שינוי קנה מידה וחוק הריבוע–קובייה.

גדול יותר הוא לא רק גדול יותר

דגם צעצוע של סוס יכול להיראות בדיוק כמו סוס, אבל הוא לא סוס שהוקטן. ביחס למשקלו הוא חזק הרבה יותר. הפילו אותו משולחן ושום דבר לא יקרה. הפילו סוס אמיתי מגובה שגדל באותו יחס, והוא ייפצע קשה. ההבדל אינו קשור לחומר שממנו עשוי כל אחד מהם. הוא נובע ממה שקורה לאורכים, לשטחים ולנפחים כשמשהו משנה את גודלו ושומר על צורתו.

גלילאו הבין זאת ב־1638, בספרו האחרון, שני מדעים חדשים. הספר נפתח במספנה של ונציה, שבה ידעו הבונים שספינה גדולה צריכה על מסלול ההשקה תמיכות חזקות הרבה יותר מסירה קטנה, אחרת היא עלולה להישבר תחת משקלה. גלילאו הסביר למה, והעביר את הטיעון ממבנים מעץ אל גופים חיים. ענק שבנוי בדיוק כמו אדם, רק גבוה ממנו פי כמה וכמה, ישבור את עצמותיו תחת משקלו, והטבע יכול ליצור בעלי חיים גדולים מאוד רק אם ייתן להם עצמות עבות יותר או גוף קל יותר. כדי להראות זאת הוא צייר שתי עצמות זו לצד זו: העצם של בעל חיים גדול אינה רק ארוכה יותר, היא גם עבה יותר ביחס לאורכה. הרעיון נקרא היום חוק הריבוע–קובייה. הסצנה מציגה אותו על שולחן מטבח, שבנוי כמו בעל חיים בעל ארבע רגליים: גוף כבד שנישא על ארבע רגליים.

אורכים, שטחים ונפחים

קחו קובייה שצלעה סנטימטר אחד. שטח שש הפאות שלה הוא 6 סנטימטרים רבועים, והנפח שלה סנטימטר מעוקב אחד. עכשיו בנו קובייה גדולה פי שניים, שצלעה 2 סנטימטרים. כל פאה גדולה פי $2 \times 2 = 4$⁠, ולכן השטח הוא 24 סנטימטרים רבועים. אבל אפשר להכניס לתוכה $2 \times 2 \times 2 = 8$$2 \times 2 \times 2 =$$8$⁠ קוביות קטנות, ולכן הנפח שלה 8 סנטימטרים מעוקבים.

זה כל החוק. כשכל אורך בצורה גדל ביחס הגדלה $k$⁠, השטחים שלה גדלים פי $k^2$⁠ והנפחים פי $k^3$⁠. זה לא משנה אם הצורה היא קובייה, כדור, שולחן או בעל חיים. לשולחן שבסצנה יש רגליים מרובעות ומשטח עבה, ולכן קל לספור.

נסו: קבעו את גודל על 2 ובחרו פרוסות וקוביות בחיתוך וספירה. בפרוסה מרגל ההעתק יש 4 ריבועים של רגל המקור, ובקובייה מהמשטח שלו יש 8 קוביות של המקור.

חזרה לניסוי ↑

למה הרגליים נכנעות

שני דברים חשובים לרגל. המשקל שהיא נושאת בא מהמסה של השולחן כולו, שרובה במשטח, והמסה נקבעת לפי הנפח, ולכן היא גדלה כמו $k^3$⁠. החוזק של הרגל, הכוח הגדול ביותר שהיא יכולה לשאת לפני שהעץ נמחץ או שהרגל מתעקמת וקורסת, נקבע לפי שטח החתך שלה, הפרוסה שהייתם רואים אילו ניסרתם אותה לרוחבה. לרגל רחבה פי שניים יש שטח גדול פי ארבעה שמתחלק בעומס, ולכן החוזק גדל כמו $k^2$⁠. אותו דבר נכון לעצמות הרגליים של בעל חיים.

מה שמכריע אם רגל תישבר הוא העומס על כל סנטימטר רבוע שלה, המשקל חלקי השטח. זהו המאמץ, ובהעתק בעל אותה צורה הוא גדל כמו

$\frac{k^3}{k^2} = k.$$\frac{k^3}{k^2} =$$k.$⁠

הגדילו את השולחן פי שניים, וכל ריבוע ברגליו יישא עומס כפול. הגדילו אותו פי עשרה, וכל ריבוע יישא פי עשרה, עם אותו עץ אלון בדיוק. בסצנה רגלי המקור מקבלות מרווח כמו של בעל חיים: הן יכולות לשאת פי שישה ממשקלו. המרווח הזה אינו מבוזבז. שולחן צריך לשאת את כל מה שמניחים עליו, ורגלי בעל חיים נושאות פי שניים או שלושה ממשקלו בכל פעם שהוא רץ או נוחת מקפיצה. בגודל 3.5, בגובה חדר, ההעתק עדיין עומד, אבל עומס כבד כמוהו ישבור את רגליו. ב־7, בגובה בית, רגליו מתעקמות, נשברות, והמשטח קורס. שום דבר בהעתק לא השתנה מלבד הגודל.

איך ענקים אמיתיים מסתדרים

הפתרון הוא זה שגלילאו ראה: לשנות את הצורה. כדי שהמאמץ יישאר כשהיה, שטח הרגליים צריך לגדול מהר כמו המשקל, כמו $k^3$⁠, ולכן הרוחב שלהן צריך לגדול כמו $k^{3/2}$⁠, מהר יותר מאורך השולחן. תנו להעתק בגובה בית, בגודל 7, רגליים עבות פי 2.5, והוא יעמוד שוב, עם חוזק עודף. זו הסיבה שלשולחן אוכל גדול או לשולחן עבודה של נגר יש רגליים עבות, ולשולחן של בית בובות רגליים דקיקות. ובעולם החי, זו הסיבה שרגלי פיל הן עמודים ורגלי צבי הן מקלות, ושעצמות של עכבר דקות.

לרגליים עבות יותר יש בעיה משלהן: הן כבדות יותר, והמשקל הנוסף דורש עוד עץ או עצם. בסצנה, גם הרגליים העבות ביותר משאירות את ההעתק בגודלו המרבי בלי יכולת לשאת עומס. לבעלי חיים אמיתיים יש גם תחבולות אחרות. יונקים גדולים עומדים על רגליים ישרות יותר, מתחת לגוף כמו עמודים, כך שהכוח יורד לאורך העצם במקום לכופף אותה. הם גם זזים בזהירות רבה יותר: לפיל אף פעם אין את ארבע רגליו באוויר בבת אחת. בעלי החיים היבשתיים הגדולים ביותר שחיו אי פעם, דינוזאורים ארוכי צוואר שאולי שקלו כמה עשרות טונות, היו בעלי עצמות חלולות מלאות אוויר שחסכו משקל. בעל החיים הגדול מכולם, לווייתן הכחול, ששוקל הרבה יותר ממאה טונות, חי במים, והם נושאים את משקלו בשבילו (ראו ציפה וכוח הציפה).

לקטנים יש עולם אחר

הפעילו את החוק בכיוון ההפוך, ויתברר שדברים קטנים בנויים חזק מהנדרש. בגודל 0.2, בגודל צעצוע, כל ריבוע ברגלי ההעתק נושא חמישית מהעומס של המקור. עכבר יכול ליפול מגובה רב ולהמשיך ללכת, ונמלה יכולה לסחוב משקל גדול פי כמה ממשקלה, כי החוזק שלהן, שהולך עם השטח, גדול מאוד לעומת המשקל, שהולך עם הנפח.

גם דברים אחרים משתנים עם הגודל. חום בורח דרך העור, ולכן הוא הולך עם השטח, ואילו החום נוצר בנפח הגוף. לבעל חיים קטן יש הרבה עור ביחס לנפחו, והוא מאבד חום מהר: חדף צריך לאכול כמעט את משקלו במזון בכל יום כדי להישאר חם. בעלי חיים קטנים גם חיים מהר יותר. לבו של עכבר פועם כ־600 פעמים בדקה ולבו של פיל כ־30. בשביל חרק, הכוחות שפועלים על משטחים, כמו המשיכה של פני המים, חזקים מספיק כדי ללכוד אותו בטיפה (ראו מתח פנים ונימיות). וכל תא חי צריך לקלוט מזון ולפלוט פסולת דרך פני השטח שלו, וזו אחת הסיבות שתאים נשארים קטנים (ראו תאים).

הנדסה בכל קנה מידה

גם מהנדסים פוגשים את החוק הזה. גשר ארוך פי שניים, שנבנה באותם יחסים, שוקל פי שמונה אבל הקורות שלו חזקות רק פי ארבעה, ולכן גשרים גדולים ובניינים גבוהים צריכים קורות עמוקות יותר יחסית וחומרים חזקים יותר (ראו מבנים וגשרים). בגלל זה דגם במנהרת רוח או במכל ניסויים אינו מתנהג בדיוק כמו המטוס או האונייה בגודל מלא, ובגלל זה הנמלים והקופים הענקיים של סרטים ישנים לא היו מצליחים אפילו לעמוד, ובוודאי לא ללכת.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

השולחן עשוי עץ אלון מלא, שנחשב כשוקל 700 קילוגרמים למטר מעוקב, והחוזק שלו נחשב יחסי לשטח החתך של רגליו. זה נכון למחיצת רגל ישר כלפי מטה. גם רגל דקה שמתעקמת הצידה קורסת בעומס שגדל כמו השטח בהעתק בעל אותה צורה, אבל שולחנות אמיתיים נכשלים לרוב בחיבורים. הפישוט הגדול ביותר הוא המרווח. רגלי המקור מקבלות מרווח של פי שישה ממשקלו, כמו לרגלי בעל חיים, כדי שההעתק ייכשל בטווח של המחוון. רגלי שולחן אלון אמיתי יכולות לשאת פי כמה מאות ממשקלו, ולכן הוא היה צריך להיות גדול פי מאות לפני שהיה קורס תחת משקלו. זה הלקח השני של החוק: רהיטים ובניינים נבנים עם מרווחים גדולים ולכן כמעט לא נתקלים בו, ואילו בעלי חיים, שצריכים להיות קלים מספיק כדי לזוז, חיים קרוב הרבה יותר לגבול. העיבוי של הרגליים כאן אינו מאריך אותן ואינו מזיז אותן, וכשהן נכשלות הן פשוט נשברות באמצען. ולבסוף, שני השולחנות מצוירים מחדש בכל גודל כך ששניהם ייכנסו למסגרת: התוויות והספירות, ולא הגודל על המסך, מראות כמה גדול כל אחד. כדי לראות כמה רחב טווח הגדלים האמיתי, מאטומים ועד גלקסיות, נסו את קנה המידה של היקום.