חתכי חרוט.

חותכים חרוט

כוונו פנס ישר אל קיר, והאלומה שלו יוצרת עיגול של אור. הטו את הפנס, והעיגול נמתח לסגלגל. הטו אותו עוד, והקצה הרחוק של האור בורח על פני הקיר ולא נסגר לעולם. האלומה היא חרוט של אור והקיר חותך אותו, ולכן כתם האור הוא חתך חרוט.

גאומטרים יוונים חקרו את העקומות האלה כבר בסביבות 350 לפני הספירה, ובסביבות 200 לפני הספירה אסף אותן אפולוניוס מפרגה לשמונה ספרים ונתן להן את השמות שבהם אנחנו משתמשים עד היום: אליפסה, פרבולה והיפרבולה.

ארבע עקומות מחתך אחד

הצורה תלויה רק בשאלה כמה תלול החתך לעומת הדופן של החרוט.

• אופקי: מעגל.
• מוטה, אבל פחות מהדופן: אליפסה, סגלגל סגור.
• מקביל בדיוק לדופן: פרבולה, שנפתחת ואף פעם לא נסגרת.
• תלול יותר מהדופן: היפרבולה. עכשיו החתך ממשיך מעבר לקודקוד אל החרוט השני, ולכן לעקומה יש שני ענפים נפרדים.

נסו: לחצו על מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה בזה אחר זה, ועקבו אחרי הקו הכחול שעל דופן החרוט. אחר כך לחצו על דרך הקודקוד תחת מרחק מהקודקוד.

חזרה לניסוי ↑

הרחקת החתך מהקודקוד רק מגדילה את העקומה; הצורה שלה נשארת אותו דבר. חתך שעובר דרך הקודקוד עצמו מכווץ את העקומה לנקודה אחת, לישר אחד או לזוג ישרים נחתכים.

מוקדים והכדורים הנסתרים

את כל חתכי החרוט חוץ מהמעגל אפשר לשרטט גם בדרך אחרת. בחרו נקודה, המוקד, וקו ישר, המדריך. אספו את כל הנקודות שהמרחק שלהן מהמוקד חלקי המרחק שלהן מהקו שווה לאותו מספר, האקסצנטריות. מתחת ל־1 מתקבלת אליפסה, בדיוק 1 נותן פרבולה, ומעל 1 היפרבולה. המעגל הוא המקרה הגבולי של 0.

בשנת 1822 הראה ז’רמינל פייר דנדלין למה חתך של חרוט מציית לכלל הזה. תקעו כדור בתוך החרוט כך שייגע גם בחרוט וגם בחתך. בחרו פועל תחת הצגת כדורי המוקד: הכדור נוגע בחתך בנקודה אחת בדיוק, המוקד. בחרוט הוא נוגע לאורך מעגל, והמישור האופקי של המעגל הזה פוגש את החתך לאורך המדריך. בחרוט שהזווית בין הציר שלו לדופן היא 30°, האקסצנטריות יוצאת שווה לסינוס של זווית ההטיה חלקי הקוסינוס של 30°.

איפה העקומות מופיעות

יוהנס קפלר הראה בשנת 1609 שכוכבי הלכת נעים באליפסות, והשמש נמצאת באחד המוקדים שלהן. האקסצנטריות של מסלול כדור הארץ היא בערך 0.017, קרוב למעגל; של שביט האלי היא בערך 0.97, לולאה ארוכה ודקה. כדור שנזרק עובר במסלול של פרבולה, כל עוד האוויר כמעט לא מאט אותו. צלחת לוויין היא פרבולה שסובבו סביב הציר שלה, ולכן אותות שמגיעים אליה ישר מלפנים מוחזרים כולם אל המקלט שבמוקד שלה. חללית שחולפת ליד כוכב לכת במהירות גבוהה ממהירות המילוט מקיפה אותו לאורך ענף אחד של היפרבולה.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

חרוט אמיתי נמשך עד אינסוף; החרוט הזה קטוע בגובה קבוע, ולכן אליפסה ארוכה או פרבולה מצוירות רק עד המקום שאליו מגיעה הזכוכית, וכדורי מוקד גדולים מאוד לא מוצגים. הזווית של החרוט קבועה על 30°, ולכן הפרבולה מתקבלת בהטיה של 60° בדיוק. מסלולים וזריקות אמיתיים רק קרובים לחתכי חרוט מושלמים: כוכבי לכת אחרים מושכים את המסלולים, והאוויר בולם כדור שנזרק.