מוקדים וכדורי דנדלן.

שלב 1 מתוך 6

האליפסה של הגנן

גנן שרוצה ערוגה בצורת אליפסה נועץ שתי יתדות, קושר אליהן חוט רפוי, ומותח אותו בעזרת מקל שמסמן את הקו באדמה. המקל עובר על אליפסה, והיתדות הן המוקדים שלה: בכל נקודה $P$⁠ של האליפסה, $PF_1 + PF_2$⁠ שווה לאורך החוט.

בשנת 1822 ז׳רמינאל פייר דנדלן הוכיח את זה בעזרת החרוט. הצגת כדורי המוקד מראה שני כדורים שנכנסים בדיוק בתוך החרוט, אחד מעל החתך ואחד מתחתיו. כל כדור נוגע בחתך בנקודה אחת, מוקד, ובחרוט לאורך מעגל. מ־$P$⁠ אפשר למדוד אל כל כדור בשתי דרכים: אל המוקד, או לאורך צד החרוט אל המעגל, ושני המשיקים האלה שווים. חשבו את סכום המרחקים.

שלב 2 מתוך 6

a, b ו־c

חצי הציר הגדול $a$⁠, חצי הציר הקטן $b$⁠ והמרחק למוקד $c$⁠ קשורים במשולש ישר זווית: מקצה הציר הקטן, המרחק לכל מוקד הוא $a$⁠, כי הסכום הוא $2a$⁠ ושני המרחקים שווים. לכן $a^2 = b^2 + c^2$⁠. חשבו את $b$⁠.

שלב 3 מתוך 6

מוקד אחד

כשההטיה מתקרבת ל־$60^\circ$⁠, האליפסה נמתחת, והכדור הגדול נדחק במעלה החרוט. נבאו מה יקרה לו בפרבולה, ואז הגדילו את הטיית החתך.

שלב 4 מתוך 6

הישר המדריך

כל כדור נוגע בחרוט לאורך מעגל, והמישור של המעגל חותך את מישור החתך בקו ישר: הישר המדריך. בכל חתך חרוט, היחס בין המרחק של נקודה למוקד, $PF$⁠, למרחק שלה לישר המדריך, $PD$⁠, הוא האקסצנטריות. הנקודה שרצה על העקומה מודדת את שני המרחקים. בפרבולה הזאת מוקד אחד וישר מדריך אחד, וזו גם הפרבולה של הפונקציה הריבועית $y = ax^2$⁠.

שלב 5 מתוך 6

היפרבולה

בהיפרבולה הכדורים נמצאים בשני חצאי החרוט, אחד מעל הקודקוד ואחד מתחתיו, וכל מוקד בתוך אחד הענפים. הזיזו את מרחק מהקודקוד, ושימו לב איך שני הכדורים נשארים נוגעים בחתך.

שלב 6 מתוך 6

קודקוד ומוקד

נחזור לאליפסה הראשונה. הקודקודים הם הנקודות הרחוקות ביותר זו מזו, והמוקדים יושבים ביניהם על אותו ציר.