מפתח תשובות · יחידה 18

מסלולים וטיסה לחלל.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 4

שיעור 1 מתוך 4 · כ־25 דקות

חוקי קפלר

מסלולים הם אליפסות והשמש באחד המוקדים, כוכב לכת מהיר יותר כשהוא קרוב לשמש, ואורך השנה תלוי רק בגודל המסלול.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
אליפסה ומוקד
תרגול · בחרו
השאלה
כוכב הלכת בסצנה נע במסלול אליפטי, עם אקסצנטריות $0.5$ ⁠. איפה נמצא הכוכב שהוא מקיף?

התשובה הנכונה
- נכונה באחד המוקדים של האליפסה, הרחק מהמרכז שלה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0.5
גודל המסלול
1 AU
הצגת שטחים שווים
מסלול
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה באחד המוקדים של האליפסה, הרחק מהמרכז שלה
- שגויה במרכז האליפסה
  טעות נפוצה: Thinks the star sits at the centre of an elliptical orbit, so the planet is always the same distance from it.
  משוב מהקטלוג
  השמש לא נמצאת במרכז האליפסה אלא באחד משני המוקדים שלה, במרחק $ae$ ⁠ מהמרכז. לכן המרחק של כוכב הלכת מהשמש משתנה לאורך המסלול: בנקודה הקרובה ביותר הוא $a(1-e)$ ⁠, ובנקודה הרחוקה ביותר $a(1+e)$ ⁠. רק במעגל, $e = 0$ ⁠, המוקד והמרכז מתלכדים.
- שגויה בקצה האליפסה, על המסלול עצמו
  משוב
  אילו הכוכב היה על המסלול, כוכב הלכת היה פוגע בו פעם בשנה. הוא נמצא בתוך האליפסה, על הציר הארוך שלה.
- שגויה בשני המוקדים יחד, כי המסלול סימטרי
  משוב
  לאליפסה שני מוקדים, אבל רק באחד מהם יש כוכב. המוקד השני ריק: זו נקודה גאומטרית בלבד.
משוב לתשובה נכונה
הכוכב יושב במוקד, והמוקד השני ריק. לכן המרחק של כוכב הלכת ממנו משתנה לאורך השנה: כאן מחצי יחידה אסטרונומית ועד אחת וחצי.

פתרון מלא
1. לאליפסה יש שני מוקדים על הציר הארוך שלה, משני צדי המרכז, כל אחד במרחק $ae$ ⁠ ממנו, כאשר $a$ ⁠ הוא הציר הראשי למחצה ו־ $e$ ⁠ האקסצנטריות.
2. החוק הראשון של קפלר: כוכב לכת נע באליפסה, והשמש באחד המוקדים. המוקד השני ריק.
3. כאן $e = 0.5$ ⁠ ו־ $a = 1\ \mathrm{AU}$ ⁠, ולכן הכוכב נמצא חצי יחידה אסטרונומית מהמרכז.
מי שבחר במרכז דמיין מעגל, שבו הכוכב במרכז והמרחק קבוע. במעגל, $e = 0$ ⁠, שני המוקדים מתלכדים עם המרכז.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
הקרוב ביותר והרחוק ביותר
תרגול · חשבו
השאלה
גודל המסלול, הציר הראשי למחצה, נעול על 1.2 AU, והאקסצנטריות על $0.3$ ⁠. כמה קרוב לכוכב מגיע כוכב הלכת? יחידה אסטרונומית אחת היא $1.50 \times 10^{8}\ \mathrm{km}$ ⁠.

התשובה הנכונה
125700000 km ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0.3קבוע
גודל המסלול
1.2 AUקבוע
הצגת שטחים שווים
מסלול
מתקבלת בטווח
± 2%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Closest distance to the star, a(1 − e)/nodes/orbit/outputs/perihelion
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 179500000 km ± 2%
  טעות נפוצה: Thinks the star sits at the centre of an elliptical orbit, so the planet is always the same distance from it.
  משוב מהקטלוג
  השמש לא נמצאת במרכז האליפסה אלא באחד משני המוקדים שלה, במרחק $ae$ ⁠ מהמרכז. לכן המרחק של כוכב הלכת מהשמש משתנה לאורך המסלול: בנקודה הקרובה ביותר הוא $a(1-e)$ ⁠, ובנקודה הרחוקה ביותר $a(1+e)$ ⁠. רק במעגל, $e = 0$ ⁠, המוקד והמרכז מתלכדים.
משוב לתשובה נכונה
$a(1-e) = 0.84\ \mathrm{AU}$ ⁠, כ־ $1.26 \times 10^8\ \mathrm{km}$ ⁠. בצד השני המרחק $a(1+e) = 1.56\ \mathrm{AU}$ ⁠, והממוצע של השניים הוא בדיוק $a$ ⁠: לכן $a$ ⁠ נקרא גם המרחק הממוצע.

רמז
הכוכב נמצא במוקד, במרחק $ae$ ⁠ מהמרכז. הנקודה הקרובה ביותר היא קצה הציר הארוך שבצד שלו.

פתרון מלא
1. הנתונים: $a = 1.2\ \mathrm{AU}$ ⁠, $e = 0.3$ ⁠.
2. המוקד נמצא $ae = 1.2 \cdot 0.3 = 0.36\ \mathrm{AU}$ ⁠ מהמרכז, וקצה הציר הארוך נמצא $a$ ⁠ מהמרכז.
3. המרחק הקטן ביותר, בנקודה הקרובה לכוכב (פריהליון): $r_{\min} = a - ae = a(1-e) = 1.2 \cdot 0.7 = 0.84\ \mathrm{AU}$ ⁠, כלומר $0.84 \cdot 1.50 \times 10^8 \approx 1.26 \times 10^8\ \mathrm{km}$ ⁠.
4. באותו אופן, בנקודה הרחוקה (אפהליון): $r_{\max} = a(1+e) = 1.56\ \mathrm{AU}$ ⁠.
מי שענה 1.2 AU, כ־ $1.8 \times 10^8\ \mathrm{km}$ ⁠, הניח שהכוכב במרכז, ושהמרחק אליו קבוע.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
שטחים שווים בזמנים שווים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
כוכב הלכת נע במסלול עם אקסצנטריות $0.5$ ⁠. באיזה חלק של המסלול הוא נע הכי מהר?

התשובה הנכונה
- נכונה בנקודה הקרובה ביותר לכוכב
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0.5
גודל המסלול
1 AUקבוע
הצגת שטחים שווים
מסלול
האפשרויות
- נכונה בנקודה הקרובה ביותר לכוכב
- שגויה בנקודה הרחוקה ביותר מהכוכב
  משוב
  שם הכבידה הכי חלשה, אבל היא גם בלמה אותו כל הדרך החוצה. שם הוא הכי איטי.
- שגויה בכל המסלול באותה מהירות
  טעות נפוצה: Thinks a planet moves at the same speed all the way round its orbit, whatever its shape.
  משוב מהקטלוג
  במסלול אליפטי המהירות משתנה. בדרך פנימה הכבידה מושכת את כוכב הלכת קצת קדימה ומאיצה אותו, ובדרך החוצה היא בולמת אותו. זה החוק השני של קפלר: הקו המחבר את השמש לכוכב הלכת מטאטא שטחים שווים בזמנים שווים, ולכן קרוב לשמש, שם הקו קצר, כוכב הלכת חייב לעבור דרך ארוכה יותר בכל שנייה. רק במעגל המהירות קבועה.
- שגויה בצדדים, באמצע הדרך בין הקרוב לרחוק
  משוב
  באמצע הדרך פנימה הוא עוד מאיץ: הכבידה ממשיכה למשוך אותו קצת קדימה עד הנקודה הקרובה ביותר.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הצגת שטחים שווים
0.35 (מסלול → שטחים שווים)
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
הכי מהר בנקודה הקרובה, הכי לאט בנקודה הרחוקה. הטריז הצבוע מראה למה: באותו זמן הוא רחב וקצר קרוב לכוכב, וצר וארוך רחוק ממנו, ותמיד באותו שטח.

פתרון מלא
1. בדרך פנימה, הכבידה מכוונת קצת קדימה, לכיוון התנועה, ולכן היא מגדילה את המהירות. בדרך החוצה היא מכוונת קצת אחורה, ובולמת.
2. לכן המהירות הגדולה ביותר היא בסוף הדרך פנימה, בנקודה הקרובה ביותר, והקטנה ביותר בנקודה הרחוקה ביותר.
3. הצגת שטחים שווים מראה את החוק השני של קפלר: הקו המחבר את הכוכב לכוכב הלכת מטאטא שטחים שווים בזמנים שווים. קרוב לכוכב הקו קצר, ולכן כדי לטאטא אותו שטח, כוכב הלכת עובר דרך ארוכה יותר באותו זמן.
מהירות קבועה יש רק במסלול מעגלי.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
מהר ולאט
תרגול · חשבו
השאלה
המסלול נעול על המסלול של כוכב חמה: אקסצנטריות $0.21$ ⁠ וגודל 0.39 AU. פי כמה מהיר כוכב חמה בנקודה הקרובה ביותר לשמש מאשר בנקודה הרחוקה ביותר?

התשובה הנכונה
1.532 ± 0.02
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0.21קבוע
גודל המסלול
0.39 AUקבוע
הצגת שטחים שווים
0.35 (מסלול → שטחים שווים)
מתקבלת בטווח
± 0.02
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Fastest speed over slowest, (1 + e)/(1 − e)/nodes/orbit/outputs/speedRatio
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1 ± 0.01
  טעות נפוצה: Thinks a planet moves at the same speed all the way round its orbit, whatever its shape.
  משוב מהקטלוג
  במסלול אליפטי המהירות משתנה. בדרך פנימה הכבידה מושכת את כוכב הלכת קצת קדימה ומאיצה אותו, ובדרך החוצה היא בולמת אותו. זה החוק השני של קפלר: הקו המחבר את השמש לכוכב הלכת מטאטא שטחים שווים בזמנים שווים, ולכן קרוב לשמש, שם הקו קצר, כוכב הלכת חייב לעבור דרך ארוכה יותר בכל שנייה. רק במעגל המהירות קבועה.
- 2.346 ± 0.04
  טעות נפוצה: Thinks the speed on an orbit falls with the square of the distance, as the pull of gravity does.
  משוב מהקטלוג
  הכבידה נחלשת כמו $\dfrac{1}{r^2}$ ⁠, אבל המהירות לא. החוק השני של קפלר שומר על $r \cdot v$ ⁠ בנקודה הקרובה ובנקודה הרחוקה, ולכן יחס המהירויות שווה ליחס המרחקים, $\dfrac{v_{\max}}{v_{\min}} = \dfrac{1+e}{1-e}$ ⁠, בלי ריבוע.
משוב לתשובה נכונה
$\dfrac{1+e}{1-e} = \dfrac{1.21}{0.79} \approx 1.53$ ⁠: כ־59 km/s ליד השמש ו־39 km/s רחוק ממנה.

רמז
בשתי הנקודות האלה המהירות ניצבת לקו אל השמש, והחוק השני של קפלר שומר על $r \cdot v$ ⁠.

פתרון מלא
1. בנקודה הקרובה ובנקודה הרחוקה התנועה ניצבת לקו אל השמש, והשטח שהקו מטאטא בזמן קצר $\Delta t$ ⁠ הוא משולש דק: $\tfrac12 r \cdot v\,\Delta t$ ⁠.
2. לפי החוק השני השטחים שווים, ולכן $r_{\min} v_{\max} = r_{\max} v_{\min}$ ⁠.
3. $\dfrac{v_{\max}}{v_{\min}} = \dfrac{r_{\max}}{r_{\min}} = \dfrac{a(1+e)}{a(1-e)} = \dfrac{1.21}{0.79} \approx 1.53$ ⁠.
הגודל $a$ ⁠ מצטמצם, והיחס תלוי רק באקסצנטריות. מי שקיבל כ־ $2.35$ ⁠ העלה את יחס המרחקים בריבוע, כמו בחוק הכבידה; מהירות נשמרת דרך $r \cdot v$ ⁠, בלי ריבוע.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
החוק השלישי
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
שנה על מאדים נמשכת $1.88$ ⁠ שנות כדור הארץ. שנו את גודל המסלול עד שהשנה של כוכב הלכת בסצנה תימשך $1.88$ ⁠ שנים, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 686.7 d ± 1%
  בתחילת השלב: 365.3 d
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0.09קבוע
גודל המסלול
1 AU
הצגת שטחים שווים
מסלול
נקרא מהסצנה בנקודה
One orbit, from Kepler's third law/nodes/orbit/outputs/period
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
גודל המסלול
1.52 AU
משוב לתשובה נכונה
כ־1.52 AU: $1.52^3 \approx 3.5 \approx 1.88^2$ ⁠. שימו לב שכדור הארץ בסצנה מקיף כמעט פעמיים בזמן שכוכב הלכת מקיף פעם אחת.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אם השנה קצרה מדי, הגדילו את המסלול; אם היא ארוכה מדי, הקטינו אותו.

רמז
ביחידות אסטרונומיות ובשנים, $T^2 = a^3$ ⁠. לכן $a = T^{2/3}$ ⁠.

פתרון מלא
1. החוק השלישי של קפלר, בשנים וביחידות אסטרונומיות, סביב כוכב במסה של השמש: $T^2 = a^3$ ⁠.
2. $T = 1.88$ ⁠, ולכן $a^3 = 1.88^2 \approx 3.53$ ⁠.
3. $a = \sqrt[3]{3.53} \approx 1.52\ \mathrm{AU}$ ⁠.
זה בדיוק המרחק של מאדים מהשמש. כך קפלר חישב את גודל מערכת השמש: מזמני ההקפה, שקל למדוד, אל המרחקים, שקשה למדוד.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
צורה ושנה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
המסלול עכשיו מעגל בגודל 1 AU, והשנה של כוכב הלכת זהה לשנה של כדור הארץ. משאירים את גודל המסלול ומותחים את המסלול לאקסצנטריות $0.8$ ⁠. מה יקרה לשנה של כוכב הלכת?

התשובה הנכונה
- נכונה היא תישאר שנה אחת בדיוק
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0
גודל המסלול
1 AUקבוע
הצגת שטחים שווים
מסלול
האפשרויות
- נכונה היא תישאר שנה אחת בדיוק
- שגויה היא תתקצר, כי כוכב הלכת עובר קרוב לשמש ומהיר שם
  טעות נפוצה: Thinks stretching an orbit at the same size (semi-major axis) changes how long a year lasts.
  משוב מהקטלוג
  לפי החוק השלישי של קפלר, זמן ההקפה תלוי רק בציר הראשי למחצה $a$ ⁠: $T^2 \propto a^3$ ⁠. מסלול מתוח באותו $a$ ⁠ מתקרב לשמש בצד אחד ומתרחק ממנה בצד השני, ושני האפקטים מתקזזים בדיוק. אליפסה עם $e = 0.8$ ⁠ ומעגל באותו $a$ ⁠ נמשכים אותה שנה.
- שגויה היא תתארך, כי הדרך סביב אליפסה ארוכה יותר
  טעות נפוצה: Thinks stretching an orbit at the same size (semi-major axis) changes how long a year lasts.
  משוב מהקטלוג
  לפי החוק השלישי של קפלר, זמן ההקפה תלוי רק בציר הראשי למחצה $a$ ⁠: $T^2 \propto a^3$ ⁠. מסלול מתוח באותו $a$ ⁠ מתקרב לשמש בצד אחד ומתרחק ממנה בצד השני, ושני האפקטים מתקזזים בדיוק. אליפסה עם $e = 0.8$ ⁠ ומעגל באותו $a$ ⁠ נמשכים אותה שנה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
אקסצנטריות
0.8
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
השנה נשארת שנה: היא תלויה רק ב־ $a$ ⁠. כוכב הלכת פשוט מבלה את רוב השנה רחוק, לאט, ומרוויח את הזמן בחזרה בריצה המהירה ליד השמש.

פתרון מלא
1. החוק השלישי של קפלר: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\, a^3$ ⁠. בנוסחה יש רק את הציר הראשי למחצה $a$ ⁠, בלי $e$ ⁠.
2. $a$ ⁠ נשאר 1 AU, ולכן $T$ ⁠ נשאר שנה אחת.
3. מה שקורה בפועל: קרוב לשמש כוכב הלכת מהיר מאוד ועובר את החלק הזה מהר, ורחוק ממנה הוא איטי ומבלה שם את רוב השנה. שני האפקטים מתקזזים בדיוק.
בסצנה, כוכב הלכת וכדור הארץ חוזרים יחד לאותו מקום בכל הקפה.

שיעור 2 מתוך 4 · כ־25 דקות

מהירות מילוט

כמה מהר צריך לנוע כדי לא לחזור לעולם. אנרגיה קינטית מול הבור של הכבידה, מהירות המילוט מכדור הארץ, מהשמש ומהירח, ומסלולים מתוחים שמתקרבים אליה.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
אנרגיה כדי לעזוב
תרגול · בחרו
השאלה
גשושית של 500 kg וגשושית של 5000 kg משוגרות מאותו מקום. כדי להימלט מהכבידה, באיזו מהירות צריכה הגשושית הכבדה לנוע?

התשובה הנכונה
- נכונה באותה מהירות כמו הקלה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0
גודל המסלול
1 AU
מסלול / שטחים שווים
מסלול
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה באותה מהירות כמו הקלה
- שגויה מהר יותר, כי הכבידה מושכת אותה חזק יותר
  טעות נפוצה: Thinks a heavier probe needs a higher speed to escape a planet or a star.
  משוב מהקטלוג
  גוף כבד יותר נמשך חזק יותר, אבל גם יש לו יותר אנרגיה קינטית באותה מהירות. מהשוויון $\tfrac12 m v^2 = \dfrac{G M m}{r}$ ⁠ המסה $m$ ⁠ מצטמצמת: $v = \sqrt{\dfrac{2 G M}{r}}$ ⁠. מהירות המילוט תלויה רק במסה של הכוכב ובמרחק ממנו. גשושית כבדה צריכה יותר אנרגיה, כלומר יותר דלק, אבל לא מהירות גבוהה יותר.
- שגויה מהר פי $\sqrt{10}$ ⁠, כי האנרגיה שלה צריכה להיות גדולה פי $10$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks a heavier probe needs a higher speed to escape a planet or a star.
  משוב מהקטלוג
  גוף כבד יותר נמשך חזק יותר, אבל גם יש לו יותר אנרגיה קינטית באותה מהירות. מהשוויון $\tfrac12 m v^2 = \dfrac{G M m}{r}$ ⁠ המסה $m$ ⁠ מצטמצמת: $v = \sqrt{\dfrac{2 G M}{r}}$ ⁠. מהירות המילוט תלויה רק במסה של הכוכב ובמרחק ממנו. גשושית כבדה צריכה יותר אנרגיה, כלומר יותר דלק, אבל לא מהירות גבוהה יותר.
- שגויה לאט יותר, כי קשה יותר לעצור גוף כבד
  טעות נפוצה: Thinks a heavier probe needs a higher speed to escape a planet or a star.
  משוב מהקטלוג
  גוף כבד יותר נמשך חזק יותר, אבל גם יש לו יותר אנרגיה קינטית באותה מהירות. מהשוויון $\tfrac12 m v^2 = \dfrac{G M m}{r}$ ⁠ המסה $m$ ⁠ מצטמצמת: $v = \sqrt{\dfrac{2 G M}{r}}$ ⁠. מהירות המילוט תלויה רק במסה של הכוכב ובמרחק ממנו. גשושית כבדה צריכה יותר אנרגיה, כלומר יותר דלק, אבל לא מהירות גבוהה יותר.
משוב לתשובה נכונה
מהירות המילוט היא $\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ⁠, בלי המסה של הגשושית. הכבדה צריכה יותר אנרגיה ויותר דלק, אבל לא יותר מהירות.

פתרון מלא
1. כדי להימלט, האנרגיה הקינטית צריכה לכסות את העבודה שהכבידה עושה עד אינסוף: $\tfrac12 m v^2 = \dfrac{G M m}{r}$ ⁠.
2. המסה של הגשושית $m$ ⁠ מופיעה בשני האגפים ומצטמצמת: $v = \sqrt{\dfrac{2 G M}{r}}$ ⁠.
3. $M$ ⁠ היא המסה של הכוכב, ו־ $r$ ⁠ אותו מרחק, ולכן המהירות זהה.
הגשושית הכבדה כן צריכה אנרגיה גדולה פי $10$ ⁠, כלומר פי $10$ ⁠ דלק. אבל באותה מהירות יש לה גם אנרגיה קינטית גדולה פי $10$ ⁠.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
מכדור הארץ
תרגול · חשבו
השאלה
מה מהירות המילוט מפני השטח של כדור הארץ, בלי התנגדות אוויר? המסה של כדור הארץ $5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$ ⁠, הרדיוס שלו 6370 km, ו־ $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ ⁠.

התשובה הנכונה
11180 m/s ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0
גודל המסלול
1 AU
מסלול / שטחים שווים
מסלול
מתקבלת בטווח
± 2%
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 7906 m/s ± 1.5%
  טעות נפוצה: Uses the circular orbital speed √(GM/r) as the escape speed.
  משוב מהקטלוג
  המהירות של מסלול מעגלי, $\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠, רק שומרת את הגוף במעגל: הוא נופל ומחטיא, אבל לא מתרחק. כדי לברוח צריך אנרגיה קינטית שמכסה את כל הבור של הכבידה, $\tfrac12 m v^2 = \dfrac{G M m}{r}$ ⁠, ומכאן $v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ⁠: פי $\sqrt 2 \approx 1.41$ ⁠ מהמהירות המעגלית.
- 15810 m/s ± 2%
  טעות נפוצה: Thinks the escape speed is twice the circular orbital speed.
  משוב מהקטלוג
  הגורם $2$ ⁠ נמצא בתוך השורש: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} = \sqrt 2 \cdot \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠. כדי לברוח צריך אנרגיה כפולה מזו של מסלול מעגלי באותו מרחק, והאנרגיה הקינטית גדלה כמו $v^2$ ⁠, ולכן המהירות גדלה רק פי $\sqrt 2 \approx 1.41$ ⁠, לא פי $2$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
כ־11.2 km/s, יותר מ־40,000 km/h. בפועל טיל לא צריך להגיע למהירות הזאת ליד הקרקע: הוא ממשיך לדחוף בדרך למעלה, ושם מהירות המילוט קטנה יותר.

רמז
$v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ⁠, עם $r$ ⁠ במטרים.

פתרון מלא
1. הנתונים: $GM = 6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24} \approx 3.98 \times 10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$ ⁠, $r = 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠.
2. הנוסחה: $v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ⁠.
3. הצבה: $v = \sqrt{\dfrac{7.96 \times 10^{14}}{6.37 \times 10^6}} = \sqrt{1.25 \times 10^8} \approx 11{,}200\ \mathrm{m/s}$ ⁠.
זה פי $\sqrt 2$ ⁠ מהמהירות של מסלול צמוד לקרקע, כ־7900 m/s. מי שענה $7900$ ⁠ חישב מסלול, לא מילוט; מי שענה כ־ $15{,}800$ ⁠ הכפיל את המהירות במקום את האנרגיה.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
מהשמש
תרגול · חשבו
השאלה
כוכב הלכת נע במעגל ברדיוס 1 AU, כמו כדור הארץ. כמה מהר צריך לנוע גוף במרחק הזה כדי להימלט מהשמש לגמרי?

התשובה הנכונה
42120 m/s ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0קבוע
גודל המסלול
1 AUקבוע
מסלול / שטחים שווים
מסלול
מתקבלת בטווח
± 2%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The speed that would escape the star from the closest point, √(2GM/r)/nodes/orbit/outputs/escapeSpeed
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 29790 m/s ± 1%
  טעות נפוצה: Uses the circular orbital speed √(GM/r) as the escape speed.
  משוב מהקטלוג
  המהירות של מסלול מעגלי, $\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠, רק שומרת את הגוף במעגל: הוא נופל ומחטיא, אבל לא מתרחק. כדי לברוח צריך אנרגיה קינטית שמכסה את כל הבור של הכבידה, $\tfrac12 m v^2 = \dfrac{G M m}{r}$ ⁠, ומכאן $v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ⁠: פי $\sqrt 2 \approx 1.41$ ⁠ מהמהירות המעגלית.
- 59570 m/s ± 2%
  טעות נפוצה: Thinks the escape speed is twice the circular orbital speed.
  משוב מהקטלוג
  הגורם $2$ ⁠ נמצא בתוך השורש: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} = \sqrt 2 \cdot \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠. כדי לברוח צריך אנרגיה כפולה מזו של מסלול מעגלי באותו מרחק, והאנרגיה הקינטית גדלה כמו $v^2$ ⁠, ולכן המהירות גדלה רק פי $\sqrt 2 \approx 1.41$ ⁠, לא פי $2$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
כ־42.1 km/s, פי $\sqrt 2$ ⁠ מ־29.8 km/s של כדור הארץ. וויאג’ר 1 עברה את המהירות הזאת בעזרת תנופה מצדק ומשבתאי.

רמז
המהירות של כדור הארץ במסלול היא כ־29.8 km/s. מהירות המילוט באותו מרחק גדולה ממנה פי $\sqrt 2$ ⁠.

פתרון מלא
1. במסלול מעגלי $v_{\text{orbit}} = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠, וכדור הארץ נע כך בכ־29.8 km/s.
2. מהירות המילוט באותו מרחק: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} = \sqrt 2 \cdot v_{\text{orbit}}$ ⁠.
3. $v_{\text{esc}} = 1.414 \cdot 29.8 \approx 42.1\ \mathrm{km/s}$ ⁠.
לכן כדי לשלוח גשושית אל מחוץ למערכת השמש מכדור הארץ, צריך להוסיף לה רק כ־12 km/s מעבר למהירות שכבר יש לה עם כדור הארץ, אם משגרים אותה בכיוון התנועה שלו.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
מסלולים מתוחים
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
ככל שהמסלול מתוח יותר, כוכב הלכת עובר קרוב יותר לשמש ומהר יותר. שנו את האקסצנטריות עד שבנקודה הקרובה ביותר המהירות שלו תהיה $90\%$ ⁠ ממהירות המילוט שם, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0.9 ± 0.0025
  בתחילת השלב: 0.866
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0.5
גודל המסלול
1 AUקבוע
מסלול / שטחים שווים
מסלול
נקרא מהסצנה בנקודה
Speed at the closest point over the escape speed there, √((1 + e)/2)/nodes/orbit/outputs/escapeShare
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
אקסצנטריות
0.62
משוב לתשובה נכונה
ב־ $e = 0.62$ ⁠, $\sqrt{\dfrac{1.62}{2}} = 0.9$ ⁠. שביטים שמגיעים מהקצוות של מערכת השמש נעים במסלולים מתוחים הרבה יותר, וליד השמש הם כמעט במהירות המילוט.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כדי להתקרב למהירות המילוט, מתחו את המסלול עוד; אם עברתם את $90\%$ ⁠, החזירו מעט.

רמז
בנקודה הקרובה ביותר $\dfrac{v}{v_{\text{esc}}} = \sqrt{\dfrac{1+e}{2}}$ ⁠.

פתרון מלא
1. בנקודה הקרובה ביותר, $r = a(1-e)$ ⁠, המהירות לפי שימור האנרגיה היא $v^2 = \dfrac{GM}{a}\cdot\dfrac{1+e}{1-e}$ ⁠, ומהירות המילוט שם $v_{\text{esc}}^2 = \dfrac{2GM}{a(1-e)}$ ⁠.
2. היחס: $\dfrac{v^2}{v_{\text{esc}}^2} = \dfrac{1+e}{2}$ ⁠.
3. רוצים $0.9^2 = 0.81 = \dfrac{1+e}{2}$ ⁠, ולכן $e = 0.62$ ⁠.
במעגל היחס הוא $\sqrt{1/2} \approx 0.71$ ⁠, ולכל אקסצנטריות מתחת ל־ $1$ ⁠ הוא נשאר מתחת ל־ $1$ ⁠: כוכב הלכת נשאר קשור לשמש. ב־ $e = 1$ ⁠ המסלול נפתח לפרבולה, והגוף נמלט.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
הירח
תרגול · חשבו
השאלה
החללית של אפולו המריאה מהירח בלי טיל ענק. מה מהירות המילוט מפני השטח של הירח? המסה שלו $7.35 \times 10^{22}\ \mathrm{kg}$ ⁠, והרדיוס שלו 1737 km.

התשובה הנכונה
2376 m/s ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
אקסצנטריות
0.85
גודל המסלול
1 AU
מסלול / שטחים שווים
מסלול
מתקבלת בטווח
± 2%
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1680 m/s ± 2%
  טעות נפוצה: Uses the circular orbital speed √(GM/r) as the escape speed.
  משוב מהקטלוג
  המהירות של מסלול מעגלי, $\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠, רק שומרת את הגוף במעגל: הוא נופל ומחטיא, אבל לא מתרחק. כדי לברוח צריך אנרגיה קינטית שמכסה את כל הבור של הכבידה, $\tfrac12 m v^2 = \dfrac{G M m}{r}$ ⁠, ומכאן $v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ⁠: פי $\sqrt 2 \approx 1.41$ ⁠ מהמהירות המעגלית.
- 3360 m/s ± 2%
  טעות נפוצה: Thinks the escape speed is twice the circular orbital speed.
  משוב מהקטלוג
  הגורם $2$ ⁠ נמצא בתוך השורש: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} = \sqrt 2 \cdot \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠. כדי לברוח צריך אנרגיה כפולה מזו של מסלול מעגלי באותו מרחק, והאנרגיה הקינטית גדלה כמו $v^2$ ⁠, ולכן המהירות גדלה רק פי $\sqrt 2 \approx 1.41$ ⁠, לא פי $2$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
כ־2.4 km/s. לכן לרכב העלייה של אפולו הספיק מנוע אחד קטן, בזמן שמכדור הארץ צריך טיל של שלושה שלבים.

רמז
אותה נוסחה כמו לכדור הארץ: $v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ ⁠, עם $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ ⁠.

פתרון מלא
1. $GM = 6.67 \times 10^{-11} \cdot 7.35 \times 10^{22} \approx 4.90 \times 10^{12}\ \mathrm{m^3/s^2}$ ⁠, $r = 1.737 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠.
2. $v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4.90 \times 10^{12}}{1.737 \times 10^6}} = \sqrt{5.65 \times 10^6} \approx 2380\ \mathrm{m/s}$ ⁠.
פחות מרבע ממהירות המילוט מכדור הארץ, וגם בלי אוויר שבולם. מי שקיבל כ־ $1680$ ⁠ חישב את המהירות של מסלול צמוד לפני הירח.

שיעור 3 מתוך 4 · כ־30 דקות

נקודות לגראנז'

חמש נקודות שבהן גשושית מקיפה את השמש יחד עם כדור הארץ. למה L1 ו־L2 קרובות כל כך לכדור הארץ, למה הן לא יציבות, ולמה L4 ו־L5 מחזיקות אסטרואידים.

לפתוח את השיעור

7 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 7
לפתוח את השלב
מסתובבים עם כדור הארץ
תרגול · בחרו
השאלה
גשושית ב־L1, בין השמש לכדור הארץ, מקיפה את השמש בשנה אחת בדיוק, כמו כדור הארץ, אף שהיא קרובה יותר לשמש. במסלול כזה, קרוב יותר, היא הייתה אמורה להקיף מהר יותר. מה מאט אותה?

התשובה הנכונה
- נכונה כדור הארץ מושך אותה החוצה, ומקטין את הכוח השקול אל השמש
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מיקום הגשושית
L1 · באמצע
דחיפה הרחק מהשמש
0 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
1 % ממסת השמש
הצגת הכבידה האפקטיבית
כבוי
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה כדור הארץ מושך אותה החוצה, ומקטין את הכוח השקול אל השמש
- שגויה שני הכוחות מתבטלים בנקודה, ולכן שום דבר לא מושך אותה
  טעות נפוצה: Thinks the forces on a probe at a Lagrange point cancel, so nothing pulls on it there.
  משוב מהקטלוג
  בנקודת לגראנז’ הכוחות לא מתאפסים. הגשושית מקיפה את השמש, ולכן היא צריכה כוח שקול אל מרכז הסיבוב, בדיוק כמו כדור הארץ. מה שמיוחד בנקודה הוא שהכוח השקול של השמש ושל כדור הארץ יחד הוא בדיוק הכוח שצריך כדי להקיף בשנה אחת, באותו קצב כמו כדור הארץ. רק במסגרת שמסתובבת יחד עם כדור הארץ זה נראה כמו איזון.
- שגויה ב־L1 המשיכה של כדור הארץ שווה למשיכה של השמש
  טעות נפוצה: Thinks L1 (or L2) is where the Sun's pull and the Earth's pull are equal.
  משוב מהקטלוג
  במקום שבו המשיכות שוות, הכוח השקול היה אפס, והגשושית הייתה ממשיכה בקו ישר במקום להקיף את השמש. L1 נמצאת רחוק יותר מכדור הארץ: שם משיכת השמש עדיין חזקה יותר, ומשיכת כדור הארץ רק מחלישה אותה עד שנשאר בדיוק הכוח הצנטריפטלי של הקפה בשנה. לכן L1 ו־L2 נמצאות בערך במרחק $\sqrt[3]{\mu/3}$ ⁠ מכדור הארץ, כחלק מהמרחק לשמש, כאשר $\mu$ ⁠ הוא החלק של כדור הארץ במסה הכוללת, ולא במרחק $\sqrt{\mu}$ ⁠ שבו המשיכות שוות.
- שגויה שום דבר: קרוב לשמש כל גוף מקיף לאט יותר
  משוב
  להפך: לפי החוק השלישי של קפלר, גוף קרוב יותר מקיף מהר יותר. משהו צריך להחליש את המשיכה פנימה.
משוב לתשובה נכונה
משיכת כדור הארץ מחלישה את משיכת השמש בדיוק במידה שבה הגשושית מקיפה בשנה, ולכן היא נשארת בקו אחד עם השמש וכדור הארץ.

פתרון מלא
1. כדי להקיף את השמש במעגל ברדיוס $r$ ⁠ בזמן $T$ ⁠, צריך כוח שקול פנימה של $m\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$ ⁠.
2. ב־L1 הגשושית קרובה יותר לשמש מכדור הארץ, ולכן המשיכה של השמש לבדה גדולה מהכוח הדרוש להקפה בשנה: לבדה, היא הייתה מקיפה בפחות משנה.
3. כדור הארץ, מהצד השני, מושך אותה החוצה. הכוח השקול, משיכת השמש פחות משיכת כדור הארץ, הוא בדיוק הכוח הדרוש להקפה בשנה.
הכוח השקול לא אפס: הגשושית מקיפה, ולכן היא צריכה כוח פנימה. במקום שבו המשיכות שוות הגשושית הייתה ממשיכה בקו ישר.
שלב 2 מתוך 7
לפתוח את השלב
כמה רחוק
תרגול · חשבו
השאלה
מסת כדור הארץ בסצנה נעולה על $1\%$ ⁠ ממסת השמש, והגשושית חונה ב־L1. כמה רחוקה L1 מכדור הארץ, באחוזים מהמרחק בין השמש לכדור הארץ? הסתכלו בסצנה, ואז השתמשו בהערכה $\sqrt[3]{\mu/3}$ ⁠, כאשר $\mu$ ⁠ הוא החלק של כדור הארץ במסה הכוללת.

התשובה הנכונה
14.15 ± 1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מיקום הגשושית
L1 · באמצעקבוע
דחיפה הרחק מהשמש
0 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
1 % ממסת השמשקבוע
הצגת הכבידה האפקטיבית
כבוי
מתקבלת בטווח
± 1
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Distance from Earth to the chosen point, as a share of the Sun–Earth distance/nodes/system/outputs/fromEarth
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 50 ± 3
  טעות נפוצה: Thinks L1 lies halfway between the Sun and the Earth.
  משוב מהקטלוג
  השמש כבדה מכדור הארץ פי יותר מ־ $300{,}000$ ⁠, ולכן המשיכה שלה שולטת כמעט בכל הדרך. כדור הארץ משנה את התמונה רק קרוב אליו: L1 ו־L2 נמצאות כאחוז אחד מהדרך לשמש, כ־ $1.5$ ⁠ מיליון קילומטרים מכדור הארץ, ולא באמצע.
- 9.1 ± 0.8
  טעות נפוצה: Thinks L1 (or L2) is where the Sun's pull and the Earth's pull are equal.
  משוב מהקטלוג
  במקום שבו המשיכות שוות, הכוח השקול היה אפס, והגשושית הייתה ממשיכה בקו ישר במקום להקיף את השמש. L1 נמצאת רחוק יותר מכדור הארץ: שם משיכת השמש עדיין חזקה יותר, ומשיכת כדור הארץ רק מחלישה אותה עד שנשאר בדיוק הכוח הצנטריפטלי של הקפה בשנה. לכן L1 ו־L2 נמצאות בערך במרחק $\sqrt[3]{\mu/3}$ ⁠ מכדור הארץ, כחלק מהמרחק לשמש, כאשר $\mu$ ⁠ הוא החלק של כדור הארץ במסה הכוללת, ולא במרחק $\sqrt{\mu}$ ⁠ שבו המשיכות שוות.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $14\%$ ⁠. כדור הארץ האמיתי קל פי $3000$ ⁠ מזה, ולכן L1 שלו קרובה פי $\sqrt[3]{3000} \approx 14$ ⁠: כאחוז אחד מהדרך לשמש.

רמז
$\mu = \dfrac{0.01}{1.01} \approx 0.0099$ ⁠, ו־ $\sqrt[3]{0.0033} \approx 0.15$ ⁠. ההערכה מדויקת יותר ככל ש־ $\mu$ ⁠ קטן יותר.

פתרון מלא
1. $\mu = \dfrac{0.01}{1 + 0.01} \approx 0.0099$ ⁠.
2. ההערכה ל־L1 ול־L2: $\dfrac{r}{R} \approx \sqrt[3]{\dfrac{\mu}{3}} = \sqrt[3]{0.0033} \approx 0.149$ ⁠, כלומר כ־ $15\%$ ⁠.
3. החישוב המדויק של הסצנה נותן כ־ $14\%$ ⁠ ל־L1 וכ־ $16\%$ ⁠ ל־L2: ההערכה היא הממוצע שלהן.
מי שענה $50\%$ ⁠ חשב שהנקודה באמצע; מי שענה כ־ $9\%$ ⁠ חיפש את המקום שבו המשיכות שוות, $\sqrt{\mu}/(1 + \sqrt{\mu})$ ⁠. שם הכוח השקול אפס, ושום גוף לא יכול להקיף.
שלב 3 מתוך 7
לפתוח את השלב
כדור הארץ האמיתי
תרגול · חשבו
השאלה
טלסקופ החלל ג’יימס וב נמצא ליד L2 של השמש וכדור הארץ. המסה של כדור הארץ היא $3.0 \times 10^{-6}$ ⁠ ממסת השמש, והמרחק לשמש $1.50 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$ ⁠. בעזרת ההערכה $\sqrt[3]{\mu/3}$ ⁠, כמה רחוקה L2 מכדור הארץ?

התשובה הנכונה
1500000000 m ± 3%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מיקום הגשושית
L2 · מעבר לכדור הארץ
דחיפה הרחק מהשמש
0 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
0.1 % ממסת השמש
הצגת הכבידה האפקטיבית
כבוי
מתקבלת בטווח
± 3%
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 260000000 m ± 5%
  טעות נפוצה: Thinks L1 (or L2) is where the Sun's pull and the Earth's pull are equal.
  משוב מהקטלוג
  במקום שבו המשיכות שוות, הכוח השקול היה אפס, והגשושית הייתה ממשיכה בקו ישר במקום להקיף את השמש. L1 נמצאת רחוק יותר מכדור הארץ: שם משיכת השמש עדיין חזקה יותר, ומשיכת כדור הארץ רק מחלישה אותה עד שנשאר בדיוק הכוח הצנטריפטלי של הקפה בשנה. לכן L1 ו־L2 נמצאות בערך במרחק $\sqrt[3]{\mu/3}$ ⁠ מכדור הארץ, כחלק מהמרחק לשמש, כאשר $\mu$ ⁠ הוא החלק של כדור הארץ במסה הכוללת, ולא במרחק $\sqrt{\mu}$ ⁠ שבו המשיכות שוות.
- 75000000000 m ± 5%
  טעות נפוצה: Thinks L1 lies halfway between the Sun and the Earth.
  משוב מהקטלוג
  השמש כבדה מכדור הארץ פי יותר מ־ $300{,}000$ ⁠, ולכן המשיכה שלה שולטת כמעט בכל הדרך. כדור הארץ משנה את התמונה רק קרוב אליו: L1 ו־L2 נמצאות כאחוז אחד מהדרך לשמש, כ־ $1.5$ ⁠ מיליון קילומטרים מכדור הארץ, ולא באמצע.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $1.5$ ⁠ מיליון קילומטרים, פי ארבעה מהמרחק לירח. שם הטלסקופ מקיף את השמש בשנה, תמיד מאחורי כדור הארץ.

רמז
$\dfrac{\mu}{3} = 1.0 \times 10^{-6}$ ⁠, והשורש השלישי שלו קל לחישוב.

פתרון מלא
1. $\dfrac{\mu}{3} = \dfrac{3.0 \times 10^{-6}}{3} = 1.0 \times 10^{-6}$ ⁠.
2. $\sqrt[3]{10^{-6}} = 10^{-2} = 0.01$ ⁠: אחוז אחד מהמרחק לשמש.
3. $r = 0.01 \cdot 1.50 \times 10^{11} = 1.5 \times 10^9\ \mathrm{m}$ ⁠, כלומר כ־ $1.5$ ⁠ מיליון קילומטרים.
זה פי ארבעה מהמרחק לירח. מי שקיבל כ־ $2.6 \times 10^8\ \mathrm{m}$ ⁠ חיפש את המקום שבו המשיכות שוות, ב־ $\sqrt{\mu}$ ⁠ מהדרך.
שלב 4 מתוך 7
לפתוח את השלב
אוכף
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הגשושית חונה ב־L2 ונדחפת מעט, חצי אחוז מהמרחק לשמש, הרחק מהשמש. מה תעשה אחרי שתשוחרר?

התשובה הנכונה
- נכונה תתרחק מ־L2 עוד ועוד
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מיקום הגשושית
L2 · מעבר לכדור הארץקבוע
דחיפה הרחק מהשמש
0.5 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
1 % ממסת השמש
הצגת הכבידה האפקטיבית
כבוי
האפשרויות
- נכונה תתרחק מ־L2 עוד ועוד
- שגויה תחזור אל L2 ותתנדנד סביבה, כמו גולה בקערה
  טעות נפוצה: Thinks a Lagrange point is a dip that pulls a nudged probe back, like a marble in a bowl.
  משוב מהקטלוג
  על משטח הכבידה האפקטיבית, L1, L2 ו־L3 הן אוכפים: בכיוון אחד המשטח עולה ובכיוון אחר הוא יורד. גשושית שזזה מעט לאורך הקו של השמש וכדור הארץ מתגלגלת במורד ומתרחקת, וההתרחקות גדלה. לכן לוויינים ב־L1 וב־L2 צריכים תיקוני מסלול קטנים כל כמה שבועות.
- שגויה תישאר במקום החדש, כי גם שם הכוחות מאוזנים
  טעות נפוצה: Thinks the forces on a probe at a Lagrange point cancel, so nothing pulls on it there.
  משוב מהקטלוג
  בנקודת לגראנז’ הכוחות לא מתאפסים. הגשושית מקיפה את השמש, ולכן היא צריכה כוח שקול אל מרכז הסיבוב, בדיוק כמו כדור הארץ. מה שמיוחד בנקודה הוא שהכוח השקול של השמש ושל כדור הארץ יחד הוא בדיוק הכוח שצריך כדי להקיף בשנה אחת, באותו קצב כמו כדור הארץ. רק במסגרת שמסתובבת יחד עם כדור הארץ זה נראה כמו איזון.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הצגת הכבידה האפקטיבית
פועל
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
היא גולשת ומתרחקת: L2 היא אוכף, ושום דבר לא מחזיר אותה. גם L1 ו־L3 כאלה.

פתרון מלא
1. ב־L2 הכוח השקול הוא בדיוק הכוח הדרוש להקפה בשנה. רחוק יותר מהשמש, משיכת השמש וכדור הארץ חלשה מדי בשביל הקפה בשנה, ולכן הגשושית מתחילה לנוע החוצה, ביחס לכדור הארץ.
2. ככל שהיא מתרחקת, הפער גדל, והיא מתרחקת מהר יותר.
3. הצגת הכבידה האפקטיבית מראה את משטח הכבידה האפקטיבית: L2 היא אוכף. בכיוון אחד המשטח עולה, ובכיוון של הקו אל השמש הוא יורד משני הצדדים.
לכן L1, L2 ו־L3 לא יציבות, וחלליות שם צריכות לתקן מסלול כל כמה שבועות.
שלב 5 מתוך 7
לפתוח את השלב
טרויאנים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עכשיו הגשושית חונה ב־L4, שישים מעלות לפני כדור הארץ, ונדחפת $1.5\%$ ⁠ מהמרחק לשמש. הצגת הכבידה האפקטיבית תראה ש־L4 היא פסגה של משטח הכבידה האפקטיבית. מה תעשה הגשושית?

התשובה הנכונה
- נכונה תנוע בלולאות סביב L4, ותישאר בסביבה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מיקום הגשושית
L4 · 60° קדימהקבוע
דחיפה הרחק מהשמש
1.5 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
1 % ממסת השמש
הצגת הכבידה האפקטיבית
כבוי
האפשרויות
- נכונה תנוע בלולאות סביב L4, ותישאר בסביבה
- שגויה תגלוש מהפסגה ותתרחק, כמו ב־L2
  טעות נפוצה: Thinks a nudged probe must drift away from L4 or L5 because they are hilltops of the effective gravity.
  משוב מהקטלוג
  L4 ו־L5 הן אכן פסגות של משטח הכבידה האפקטיבית, אבל במסגרת מסתובבת פועל גם כוח קוריוליס, שמסיט כל גוף נע הצידה. גשושית שמתחילה לרדת מהפסגה מוסטת לסיבוב סביבה, ונשארת בלולאות סביב הנקודה. כך נאספו אלפי אסטרואידים טרויאנים ב־L4 וב־L5 של צדק. זה עובד כל עוד הגוף הקטן קל מספיק, פחות מכ־ $4\%$ ⁠ ממסת השמש.
- שגויה תיפול אל השמש
  משוב
  השמש מושכת אותה, אבל הגשושית ממשיכה להקיף אותה כמו כדור הארץ. היא לא מאבדת את התנועה הזאת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הצגת הכבידה האפקטיבית
פועל
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
לולאות סביב L4: פסגה, ובכל זאת יציבה, כי הסיבוב של המסגרת מסיט את הגשושית סביב הנקודה במקום במורד.

פתרון מלא
1. ב־L4 הגשושית, השמש וכדור הארץ יוצרים משולש שווה צלעות, והכוח השקול של שתי המשיכות מכוון בדיוק אל מרכז הסיבוב.
2. על המשטח האפקטיבי L4 היא פסגה: גשושית שזזה ממנה מתחילה לרדת.
3. אבל במסגרת המסתובבת כל גוף נע מוסט הצידה על ידי כוח קוריוליס. הגשושית שמתחילה לרדת מוסטת לסיבוב סביב הפסגה, ולא מתרחקת.
כך מחזיק צדק אלפי אסטרואידים טרויאנים ב־L4 וב־L5 שלו.
שלב 6 מתוך 7
לפתוח את השלב
הגבול של ראות
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
L4 מחזיקה גשושית רק כשהגוף הקטן קל מספיק. הגשושית ב־L4, נדחפת מעט. הגדילו את מסת כדור הארץ עד ש־L4 תפסיק להחזיק אותה, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0 ± 0.1
  בתחילת השלב: 1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מיקום הגשושית
L4 · 60° קדימהקבוע
דחיפה הרחק מהשמש
0.5 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
1 % ממסת השמש
הצגת הכבידה האפקטיבית
כבוי
נקרא מהסצנה בנקודה
1 if the chosen point holds a nudged probe (L4 or L5 below Routh's limit), else 0/nodes/system/outputs/stable
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
דחיפה הרחק מהשמש
0 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
4.1 % ממסת השמש
משוב לתשובה נכונה
מעל כ־ $4\%$ ⁠ ממסת השמש, הגבול של ראות, L4 כבר לא מחזיקה. בכל מערכת אמיתית של כוכב וכוכב לכת, הגוף הקטן קל הרבה יותר מזה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הגשושית עדיין בלולאות סביב L4: הגדילו את המסה עוד.

רמז
הגבול של ראות: כ־ $4\%$ ⁠ ממסת השמש.

פתרון מלא
1. היציבות של L4 ו־L5 תלויה ביחס המסות. החישוב של אדוארד ראות, ב־1875, נותן גבול: החלק של הגוף הקטן במסה הכוללת צריך להיות פחות מ־ $\mu \approx 0.0385$ ⁠.
2. $\dfrac{m}{M} = \dfrac{\mu}{1 - \mu} \approx \dfrac{0.0385}{0.9615} \approx 0.040$ ⁠, כלומר $4\%$ ⁠ ממסת השמש.
3. מעל כ־ $4\%$ ⁠ הגשושית ב־L4 מתרחקת בלולאות שגדלות, ובסוף עוזבת.
צדק הוא כ־ $0.1\%$ ⁠ ממסת השמש, והירח כ־ $1.2\%$ ⁠ ממסת כדור הארץ, ולכן ל־L4 ול־L5 של שניהם יש גופים טרויאנים או ענני אבק.
שלב 7 מתוך 7
לפתוח את השלב
טלסקופ ב־L2
תרגול · בחרו
השאלה
טלסקופ ג’יימס וב רואה אור אינפרה־אדום חלש מאוד, ולכן הוא חייב להישאר קר, מתחת ל־ $-230^\circ\mathrm{C}$ ⁠. למה שלחו אותו דווקא אל L2?

התשובה הנכונה
- נכונה משם השמש, כדור הארץ והירח תמיד באותו צד, ומגן אחד חוסם את החום של שלושתם
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מיקום הגשושית
L2 · מעבר לכדור הארץ
דחיפה הרחק מהשמש
0 % מהמרחק בין השמש לכדור הארץ
מסת כדור הארץ
1 % ממסת השמש
הצגת הכבידה האפקטיבית
פועל
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה משם השמש, כדור הארץ והירח תמיד באותו צד, ומגן אחד חוסם את החום של שלושתם
- שגויה ב־L2 אין כבידה, ולכן הטלסקופ לא צריך לנוע
  טעות נפוצה: Thinks the forces on a probe at a Lagrange point cancel, so nothing pulls on it there.
  משוב מהקטלוג
  בנקודת לגראנז’ הכוחות לא מתאפסים. הגשושית מקיפה את השמש, ולכן היא צריכה כוח שקול אל מרכז הסיבוב, בדיוק כמו כדור הארץ. מה שמיוחד בנקודה הוא שהכוח השקול של השמש ושל כדור הארץ יחד הוא בדיוק הכוח שצריך כדי להקיף בשנה אחת, באותו קצב כמו כדור הארץ. רק במסגרת שמסתובבת יחד עם כדור הארץ זה נראה כמו איזון.
- שגויה L2 יציבה, ולכן הטלסקופ נשאר שם בלי דלק
  טעות נפוצה: Thinks a spacecraft parked at L2 stays there for ever without firing its engines.
  משוב מהקטלוג
  L2 היא אוכף, לא גומה: כל סטייה קטנה גדלה. טלסקופ ג’יימס וב לא יושב בדיוק על L2 אלא מקיף אותה במסלול רחב, והוא מפעיל את המנועים שלו כל כמה שבועות כדי לא לגלוש ממנה. הדלק לתיקונים האלה הוא שקובע כמה שנים הוא יוכל לפעול.
- שגויה L2 רחוקה מהשמש פי כמה מכדור הארץ, ולכן קר שם
  משוב
  L2 רחוקה מהשמש רק כאחוז אחד יותר מכדור הארץ. אור השמש שם חזק כמעט כמו אצלנו.
משוב לתשובה נכונה
כל מקורות החום בצד אחד, ומגן אחד חוסם את כולם. הכבידה שם, והמסלול דורש תיקונים קטנים, אבל הצל קבוע.

פתרון מלא
1. L2 נמצאת על הקו מהשמש דרך כדור הארץ, מעבר לכדור הארץ, ומקיפה את השמש יחד איתו.
2. לכן מ־L2 השמש, כדור הארץ והירח תמיד בערך באותו כיוון. מגן שמש אחד, בגודל של מגרש טניס, חוסם את כולם, והטלסקופ מאחוריו מתקרר לבד.
3. L2 לא יציבה: הטלסקופ מקיף אותה ומתקן את המסלול כל כמה שבועות.
הכבידה שם בהחלט קיימת: היא זו שמסובבת את הטלסקופ סביב השמש פעם בשנה.

שיעור 4 מתוך 4 · כ־30 דקות

טילים ומשוואת הטיל

טיל זורק מסה אחורה ומקבל תנע קדימה. משוואת הטיל של ציולקובסקי, למה כל אחוז דלק בסוף שווה יותר, מהירות הפליטה, שלבים, וכמה צריך כדי להגיע למסלול.

לפתוח את השיעור

8 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 8
לפתוח את השלב
אין במה להישען
תרגול · בחרו
השאלה
מעבר לאטמוספרה אין אוויר. מה דוחף טיל קדימה כשהמנוע שלו פועל בחלל?

התשובה הנכונה
- נכונה הגזים שהוא זורק אחורה: הם מקבלים תנע אחורה, והטיל מקבל תנע שווה קדימה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
3.2 km/s
חלק הדלק
88 %
מספר השלבים
1
הצגת המשוואה
כבוי
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה הגזים שהוא זורק אחורה: הם מקבלים תנע אחורה, והטיל מקבל תנע שווה קדימה
- שגויה הגזים נדחפים כנגד האוויר מאחורי הטיל
  טעות נפוצה: Thinks a rocket moves by pushing its exhaust against the air or the ground.
  משוב מהקטלוג
  טיל לא צריך משהו להישען עליו. הוא דוחף את הגזים אחורה, והגזים דוחפים אותו קדימה בכוח שווה והפוך, לפי החוק השלישי של ניוטון. במונחי תנע: התנע הכולל של הטיל והגזים נשאר כפי שהיה, ולכן כשהגזים מקבלים תנע אחורה, הטיל מקבל תנע שווה קדימה. בריק זה עובד אפילו טוב יותר, כי אין אוויר שבולם.
- שגויה שום דבר: בחלל מנוע לא יכול להאיץ, והטיל רק ממשיך מכוח ההתמדה
  טעות נפוצה: Thinks a rocket engine cannot speed a spacecraft up in empty space.
  משוב מהקטלוג
  בחלל אין אוויר, אבל התנע עדיין נשמר. כשהמנוע זורק מסה אחורה במהירות גבוהה, החללית מקבלת תנע שווה קדימה. כך מאיצים גשושיות בדרך לכוכבי לכת אחרים, הרחק מכל אטמוספרה.
- שגויה הדחיפה מכן השיגור, שנשמרת בטיל לאורך כל הדרך
  טעות נפוצה: Thinks a rocket moves by pushing its exhaust against the air or the ground.
  משוב מהקטלוג
  טיל לא צריך משהו להישען עליו. הוא דוחף את הגזים אחורה, והגזים דוחפים אותו קדימה בכוח שווה והפוך, לפי החוק השלישי של ניוטון. במונחי תנע: התנע הכולל של הטיל והגזים נשאר כפי שהיה, ולכן כשהגזים מקבלים תנע אחורה, הטיל מקבל תנע שווה קדימה. בריק זה עובד אפילו טוב יותר, כי אין אוויר שבולם.
משוב לתשובה נכונה
שימור התנע: מה שהגזים לוקחים אחורה, הטיל מקבל קדימה. לא צריך שום דבר להישען עליו.

פתרון מלא
1. לפני ההצתה התנע הכולל של הטיל והדלק שבו הוא אפס, במסגרת שבה הטיל עומד.
2. אין כוח חיצוני על המערכת, ולכן התנע הכולל נשאר אפס: $m_{\text{gas}} v_{\text{gas}} + m_{\text{rocket}} v_{\text{rocket}} = 0$ ⁠.
3. כשהגזים נזרקים אחורה, הטיל חייב לנוע קדימה. במונחי כוחות: הטיל דוחף את הגזים אחורה, והגזים דוחפים אותו קדימה (החוק השלישי של ניוטון).
אוויר לא עוזר, הוא רק בולם. מנועי טילים יעילים יותר דווקא בריק.
שלב 2 מתוך 8
לפתוח את השלב
תנע יוצא מאחור
תרגול · חשבו
השאלה
חללית במסה של 1000 kg, דלק כלול, עומדת בחלל. המנוע שלה זורק 10 kg של גז אחורה במהירות 3000 m/s. באיזו מהירות תנוע החללית אחר כך?

התשובה הנכונה
30.3 m/s ± 3%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
3.2 km/s
חלק הדלק
88 %
מספר השלבים
1
הצגת המשוואה
כבוי
מתקבלת בטווח
± 3%
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 3000 m/s ± 5%
  טעות נפוצה: Thinks a rocket gains the exhaust speed itself, whatever the masses.
  משוב מהקטלוג
  מה שנשמר הוא התנע, לא המהירות. אם $10\ \mathrm{kg}$ ⁠ של גז יוצאים ב־3000 m/s, הם לוקחים תנע של $30{,}000\ \mathrm{kg \cdot m/s}$ ⁠ אחורה, וחללית במסה של כ־ $1000\ \mathrm{kg}$ ⁠ מקבלת אותו תנע קדימה: מהירות של כ־30 m/s בלבד. כדי להגיע למהירות גבוהה צריך לזרוק הרבה מאוד מסה.
- 0 m/s ± 0.5 m/s
  טעות נפוצה: Thinks a rocket engine cannot speed a spacecraft up in empty space.
  משוב מהקטלוג
  בחלל אין אוויר, אבל התנע עדיין נשמר. כשהמנוע זורק מסה אחורה במהירות גבוהה, החללית מקבלת תנע שווה קדימה. כך מאיצים גשושיות בדרך לכוכבי לכת אחרים, הרחק מכל אטמוספרה.
משוב לתשובה נכונה
כ־30 m/s: $\dfrac{10 \cdot 3000}{990}$ ⁠. כדי להגיע לקילומטרים לשנייה, החללית צריכה לזרוק את רוב המסה שלה.

רמז
התנע הכולל לפני הזריקה הוא אפס, ואחריה הוא צריך להישאר אפס.

פתרון מלא
1. לפני: הכול במנוחה, התנע הכולל $0$ ⁠.
2. אחרי: הגז, $10\ \mathrm{kg}$ ⁠, לוקח $10 \cdot 3000 = 30{,}000\ \mathrm{kg \cdot m/s}$ ⁠ אחורה.
3. החללית, $1000 - 10 = 990\ \mathrm{kg}$ ⁠, מקבלת אותו תנע קדימה: $v = \dfrac{30{,}000}{990} \approx 30.3\ \mathrm{m/s}$ ⁠.
המהירות שהחללית מקבלת קטנה פי $100$ ⁠ ממהירות הגז, כי היא כבדה ממנו פי $99$ ⁠. מי שענה $3000$ ⁠ חשב שהמהירות עוברת כמו שהיא; מה שעובר הוא התנע.
שלב 3 מתוך 8
לפתוח את השלב
משוואת הטיל
תרגול · חשבו
השאלה
טיל של שלב אחד, מהירות הפליטה 3.2 km/s (קרוסין וחמצן), וחלק הדלק $88\%$ ⁠ ממסת ההמראה. כמה מהירות הוא יכול לצבור בחלל ריק, בלי כבידה ובלי אוויר?

התשובה הנכונה
6785 m/s ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
3.2 km/sקבוע
חלק הדלק
88 %קבוע
מספר השלבים
1קבוע
הצגת המשוואה
פועל
מתקבלת בטווח
± 2%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The ideal speed gained by the whole design, in empty space (the rocket equation, stage by stage)/nodes/rocket/outputs/deltaV
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2816 m/s ± 3%
  טעות נפוצה: Thinks the speed a rocket gains grows in proportion to its propellant share, so each extra kilogram adds the same.
  משוב מהקטלוג
  כל קילוגרם דלק דוחף את מה שנשאר מהטיל, ובסוף הבעירה נשאר מעט מאוד לדחוף, ולכן כל קילוגרם מוסיף יותר מהירות. זו משוואת הטיל: $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠. מה שקובע הוא יחס המסות, ולכן מעבר מ־ $85\%$ ⁠ ל־ $95\%$ ⁠ דלק, יחס מסות שגדל פי $3$ ⁠, מוסיף הרבה יותר ממעבר מ־ $50\%$ ⁠ ל־ $60\%$ ⁠.
- 26670 m/s ± 3%
  טעות נפוצה: Thinks the speed gained is in proportion to the mass ratio, Δv = vₑ·(m₀/m_f), or that the mass ratio is Δv/vₑ.
  משוב מהקטלוג
  יחס המסות נכנס דרך לוגריתם: $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠. כדי לקבל $\Delta v$ ⁠ כפול צריך להעלות את יחס המסות בריבוע, ולכן ההפך הוא חזקה: $\dfrac{m_0}{m_f} = e^{\Delta v / v_e}$ ⁠. זה מה שהופך טילים לכבדים כל כך: מעט מהירות נוספת דורשת הרבה מאוד דלק נוסף.
משוב לתשובה נכונה
$3.2 \ln 8.33 \approx 6.8\ \mathrm{km/s}$ ⁠: יותר ממהירות הפליטה עצמה, אבל עדיין פחות מ־9.4 km/s שצריך כדי להגיע למסלול.

רמז
בסוף הבעירה נשארים $12\%$ ⁠ מהמסה, ולכן $\dfrac{m_0}{m_f} = \dfrac{1}{0.12}$ ⁠.

פתרון מלא
1. הנתונים: $v_e = 3200\ \mathrm{m/s}$ ⁠; המסה בהמראה $m_0$ ⁠, ואחרי שכל הדלק נשרף נשארים $m_f = 0.12\, m_0$ ⁠.
2. משוואת הטיל: $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠.
3. הצבה: $\Delta v = 3200 \cdot \ln\dfrac{1}{0.12} = 3200 \cdot \ln 8.33 \approx 3200 \cdot 2.12 \approx 6780\ \mathrm{m/s}$ ⁠.
מי שענה כ־ $2800$ ⁠ הכפיל את $v_e$ ⁠ בחלק הדלק, כאילו כל קילוגרם מוסיף אותו דבר; מי שענה כ־ $26{,}700$ ⁠ הכפיל ביחס המסות במקום בלוגריתם שלו.
שלב 4 מתוך 8
לפתוח את השלב
הקילוגרמים האחרונים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
מעבר מ־ $50\%$ ⁠ ל־ $60\%$ ⁠ דלק מוסיף לטיל כ־0.7 km/s. עכשיו חלק הדלק $85\%$ ⁠. כמה יוסיף המעבר ל־ $95\%$ ⁠, עשרה אחוזים נוספים?

התשובה הנכונה
- נכונה הרבה יותר, כ־3.5 km/s
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
3.2 km/sקבוע
חלק הדלק
85 %
מספר השלבים
1קבוע
הצגת המשוואה
פועל
האפשרויות
- שגויה גם כן כ־0.7 km/s
  טעות נפוצה: Thinks the speed a rocket gains grows in proportion to its propellant share, so each extra kilogram adds the same.
  משוב מהקטלוג
  כל קילוגרם דלק דוחף את מה שנשאר מהטיל, ובסוף הבעירה נשאר מעט מאוד לדחוף, ולכן כל קילוגרם מוסיף יותר מהירות. זו משוואת הטיל: $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠. מה שקובע הוא יחס המסות, ולכן מעבר מ־ $85\%$ ⁠ ל־ $95\%$ ⁠ דלק, יחס מסות שגדל פי $3$ ⁠, מוסיף הרבה יותר ממעבר מ־ $50\%$ ⁠ ל־ $60\%$ ⁠.
- שגויה פחות, כי טיל מלא דלק כבד יותר להאיץ
  משוב
  הדלק הנוסף אכן כבד, אבל הוא נשרף. מה שקובע הוא כמה מסה נשארת בסוף, וזו קטנה פי שלושה.
- נכונה הרבה יותר, כ־3.5 km/s
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
חלק הדלק
95 %
ואז הסצנה מראה: 9.586 km/s · The ideal speed gained by the whole design, in empty space (the rocket equation, stage by stage)/nodes/rocket/outputs/deltaV
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
מ־6.1 ל־9.6 km/s: יחס המסות גדל פי $3$ ⁠. לכן מהנדסים נלחמים על כל קילוגרם של מבנה.

פתרון מלא
1. משוואת הטיל תלויה ביחס המסות: $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠, ו־ $\dfrac{m_0}{m_f} = \dfrac{1}{1-f}$ ⁠ לחלק דלק $f$ ⁠.
2. מ־ $50\%$ ⁠ ל־ $60\%$ ⁠: יחס המסות עולה מ־ $2$ ⁠ ל־ $2.5$ ⁠, פי $1.25$ ⁠. התוספת $3.2 \ln 1.25 \approx 0.7\ \mathrm{km/s}$ ⁠.
3. מ־ $85\%$ ⁠ ל־ $95\%$ ⁠: יחס המסות עולה מ־ $6.7$ ⁠ ל־ $20$ ⁠, פי $3$ ⁠. התוספת $3.2 \ln 3 \approx 3.5\ \mathrm{km/s}$ ⁠.
אותם עשרה אחוזים, פי חמישה מהירות: בסוף הבעירה נשאר מעט מאוד לדחוף, ולכן כל קילוגרם דלק מוסיף יותר.
שלב 5 מתוך 8
לפתוח את השלב
מהירות הפליטה
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
חלק הדלק נעול על $85\%$ ⁠ ומספר השלבים על אחד. שנו את מהירות הפליטה עד שהטיל יצבור 8 km/s, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 8 km/s ± 1%
  בתחילת השלב: 6.071 km/s
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
3.2 km/s
חלק הדלק
85 %קבוע
מספר השלבים
1קבוע
הצגת המשוואה
פועל
נקרא מהסצנה בנקודה
The ideal speed gained by the whole design, in empty space (the rocket equation, stage by stage)/nodes/rocket/outputs/deltaV
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מהירות הפליטה
4.2 km/s
משוב לתשובה נכונה
כ־4.2 km/s: $\Delta v$ ⁠ פרופורציוני למהירות הפליטה, ולכן מנוע מהיר יותר שווה כמו הרבה דלק נוסף.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אם הטיל איטי מדי, הגבירו את מהירות הפליטה; אם מהיר מדי, הקטינו אותה.

רמז
יחס המסות כאן $\dfrac{1}{0.15} \approx 6.67$ ⁠, ולכן $v_e = \dfrac{\Delta v}{\ln 6.67}$ ⁠.

פתרון מלא
1. $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠, עם $\dfrac{m_0}{m_f} = \dfrac{1}{0.15} \approx 6.67$ ⁠ ו־ $\ln 6.67 \approx 1.90$ ⁠.
2. $v_e = \dfrac{8.0}{1.90} \approx 4.2\ \mathrm{km/s}$ ⁠.
כמעט כמו מנוע מימן וחמצן, 4.4 km/s, הפליטה המהירה ביותר שדלק כימי נותן. מהירות פליטה נכנסת למשוואה ישירות, ולכן היא שווה הרבה דלק: כדי להגיע לאותם 8 km/s עם קרוסין צריך $92\%$ ⁠ דלק.
שלב 6 מתוך 8
לפתוח את השלב
שלבים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
אותו טיל, $88\%$ ⁠ דלק ומהירות פליטה 3.2 km/s, צובר בשלב אחד כ־6.8 km/s. מחלקים את אותו דלק ואותו מבנה לשלושה טילים זה על גבי זה. מה יקרה למהירות הסופית?

התשובה הנכונה
- נכונה היא תגדל
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
3.2 km/sקבוע
חלק הדלק
88 %קבוע
מספר השלבים
1
הצגת המשוואה
כבוי
האפשרויות
- נכונה היא תגדל
- שגויה היא לא תשתנה, כי זה אותו דלק
  טעות נפוצה: Thinks splitting the same propellant into stages cannot add speed, since the total propellant is the same.
  משוב מהקטלוג
  השלבים לא מוסיפים דלק, הם מורידים משקל מת. בטיל של שלב אחד, המכלים הריקים והמנועים של כל הטיל ממשיכים לנסוע עד הסוף, והדלק האחרון צריך להאיץ גם אותם. בטיל של שלבים, כל שלב שנגמר לו הדלק נזרק, והשלב הבא מתחיל קל יותר, עם יחס מסות טוב יותר.
- שגויה היא תקטן, כי שלושה טילים מבזבזים יותר
  טעות נפוצה: Thinks splitting the same propellant into stages cannot add speed, since the total propellant is the same.
  משוב מהקטלוג
  השלבים לא מוסיפים דלק, הם מורידים משקל מת. בטיל של שלב אחד, המכלים הריקים והמנועים של כל הטיל ממשיכים לנסוע עד הסוף, והדלק האחרון צריך להאיץ גם אותם. בטיל של שלבים, כל שלב שנגמר לו הדלק נזרק, והשלב הבא מתחיל קל יותר, עם יחס מסות טוב יותר.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מספר השלבים
3
ואז הסצנה מראה: 10.19 km/s · The ideal speed gained by the whole design, in empty space (the rocket equation, stage by stage)/nodes/rocket/outputs/deltaV
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
כ־10.2 km/s: אותו דלק, אבל בלי לסחוב את המכלים הריקים. לכן כל טיל שמגיע למסלול הוא רב־שלבי.

פתרון מלא
1. בטיל של שלב אחד המבנה, המכלים והמנועים, $10\%$ ⁠ מהמסה, נוסע עד הסוף, ובסוף הבעירה הוא רוב מה שנשאר: $m_f = 12\%$ ⁠.
2. בטיל של שלושה שלבים, כל שלב שהדלק שלו נגמר נזרק עם המבנה שלו. השלב הבא מתחיל בלי המשקל המת הזה.
3. כל שלב תורם $v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠ משלו, וסכום שלושת הלוגריתמים גדול מהלוגריתם של שלב אחד: כ־10.2 km/s במקום 6.8.
זה ההבדל בין טיל שלא מגיע למסלול לבין טיל שמגיע.
שלב 7 מתוך 8
לפתוח את השלב
למסלול
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
כדי להגיע למסלול נמוך סביב כדור הארץ צריך כ־9.4 km/s: 7.8 km/s של מהירות מסלול, ועוד כ־1.5 km/s שהכבידה והאוויר לוקחים בדרך. שנו את הטיל, בכל דרך שתבחרו, עד שיגיע לשם, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 1 ± 0.1
  בתחילת השלב: 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
3.2 km/s
חלק הדלק
88 %
מספר השלבים
1
הצגת המשוואה
פועל
נקרא מהסצנה בנקודה
1 if the design gains the 9.4 km/s low Earth orbit takes, else 0/nodes/rocket/outputs/reachesOrbit
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מהירות הפליטה
4.5 km/s
חלק הדלק
88 %
מספר השלבים
1
משוב לתשובה נכונה
הטיל מגיע למסלול. טילים אמיתיים משלבים את כל הדרכים: פליטה מהירה, מבנה קל ושניים או שלושה שלבים.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא 9.4 km/s. נסו להוסיף שלב.

רמז
יש שלוש דרכים: יותר דלק, פליטה מהירה יותר, או יותר שלבים.

פתרון מלא
1. כרגע: שלב אחד, $88\%$ ⁠ דלק, 3.2 km/s: $\Delta v \approx 6.8\ \mathrm{km/s}$ ⁠.
2. שני שלבים באותו דלק נותנים כ־9.4 km/s: בדיוק על הגבול.
3. אפשרויות אחרות: שלב אחד עם $95\%$ ⁠ דלק, כ־9.6 km/s, או שלושה שלבים, כ־10.2 km/s.
בפועל קשה מאוד לבנות טיל שבו המבנה הוא רק $3\%$ ⁠ מהמסה, ולכן טילים אמיתיים משתמשים בשני שלבים או שלושה.
שלב 8 מתוך 8
לפתוח את השלב
יחס המסות
תרגול · חשבו
השאלה
טיל של שלב אחד עם מנוע מימן וחמצן, מהירות פליטה 4.4 km/s, צריך לצבור 9.4 km/s. מה צריך להיות יחס המסות שלו, $\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠?

התשובה הנכונה
8.47 ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות הפליטה
4.4 km/s
חלק הדלק
88 %
מספר השלבים
1
הצגת המשוואה
פועל
מתקבלת בטווח
± 2%
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2.14 ± 0.05
  טעות נפוצה: Thinks the speed gained is in proportion to the mass ratio, Δv = vₑ·(m₀/m_f), or that the mass ratio is Δv/vₑ.
  משוב מהקטלוג
  יחס המסות נכנס דרך לוגריתם: $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠. כדי לקבל $\Delta v$ ⁠ כפול צריך להעלות את יחס המסות בריבוע, ולכן ההפך הוא חזקה: $\dfrac{m_0}{m_f} = e^{\Delta v / v_e}$ ⁠. זה מה שהופך טילים לכבדים כל כך: מעט מהירות נוספת דורשת הרבה מאוד דלק נוסף.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $8.5$ ⁠: כמעט $90\%$ ⁠ מהטיל הוא דלק, גם עם הפליטה המהירה ביותר שיש. זו הסיבה שטיל דומה למכל דלק עם מטען קטן בקצה.

רמז
הפכו את משוואת הטיל: $\dfrac{m_0}{m_f} = e^{\Delta v / v_e}$ ⁠.

פתרון מלא
1. משוואת הטיל: $\Delta v = v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$ ⁠, ולכן $\ln\dfrac{m_0}{m_f} = \dfrac{\Delta v}{v_e} = \dfrac{9.4}{4.4} \approx 2.14$ ⁠.
2. $\dfrac{m_0}{m_f} = e^{2.14} \approx 8.5$ ⁠.
3. כלומר בסוף הבעירה נשארת רק $\dfrac{1}{8.5} \approx 12\%$ ⁠ מהמסה: כ־ $88\%$ ⁠ מהטיל הוא דלק.
מי שענה $2.14$ ⁠ עצר בלוגריתם; יחס המסות עצמו הוא $e$ ⁠ בחזקת המספר הזה.

בכל היחידה · 19 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

חוקי קפלר

אליפסה ומוקד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

הקרוב ביותר והרחוק ביותר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

שטחים שווים בזמנים שווים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

מהר ולאט

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

החוק השלישי

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

צורה ושנה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

מהירות מילוט

אנרגיה כדי לעזוב

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

מכדור הארץ

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מהשמש

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מסלולים מתוחים

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

הירח

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

נקודות לגראנז'

מסתובבים עם כדור הארץ

השאלה