ביטויים אלגבריים.

הסצנה בשלב הזה

x

4קבוע

y

3ברירת מחדלמוסתר

כפי שנכתב / ממוין ומחושב

כפי שנכתב

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

Product: the area, left × top, with the letters at their values; tiles: the expression's value/nodes/board/outputs/value

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 36 ± 0.01

  טעות נפוצה: Puts the number beside the coefficient as a digit: 3x with x = 4 read as 34.

  משוב מהקטלוג

  כשמספר צמוד לאות, ביניהם מסתתר כפל: $3x$⁠ פירושו $3 \times x$⁠. עם $x = 4$⁠ מקבלים $3 \times 4 = 12$⁠, ולא $34$⁠. לכן $3x + 2 = 12 + 2 = 14$$3x + 2 =$$12 + 2 =$$14$⁠.

• 9 ± 0.01

  טעות נפוצה: Reads 3x as 3 + x.

  משוב מהקטלוג

  $3x$⁠ הם שלושה פסים באורך x, כלומר $x + x + x = 3 \times x$$x + x + x =$$3 \times x$⁠. עם $x = 4$⁠ זה $12$⁠, ולא $3 + 4 = 7$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

1

y

3ברירת מחדלמוסתר

כפי שנכתב / ממוין ומחושב

ממוין ומחושב

נקרא מהסצנה בנקודה

Product: the area, left × top, with the letters at their values; tiles: the expression's value/nodes/board/outputs/value

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

x

6

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4

y

3ברירת מחדלמוסתר

כפי שנכתב / ממוין ומחושב

כפי שנכתבקבוע

הגדרות נוספות

Expression/nodes/board/props/expression = "2x + 3 + 4x + 1"

האפשרויות

• נכונה $6x + 4$⁠

• שגויה $10x$⁠

  טעות נפוצה: Adds unlike terms into one: 3x + 2y = 5xy, or 2x + 3 + 4x + 1 = 10x.

  משוב מהקטלוג

  מחברים רק איברים מאותו סוג: פסי x עם פסי x, פסי y עם פסי y, ומשבצות עם משבצות. פס y באורך אחר מפס x, ומשבצת אינה פס, ולכן אי אפשר לספור אותם יחד. $3x + 2y$⁠ נשאר שני איברים, ו־$2x + 3 + 4x + 1 = 6x + 4$$2x + 3 + 4x + 1 =$$6x + 4$⁠.

• שגויה $6x^2 + 4$⁠

  טעות נפוצה: Multiplies letters when adding terms: x + x = x², 2x + 4x = 6x².

  משוב מהקטלוג

  $x + x$⁠ הם שני פסים באורך x, כלומר $2x$⁠. $x^2$⁠ הוא $x \times x$⁠, ריבוע שצלעו x. עם $x = 4$⁠: $x + x = 8$⁠, אבל $x^2 = 16$⁠. בחיבור סופרים פסים; האות לא משתנה.

• שגויה $7x + 3$⁠

  משוב

  ה־$1$⁠ הוא משבצת, לא פס: הוא מצטרף ל־$3$⁠, לא לאיברי x.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

כפי שנכתב / ממוין ומחושב

ממוין ומחושבקבוע

ואז הסצנה מראה: 6 · The coefficient of x after collecting like terms/nodes/board/outputs/coefX

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4

y

3

כפי שנכתב / ממוין ומחושב

ממוין ומחושב

הגדרות נוספות

Expression/nodes/board/props/expression = "3x + 2y"

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה לא: $3x + 2y$⁠ כבר בצורה הקצרה ביותר

• שגויה $5xy$⁠

  טעות נפוצה: Adds unlike terms into one: 3x + 2y = 5xy, or 2x + 3 + 4x + 1 = 10x.

  משוב מהקטלוג

  מחברים רק איברים מאותו סוג: פסי x עם פסי x, פסי y עם פסי y, ומשבצות עם משבצות. פס y באורך אחר מפס x, ומשבצת אינה פס, ולכן אי אפשר לספור אותם יחד. $3x + 2y$⁠ נשאר שני איברים, ו־$2x + 3 + 4x + 1 = 6x + 4$$2x + 3 + 4x + 1 =$$6x + 4$⁠.

• שגויה $5x$⁠

  משוב

  פסי y אינם פסי x: הזיזו את y ותראו שהם משנים אורך לבד.

• שגויה $6xy$⁠

  משוב

  $6xy$⁠ הוא $3x \cdot 2y$⁠, מכפלה. כאן יש חיבור, והאיברים שונים.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4

y

3ברירת מחדלמוסתר

כפי שנכתב / ממוין ומחושב

כפי שנכתב

הגדרות נוספות

Expression/nodes/board/props/expression = "5x + 4 − 2x − 1"

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

The coefficient of x after collecting like terms/nodes/board/outputs/coefX

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 7 ± 0.01

  טעות נפוצה: Loses the minus sign in front of a term, as if it were a plus: 5x − 2x = 7x, 4(2x − 3) = 8x + 12.

  משוב מהקטלוג

  הסימן שלפני איבר שייך לאיבר. ב־$5x + 4 - 2x - 1$⁠ האיברים הם $5x$⁠, $4$⁠, $-2x$⁠ ו־$-1$⁠, ולכן $5x - 2x = 3x$⁠. וכשפותחים סוגריים, המספר שבחוץ כופל את האיבר עם הסימן שלו: $4 \cdot (-3) = -12$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4ברירת מחדלמוסתר

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלםקבוע

הגדרות נוספות

Left/nodes/board/props/left = "7"

הגדרות נוספות

Top/nodes/board/props/top = "10 + 3"

הגדרות נוספות

Units/nodes/board/props/units = true

הגדרות נוספות

Span/nodes/board/props/span = [13,7]

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

המלבן השלם / מחולק לחלקים

מחולק לחלקיםקבוע

ואז הסצנה מראה: 91 · Product: the area, left × top, with the letters at their values; tiles: the expression's value/nodes/board/outputs/value

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלםקבוע

האפשרויות

• נכונה $3x + 6$⁠

• שגויה $3x + 2$⁠

  טעות נפוצה: Multiplies only the first term in the brackets: 3(x + 2) = 3x + 2.

  משוב מהקטלוג

  המספר שלפני הסוגריים כופל כל איבר שבתוכם. במלבן רואים למה: הצלע שבחוץ עוברת לאורך כל החלקים. למשל, ב־$3(x + 2)$⁠ הצלע $3$⁠ עוברת לאורך $x$⁠ וגם לאורך $2$⁠, ולכן יש שני שטחים, $3x$⁠ ו־$6$⁠: $3(x + 2) = 3x + 6$⁠.

• שגויה $5x$⁠

  משוב

  במלבן יש שני חלקים נפרדים, $3 \cdot x$⁠ ו־$3 \cdot 2$⁠, ובחלק הימני אין x בכלל.

• שגויה $x + 6$⁠

  משוב

  גם x נכפל ב־$3$⁠: הצלע $3$⁠ עוברת לאורך שני החלקים.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

המלבן השלם / מחולק לחלקים

מחולק לחלקיםקבוע

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

5קבוע

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלם

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

Product: the area, left × top, with the letters at their values; tiles: the expression's value/nodes/board/outputs/value

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 17 ± 0.01

  טעות נפוצה: Multiplies only the first term in the brackets: 3(x + 2) = 3x + 2.

  משוב מהקטלוג

  המספר שלפני הסוגריים כופל כל איבר שבתוכם. במלבן רואים למה: הצלע שבחוץ עוברת לאורך כל החלקים. למשל, ב־$3(x + 2)$⁠ הצלע $3$⁠ עוברת לאורך $x$⁠ וגם לאורך $2$⁠, ולכן יש שני שטחים, $3x$⁠ ו־$6$⁠: $3(x + 2) = 3x + 6$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

6

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלםקבוע

הגדרות נוספות

Left/nodes/board/props/left = "−1"

הגדרות נוספות

Top/nodes/board/props/top = "x − 4"

הגדרות נוספות

Span/nodes/board/props/span = [14,3]

האפשרויות

• נכונה $-x + 4$⁠

• שגויה $-x - 4$⁠

  טעות נפוצה: Changes only the first sign after a minus before brackets: −(x − 4) = −x − 4.

  משוב מהקטלוג

  מינוס לפני סוגריים הוא כפל ב־$-1$⁠, והוא פוגש כל איבר בפנים: $-1 \cdot x = -x$⁠, וגם $-1 \cdot (-4) = 4$⁠, כמו $-(-4) = 4$⁠. לכן $-(x - 4) = -x + 4$⁠: כל סימן בסוגריים מתהפך.

• שגויה $x - 4$⁠

  משוב

  המינוס שלפני הסוגריים לא נעלם: הוא הופך את הסימן של כל איבר.

• שגויה $x + 4$⁠

  משוב

  גם x מקבל את המינוס: $-1 \cdot x = -x$⁠.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

המלבן השלם / מחולק לחלקים

מחולק לחלקיםקבוע

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

5

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלם

הגדרות נוספות

Left/nodes/board/props/left = "4"

הגדרות נוספות

Top/nodes/board/props/top = "2x − 3"

הגדרות נוספות

Span/nodes/board/props/span = [23,4]

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

The number without a letter after collecting like terms/nodes/board/outputs/constant

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• -3 ± 0.01

  טעות נפוצה: Multiplies only the first term in the brackets: 3(x + 2) = 3x + 2.

  משוב מהקטלוג

  המספר שלפני הסוגריים כופל כל איבר שבתוכם. במלבן רואים למה: הצלע שבחוץ עוברת לאורך כל החלקים. למשל, ב־$3(x + 2)$⁠ הצלע $3$⁠ עוברת לאורך $x$⁠ וגם לאורך $2$⁠, ולכן יש שני שטחים, $3x$⁠ ו־$6$⁠: $3(x + 2) = 3x + 6$⁠.

• 12 ± 0.01

  טעות נפוצה: Loses the minus sign in front of a term, as if it were a plus: 5x − 2x = 7x, 4(2x − 3) = 8x + 12.

  משוב מהקטלוג

  הסימן שלפני איבר שייך לאיבר. ב־$5x + 4 - 2x - 1$⁠ האיברים הם $5x$⁠, $4$⁠, $-2x$⁠ ו־$-1$⁠, ולכן $5x - 2x = 3x$⁠. וכשפותחים סוגריים, המספר שבחוץ כופל את האיבר עם הסימן שלו: $4 \cdot (-3) = -12$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4

a

5ברירת מחדלמוסתר

b

3ברירת מחדלמוסתר

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלםקבוע

האפשרויות

• נכונה $x^2 + 5x + 6$⁠

• שגויה $x^2 + 6$⁠

  טעות נפוצה: Multiplies only first by first and last by last: (x + 3)(x + 2) = x² + 6.

  משוב מהקטלוג

  במלבן יש ארבעה חלקים: כל איבר בצלע אחת כפול כל איבר בצלע השנייה, ושני החלקים האמצעיים הם איברי x. למשל, ב־$(x + 3)(x + 2)$⁠ החלקים הם $x^2$⁠, $2x$⁠, $3x$⁠ ו־$6$⁠, והאמצעיים יחד $5x$⁠: $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$$(x + 3)(x + 2) =$$x^2 + 5x + 6$⁠.

• שגויה $x^2 + 6x + 5$⁠

  טעות נפוצה: Multiplies the two numbers to get the middle coefficient: (x + 4)(x + 3) = x² + 12x + 12.

  משוב מהקטלוג

  ב־$(x + p)(x + q)$⁠ מכפלת המספרים, $p \cdot q$⁠, היא החלק שבפינה, המספר שאין בו x. האמצעי בנוי משני מלבנים, $qx$⁠ ו־$px$⁠, ויחד $(p + q)x$⁠. למשל, $(x + 4)(x + 3) = x^2 + 7x + 12$$(x + 4)(x + 3) =$$x^2 + 7x + 12$⁠: הסכום $4 + 3$⁠ נותן את האמצעי, והמכפלה $4 \cdot 3$⁠ את הפינה.

• שגויה $2x + 5$⁠

  משוב

  $2x + 5$⁠ הוא סכום שתי הצלעות. מכפלה היא השטח שבתוך המלבן.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

המלבן השלם / מחולק לחלקים

מחולק לחלקיםקבוע

ואז הסצנה מראה: 5 · The coefficient of x after collecting like terms/nodes/board/outputs/coefX

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4

a

5ברירת מחדלמוסתר

b

3ברירת מחדלמוסתר

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלם

הגדרות נוספות

Left/nodes/board/props/left = "x + 4"

הגדרות נוספות

Top/nodes/board/props/top = "x + 3"

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

The coefficient of x after collecting like terms/nodes/board/outputs/coefX

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 12 ± 0.01

  טעות נפוצה: Multiplies the two numbers to get the middle coefficient: (x + 4)(x + 3) = x² + 12x + 12.

  משוב מהקטלוג

  ב־$(x + p)(x + q)$⁠ מכפלת המספרים, $p \cdot q$⁠, היא החלק שבפינה, המספר שאין בו x. האמצעי בנוי משני מלבנים, $qx$⁠ ו־$px$⁠, ויחד $(p + q)x$⁠. למשל, $(x + 4)(x + 3) = x^2 + 7x + 12$$(x + 4)(x + 3) =$$x^2 + 7x + 12$⁠: הסכום $4 + 3$⁠ נותן את האמצעי, והמכפלה $4 \cdot 3$⁠ את הפינה.

• 0 ± 0.01

  טעות נפוצה: Multiplies only first by first and last by last: (x + 3)(x + 2) = x² + 6.

  משוב מהקטלוג

  במלבן יש ארבעה חלקים: כל איבר בצלע אחת כפול כל איבר בצלע השנייה, ושני החלקים האמצעיים הם איברי x. למשל, ב־$(x + 3)(x + 2)$⁠ החלקים הם $x^2$⁠, $2x$⁠, $3x$⁠ ו־$6$⁠, והאמצעיים יחד $5x$⁠: $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$$(x + 3)(x + 2) =$$x^2 + 5x + 6$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4ברירת מחדלמוסתר

a

5

b

3

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלםקבוע

הגדרות נוספות

Left/nodes/board/props/left = "a + b"

הגדרות נוספות

Top/nodes/board/props/top = "a + b"

האפשרויות

• נכונה $a^2 + 2ab + b^2$⁠

• שגויה $a^2 + b^2$⁠

  טעות נפוצה: Squares each term on its own: (a + b)² = a² + b², (x − 3)² = x² − 9.

  משוב מהקטלוג

  $(a + b)^2$⁠ הוא ריבוע שצלעו $a + b$⁠, ויש בו ארבעה חלקים: הריבועים $a^2$⁠ ו־$b^2$⁠, ושני מלבנים $ab$⁠ שקל לשכוח. לכן $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a + b)^2 =$$a^2 + 2ab + b^2$⁠. עם $a = 5$⁠ ו־$b = 3$⁠: $8^2 = 64$⁠, ולא $25 + 9 = 34$⁠. כך גם בהפרש: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$$(x - 3)^2 =$$x^2 - 6x + 9$⁠, ולא $x^2 - 9$⁠.

• שגויה $a^2 + ab + b^2$⁠

  משוב

  בריבוע יש שני מלבנים $ab$⁠, אחד בכל פינה פנויה. ספרו את החלקים אחרי החשיפה.

• שגויה $2a + 2b$⁠

  טעות נפוצה: Squares by doubling: (a + b)² = 2(a + b).

  משוב מהקטלוג

  בריבוע פירושו כפול עצמו, לא כפול $2$⁠: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$$(a + b)^2 =$$(a + b)(a + b)$⁠. כש־$a + b = 8$⁠, זה $8 \cdot 8 = 64$⁠, ולא $2 \cdot 8 = 16$⁠.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

המלבן השלם / מחולק לחלקים

מחולק לחלקיםקבוע

ואז הסצנה מראה: 2 · The coefficient of ab after collecting like terms/nodes/board/outputs/coefAB

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4ברירת מחדלמוסתר

a

5קבוע

b

3קבוע

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלם

הגדרות נוספות

Left/nodes/board/props/left = "a + b"

הגדרות נוספות

Top/nodes/board/props/top = "a + b"

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

Product: the area, left × top, with the letters at their values; tiles: the expression's value/nodes/board/outputs/value

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 34 ± 0.01

  טעות נפוצה: Squares each term on its own: (a + b)² = a² + b², (x − 3)² = x² − 9.

  משוב מהקטלוג

  $(a + b)^2$⁠ הוא ריבוע שצלעו $a + b$⁠, ויש בו ארבעה חלקים: הריבועים $a^2$⁠ ו־$b^2$⁠, ושני מלבנים $ab$⁠ שקל לשכוח. לכן $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a + b)^2 =$$a^2 + 2ab + b^2$⁠. עם $a = 5$⁠ ו־$b = 3$⁠: $8^2 = 64$⁠, ולא $25 + 9 = 34$⁠. כך גם בהפרש: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$$(x - 3)^2 =$$x^2 - 6x + 9$⁠, ולא $x^2 - 9$⁠.

• 16 ± 0.01

  טעות נפוצה: Squares by doubling: (a + b)² = 2(a + b).

  משוב מהקטלוג

  בריבוע פירושו כפול עצמו, לא כפול $2$⁠: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$$(a + b)^2 =$$(a + b)(a + b)$⁠. כש־$a + b = 8$⁠, זה $8 \cdot 8 = 64$⁠, ולא $2 \cdot 8 = 16$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

8

a

5ברירת מחדלמוסתר

b

3ברירת מחדלמוסתר

המלבן השלם / מחולק לחלקים

המלבן השלםקבוע

הגדרות נוספות

Left/nodes/board/props/left = "x − 3"

הגדרות נוספות

Top/nodes/board/props/top = "x − 3"

האפשרויות

• נכונה $x^2 - 6x + 9$⁠

• שגויה $x^2 - 9$⁠

  טעות נפוצה: Squares each term on its own: (a + b)² = a² + b², (x − 3)² = x² − 9.

  משוב מהקטלוג

  $(a + b)^2$⁠ הוא ריבוע שצלעו $a + b$⁠, ויש בו ארבעה חלקים: הריבועים $a^2$⁠ ו־$b^2$⁠, ושני מלבנים $ab$⁠ שקל לשכוח. לכן $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a + b)^2 =$$a^2 + 2ab + b^2$⁠. עם $a = 5$⁠ ו־$b = 3$⁠: $8^2 = 64$⁠, ולא $25 + 9 = 34$⁠. כך גם בהפרש: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$$(x - 3)^2 =$$x^2 - 6x + 9$⁠, ולא $x^2 - 9$⁠.

• שגויה $x^2 - 6x - 9$⁠

  טעות נפוצה: Thinks a negative times a negative is negative: (−3)(−3) = −9.

  משוב מהקטלוג

  כפל ב־$-3$⁠ הוא כפל ב־$3$⁠ והיפוך הסימן. $(-3) \cdot 3 = -9$⁠, והיפוך הסימן נותן $(-3)(-3) = 9$⁠. לכן הפינה של $(x - 3)^2$⁠ היא $+9$⁠, ו־$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$$(x - 3)^2 =$$x^2 - 6x + 9$⁠.

• שגויה $x^2 + 9$⁠

  משוב

  גם כאן יש שני חלקים אמצעיים, $-3x$⁠ כל אחד, והם לא נעלמים.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

המלבן השלם / מחולק לחלקים

מחולק לחלקיםקבוע

ואז הסצנה מראה: 9 · The number without a letter after collecting like terms/nodes/board/outputs/constant

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

x

4

p

1ברירת מחדלמוסתר

q

1ברירת מחדלמוסתר

רק החלקים / עם הצלעות

רק החלקיםקבוע