הארץ עוקף אותו. עכשיו שנו את האקסצנטריות בלי לגעת בגודל: הצורה משתנה, אבל השנה שבכותרת הגרף לא משתנה.

חזרה לניסוי ↑

מקפלר לניוטון

קפלר תיאר איך כוכבי הלכת נעים, אבל לא יכול היה להסביר למה. ב־1687 הראה אייזק ניוטון ששלושת החוקים נובעים מרעיון אחד: משיכה אל השמש שנחלשת עם ריבוע המרחק, אותה כבידה שמפילה תפוח. ניוטון גם מצא שמסלולים לא חייבים להיות אליפסות. גוף שנע מהר מספיק עובר בפרבולה או בהיפרבולה ונמלט לתמיד; כל אלה הם חתכי חרוט, הקווים שמתקבלים כשחותכים חרוט.

חוקי קפלר תקפים הרבה מעבר למערכת השמש. ירחים מקיימים אותם סביב כוכבי לכת, לוויינים סביב כדור הארץ, וכוכבי לכת סביב כוכבים אחרים, וכך אסטרונומים שוקלים כוכב רחוק לפי השנה של כוכב הלכת שלו, כמו בכוכבי לכת חוץ־שמשיים. שביטים במסלולים אליפטיים ארוכים מראים את החוק השני בקיצוניות: השביט של האלי מבלה כ־75 שנה בכל הקפה, אבל רק חודשים ספורים מהן קרוב לשמש.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

• הכוכב לא זז. למעשה גם הכוכב וגם כוכב הלכת סובבים סביב מרכז המסה המשותף שלהם, והחוק השלישי כולל את המסה של כוכב הלכת. לכוכב לכת בגודל כדור הארץ סביב כוכב כמו השמש, ההבדל הוא כשלושה חלקים במיליון, קטן מדי מכדי לראות.
• יש רק כוכב לכת אחד. כוכבי לכת אמיתיים מושכים זה את זה, ולכן האליפסות שלהם מסתובבות לאט ומשנות צורה במשך אלפי שנים. האליפסה של כוכב חמה גם מסתובבת קצת מהר יותר ממה שניוטון חוזה, בשיעור שתורת היחסות הכללית של איינשטיין הסבירה ב־1915.
• הגדלים אינם בקנה מידה. הכוכב מצויר גדול פי עשרה בערך מגודלו האמיתי, וכוכבי הלכת גדולים פי מאות, כדי שאפשר יהיה לראות אותם. המרחקים, צורת המסלול והמהירויות אמיתיים.
• הזמן מואץ. שנה של כדור הארץ עוברת ב־8 שניות. המהירויות היחסיות, והזמנים שלוקח לכוכב הלכת ולכדור הארץ להשלים הקפה, נכונים.
• המסלול שטוח. מסלולים אמיתיים נוטים מעט זה ביחס לזה; כאן הכול נמצא במישור אחד.