כלל שצריך דף שטוח
כל ספר גאומטריה בבית הספר מוכיח שסכום שלוש הזוויות של משולש הוא 180°. קרעו את הפינות של משולש מנייר והניחו אותן זו ליד זו, והן יוצרות קו ישר. הכלל הזה מגיע מהיסודות של אוקלידס, שנכתבו באלכסנדריה בסביבות 300 לפני הספירה ובונים את כל הגאומטריה השטוחה, כולל משפט פיתגורס, מקומץ הנחות יסוד.
הסצנה מציירת משולש על קליפה שאפשר לכופף. הצלעות שלו אינן קווים שסורגלו בסרגל, אלא המסלולים הקצרים ביותר בין הקודקודים לאורך המשטח, כמו שחוט מתוח היה מונח אילו היה חייב להישאר על הקליפה. מסלול כזה נקרא גאודזית. על דף שטוח היא קו ישר; על כדור היא קשת של מעגל גדול, מעגל גדול כמו הכדור עצמו, כמו קו המשווה. טיסות ארוכות עוברות לאורך מעגלים גדולים, ולכן טיסה מלונדון ללוס אנג’לס עוברת מעל גרינלנד.
נסו: קדמו את מדידת המשולש אל זוויות. על הקליפה כפי שהיא בהתחלה, מעוקלת בעדינות כמו חלק מכדור, כל זווית היא 74.0° ושלוש הזוויות יחד הן 221.9°. לחצו על שטוח בעקמומיות K, והסכום הוא בדיוק 180°.
שלוש זוויות ישרות על כדור
כדור הארץ נותן את הדוגמה הברורה ביותר. צאו מהקוטב הצפוני ולכו דרומה לאורך קו אורך עד קו המשווה. פנו שמאלה ב־90° ולכו רבע מהדרך סביב קו המשווה. פנו שוב שמאלה ב־90° ולכו צפונה, חזרה אל הקוטב. הלכתם במשולש עם שלוש צלעות ישרות, ישרות ככל שהמשטח מרשה, ושלוש זוויות ישרות: 270°.
בכמה הסכום עובר את 180° תלוי בגודל המשולש לעומת הכדור. המשולש הזה מכסה שמינית מהכדור, והתוספת של 90° היא רבע סיבוב. משולש ברוחב חצי מכסה רבע מהשטח, והתוספת שלו היא בערך רבע. משולש שמשורטט לרוחב מגרש כדורגל עובר את 180° בכמה מיליארדיות של מעלה, ולכן בנאים ומודדים יכולים להשתמש בגאומטריה שטוחה על כדור הארץ העגול. הכלל, שמצא אלבר ז’ירר ב־1629, הוא שהסכום עובר את 180° בשטח המשולש חלקי ריבוע הרדיוס של הכדור, כשהזווית נמדדת ברדיאנים (רדיאן אחד הוא בערך 57.3°).
נסו: לחצו על כדור, קבעו את גודל המשולש על 1.9, וכל זווית היא 89.6°, כמעט שלוש הזוויות הישרות של שמינית הכדור. הורידו אותו ל־0.6, והסכום יורד ל־186.9°: כשמקטינים משולש הוא נראה שטוח יותר.
אוכפים: פחות מ־180°
עכשיו כופפו את הקליפה לכיוון השני. אוכף מתעקל למעלה בכיוון אחד ולמטה בכיוון השני, כמו אוכף רכיבה או צ’יפס מקופסה גלילית. המשולש נעשה רזה והפינות שלו חדות: סכום הזוויות קטן מ־180°, וככל שהמשולש גדול יותר, הסכום קטן יותר. זו גאומטריה היפרבולית.
על משטח אוכף יש יותר מקום מעל משטח שטוח. מעגל שמשרטטים עליו, שכל הנקודות שלו באותו מרחק ממרכז, ארוך יותר מ־ כפול המרחק הזה, והשפה שלו חייבת להתגלגל בגלים כדי להיכנס במרחב הרגיל. עלי חסה, חשופיות ושוליים מסולסלים של אלמוגים גדלים כך, ודוחסים יותר שפה למקום קטן. ב־1997 גילתה המתמטיקאית דאינה טאימינה שגם סריגה יוצרת את הצורה: מוסיפים עיניים בקצב קבוע, שורה אחרי שורה, והבד מתקמט למישור היפרבולי.
נסו: לחצו על אוכף וקבעו את גודל המשולש על 2.2. כל זווית היא 49.5°, ושלוש הזוויות יחד הן 148.5°.
עקמומיות, נמדדת מבפנים
המספר על המחוון הוא עקמומיות גאוס , על שם קרל פרידריך גאוס, שחקר אותה ב־1827. בכל נקודה של משטח, היריעה מתעקלת הכי הרבה בכיוון אחד והכי מעט בכיוון שניצב לו. כפלו את שתי ההתעקלויות האלה, כל אחת נמדדת כאחד חלקי הרדיוס של המעגל שמתאים למשטח הכי טוב בכיוון הזה, ותקבלו את . כדור מתעקל באותו כיוון לכל עבר, ולכן חיובית: לכדור ברדיוס . אוכף מתעקל לכיוונים הפוכים, ולכן המכפלה שלילית. גליל מתעקל רק בכיוון אחד, ולכן שלו אפס, כמו של דף שטוח.
גאוס הוכיח דבר מפתיע, שאותו כינה Theorema Egregium, “המשפט המופלא”: אפשר למצוא את בלי לצאת אף פעם מהמשטח. כיפוף של יריעה בלי למתוח אותה אף פעם לא משנה את ה־ שלה. זו הסיבה שדף נייר מתגלגל לצינור אבל לא יכול לעטוף כדור בלי להתקמט, ושכל מפה שטוחה של כדור הארץ מותחת חלק מהמדינות.
דרך אחת למדוד את מבפנים היא לשרטט משולש ולחבר את הזוויות שלו. לכל משולש על משטח שהעקמומיות שלו זהה בכל מקום,
סכום הזוויות − 180° = × השטח
כשהצד הימני ברדיאנים. קדמו את מדידת המשולש אל זוויות, והתרשים שליד הסצנה משרטט את הסכום מול השטח של כל משולש שהסצנה יכולה לצייר על המשטח הנוכחי: כולם על קו ישר אחד שעובר דרך 180°, עולה לכדור ויורד לאוכף, ותלול יותר ככל ש־ גדלה. כשהעקמומיות משתנה ממקום למקום, התוספת היא כל העקמומיות שבתוך המשולש; הגרסה הכללית הזו היא משפט גאוס–בונה.
אלפיים שנה של מקבילים
הנחת היסוד החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, ארוכה ופחות מובנת מאליה מהאחרות. בניסוח המוכר ביותר שלה: דרך נקודה שאינה על ישר נתון אפשר להעביר בדיוק ישר אחד שלעולם לא פוגש אותו. אלפיים שנה ניסו מתמטיקאים להוכיח אותה מהנחות היסוד האחרות ונכשלו. בסביבות 1830 פרסמו ניקולאי לובצ’בסקי בקאזאן ויאנוש בויאי בהונגריה, כל אחד לבדו, גאומטריה שבה האקסיומה לא נכונה, ודרך הנקודה עוברים ישרים רבים שאינם פוגשים את הישר הנתון. גאוס הגיע לאותו רעיון ושמר אותו לעצמו. התברר שהגאומטריה שלהם היא הגאומטריה של האוכף, וב־1868 הראה אאוג’ניו בלטרמי שהיא עקבית בדיוק כמו של אוקלידס. ב־1854 הרחיב ברנהרד רימן את העקמומיות של גאוס למרחבים בכל מספר של ממדים, הממדים הגבוהים שהדמיון לא מצליח לצייר והמתמטיקה מטפלת בהם בקלות.
התחנה האחרונה של מדידת המשולש בודקת את האקסיומה על הקליפה. שני מסלולים קצרים ביותר חוצים קו בסיס בזווית ישרה, במרחק 1.6 זה מזה, כך שעל נייר הם מקבילים ונשארים במרחק 1.6 לנצח.
נסו: קדמו את מדידת המשולש אל מקבילים. על הקליפה השטוחה הקווים מסתיימים במרחק 1.60 זה מזה. לחצו על כדור, והם מתקרבים עד 0.71 בשפה; אילו המשיכו, הם היו נפגשים במרחק 3.14 מקו הבסיס, כמו שקווי האורך, שכולם ניצבים לקו המשווה, נפגשים בקטבים. לחצו על אוכף, והם מתרחקים עד 1.96.
על כדור אין מקבילים בכלל: כל שני מעגלים גדולים נחתכים. על אוכף יש אינסוף ישרים דרך נקודה שלעולם לא פוגשים ישר נתון. רק על משטח שטוח יש בדיוק אחד.
מרחב מעוקל
הגאומטריה הלא־אוקלידית התחילה כחידה על אקסיומה והפכה לפיזיקה. תורת היחסות הכללית של איינשטיין, שהושלמה ב־1915, מתארת את הכבידה כעקמומיות של המרחב והזמן: כוכבי הלכת נעים במסלולים הישרים ביותר דרך מרחב־זמן שהמסה של השמש עיקמה. ההשפעה על הזמן מורגשת בטכנולוגיה יומיומית: השעונים בלוויינים של GPS מתקדמים מהר יותר משעונים על הקרקע, בעיקר כי הם נמצאים גבוה יותר בשדה הכבידה של כדור הארץ, והמערכת מתקנת את זה.
גם המרחב כולו יכול להיות מעוקל. מדידות של קרינת הרקע הקוסמית, האור העתיק ביותר שיש, משוות את הגודל האמיתי של דגמים בה לגודל שהם נראים בשמים: בעצם, את הזוויות של משולש שאורכו מיליארדי שנות אור. הן מסתכמות ב־180° עד כמה שאפשר למדוד, ולכן בקנה המידה הגדול ביותר שאנחנו רואים המרחב שטוח בדיוק של כחצי אחוז. אם הוא שטוח לגמרי, או מעוקל בעדינות כזו שאי אפשר לגלות, עדיין לא ידוע. לאיזה כיוון צורה מתעקלת זו שאלה של גאומטריה; טופולוגיה חוקרת מה נשאר כשמותר לכופף ולמתוח, ורק חורים ושפות נחשבים.
מה המודל משאיר בחוץ
הקליפה היא אחד משלושה משטחים שהעקמומיות שלהם זהה בכל נקודה: חלק מכדור, דסקה שטוחה, או חתיכה של אוכף שנחתכה ממשטח סיבוב עם מותניים צרים, שמרכזה בראש המותניים. ב־1901 הוכיח דויד הילברט שמישור היפרבולי שלם לא יכול לשבת בצורה חלקה במרחב התלת־ממדי הרגיל; רק חתיכות שלו יכולות. לכן האוכף נעצר ב־ בזמן שהכדור מגיע עד , ולכן השפה שלו עולה בתלילות כזו. בדרך כלל חוקרים משטח היפרבולי דרך מפות שטוחות, כמו דסקת פואנקרה שבה השתמש מאוריץ קורנליס אשר בחיתוכי העץ Circle Limit.
המשולש תמיד שווה צלעות, והקודקודים שלו באותו מרחק מהמרכז, ולכן שלוש הזוויות שלו שוות; כלל סכום הזוויות נכון לכל צורה של משולש. הקליפה מצוירת כיריעה קשיחה שמשנה צורה כשמזיזים את המחוון; יריעה אמיתית של נייר או מתכת הייתה צריכה להימתח כדי לעבור משטוח למעוקל, וזו בדיוק הנקודה של המשפט של גאוס. רשת הגיר משורטטת לאורך קו הבסיס, ולכן הריבועים שלה מדויקים רק לאורך הקו הזה, וקטנים או גדלים ככל שמתרחקים ממנו. ולבסוף, משטח דו־ממדי מכופף במרחב תלת־ממדי הוא משל למרחב מעוקל, לא תמונה שלו: את העקמומיות של המרחב מודדים מבפנים, במשולשים ובישרים מקבילים, בלי כיוון חיצוני שהוא יכול להתעקל אליו.