גאומטריה לא־אוקלידית.

שלב 1 מתוך 4

משולש על כדור

במישור, סכום הזוויות בכל משולש הוא $180^\circ$⁠. ההוכחה נשענת על אקסיומת המקבילים של אוקלידס: דרך נקודה שמחוץ לישר עובר ישר אחד בלבד שאינו פוגש אותו. על משטח מעוקל אין ישרים, ובמקומם יש גאודזיות: המסלולים הקצרים ביותר לאורך המשטח. על כדור אלה קשתות של מעגל גדול.

עקמומיות K קבועה עכשיו על כדור, $K = 0.25$⁠.

שלב 2 מתוך 4

משפט גאוס–בונה

על משטח שהעקמומיות שלו קבועה, ההפרש בין סכום הזוויות ל־$180^\circ$⁠ שווה לעקמומיות כפול השטח:

$\alpha + \beta + \gamma - \pi = K \cdot A$$\alpha + \beta + \gamma - \pi =$$K \cdot A$⁠

הזוויות כאן ברדיאנים, ולכן מופיע $\pi$⁠ ולא $180^\circ$⁠. על כדור $K > 0$⁠ והעודף חיובי; על אוכף $K < 0$⁠, והסכום קטן מ־$180^\circ$⁠. בשלב זוויות הלוח מראה כל זווית ואת הסכום.

שלב 3 מתוך 4

משולש קטן

גודל המשולש פתוח עכשיו, והעקמומיות נשארת $0.25$⁠.

שלב 4 מתוך 4

מקבילים

בשלב מקבילים שני קווים יוצאים במאונך לאותו קו בסיס. על משטח שטוח הם נשארים במרחק קבוע זה מזה, כמו שאוקלידס דרש. על כדור הם מתקרבים ונפגשים, כמו קווי אורך בקוטב.

נסו: אחרי הבדיקה, החליפו בין אוכף, שטוח וכדור, והשוו את הפער בקצות הקווים.

חזרה לניסוי ↑