תנודה ששומרת על קצב
תלו משקולת על קפיץ, משכו אותה מעט למטה ושחררו. היא עולה ויורדת, ואם תמדדו את זמן התנודות, תגלו שהן חוזרות בקצב קבוע להפליא. משכו אותה רחוק יותר למטה, והתנודות גדלות, אבל הן לא נעשות איטיות יותר: כל אחת מהן עדיין לוקחת אותו זמן. הקביעות הזאת היא הסיבה שקפיצים נמצאים בתוך שעונים מכניים, ושמכונית על הקפיצים שלה מתנדנדת בקצב המיוחד לה אחרי מהמורה.
לתנועה הזאת יש שם, תנועה הרמונית פשוטה, והיא מופיעה הרבה מעבר לקפיצים.
ככל שמותחים יותר, הקפיץ מושך חזק יותר
קפיץ מושך בחזרה כשמותחים אותו, וככל שמותחים אותו יותר, הוא מושך חזק יותר. ברוב הקפיצים, כל עוד לא מותחים אותם יותר מדי, המשיכה פשוט נמצאת ביחס ישר למתיחה:
זהו חוק הוק. כאן הוא המרחק שבו הקפיץ נמתח או נדחס לעומת האורך הטבעי שלו, ו־ הוא קשיחות הקפיץ בניוטון למטר: כמה חזק הקפיץ מושך על כל מטר של מתיחה. סימן המינוס אומר שהמשיכה מכוונת תמיד בחזרה אל המקום שממנו הקפיץ התחיל.
כשתולים משקולת על הקפיץ, הוא נמתח עד שמשיכת הקפיץ כלפי מעלה מאזנת את משיכת הכובד כלפי מטה, במתיחה של . מקום המנוחה הזה הוא נקודת שיווי המשקל, והוא האמצע של כל תנודה שבאה אחריו. מסה כבדה על קפיץ רך תלויה נמוך יותר באופן ניכר ממסה קלה על קפיץ קשיח.
למה הקצב לא תלוי בגודל התנודה
משכו את המסה אל מתחת למקום המנוחה שלה ושחררו. הקפיץ מושך אותה בחזרה למעלה, חזק יותר ככל שהיא רחוקה יותר מהאמצע, ולכן היא מאיצה כל הדרך עד האמצע, ממשיכה מעבר לו ומאטה בזמן שהקפיץ נדחס, עד שהיא נעצרת וחוזרת. כשמודדים מנקודת שיווי המשקל, המשיכה הקבועה של הכובד כבר מאוזנת, ולכן מה שנשאר הוא כוח שנמצא ביחס ישר למרחק מהאמצע ומכוון בחזרה אליו. זו בדיוק ההגדרה של תנועה הרמונית פשוטה.
היחס הישר הוא מה שהופך את הקצב לקבוע. משכו את המסה רחוק פי שניים, והקפיץ מושך חזק פי שניים, ולכן המסה מגיעה למהירות גדולה פי שניים, ויש לה דרך ארוכה פי שניים לעבור. שתי ההשפעות מבטלות זו את זו בדיוק, והדרך לוקחת אותו זמן.
נסו: צפו בשעון העצר והזיזו את משיכה למטה בין 0.05 m ל־0.2 m. התנודה גדלה, אבל זמן המחזור לא משתנה בכלל.
הקשיחות והמסה קובעות את הקצב
מה שכן משנה את זמן המחזור הוא הקפיץ והמסה. קפיץ קשיח יותר מושך חזק יותר באותה מתיחה, ולכן הוא הופך את כיוון התנועה של המסה מהר יותר. קשה יותר להאיץ ולהאט מסה כבדה יותר, ולכן היא לוקחת יותר זמן. כשמחברים את הכול, הזמן של תנודה שלמה אחת הוא
השורש הריבועי אומר שזמן המחזור משתנה בעדינות רבה יותר מהמסה או מהקשיחות. עם הקפיץ של הסצנה, 30 N/m, מסה של 0.2 kg משלימה תנודה אחת בכל 0.51 s, ומסה של 0.8 kg תנודה אחת בכל 1.03 s: פי ארבעה במסה, פי שניים בזמן המחזור. מעבר מקפיץ של 20 N/m לקפיץ של 80 N/m, עם אותה מסה, מקצר את זמן המחזור בחצי באותו אופן.
המעגל שמסתתר בתנודה
בחרו פועל תחת הצגת המעגל והאנרגיה. מימין למסה, סרט נייר נמשך הלאה מתחת לעט שעולה ויורד עם המסה, והתנודה נפרשת לגל חלק. זהו גל סינוסי, אותה עקומה שמקבלים מהגובה של נקודה שמסתובבת במעגל בקצב קבוע.
משמאל, נקודה עושה בדיוק את זה. היא מקיפה את המעגל פעם אחת בכל זמן מחזור, ותמיד נמצאת באותו גובה כמו המסה, מחוברת אליה בקו אופקי. המרחק שלה לרוחב מהמרכז מראה את המהירות של המסה, בקנה מידה שנקבע לפי קצב הסיבוב, ולכן המסה הכי מהירה כשהיא עוברת באמצע, כשהנקודה בצד של המעגל, והיא נעצרת לרגע בנקודה העליונה ובנקודה התחתונה. כלומר, תנועה הרמונית פשוטה היא תנועה קבועה במעגל, כשמסתכלים על המעגל מהצד בדיוק. אותה תמונה עומדת מאחורי מעגל היחידה והתנועה המעגלית.
אנרגיה שעוברת הלוך ושוב
עמודת הזכוכית שליד המעמד מחלקת את האנרגיה לשניים. החלק הכתום הוא האנרגיה הקינטית של המסה, אנרגיית התנועה שלה; החלק הכחול הוא האנרגיה הפוטנציאלית שאגורה בקפיץ המתוח או הדחוס. בנקודה התחתונה ובנקודה העליונה של כל תנודה המסה עומדת לרגע, וכל האנרגיה היא אנרגיה פוטנציאלית. כשהיא עוברת באמצע, כל האנרגיה היא קינטית. בין לבין האנרגיה זורמת מצורה אחת לשנייה פעמיים בכל זמן מחזור, והסך הכול נשאר קבוע, כי שום דבר בסצנה לא לוקח ממנה. את אותה החלפה, בכדור שנופל וברכבת הרים, אפשר לראות באנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית.
ליתר דיוק, מסה תלויה גם אוגרת ומשחררת אנרגיה פוטנציאלית כובדית כשהיא עולה ויורדת. כשמודדים ממקום המנוחה, החלק של הכובד והחלק של הקפיץ מתחברים לאנרגיה אגורה אחת, , שבה הוא עכשיו המרחק מנקודת שיווי המשקל; הכמות המשולבת הזאת היא מה שהחלק הכחול מראה.
קפיצים בכל מקום
תנועה הרמונית פשוטה מופיעה בכל פעם שמשהו נדחף בחזרה אל מקום מנוחה ביחס ישר למרחק שהתרחק ממנו. מטוטלת שמתנודדת בזוויות קטנות, סרגל שמרטיטים על קצה שולחן, מיתר גיטרה, האוויר בצינור של עוגב, גלגל האיזון של שעון מכני והאטומים במוצק, שכל אחד מהם מוחזק במקומו בידי שכניו כאילו בקפיצים, כולם נעים כך בקירוב טוב. לכל אחד מהם יש זמן מחזור עצמי משלו, ודחיפה בקצב של זמן המחזור הזה היא מה שהופך את התהודה לחזקה כל כך.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
הקפיץ כאן חסר משקל ואלסטי לחלוטין, בלי חיכוך ובלי התנגדות אוויר, ולכן התנודה נמשכת לנצח. קפיץ אמיתי מאבד מעט אנרגיה בכל תנודה, בעיקר לחום בתוך המתכת ולאוויר, ולכן התנודה שלו דועכת לאט, אף שזמן המחזור כמעט לא משתנה בינתיים. לקפיץ אמיתי יש גם מסה משלו, שמאטה מעט את התנודה: תיקון מקובל מוסיף בערך שליש ממסת הקפיץ למסה התלויה. חוק הוק מתקיים רק עד גבול האלסטיות של הקפיץ; מתחו קפיץ יותר מדי והוא נשאר מעוות לצמיתות, דחסו אותו יותר מדי והליפופים שלו נוגעים זה בזה. הסצנה נשארת במשיכות קטנות מספיק כדי ששום דבר מאלה לא יקרה, והמסה נעה רק למעלה ולמטה, בלי הנדנוד לצדדים שקפיץ אמיתי יכול לפתח.