ממדים גבוהים.

עוד כיוון אחד

התחילו מנקודה. גררו אותה לאורך קו ישר והיא משרטטת קטע, עם שני קצוות. גררו את הקטע הצידה, בניצב לעצמו, למרחק השווה לאורכו, והוא יוצר ריבוע: 4 קודקודים ו־4 צלעות. גררו את הריבוע ישר למעלה ותקבלו קובייה: 8 קודקודים, 12 מקצועות ו־6 פאות ריבועיות.

כל צעד מוסיף כיוון חדש אחד, ניצב לכל הכיוונים הקודמים. במרחב שלנו יש שלושה: ימינה ושמאלה, קדימה ואחורה, למעלה ולמטה. שום דבר לא מונע ממתמטיקאי לרשום כיוון רביעי, שנהוג לקרוא לו w, ניצב לשלושתם. גררו קובייה לאורך w למרחק השווה למקצוע שלה, והיא יוצרת טסרקט, הקובייה הארבע־ממדית.

הספירה עובדת גם כשהדמיון לא. כל גרירה מכפילה את הקודקודים, כי לצורה הישנה ולעותק שלה יש סט מלא, ולכן לטסרקט יש $2 \times 8 = 16$⁠ קודקודים. המקצועות שלו הם 12 של הקובייה, 12 של העותק ומקצוע חדש אחד שכל אחד מ־8 הקודקודים משרטט: 32 מקצועות. באותה דרך יש לו 24 פאות ריבועיות ו־8 תאים קובייתיים, בדיוק כמו שהמעטפת של קובייה בנויה מ־6 ריבועים. נקודה בארבעה ממדים צריכה ארבעה מספרים, $(x, y, z, w)$⁠, והטסרקט במקצוע 1 הוא כל הנקודות שכל ארבעת המספרים שלהן בין מינוס חצי לחצי.

עולם של שני ממדים

ב־1884 כתב המורה אדווין אבוט את ארץ שטוחה, סיפור על ריבוע שחי במישור ואינו מסוגל לדמיין “למעלה”. כשכדור בא לבקר אותו, הוא רואה רק את המקום שבו הכדור חוצה את המישור שלו: נקודה שגדלה למעגל, מתרחבת ומתכווצת בחזרה לנקודה. בעיניו, כדור מוצק הוא מעגל שמשתנה עם הזמן.

ליצור שטוח יש שתי דרכים להכיר קובייה. הוא יכול לחקור את הצל שלה על המישור שלו, או לצפות בחתכים שלה כשהיא עוברת דרכו. בסצנה, ארץ שטוחה נמצאת משמאל: גיליון חלבי עם קובייה מתיל מעליו ומנורה מעליה. מימין נמצא המרחב שלנו, עם טסרקט שמוצג באותן שתי דרכים. אנחנו לטסרקט כמו שהריבוע מהסיפור לקובייה.

צללים: קובייה בתוך קובייה

המנורה שמעל ארץ שטוחה מטילה את צל הקובייה על הגיליון. כשהקובייה ישרה, הפאה התחתונה, הרחוקה יותר מהמנורה, מטילה ריבוע קטן, הפאה העליונה ריבוע גדול, וארבע פאות הצד הופכות לטרפזים שמחברים ביניהם: ריבוע בתוך ריבוע. אף אחד שעומד מעליה לא חושב שהפאה התחתונה באמת קטנה יותר. היא רק רחוקה יותר מהמנורה.

הצל של הטסרקט הוא אותה תמונה, ממד אחד למעלה. מנורה רחוקה יותר לאורך w מטילה את הצל שלו לתוך המרחב שלנו: התא הרחוק יותר לאורך w הופך לקובייה הפנימית הקטנה (בזיגוג כחול), התא הקרוב לקובייה החיצונית הגדולה, וששת התאים האחרים הופכים לקוביות מעוותות שמחברות ביניהן: קובייה בתוך קובייה. כל שמונת התאים של הטסרקט האמיתי הם קוביות זהות; הצל מעוות אותם בדיוק כמו שהמנורה מעוותת את פאות הקובייה.

נסו: הזיזו לאט את סיבוב בממד הרביעי מ־0° ל־180°. התא הכחול מחליק החוצה מהאמצע, תופח לאחד הצדדים וב־180° הוא כבר הקובייה החיצונית. הטסרקט לא התהפך פנים החוצה ולא שינה צורה. הוא הסתובב במישור שכולל את w, כמו שהקובייה משמאל מטה את הפאה הכחולה שלה מלמטה למעלה.

חזרה לניסוי ↑

סיבוב בארבעה ממדים מתרחש במישור, לא סביב ציר. במרחב שלנו כל סיבוב משאיר ציר אחד במקומו; בארבעה ממדים, סיבוב במישור של x ו־w משאיר מישור שלם במקומו. כל קודקוד שומר על ה־y וה־z שלו, ורק ה־x וה־w שלו מתחלפים.

חתכים: מה שהמרחב שלנו היה רואה

עכשיו בחרו חתך תחת מצל לחתך. הקובייה שוקעת עד שהגיליון חותך אותה בגובה החתך, המנורה כבה, והחתך זוהר על הגיליון: זה כל מה שתושב של ארץ שטוחה היה רואה. מימין, הצל של הטסרקט דוהה לרוח רפאים והחתך שלו הופך לגוף זכוכית. אילו טסרקט היה עובר דרך המרחב שלנו, זה הגוף שהיינו רואים, משתנה בזמן שהוא נע.

בתנוחה ישר מול, שני החתכים פשוטים: ארץ שטוחה רואה ריבוע ואנחנו רואים קובייה, אותם בכל גובה, עד שהצורה עברה. בחרו קודקוד קודם, והחתכים נעשים מפתיעים. הקובייה נכנסת לארץ שטוחה בקודקוד, ולכן החתך מתחיל כנקודה, גדל למשולש, הופך למשושה באמצע ומתכווץ בחזרה. גם הטסרקט נכנס למרחב שלנו בקודקוד: החתך הוא ארבעון שגדל, אחר כך ארבעון שפינותיו קטומות, ואז תמניון מושלם באמצע.

נסו: בחרו קודקוד קודם, בחרו חתך תחת מצל לחתך, והזיזו את גובה החתך מ־1 עד -1. השוו בין שני העולמות בגבהים 0.75, 0.25 ו־0.

חזרה לניסוי ↑

כל פאה של חתך באה מחלק אחד של הצורה. כל צלע של המצולע בארץ שטוחה היא המקום שבו הגיליון חוצה פאה אחת של הקובייה; כל פאה של גוף הזכוכית שלנו היא המקום שבו המרחב שלנו חוצה תא קובייתי אחד של הטסרקט, בגוון כחול או ורוד כשהיא באה מהתא הרחוק או הקרוב. לתמניון יש שמונה פאות כי לטסרקט יש שמונה תאים, ובתנוחת קודקוד קודם המרחב שלנו חוצה את כולם.

לספור את מה שאי אפשר לראות

הדפוס ממשיך: לקובייה בת n ממדים יש $2^n$⁠ קודקודים ו־$n \times 2^{n-1}$⁠ מקצועות. גם החתכים מצייתים לדפוס. ערמו את השטחים של כל החתכים של הקובייה, כמו שכיכר לחם בנויה מפרוסות, ותקבלו את הנפח שלה. ערמו את הנפחים של כל החתכים של הטסרקט ותקבלו את הנפח הארבע־ממדי שלו, 1 במקצוע 1, בכל תנוחה שבה הוא עובר.

מסובבים צורה בארבעה ממדים בעזרת מטריצה $4 \times 4$⁠, בדיוק כמו שמטריצה $2 \times 2$⁠ מזיזה את המישור. בארבעה ממדים יש שישה גופים משוכללים במקום חמשת הגופים האפלטוניים; הטסרקט הוא אחד מהם. וארבעה ממדים מרווחים מספיק כדי להתיר כל קשר בלולאת חוט, או לבנות בקבוק סגור בלי פנים, בקבוק קליין, קרוב משפחה של רצועת מביוס.

איפה ארבעה ממדים מופיעים

הפיזיקה מתייחסת לזמן כקואורדינטה רביעית: לכל אירוע יש מקום ורגע, ותורת היחסות מערבבת ביניהם. אבל זמן הוא לא סתם עוד כיוון במרחב; מרחקים במרחב־זמן מצייתים לכללים אחרים. מדעני נתונים עובדים במאות ממדים, כי כל מדידה של דבר היא קואורדינטה אחת, והגאומטריה של ריבועים וקוביות עדיין תקפה שם. האם למרחב יש כיוונים נוספים, קטנים מכדי שנבחין בהם, היא שאלה פתוחה בפיזיקה, ושום ניסוי לא הראה זאת.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

הצל של הטסרקט הוא היטל פרספקטיבי ממנורה אחת במרחק 2.5 מקצועות לאורך w; מנורה רחוקה יותר הייתה מגדילה את הקובייה הפנימית, וסוגים אחרים של היטל נותנים תמונות אחרות של אותו טסרקט. המוטות, הזכוכית והכפתורים נותנים עובי למקצועות, לתאים ולקודקודים כדי שאפשר יהיה לראות אותם. הזיגוג הכחול והוורוד מסמן שני תאים שכדאי לעקוב אחריהם ואינו חלק מהצורה. כשהחתך מוצג, הצל נשאר כמדריך חיוור, בקנה מידה שבו החתך יושב בתוכו בגודלו האמיתי. הסיבוב האיטי סביב האנך הוא סיבוב רגיל בתוך כל עולם, שנוסף כדי שהצורות ייראו מוצקות; רק סיבוב בממד הרביעי מגיע לכיוון הנוסף.