מפתח תשובות · יחידה 17

הסתברות מותנית.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 4

שיעור 1 מתוך 4 · כ־25 דקות

בהינתן ש

מה עושה מידע לסיכוי: סופרים מחדש בתוך המאורע שידוע שקרה, $P(A \mid B)$ לעומת $P(B \mid A)$, מאורעות בלתי תלויים, ולמה מאורעות זרים אינם בלתי תלויים.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
סופרים בתוך התנאי
תרגול · חשבו
השאלה
מטילים שתי קוביות, ומישהו מציץ ואומר: “בקובייה הראשונה יצא $6$ ⁠”. מה הסיכוי שהסכום $10$ ⁠ או יותר? כתבו באחוזים, מספר בלבד.

התשובה הנכונה
50 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סכום
10קבוע
הקובייה הראשונה
6קבוע
כל התוצאות / המאורעות נספרו
המאורעות נספרו
הגדרות נוספות
Event/nodes/board/props/event = "sumAtLeast"
הגדרות נוספות
Event2/nodes/board/props/event2 = "firstIs"
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Grid: P(A | B), cells in both ÷ cells in the second event (NaN when it has none)/nodes/board/outputs/aGivenB
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 8.333 ± 0.5
  טעות נפוצה: Confuses the chance of A and B with the chance of A given B: divides by all the outcomes instead of by the outcomes in B, or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  “ $A$ ⁠ וגם $B$ ⁠” ו” $A$ ⁠ בהינתן $B$ ⁠” סופרים את אותן תוצאות, אלה שבשני המאורעות, אבל מחלקים בדברים שונים. ב“וגם” מחלקים בכל התוצאות. ב“בהינתן $B$ ⁠” כבר ידוע ש־ $B$ ⁠ קרה, ולכן מחלקים רק בתוצאות של $B$ ⁠: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ⁠. התנאי מקטין את המכנה, ולכן הסיכוי המותנה גדול יותר.
- 16.67 ± 0.5
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב מהקטלוג
  התנאי הוא מידע חדש, וצריך להשתמש בו. “בהינתן ש־ $B$ ⁠” אומר: מחקו את כל התוצאות שאינן ב־ $B$ ⁠, והתחילו לספור מחדש בתוך מה שנשאר. לפעמים הסיכוי יוצא אותו דבר, ואז המאורעות בלתי תלויים, אבל את זה מגלים רק אחרי שסופרים.
משוב לתשובה נכונה
מתוך $6$ ⁠ המשבצות שבהן הראשונה $6$ ⁠, בשלוש הסכום $10$ ⁠ או יותר: $(6,4)$ ⁠, $(6,5)$ ⁠, $(6,6)$ ⁠. $\frac{3}{6} = 50\%$ ⁠, פי שלושה מ־ $\frac{6}{36}$ ⁠ בלי המידע.

משוב לתשובה שגויה
המידע מוחק את כל המשבצות שבהן הראשונה אינה $6$ ⁠. חלקו רק במה שנשאר.

רמז
ספרו רק בתוך המשבצות הוורודות: מתוכן, כמה גם תכולות?

פתרון מלא
נסמן ב־ $S$ ⁠ את הסכום וב־ $F$ ⁠ את מה שיצא בקובייה הראשונה.
1. התנאי: בראשונה $6$ ⁠. נשארות $6$ ⁠ משבצות, הוורודות.
2. מתוכן, בשניהם (כתום): $(6,4)$ ⁠, $(6,5)$ ⁠, $(6,6)$ ⁠, כלומר $3$ ⁠.
3. $P(S \ge 10 \mid F = 6) = \frac{3}{6} = 50\%$ ⁠.
אם עניתם כ־ $8.3$ ⁠, חילקתם ב־ $36$ ⁠: זה הסיכוי שגם הראשונה $6$ ⁠ וגם הסכום $10$ ⁠ או יותר. אם עניתם כ־ $16.7$ ⁠, התעלמתם מהמידע: זה הסיכוי לסכום $10$ ⁠ או יותר בלי לדעת כלום.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
הפוך
תרגול · חשבו
השאלה
עכשיו הפוך: מישהו אומר רק “הסכום $11$ ⁠ או יותר”. מה הסיכוי שבקובייה הראשונה יצא $6$ ⁠? כתבו באחוזים, מספר בלבד.

התשובה הנכונה
66.67 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סכום
11קבוע
הקובייה הראשונה
6קבוע
כל התוצאות / המאורעות נספרו
המאורעות נספרו
הגדרות נוספות
Event/nodes/board/props/event = "sumAtLeast"
הגדרות נוספות
Event2/nodes/board/props/event2 = "firstIs"
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Grid: P(B | A), cells in both ÷ cells in the first event (NaN when it has none)/nodes/board/outputs/bGivenA
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 33.33 ± 0.5
  טעות נפוצה: Treats the chance of A given B as the chance of B given A.
  משוב מהקטלוג
  $P(A \mid B)$ ⁠ ו־ $P(B \mid A)$ ⁠ חולקים את אותו מונה, התוצאות שבשני המאורעות, אבל המכנים שונים: פעם כל התוצאות של $B$ ⁠, ופעם כל התוצאות של $A$ ⁠. הם שווים רק כש־ $A$ ⁠ ו־ $B$ ⁠ באותו גודל. “רוב החולים מקבלים תוצאה חיובית” אינו “רוב בעלי התוצאה החיובית חולים”, ובלבול ביניהם נקרא כשל התובע.
- 5.556 ± 0.5
  טעות נפוצה: Confuses the chance of A and B with the chance of A given B: divides by all the outcomes instead of by the outcomes in B, or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  “ $A$ ⁠ וגם $B$ ⁠” ו” $A$ ⁠ בהינתן $B$ ⁠” סופרים את אותן תוצאות, אלה שבשני המאורעות, אבל מחלקים בדברים שונים. ב“וגם” מחלקים בכל התוצאות. ב“בהינתן $B$ ⁠” כבר ידוע ש־ $B$ ⁠ קרה, ולכן מחלקים רק בתוצאות של $B$ ⁠: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ⁠. התנאי מקטין את המכנה, ולכן הסיכוי המותנה גדול יותר.
- 16.67 ± 0.5
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב מהקטלוג
  התנאי הוא מידע חדש, וצריך להשתמש בו. “בהינתן ש־ $B$ ⁠” אומר: מחקו את כל התוצאות שאינן ב־ $B$ ⁠, והתחילו לספור מחדש בתוך מה שנשאר. לפעמים הסיכוי יוצא אותו דבר, ואז המאורעות בלתי תלויים, אבל את זה מגלים רק אחרי שסופרים.
משוב לתשובה נכונה
יש $3$ ⁠ משבצות עם סכום $11$ ⁠ או יותר, ובשתיים מהן הראשונה $6$ ⁠: $\frac{2}{3} \approx 66.7\%$ ⁠. אותו מונה כמו הסיכוי ההפוך, סכום $11$ ⁠ או יותר בהינתן שבראשונה $6$ ⁠, שהוא $\frac{2}{6}$ ⁠, מכנה אחר.

רמז
הפעם התנאי הוא המאורע התכול. כמה משבצות תכולות יש, וכמה מהן גם ורודות?

פתרון מלא
נסמן ב־ $S$ ⁠ את הסכום וב־ $F$ ⁠ את מה שיצא בקובייה הראשונה.
1. התנאי: סכום $11$ ⁠ או יותר. המשבצות: $(5,6)$ ⁠, $(6,5)$ ⁠, $(6,6)$ ⁠, כלומר $3$ ⁠.
2. מתוכן, הראשונה $6$ ⁠: $(6,5)$ ⁠ ו־ $(6,6)$ ⁠, כלומר $2$ ⁠.
3. $P(F = 6 \mid S \ge 11) = \frac{2}{3} \approx 66.7\%$ ⁠.
אם עניתם כ־ $33.3$ ⁠, הפכתם את התנאי: $\frac{2}{6}$ ⁠ הוא הסיכוי לסכום $11$ ⁠ או יותר בהינתן שהראשונה $6$ ⁠. שני הסיכויים שונים כי המאורעות בגדלים שונים, $3$ ⁠ משבצות מול $6$ ⁠.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
מידע שלא משנה כלום
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בלי שום מידע, הסיכוי לסכום $7$ ⁠ הוא $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ ⁠. עכשיו ידוע שבקובייה הראשונה יצא $6$ ⁠. מה הסיכוי לסכום $7$ ⁠ עכשיו?

התשובה הנכונה
- נכונה עדיין $\frac{1}{6}$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סכום
7קבוע
הקובייה הראשונה
6קבוע
כל התוצאות / המאורעות נספרו
כל התוצאותקבוע
הגדרות נוספות
Event/nodes/board/props/event = "sum"
הגדרות נוספות
Event2/nodes/board/props/event2 = "firstIs"
האפשרויות
- נכונה עדיין $\frac{1}{6}$ ⁠
- שגויה יותר מ־ $\frac{1}{6}$ ⁠, כי $6$ ⁠ הוא כבר רוב הדרך ל־ $7$ ⁠
  טעות נפוצה: Assumes that learning one event happened must change the chance of the other.
  משוב מהקטלוג
  לפעמים המידע לא עוזר. כשהקובייה הראשונה יצאה $6$ ⁠, נשארו שש אפשרויות לשנייה, ובדיוק אחת מהן, $1$ ⁠, משלימה לסכום $7$ ⁠: הסיכוי נשאר $\frac{1}{6}$ ⁠, כמו בלי המידע. מאורעות כאלה נקראים בלתי תלויים: $P(A \mid B) = P(A)$ ⁠, ובאופן שקול $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ⁠.
- שגויה פחות מ־ $\frac{1}{6}$ ⁠, כי נשארה רק דרך אחת
  טעות נפוצה: Assumes that learning one event happened must change the chance of the other.
  משוב מהקטלוג
  לפעמים המידע לא עוזר. כשהקובייה הראשונה יצאה $6$ ⁠, נשארו שש אפשרויות לשנייה, ובדיוק אחת מהן, $1$ ⁠, משלימה לסכום $7$ ⁠: הסיכוי נשאר $\frac{1}{6}$ ⁠, כמו בלי המידע. מאורעות כאלה נקראים בלתי תלויים: $P(A \mid B) = P(A)$ ⁠, ובאופן שקול $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
כל התוצאות / המאורעות נספרו
המאורעות נספרוקבוע
ואז הסצנה מראה: 0.1667 · Grid: P(A | B), cells in both ÷ cells in the second event (NaN when it has none)/nodes/board/outputs/aGivenB
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
נשארה אכן רק משבצת אחת, $(6,1)$ ⁠, אבל גם נשארו רק $6$ ⁠ משבצות: $\frac{1}{6}$ ⁠, כמו קודם. המידע לא שינה כלום, ולכן “סכום $7$ ⁠” ו“ראשונה $6$ ⁠” בלתי תלויים.

רמז
אם הראשונה $6$ ⁠, מה השנייה צריכה להיות? ומה הסיכוי לזה?

פתרון מלא
נסמן ב־ $S$ ⁠ את הסכום וב־ $F$ ⁠ את מה שיצא בקובייה הראשונה.
1. בהינתן שהראשונה $6$ ⁠, נשארות $6$ ⁠ משבצות: $(6,1)$ ⁠ עד $(6,6)$ ⁠.
2. רק $(6,1)$ ⁠ נותנת סכום $7$ ⁠.
3. $P(S = 7 \mid F = 6) = \frac{1}{6} = P(S = 7)$ ⁠.
זה נכון לכל פאה של הראשונה: לכל אחת יש בדיוק פאה אחת בשנייה שמשלימה ל־ $7$ ⁠. לסכום $8$ ⁠ זה לא נכון: אם הראשונה $1$ ⁠, אין שום דרך.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
הסכום הבלתי תלוי
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
המאורע הוורוד, $B$ ⁠, הוא “בראשונה $6$ ⁠”. שנו את סכום עד שהמאורע התכול, $A$ ⁠, “יוצא הסכום הזה”, יהיה בלתי תלוי ב־ $B$ ⁠: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ⁠. לחצו על בדיקה.

המטרה
- 1 ± 0.01
  בתחילת השלב: 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סכום
8
הקובייה הראשונה
6קבוע
כל התוצאות / המאורעות נספרו
המאורעות נספרו
הגדרות נוספות
Event/nodes/board/props/event = "sum"
הגדרות נוספות
Event2/nodes/board/props/event2 = "firstIs"
נקרא מהסצנה בנקודה
Grid: 1 when P(A and B) = P(A) × P(B), else 0 (events that are certain or impossible count as independent)/nodes/board/outputs/independent
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
סכום
7
משוב לתשובה נכונה
רק סכום $7$ ⁠: יש לו $6$ ⁠ משבצות, $\frac{6}{36} \cdot \frac{6}{36} = \frac{1}{36}$ ⁠, בדיוק המשבצת הכתומה $(6,1)$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. בדקו: האם מספר המשבצות הכתומות חלקי $36$ ⁠ שווה למכפלת שני הסיכויים?

רמז
$P(B) = \frac{1}{6}$ ⁠. בכל סכום יש לכל היותר משבצת כתומה אחת. כמה משבצות תכולות צריך כדי ש־ $\frac{1}{36} = P(A) \cdot \frac{1}{6}$ ⁠?

פתרון מלא
1. “בראשונה $6$ ⁠” תופס $6$ ⁠ משבצות: $P = \frac{1}{6}$ ⁠.
2. סכום $s$ ⁠ בין $7$ ⁠ ל־ $12$ ⁠ פוגש את הטור הזה במשבצת אחת, $(6, s - 6)$ ⁠, וסכום מתחת ל־ $7$ ⁠ לא פוגש אותו בכלל.
3. צריך $\frac{1}{36} = P(s) \cdot \frac{1}{6}$ ⁠, כלומר $P(s) = \frac{1}{6}$ ⁠: $6$ ⁠ משבצות. רק לסכום $7$ ⁠ יש שש.
4. קבעו את סכום על $7$ ⁠.
לסכום $8$ ⁠, למשל: $\frac{1}{36} \ne \frac{5}{36} \cdot \frac{1}{6}$ ⁠. הידיעה שהראשונה $6$ ⁠ מעלה את הסיכוי לסכום $8$ ⁠ מ־ $\frac{5}{36}$ ⁠ ל־ $\frac{1}{6}$ ⁠.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
לא יכולים לקרות יחד
תרגול · בחרו
השאלה
המאורעות “סכום $2$ ⁠” ו“בראשונה $6$ ⁠” לא יכולים לקרות באותה הטלה: אין על הלוח שום משבצת כתומה. האם הם בלתי תלויים?

התשובה הנכונה
- נכונה לא: אם אחד קרה, השני בוודאות לא קרה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סכום
2קבוע
הקובייה הראשונה
6קבוע
כל התוצאות / המאורעות נספרו
המאורעות נספרו
הגדרות נוספות
Event/nodes/board/props/event = "sum"
הגדרות נוספות
Event2/nodes/board/props/event2 = "firstIs"
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה לא: אם אחד קרה, השני בוודאות לא קרה
- שגויה כן: הם לא קשורים זה לזה בכלל
  טעות נפוצה: Thinks events that cannot happen together are independent.
  משוב מהקטלוג
  מאורעות זרים, שלא יכולים לקרות יחד, הם בדיוק ההפך מבלתי תלויים: אם אחד קרה, ידוע בוודאות שהשני לא קרה. בלתי תלויים פירושו שהידיעה על אחד לא משנה את הסיכוי של השני, ולכן הם חייבים להיות מסוגלים לקרות יחד: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0$ ⁠.
- שגויה אי אפשר לדעת בלי להטיל
  משוב
  אפשר לדעת מהספירה: $P(A \cap B) = 0$ ⁠, אבל $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{6} > 0$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
בהינתן שבראשונה $6$ ⁠, הסיכוי לסכום $2$ ⁠ צונח מ־ $\frac{1}{36}$ ⁠ ל־ $0$ ⁠. מאורעות זרים הם תלויים מאוד: כל אחד שולל את השני.

רמז
אם ידוע שבראשונה יצא $6$ ⁠, מה הסיכוי לסכום $2$ ⁠?

פתרון מלא
נסמן ב־ $A$ ⁠ את “סכום $2$ ⁠” וב־ $B$ ⁠ את “בראשונה $6$ ⁠”.
1. בלתי תלויים פירושו $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ⁠.
2. כאן $P(A \cap B) = 0$ ⁠: אין משבצת שבה גם הסכום $2$ ⁠ וגם בראשונה $6$ ⁠.
3. אבל $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{6} \ne 0$ ⁠.
4. לכן הם תלויים.
“זרים” הוא תכונה של המשבצות: אין חפיפה. “בלתי תלויים” הוא תכונה של הסיכויים: המידע על אחד לא משנה את השני.

שיעור 2 מתוך 4 · כ־25 דקות

עצים עם תנאים

עץ שעל כל ענף שלו סיכוי מותנה: מחלקים אולם של $1000$ אנשים לחולים ולבריאים ואז לפי תוצאת הבדיקה, כופלים לאורך מסלול, מחברים מסלולים, ושולפים גולות בלי להחזיר.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
מחלקים לפי מחלה
תרגול · חשבו
השאלה
באולם $1000$ ⁠ אנשים, ו־ $10\%$ ⁠ מהם חולים. הבדיקה מזהה $90\%$ ⁠ מהחולים. כמה אנשים חולים וגם מקבלים תוצאה חיובית?

התשובה הנכונה
90 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
10 %קבוע
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
מי חולה
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Positives who are ill/nodes/crowd/outputs/truePositives
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 900 ± 0.5
  טעות נפוצה: Applies a branch's rate to the wrong group: the test's accuracy to the whole crowd, or the ill people's rate to the healthy.
  משוב מהקטלוג
  בעץ, כל שיעור שייך לענף שלו. $90\%$ ⁠ מהחולים מקבלים תוצאה חיובית: זה $90\%$ ⁠ מהחולים, לא מכל האוכלוסייה. ו־ $10\%$ ⁠ מהבריאים מקבלים תוצאה חיובית: זה $10\%$ ⁠ מהבריאים. קודם מחלקים את האוכלוסייה לפי הענף הראשון, ורק אז מפעילים על כל קבוצה את השיעור שלה.
- 100 ± 0.5
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב
  $100$ ⁠ הם כל החולים. לא כולם מקבלים תוצאה חיובית: הבדיקה מפספסת $10\%$ ⁠ מהם.
משוב לתשובה נכונה
$1000 \times 0.1 = 100$ ⁠ חולים, ומתוכם $100 \times 0.9 = 90$ ⁠ חיוביים. בעץ: הענף “חולה” ואחריו הענף “חיובי”.

רמז
קודם כמה חולים יש, ואז כמה מהם הבדיקה תופסת.

פתרון מלא
1. הענף הראשון: $10\%$ ⁠ מ־ $1000$ ⁠ חולים, כלומר $100$ ⁠.
2. הענף השני, בתוך החולים: $90\%$ ⁠ מ־ $100$ ⁠ חיוביים, כלומר $90$ ⁠.
3. לאורך המסלול כופלים: $1000 \times 0.1 \times 0.9 = 90$ ⁠.
אם עניתם $900$ ⁠, הפעלתם את $90\%$ ⁠ על כל האולם. אבל $90\%$ ⁠ הוא שיעור של החולים בלבד.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
הענף השני
תרגול · חשבו
השאלה
הבדיקה מנקה $90\%$ ⁠ מהבריאים, וטועה ב־ $10\%$ ⁠ מהם. כמה אנשים בריאים מקבלים תוצאה חיובית?

התשובה הנכונה
90 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
10 %קבוע
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
מי חולה
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Positives who are healthy/nodes/crowd/outputs/falsePositives
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 10 ± 0.5
  טעות נפוצה: Applies a branch's rate to the wrong group: the test's accuracy to the whole crowd, or the ill people's rate to the healthy.
  משוב מהקטלוג
  בעץ, כל שיעור שייך לענף שלו. $90\%$ ⁠ מהחולים מקבלים תוצאה חיובית: זה $90\%$ ⁠ מהחולים, לא מכל האוכלוסייה. ו־ $10\%$ ⁠ מהבריאים מקבלים תוצאה חיובית: זה $10\%$ ⁠ מהבריאים. קודם מחלקים את האוכלוסייה לפי הענף הראשון, ורק אז מפעילים על כל קבוצה את השיעור שלה.
- 100 ± 0.5
  טעות נפוצה: Applies a branch's rate to the wrong group: the test's accuracy to the whole crowd, or the ill people's rate to the healthy.
  משוב מהקטלוג
  בעץ, כל שיעור שייך לענף שלו. $90\%$ ⁠ מהחולים מקבלים תוצאה חיובית: זה $90\%$ ⁠ מהחולים, לא מכל האוכלוסייה. ו־ $10\%$ ⁠ מהבריאים מקבלים תוצאה חיובית: זה $10\%$ ⁠ מהבריאים. קודם מחלקים את האוכלוסייה לפי הענף הראשון, ורק אז מפעילים על כל קבוצה את השיעור שלה.
משוב לתשובה נכונה
$900$ ⁠ בריאים, ו־ $10\%$ ⁠ מהם הם $90$ ⁠ חיוביים כוזבים: בדיוק כמו מספר החולים שנתפסו.

רמז
כמה בריאים יש באולם?

פתרון מלא
1. הבריאים: $1000 - 100 = 900$ ⁠.
2. בתוכם, $10\%$ ⁠ מקבלים תוצאה חיובית: $900 \times 0.1 = 90$ ⁠.
אם עניתם $10$ ⁠, הפעלתם את שיעור הטעות על החולים ( $100 \times 0.1$ ⁠). אם עניתם $100$ ⁠, הפעלתם אותו על כל האולם.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
כל החיוביים
תרגול · חשבו
השאלה
אדם אחד נבחר באקראי מהאולם. מה הסיכוי שהתוצאה שלו חיובית? כתבו באחוזים, מספר בלבד.

התשובה הנכונה
18 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
10 %קבוע
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
החיוביים ממוינים
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
People who test positive/nodes/crowd/outputs/positives
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 9 ± 0.5
  טעות נפוצה: Counts only the true positives as the positives, forgetting the healthy people the test flags.
  משוב מהקטלוג
  תוצאה חיובית מגיעה משני ענפים: חולים שהבדיקה תפסה, ובריאים שהבדיקה טעתה בהם. כשהמחלה נדירה, יש הרבה יותר בריאים, ולכן גם שיעור טעות קטן נותן הרבה חיוביים כוזבים. את כל החיוביים סופרים משני הענפים יחד.
- 90 ± 0.5
  טעות נפוצה: Applies a branch's rate to the wrong group: the test's accuracy to the whole crowd, or the ill people's rate to the healthy.
  משוב מהקטלוג
  בעץ, כל שיעור שייך לענף שלו. $90\%$ ⁠ מהחולים מקבלים תוצאה חיובית: זה $90\%$ ⁠ מהחולים, לא מכל האוכלוסייה. ו־ $10\%$ ⁠ מהבריאים מקבלים תוצאה חיובית: זה $10\%$ ⁠ מהבריאים. קודם מחלקים את האוכלוסייה לפי הענף הראשון, ורק אז מפעילים על כל קבוצה את השיעור שלה.
משוב לתשובה נכונה
$90 + 90 = 180$ ⁠ חיוביים מתוך $1000$ ⁠, כלומר $18\%$ ⁠. זה כלל ההסתברות השלמה: מחברים את כל המסלולים שמגיעים לאותה תוצאה.

רמז
לתוצאה חיובית מגיעים בשני מסלולים בעץ.

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. מסלול אחד: חולה וחיובי, $0.1 \times 0.9 = 0.09$ ⁠.
2. מסלול שני: בריא וחיובי, $0.9 \times 0.1 = 0.09$ ⁠.
3. המסלולים זרים, ולכן מחברים: $P(+) = 0.09 + 0.09 = 0.18 = 18\%$ ⁠.
אם עניתם $9$ ⁠, ספרתם רק את החולים שנתפסו ושכחתם את החיוביים הכוזבים.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
בלי להחזיר
תרגול · חשבו
השאלה
בשקית $5$ ⁠ גולות, $2$ ⁠ מהן אדומות. מוציאים שתי גולות בזו אחר זו, בלי להחזיר. מה הסיכוי ששתיהן אדומות? כתבו באחוזים, מספר בלבד.

התשובה הנכונה
10 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
10 %
דיוק הבדיקה
90 %
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבוי
מיון התוצאות
החיוביים ממוינים
מתקבלת בטווח
± 0.5
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 16 ± 0.5
  טעות נפוצה: Uses the same chance for the second draw as for the first, as if what was drawn were put back.
  משוב מהקטלוג
  כשלא מחזירים, השלב השני תלוי בראשון. אחרי שהוצאתם גולה אדומה אחת מתוך $5$ ⁠, נשארו $4$ ⁠ גולות ורק אדומה אחת. לכן הענף השני הוא $\frac{1}{4}$ ⁠, לא $\frac{2}{5}$ ⁠: $P(R_1 \cap R_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$ ⁠. על ענף של עץ כותבים תמיד את הסיכוי בהינתן כל מה שקרה לפניו.
- 40 ± 0.5
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב
  $40\%$ ⁠ הוא הסיכוי שהגולה הראשונה אדומה. שתיהן אדומות רק אם גם השנייה אדומה.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = 10\%$ ⁠. הענף השני כבר יודע שהראשונה הייתה אדומה.

רמז
אחרי שהוצאתם אדומה, כמה גולות נשארו, וכמה מהן אדומות?

פתרון מלא
נסמן ב־ $R_1$ ⁠ ו־ $R_2$ ⁠ את “הגולה הראשונה אדומה” ו“הגולה השנייה אדומה”.
1. הענף הראשון: $P(R_1) = \frac{2}{5}$ ⁠.
2. הענף השני, בהינתן שהראשונה אדומה: נשארו $4$ ⁠ גולות ואדומה אחת, $\frac{1}{4}$ ⁠.
3. לאורך המסלול כופלים: $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10} = 10\%$ ⁠.
אם עניתם $16$ ⁠, כפלתם $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$ ⁠, כאילו הגולה הוחזרה. בלי החזרה, השלב השני תלוי בראשון.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
לאורך מסלול
תרגול · חשבו
השאלה
עכשיו $5\%$ ⁠ מהאולם חולים, והבדיקה עדיין מדויקת ב־ $90\%$ ⁠. מה הסיכוי שאדם אקראי גם חולה וגם מקבל תוצאה חיובית? כתבו באחוזים, מספר בלבד.

התשובה הנכונה
4.5 ± 0.3
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
5 %קבוע
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
מי חולה
מתקבלת בטווח
± 0.3
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Positives who are ill/nodes/crowd/outputs/truePositives
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 90 ± 0.3
  טעות נפוצה: Confuses the chance of A and B with the chance of A given B: divides by all the outcomes instead of by the outcomes in B, or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  “ $A$ ⁠ וגם $B$ ⁠” ו” $A$ ⁠ בהינתן $B$ ⁠” סופרים את אותן תוצאות, אלה שבשני המאורעות, אבל מחלקים בדברים שונים. ב“וגם” מחלקים בכל התוצאות. ב“בהינתן $B$ ⁠” כבר ידוע ש־ $B$ ⁠ קרה, ולכן מחלקים רק בתוצאות של $B$ ⁠: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ⁠. התנאי מקטין את המכנה, ולכן הסיכוי המותנה גדול יותר.
- 5 ± 0.3
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב
  $5\%$ ⁠ הם כל החולים. רק $90\%$ ⁠ מהם גם מקבלים תוצאה חיובית.
משוב לתשובה נכונה
$0.05 \times 0.9 = 0.045 = 4.5\%$ ⁠: $45$ ⁠ מתוך $1000$ ⁠. זה כלל הכפל: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ ⁠.

רמז
כפלו את שני הענפים לאורך המסלול.

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. $P(D) = 0.05$ ⁠.
2. $P(+ \mid D) = 0.9$ ⁠.
3. $P(D \cap +) = 0.05 \times 0.9 = 0.045 = 4.5\%$ ⁠.
אם עניתם $90$ ⁠, נתתם את $P(+ \mid D)$ ⁠, הסיכוי בתוך החולים. “גם וגם” הוא חלק מכל האולם, ולכן כופלים גם בשיעור החולים.

שיעור 3 מתוך 4 · כ־25 דקות

שיעור הבסיס

למה בדיקה מדויקת ב־$90\%$ טועה ברוב החיוביים כשהמחלה נדירה: סופרים חיוביים כוזבים, מוצאים מתי חיובי הוא חצי־חצי, ורואים מה בדיקה טובה יותר עושה ומה היא לא עושה.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
מחלה נדירה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
מחלה פוגעת ב־ $1\%$ ⁠ מהאנשים, והבדיקה מדויקת ב־ $90\%$ ⁠. מישהו קיבל תוצאה חיובית. מה הסיכוי שהוא באמת חולה?

התשובה הנכונה
- נכונה בערך $8\%$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
1 %קבוע
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
תוצאות הבדיקהקבוע
האפשרויות
- נכונה בערך $8\%$ ⁠
- שגויה $90\%$ ⁠, כמו הדיוק
  טעות נפוצה: Takes a test's accuracy as the chance that a positive result is right: 90% accurate, so a positive means 90% ill.
  משוב מהקטלוג
  נסמן ב־ $D$ ⁠ “חולה” וב־ $+$ ⁠ “תוצאה חיובית”. הדיוק אומר מה הבדיקה עושה לחולים ולבריאים: $P(+ \mid D)$ ⁠. השאלה של מי שקיבל תוצאה חיובית היא ההפך: $P(D \mid +)$ ⁠. התשובה תלויה גם בכמה המחלה נפוצה. כשהיא נדירה, רוב החיוביים באים מהקבוצה הגדולה של הבריאים, ולכן הסיכוי להיות חולה נמוך הרבה מהדיוק. זה הזנחת שיעור הבסיס.
- שגויה בערך $50\%$ ⁠
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
- שגויה $1\%$ ⁠, כמו כל אחד אחר
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב מהקטלוג
  התנאי הוא מידע חדש, וצריך להשתמש בו. “בהינתן ש־ $B$ ⁠” אומר: מחקו את כל התוצאות שאינן ב־ $B$ ⁠, והתחילו לספור מחדש בתוך מה שנשאר. לפעמים הסיכוי יוצא אותו דבר, ואז המאורעות בלתי תלויים, אבל את זה מגלים רק אחרי שסופרים.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מיון התוצאות
החיוביים ממויניםקבוע
ואז הסצנה מראה: 8.333 · Per cent chance a positive is ill, by Bayes' rule/nodes/crowd/outputs/posterior
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
רק כ־ $8\%$ ⁠: $9$ ⁠ חולים מתוך $108$ ⁠ חיוביים. על המזרן הימני עומדים $99$ ⁠ בריאים, כי $10\%$ ⁠ מ־ $990$ ⁠ בריאים הם הרבה יותר מ־ $90\%$ ⁠ מ־ $10$ ⁠ חולים.

רמז
ספרו את שתי הקבוצות של החיוביים: חולים שנתפסו ובריאים שהבדיקה טעתה בהם.

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. מתוך $1000$ ⁠: $10$ ⁠ חולים ו־ $990$ ⁠ בריאים.
2. חולים חיוביים: $10 \times 0.9 = 9$ ⁠.
3. בריאים חיוביים: $990 \times 0.1 = 99$ ⁠.
4. $P(D \mid +) = \frac{9}{9 + 99} = \frac{9}{108} \approx 8.3\%$ ⁠.
אם בחרתם $90\%$ ⁠, בלבלתם בין $P(+ \mid D)$ ⁠ ל־ $P(D \mid +)$ ⁠. כשהמחלה נדירה, הבריאים מספקים את רוב החיוביים.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
סופרים אזעקות שווא
תרגול · חשבו
השאלה
באותו אולם, $1\%$ ⁠ חולים ובדיקה מדויקת ב־ $90\%$ ⁠: כמה מהחיוביים בריאים?

התשובה הנכונה
99 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
1 %קבוע
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
החיוביים ממוינים
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Positives who are healthy/nodes/crowd/outputs/falsePositives
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1 ± 0.5
  טעות נפוצה: Applies a branch's rate to the wrong group: the test's accuracy to the whole crowd, or the ill people's rate to the healthy.
  משוב מהקטלוג
  בעץ, כל שיעור שייך לענף שלו. $90\%$ ⁠ מהחולים מקבלים תוצאה חיובית: זה $90\%$ ⁠ מהחולים, לא מכל האוכלוסייה. ו־ $10\%$ ⁠ מהבריאים מקבלים תוצאה חיובית: זה $10\%$ ⁠ מהבריאים. קודם מחלקים את האוכלוסייה לפי הענף הראשון, ורק אז מפעילים על כל קבוצה את השיעור שלה.
- 10 ± 0.5
  טעות נפוצה: Applies a branch's rate to the wrong group: the test's accuracy to the whole crowd, or the ill people's rate to the healthy.
  משוב מהקטלוג
  בעץ, כל שיעור שייך לענף שלו. $90\%$ ⁠ מהחולים מקבלים תוצאה חיובית: זה $90\%$ ⁠ מהחולים, לא מכל האוכלוסייה. ו־ $10\%$ ⁠ מהבריאים מקבלים תוצאה חיובית: זה $10\%$ ⁠ מהבריאים. קודם מחלקים את האוכלוסייה לפי הענף הראשון, ורק אז מפעילים על כל קבוצה את השיעור שלה.
משוב לתשובה נכונה
$990 \times 0.1 = 99$ ⁠ חיוביים כוזבים, פי $11$ ⁠ מ־ $9$ ⁠ החולים שנתפסו.

רמז
כמה בריאים יש, ואיזה חלק מהם הבדיקה מסמנת בטעות?

פתרון מלא
1. הבריאים: $1000 - 10 = 990$ ⁠.
2. הבדיקה טועה ב־ $10\%$ ⁠ מהם: $990 \times 0.1 = 99$ ⁠.
אם עניתם $1$ ⁠, הפעלתם את שיעור הטעות על החולים: $1$ ⁠ הוא החולה שהבדיקה פספסה. אם עניתם $10$ ⁠, הפעלתם אותו על $100$ ⁠ אנשים במקום על הבריאים.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
חצי־חצי
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הבדיקה נשארת מדויקת ב־ $90\%$ ⁠. שנו את עד כמה המחלה שכיחה עד שחצי מהחיוביים יהיו חולים באמת, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 50 ± 1
  בתחילת השלב: 8.333
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
1 %
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
החיוביים ממוינים
נקרא מהסצנה בנקודה
Per cent chance a positive is ill, by Bayes' rule/nodes/crowd/outputs/posterior
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
עד כמה המחלה שכיחה
9.7 %
משוב לתשובה נכונה
בערך $10\%$ ⁠: $90$ ⁠ חולים חיוביים ו־ $90$ ⁠ בריאים חיוביים. ככל שהמחלה שכיחה יותר, תוצאה חיובית אמינה יותר, עם אותה בדיקה בדיוק.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. השוו את שני המזרנים: מתי הם באותו גודל?

רמז
חצי־חצי פירושו שמספר החולים החיוביים שווה למספר הבריאים החיוביים: $0.9p = 0.1(1 - p)$ ⁠.

פתרון מלא
1. חצי מהחיוביים חולים כשהמזרן השמאלי והימני שווים: $p \times 0.9 = (1 - p) \times 0.1$ ⁠.
2. $0.9p = 0.1 - 0.1p$ ⁠, ולכן $p = 0.1$ ⁠.
3. קבעו את עד כמה המחלה שכיחה על $10\%$ ⁠.
אותה בדיקה, ב־ $1\%$ ⁠, נותנת רק $8\%$ ⁠. שיעור הבסיס חשוב כמו הבדיקה עצמה.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
בדיקה טובה יותר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
חוזרים ל־ $1\%$ ⁠ חולים. מחליפים את הבדיקה בבדיקה מדויקת ב־ $99\%$ ⁠. מה הסיכוי עכשיו שחיובי הוא חולה?

התשובה הנכונה
- נכונה בערך $50\%$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
1 %קבוע
דיוק הבדיקה
90 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
תוצאות הבדיקהקבוע
האפשרויות
- נכונה בערך $50\%$ ⁠
- שגויה $99\%$ ⁠
  טעות נפוצה: Takes a test's accuracy as the chance that a positive result is right: 90% accurate, so a positive means 90% ill.
  משוב מהקטלוג
  נסמן ב־ $D$ ⁠ “חולה” וב־ $+$ ⁠ “תוצאה חיובית”. הדיוק אומר מה הבדיקה עושה לחולים ולבריאים: $P(+ \mid D)$ ⁠. השאלה של מי שקיבל תוצאה חיובית היא ההפך: $P(D \mid +)$ ⁠. התשובה תלויה גם בכמה המחלה נפוצה. כשהיא נדירה, רוב החיוביים באים מהקבוצה הגדולה של הבריאים, ולכן הסיכוי להיות חולה נמוך הרבה מהדיוק. זה הזנחת שיעור הבסיס.
- שגויה עדיין בערך $9\%$ ⁠: הבדיקה כמעט לא משנה
  משוב
  הבדיקה דווקא משנה מאוד: שיעור הטעות יורד פי $10$ ⁠, מ־ $10\%$ ⁠ ל־ $1\%$ ⁠, ואיתו מספר החיוביים הכוזבים.
- שגויה בערך $80\%$ ⁠
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
דיוק הבדיקה
99 %קבוע
מיון התוצאות
החיוביים ממויניםקבוע
ואז הסצנה מראה: 50 · Per cent chance a positive is ill, by Bayes' rule/nodes/crowd/outputs/posterior
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$50\%$ ⁠: $10$ ⁠ חולים חיוביים ו־ $10$ ⁠ בריאים חיוביים ( $1\%$ ⁠ מ־ $990$ ⁠). גם בדיקה מצוינת עדיין טועה בחצי מהחיוביים כשהמחלה נדירה.

רמז
כמה בריאים יסומנו בטעות כשהטעות היא $1\%$ ⁠?

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. חולים חיוביים: $10 \times 0.99 \approx 10$ ⁠.
2. בריאים חיוביים: $990 \times 0.01 \approx 10$ ⁠.
3. $P(D \mid +) = \frac{10}{20} = 50\%$ ⁠.
כדי שחיובי יהיה כמעט בטוח, שיעור הטעות צריך להיות קטן בהרבה משיעור המחלה.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
נדירה עוד יותר
תרגול · חשבו
השאלה
ומחלה נדירה עוד יותר, $1$ ⁠ מכל $1000$ ⁠ ( $0.1\%$ ⁠), עם אותה בדיקה של $99\%$ ⁠? מה הסיכוי שחיובי חולה? כתבו באחוזים, מספר בלבד, מעוגל לעשירית.

התשובה הנכונה
9.016 ± 0.3
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
0.1 %קבוע
דיוק הבדיקה
99 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
תוצאות הבדיקה
מתקבלת בטווח
± 0.3
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Per cent chance a positive is ill, by Bayes' rule/nodes/crowd/outputs/posterior
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 99 ± 0.3
  טעות נפוצה: Takes a test's accuracy as the chance that a positive result is right: 90% accurate, so a positive means 90% ill.
  משוב מהקטלוג
  נסמן ב־ $D$ ⁠ “חולה” וב־ $+$ ⁠ “תוצאה חיובית”. הדיוק אומר מה הבדיקה עושה לחולים ולבריאים: $P(+ \mid D)$ ⁠. השאלה של מי שקיבל תוצאה חיובית היא ההפך: $P(D \mid +)$ ⁠. התשובה תלויה גם בכמה המחלה נפוצה. כשהיא נדירה, רוב החיוביים באים מהקבוצה הגדולה של הבריאים, ולכן הסיכוי להיות חולה נמוך הרבה מהדיוק. זה הזנחת שיעור הבסיס.
- 0.1 ± 0.3
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב מהקטלוג
  התנאי הוא מידע חדש, וצריך להשתמש בו. “בהינתן ש־ $B$ ⁠” אומר: מחקו את כל התוצאות שאינן ב־ $B$ ⁠, והתחילו לספור מחדש בתוך מה שנשאר. לפעמים הסיכוי יוצא אותו דבר, ואז המאורעות בלתי תלויים, אבל את זה מגלים רק אחרי שסופרים.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $9\%$ ⁠: על כל חולה שנתפס יש כ־ $10$ ⁠ חיוביים כוזבים. בגלל זה לא בודקים את כל האוכלוסייה למחלות נדירות, אלא קבוצות בסיכון.

רמז
בתוך $1000$ ⁠ אנשים יש חולה אחד. כמה מתוך $999$ ⁠ הבריאים יסומנו?

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. בשיעורים: $P(D \cap +) = 0.001 \times 0.99 = 0.00099$ ⁠.
2. $P(H \cap +) = 0.999 \times 0.01 = 0.00999$ ⁠.
3. $P(D \mid +) = \frac{0.00099}{0.00099 + 0.00999} \approx 0.090 = 9.0\%$ ⁠.
באולם של $1000$ ⁠ אנשים זה חולה אחד מול כ־ $10$ ⁠ בריאים על המזרנים.

שיעור 4 מתוך 4 · כ־25 דקות

משפט בייס

מהספירה באולם לנוסחה: משפט בייס הופך את התנאי, בדיקה חוזרת מנצחת את שיעור הבסיס, מה שיוצא אחרי ראיה אחת הוא נקודת המוצא לבאה, וכשל התובע.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
הנוסחה
תרגול · חשבו
השאלה
$2\%$ ⁠ חולים, ובדיקה מדויקת ב־ $95\%$ ⁠. לפי משפט בייס, מה הסיכוי שחיובי חולה? כתבו באחוזים, מספר בלבד, מעוגל לעשירית.

התשובה הנכונה
27.94 ± 0.3
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
2 %קבוע
דיוק הבדיקה
95 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבויקבוע
מיון התוצאות
תוצאות הבדיקה
מתקבלת בטווח
± 0.3
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Per cent chance a positive is ill, by Bayes' rule/nodes/crowd/outputs/posterior
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 95 ± 0.3
  טעות נפוצה: Takes a test's accuracy as the chance that a positive result is right: 90% accurate, so a positive means 90% ill.
  משוב מהקטלוג
  נסמן ב־ $D$ ⁠ “חולה” וב־ $+$ ⁠ “תוצאה חיובית”. הדיוק אומר מה הבדיקה עושה לחולים ולבריאים: $P(+ \mid D)$ ⁠. השאלה של מי שקיבל תוצאה חיובית היא ההפך: $P(D \mid +)$ ⁠. התשובה תלויה גם בכמה המחלה נפוצה. כשהיא נדירה, רוב החיוביים באים מהקבוצה הגדולה של הבריאים, ולכן הסיכוי להיות חולה נמוך הרבה מהדיוק. זה הזנחת שיעור הבסיס.
- 1.9 ± 0.3
  טעות נפוצה: Confuses the chance of A and B with the chance of A given B: divides by all the outcomes instead of by the outcomes in B, or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  “ $A$ ⁠ וגם $B$ ⁠” ו” $A$ ⁠ בהינתן $B$ ⁠” סופרים את אותן תוצאות, אלה שבשני המאורעות, אבל מחלקים בדברים שונים. ב“וגם” מחלקים בכל התוצאות. ב“בהינתן $B$ ⁠” כבר ידוע ש־ $B$ ⁠ קרה, ולכן מחלקים רק בתוצאות של $B$ ⁠: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ⁠. התנאי מקטין את המכנה, ולכן הסיכוי המותנה גדול יותר.
- 2 ± 0.3
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב מהקטלוג
  התנאי הוא מידע חדש, וצריך להשתמש בו. “בהינתן ש־ $B$ ⁠” אומר: מחקו את כל התוצאות שאינן ב־ $B$ ⁠, והתחילו לספור מחדש בתוך מה שנשאר. לפעמים הסיכוי יוצא אותו דבר, ואז המאורעות בלתי תלויים, אבל את זה מגלים רק אחרי שסופרים.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{0.019}{0.019 + 0.049} \approx 27.9\%$ ⁠. באולם: $19$ ⁠ חולים מתוך $68$ ⁠ חיוביים.

רמז
$P(+) = 0.02 \times 0.95 + 0.98 \times 0.05$ ⁠.

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. המונה: $P(+ \mid D) \cdot P(D) = 0.95 \times 0.02 = 0.019$ ⁠.
2. המכנה, כל החיוביים: $0.019 + 0.05 \times 0.98 = 0.019 + 0.049 = 0.068$ ⁠.
3. $P(D \mid +) = \frac{0.019}{0.068} \approx 0.279 = 27.9\%$ ⁠.
אם עניתם $1.9$ ⁠, עצרתם במונה: זה הסיכוי להיות גם חולה וגם חיובי, חלק מכל האוכלוסייה. בייס מחלק אותו בכל החיוביים.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
הופכים את התנאי
תרגול · בחרו
השאלה
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.

איזה ביטוי שווה ל־ $P(D \mid +)$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $\dfrac{P(+ \mid D) \cdot P(D)}{P(+)}$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
2 %
דיוק הבדיקה
95 %
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבוי
מיון התוצאות
החיוביים ממוינים
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $\dfrac{P(+ \mid D) \cdot P(D)}{P(+)}$ ⁠
- שגויה $P(+ \mid D)$ ⁠
  טעות נפוצה: Treats the chance of A given B as the chance of B given A.
  משוב מהקטלוג
  $P(A \mid B)$ ⁠ ו־ $P(B \mid A)$ ⁠ חולקים את אותו מונה, התוצאות שבשני המאורעות, אבל המכנים שונים: פעם כל התוצאות של $B$ ⁠, ופעם כל התוצאות של $A$ ⁠. הם שווים רק כש־ $A$ ⁠ ו־ $B$ ⁠ באותו גודל. “רוב החולים מקבלים תוצאה חיובית” אינו “רוב בעלי התוצאה החיובית חולים”, ובלבול ביניהם נקרא כשל התובע.
- שגויה $P(+ \mid D) \cdot P(D)$ ⁠
  טעות נפוצה: Confuses the chance of A and B with the chance of A given B: divides by all the outcomes instead of by the outcomes in B, or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  “ $A$ ⁠ וגם $B$ ⁠” ו” $A$ ⁠ בהינתן $B$ ⁠” סופרים את אותן תוצאות, אלה שבשני המאורעות, אבל מחלקים בדברים שונים. ב“וגם” מחלקים בכל התוצאות. ב“בהינתן $B$ ⁠” כבר ידוע ש־ $B$ ⁠ קרה, ולכן מחלקים רק בתוצאות של $B$ ⁠: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ⁠. התנאי מקטין את המכנה, ולכן הסיכוי המותנה גדול יותר.
- שגויה $\dfrac{P(D)}{P(+ \mid D)}$ ⁠
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
משוב לתשובה נכונה
זה משפט בייס: הופכים את התנאי בעזרת $P(A \cap B) = P(B \mid A) \cdot P(A)$ ⁠.

רמז
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ⁠, ו־ $P(A \cap B)$ ⁠ אפשר לכתוב גם מהצד השני.

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. מההגדרה: $P(D \mid +) = \frac{P(D \cap +)}{P(+)}$ ⁠.
2. מכלל הכפל, מהצד השני: $P(D \cap +) = P(+ \mid D) \cdot P(D)$ ⁠.
3. מציבים: $P(D \mid +) = \frac{P(+ \mid D) \cdot P(D)}{P(+)}$ ⁠.
הביטוי בלי המכנה הוא “גם וגם”, לא הסיכוי המותנה.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
בודקים שוב
תרגול · חשבו
השאלה
עדיין $2\%$ ⁠ חולים ובדיקה של $95\%$ ⁠, אבל עכשיו כל מי שיצא חיובי נבדק שוב, בבדיקה בלתי תלויה, ונשאר חיובי רק אם גם היא חיובית. מה הסיכוי שחיובי כפול חולה? כתבו באחוזים, מספר בלבד.

התשובה הנכונה
88.05 ± 2
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
2 %קבוע
דיוק הבדיקה
95 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
פועלקבוע
מיון התוצאות
תוצאות הבדיקה
מתקבלת בטווח
± 2
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Per cent chance a positive is ill, by Bayes' rule/nodes/crowd/outputs/posterior
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 27.9 ± 1
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב
  $27.9\%$ ⁠ הוא הסיכוי אחרי בדיקה אחת. הבדיקה השנייה היא מידע נוסף, והיא מסננת כמעט את כל החיוביים הכוזבים.
- 99.75 ± 1
  טעות נפוצה: Takes a test's accuracy as the chance that a positive result is right: 90% accurate, so a positive means 90% ill.
  משוב מהקטלוג
  נסמן ב־ $D$ ⁠ “חולה” וב־ $+$ ⁠ “תוצאה חיובית”. הדיוק אומר מה הבדיקה עושה לחולים ולבריאים: $P(+ \mid D)$ ⁠. השאלה של מי שקיבל תוצאה חיובית היא ההפך: $P(D \mid +)$ ⁠. התשובה תלויה גם בכמה המחלה נפוצה. כשהיא נדירה, רוב החיוביים באים מהקבוצה הגדולה של הבריאים, ולכן הסיכוי להיות חולה נמוך הרבה מהדיוק. זה הזנחת שיעור הבסיס.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $88\%$ ⁠: מתוך $980$ ⁠ בריאים רק כ־ $2$ ⁠ עוברים פעמיים, ו־ $18$ ⁠ מתוך $20$ ⁠ החולים נשארים. בדיקה חוזרת היא הדרך המעשית לנצח את שיעור הבסיס.

רמז
בשתי בדיקות, חולה נשאר חיובי בסיכוי $0.95^2$ ⁠, ובריא בסיכוי $0.05^2$ ⁠.

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. חולה חיובי פעמיים: $0.02 \times 0.95^2 = 0.02 \times 0.9025 = 0.01805$ ⁠.
2. בריא חיובי פעמיים: $0.98 \times 0.05^2 = 0.98 \times 0.0025 = 0.00245$ ⁠.
3. $P(D \mid {+}{+}) = \frac{0.01805}{0.01805 + 0.00245} \approx 0.880 = 88\%$ ⁠.
באולם הספירות מעוגלות: $18$ ⁠ חולים ו־ $2$ ⁠ בריאים, כלומר $90\%$ ⁠. החשבון המדויק נותן $88\%$ ⁠.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
צעד אחר צעד
תרגול · חשבו
השאלה
דרך אחרת לחשב את הבדיקה השנייה: אחרי החיובי הראשון, הסיכוי להיות חולה הוא $27.9\%$ ⁠. השתמשו בו כשיעור הבסיס החדש, והפעילו את בייס שוב עם הבדיקה של $95\%$ ⁠. מה יוצא? כתבו באחוזים, מספר בלבד.

התשובה הנכונה
88 ± 1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
2 %קבוע
דיוק הבדיקה
95 %קבוע
בדיקה חוזרת לחיוביים
פועלקבוע
מיון התוצאות
החיוביים ממוינים
מתקבלת בטווח
± 1
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 95 ± 1
  טעות נפוצה: Takes a test's accuracy as the chance that a positive result is right: 90% accurate, so a positive means 90% ill.
  משוב מהקטלוג
  נסמן ב־ $D$ ⁠ “חולה” וב־ $+$ ⁠ “תוצאה חיובית”. הדיוק אומר מה הבדיקה עושה לחולים ולבריאים: $P(+ \mid D)$ ⁠. השאלה של מי שקיבל תוצאה חיובית היא ההפך: $P(D \mid +)$ ⁠. התשובה תלויה גם בכמה המחלה נפוצה. כשהיא נדירה, רוב החיוביים באים מהקבוצה הגדולה של הבריאים, ולכן הסיכוי להיות חולה נמוך הרבה מהדיוק. זה הזנחת שיעור הבסיס.
- 27.9 ± 0.5
  טעות נפוצה: Answers with the plain chance of A when asked for the chance of A given B, as if the condition told you nothing.
  משוב מהקטלוג
  התנאי הוא מידע חדש, וצריך להשתמש בו. “בהינתן ש־ $B$ ⁠” אומר: מחקו את כל התוצאות שאינן ב־ $B$ ⁠, והתחילו לספור מחדש בתוך מה שנשאר. לפעמים הסיכוי יוצא אותו דבר, ואז המאורעות בלתי תלויים, אבל את זה מגלים רק אחרי שסופרים.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{0.265}{0.265 + 0.036} \approx 88\%$ ⁠, בדיוק כמו בבדיקה החוזרת. כך עובד בייס: מה שיצא אחרי ראיה אחת הוא נקודת המוצא לראיה הבאה.

רמז
$\frac{0.279 \times 0.95}{0.279 \times 0.95 + 0.721 \times 0.05}$ ⁠

פתרון מלא
נסמן ב־ $D$ ⁠ את המאורע “חולה”, ב־ $H$ ⁠ את “בריא” וב־ $+$ ⁠ את “תוצאה חיובית”.
1. שיעור הבסיס החדש: $P(D) = 0.279$ ⁠, ולכן $P(H) = 0.721$ ⁠.
2. המונה: $0.279 \times 0.95 \approx 0.265$ ⁠.
3. המכנה: $0.265 + 0.721 \times 0.05 \approx 0.265 + 0.036 = 0.301$ ⁠.
4. $\frac{0.265}{0.301} \approx 0.88 = 88\%$ ⁠.
זה יוצא כמו החשבון של שתי הבדיקות יחד, כי הבדיקות בלתי תלויות: לא משנה אם מעדכנים בבת אחת או צעד אחר צעד.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
כשל התובע
תרגול · בחרו
השאלה
בזירת פשע נמצא DNA. הסיכוי שאדם חף מפשע יתאים לו במקרה הוא $1$ ⁠ ל־ $10{,}000$ ⁠. בעיר $500{,}000$ ⁠ תושבים, ונמצא חשוד אחד שמתאים, בלי שום ראיה אחרת. התובע אומר: “הסיכוי שהוא חף מפשע הוא $1$ ⁠ ל־ $10{,}000$ ⁠”. מה נכון?

התשובה הנכונה
- נכונה בעיר צפויים כ־ $50$ ⁠ אנשים חפים מפשע שמתאימים, ולכן בלי ראיה נוספת הסיכוי שהוא האשם הוא בערך $1$ ⁠ ל־ $51$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד כמה המחלה שכיחה
2 %
דיוק הבדיקה
95 %
בדיקה חוזרת לחיוביים
כבוי
מיון התוצאות
החיוביים ממוינים
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה בעיר צפויים כ־ $50$ ⁠ אנשים חפים מפשע שמתאימים, ולכן בלי ראיה נוספת הסיכוי שהוא האשם הוא בערך $1$ ⁠ ל־ $51$ ⁠
- שגויה התובע צודק: הסיכוי שהוא חף מפשע הוא $1$ ⁠ ל־ $10{,}000$ ⁠
  טעות נפוצה: Treats the chance of A given B as the chance of B given A.
  משוב מהקטלוג
  $P(A \mid B)$ ⁠ ו־ $P(B \mid A)$ ⁠ חולקים את אותו מונה, התוצאות שבשני המאורעות, אבל המכנים שונים: פעם כל התוצאות של $B$ ⁠, ופעם כל התוצאות של $A$ ⁠. הם שווים רק כש־ $A$ ⁠ ו־ $B$ ⁠ באותו גודל. “רוב החולים מקבלים תוצאה חיובית” אינו “רוב בעלי התוצאה החיובית חולים”, ובלבול ביניהם נקרא כשל התובע.
- שגויה חצי־חצי: הוא אשם או שלא
  משוב
  שתי אפשרויות אינן שוות סיכוי. צריך לספור: כמה אנשים בעיר מתאימים?
משוב לתשובה נכונה
$\frac{500{,}000}{10{,}000} = 50$ ⁠ התאמות מקריות, ועוד האשם עצמו. ההתאמה מצמצמת את החשודים מחצי מיליון ל־ $51$ ⁠, אבל לא לאחד.

רמז
כמה מתוך $500{,}000$ ⁠ התושבים יתאימו במקרה?

פתרון מלא
נסמן ב־ $M$ ⁠ את “מתאים ל־DNA”, ב־ $I$ ⁠ את “חף מפשע” וב־ $G$ ⁠ את “אשם”.
1. $\frac{1}{10{,}000}$ ⁠ הוא $P(M \mid I)$ ⁠.
2. השאלה היא $P(I \mid M)$ ⁠: התנאי הפוך.
3. סופרים: מתוך $500{,}000$ ⁠ חפים מפשע, כ־ $50$ ⁠ מתאימים. ועוד האשם, אחד. כלומר $51$ ⁠ מתאימים.
4. בלי ראיה נוספת, $P(G \mid M) \approx \frac{1}{51}$ ⁠.
זה כשל התובע: הפיכה של התנאי, כמו לבלבל בין דיוק הבדיקה לסיכוי שחיובי חולה.

בכל היחידה · 9 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

בהינתן ש

סופרים בתוך התנאי

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

הפוך

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מידע שלא משנה כלום

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

הסכום הבלתי תלוי

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

לא יכולים לקרות יחד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

רמז

פתרון מלא

עצים עם תנאים

מחלקים לפי מחלה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

הענף השני

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

כל החיוביים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

בלי להחזיר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

לאורך מסלול

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

שיעור הבסיס

מחלה נדירה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה