חתכי חרוט.

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.8קבוע

הצגת כדורי המוקד

כבויקבוע

האפשרויות

• נכונה פרבולה

• שגויה אליפסה ארוכה מאוד

  טעות נפוצה: Expects a cut parallel to the cone’s side to close into an ellipse.

  משוב מהקטלוג

  אליפסה נסגרת כי החתך חוצה את כל הקווים של החרוט באותו חצי. כשהחתך מקביל לאחד הקווים, הקו הזה לעולם לא פוגש אותו, והעקומה נפתחת לאינסוף: פרבולה. היא נמשכת עד שפת החרוט ומעבר לה.

• שגויה היפרבולה

  משוב

  היפרבולה מתקבלת כשהחתך תלול יותר מהצד, וחוצה את שני חצאי החרוט. במקביל לצד הוא חוצה רק אחד.

• שגויה מעגל

  משוב

  מעגל מתקבל רק בחתך מאוזן, בהטיה $0^\circ$⁠.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

הטיית החתך

60 °קבוע

ואז הסצנה מראה: 1 · E = sin(tilt) / cos(half-angle): 0 circle, below 1 ellipse, 1 parabola, above 1 hyperbola/nodes/cone/outputs/eccentricity

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °

מרחק מהקודקוד

1.8קבוע

הצגת כדורי המוקד

כבויקבוע

נקרא מהסצנה בנקודה

0 circle, 1 ellipse, 2 parabola, 3 hyperbola; through the tip 10 a point, 11 one line, 12 two crossing lines/nodes/cone/outputs/kind

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

הטיית החתך

61 °

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

0 °קבוע

מרחק מהקודקוד

2קבוע

הצגת כדורי המוקד

כבויקבוע

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

A, half the distance between the vertices (a circle's radius); NaN for a parabola or through the tip/nodes/cone/outputs/semiMajor

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 1 ± 0.01

  טעות נפוצה: Uses sin or cos of the half-angle for the radius of a level cut, instead of tan.

  משוב מהקטלוג

  בחתך מאוזן, בגובה $d$⁠ מעל הקודקוד, הרדיוס $r$⁠ והגובה $d$⁠ הם שני הניצבים של משולש ישר זווית, והזווית שליד הקודקוד היא חצי זווית הפתיחה, $\alpha$⁠. הניצב שמול חלקי הניצב שליד הוא טנגנס: $r = d\tan\alpha$⁠.

• 1.732 ± 0.01

  טעות נפוצה: Uses sin or cos of the half-angle for the radius of a level cut, instead of tan.

  משוב מהקטלוג

  בחתך מאוזן, בגובה $d$⁠ מעל הקודקוד, הרדיוס $r$⁠ והגובה $d$⁠ הם שני הניצבים של משולש ישר זווית, והזווית שליד הקודקוד היא חצי זווית הפתיחה, $\alpha$⁠. הניצב שמול חלקי הניצב שליד הוא טנגנס: $r = d\tan\alpha$⁠.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1

הצגת כדורי המוקד

כבויקבוע

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה היא גדלה, ונשארת באותה צורה

• שגויה היא נעשית עגולה יותר

  טעות נפוצה: Thinks moving the cut along the cone changes the curve’s shape, not just its size.

  משוב מהקטלוג

  חרוט נראה אותו דבר בכל גודל: הזזת החתך הלאה מהקודקוד, באותה הטיה, היא כמו הגדלה של כל התמונה. כל האורכים גדלים באותו יחס, ולכן הצורה והאקסצנטריות לא משתנות. רק ההטיה קובעת את הצורה.

• שגויה היא נמתחת ונעשית צרה יותר

  טעות נפוצה: Thinks moving the cut along the cone changes the curve’s shape, not just its size.

  משוב מהקטלוג

  חרוט נראה אותו דבר בכל גודל: הזזת החתך הלאה מהקודקוד, באותה הטיה, היא כמו הגדלה של כל התמונה. כל האורכים גדלים באותו יחס, ולכן הצורה והאקסצנטריות לא משתנות. רק ההטיה קובעת את הצורה.

• שגויה בסוף היא נפתחת לפרבולה

  משוב

  הצורה תלויה רק בהטיה, ו־$30^\circ$⁠ פחות תלול מהצד: האליפסה נשארת סגורה בכל מרחק.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

80 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1קבוע

הצגת כדורי המוקד

כבויקבוע

האפשרויות

• נכונה שני ישרים שנחתכים בקודקוד

• שגויה נקודה אחת

  משוב

  נקודה מתקבלת כשחתך פחות תלול מהצד עובר בקודקוד: הוא נוגע בחרוט רק שם. חתך תלול חוצה אותו.

• שגויה ישר אחד

  משוב

  ישר אחד מתקבל בחתך דרך הקודקוד שמקביל לצד, ב־$60^\circ$⁠: הוא נוגע בחרוט לאורך קו אחד.

• שגויה היפרבולה קטנה

  משוב

  ההיפרבולה קטנה כשהמרחק קטן, ובמרחק $0$⁠ היא מתנוונת: הענפים נצמדים לאסימפטוטות שלהם, שני ישרים.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

מרחק מהקודקוד

0קבוע

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.5קבוע

הצגת כדורי המוקד

כבוי

מתקבלת בטווח

± 0.005

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

E = sin(tilt) / cos(half-angle): 0 circle, below 1 ellipse, 1 parabola, above 1 hyperbola/nodes/cone/outputs/eccentricity

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 0.5 ± 0.005

  טעות נפוצה: Takes the eccentricity as sin of the tilt, forgetting to divide by cos of the half-angle.

  משוב מהקטלוג

  $e = \frac{\sin\theta}{\cos\alpha}$$e =$$\frac{\sin\theta}{\cos\alpha}$⁠: ההטיה של החתך נמדדת מול ההטיה של צד החרוט. עם $\alpha = 30^\circ$⁠, $\cos\alpha \approx 0.866$$\cos\alpha \approx$$0.866$⁠, ולכן $e$⁠ מגיע ל־$1$⁠, פרבולה, כבר ב־$\theta = 60^\circ$⁠, כשהחתך מקביל לצד.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °

מרחק מהקודקוד

1.5קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

נקרא מהסצנה בנקודה

E = sin(tilt) / cos(half-angle): 0 circle, below 1 ellipse, 1 parabola, above 1 hyperbola/nodes/cone/outputs/eccentricity

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

הטיית החתך

26 °

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.5קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

האפשרויות

• נכונה היא לא תשתנה

• שגויה היא תוכפל

  טעות נפוצה: Thinks moving the cut along the cone changes the curve’s shape, not just its size.

  משוב מהקטלוג

  חרוט נראה אותו דבר בכל גודל: הזזת החתך הלאה מהקודקוד, באותה הטיה, היא כמו הגדלה של כל התמונה. כל האורכים גדלים באותו יחס, ולכן הצורה והאקסצנטריות לא משתנות. רק ההטיה קובעת את הצורה.

• שגויה היא תקטן לחצי

  טעות נפוצה: Thinks moving the cut along the cone changes the curve’s shape, not just its size.

  משוב מהקטלוג

  חרוט נראה אותו דבר בכל גודל: הזזת החתך הלאה מהקודקוד, באותה הטיה, היא כמו הגדלה של כל התמונה. כל האורכים גדלים באותו יחס, ולכן הצורה והאקסצנטריות לא משתנות. רק ההטיה קובעת את הצורה.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

מרחק מהקודקוד

3קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

ואז הסצנה מראה: 0.5774 · E = sin(tilt) / cos(half-angle): 0 circle, below 1 ellipse, 1 parabola, above 1 hyperbola/nodes/cone/outputs/eccentricity

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.5קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

C, from the centre to each focus, where the Dandelin spheres touch the cut; NaN for a parabola or through the tip/nodes/cone/outputs/focalDistance

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 2.25 ± 0.02

  טעות נפוצה: Turns e = c/a upside down, as a/c.

  משוב מהקטלוג

  $e = \frac{c}{a}$⁠: המרחק מהמרכז למוקד חלקי חצי הציר הגדול. באליפסה המוקדים נמצאים בתוכה, $c < a$⁠, ולכן $e < 1$⁠. אם יצא לכם $c$⁠ גדול מ־$a$⁠, המוקד מחוץ לאליפסה.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

45 °

מרחק מהקודקוד

1.5קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועל

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה $60^\circ$⁠

• שגויה $30^\circ$⁠

  טעות נפוצה: Takes the eccentricity as sin of the tilt, forgetting to divide by cos of the half-angle.

  משוב מהקטלוג

  $e = \frac{\sin\theta}{\cos\alpha}$$e =$$\frac{\sin\theta}{\cos\alpha}$⁠: ההטיה של החתך נמדדת מול ההטיה של צד החרוט. עם $\alpha = 30^\circ$⁠, $\cos\alpha \approx 0.866$$\cos\alpha \approx$$0.866$⁠, ולכן $e$⁠ מגיע ל־$1$⁠, פרבולה, כבר ב־$\theta = 60^\circ$⁠, כשהחתך מקביל לצד.

• שגויה $45^\circ$⁠

  משוב

  $e = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 30^\circ} \approx 0.82$$e =$$\frac{\sin 45^\circ}{\cos 30^\circ} \approx$$0.82$⁠: עדיין אליפסה.

• שגויה $90^\circ$⁠, חתך אנכי

  משוב

  חתך אנכי תלול מהצד: $e = \frac{1}{0.866} \approx 1.15$$e =$$\frac{1}{0.866} \approx$$1.15$⁠, היפרבולה.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.8קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

מתקבלת בטווח

± 0.02

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

A, half the distance between the vertices (a circle's radius); NaN for a parabola or through the tip/nodes/cone/outputs/semiMajor

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 1.56 ± 0.02

  טעות נפוצה: Takes the sum of the distances to the two foci as a, half the major axis.

  משוב מהקטלוג

  בקודקוד של האליפסה, $P$⁠ רחוק $a - c$⁠ ממוקד אחד ו־$a + c$⁠ מהשני, ויחד הם $2a$⁠: כל הציר הגדול, מקודקוד לקודקוד. הסכום הזה קבוע בכל נקודה של האליפסה.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.8קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

B, with a² = b² + c² (ellipse) or c² = a² + b² (hyperbola); NaN for a parabola or through the tip/nodes/cone/outputs/semiMinor

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 1.8 ± 0.01

  טעות נפוצה: Uses b² = a² + c² for an ellipse, which is the hyperbola’s rule.

  משוב מהקטלוג

  באליפסה $a^2 = b^2 + c^2$⁠: מהקצה של הציר הקטן, המרחק לכל מוקד הוא $a$⁠, והוא היתר של משולש עם ניצבים $b$⁠ ו־$c$⁠. לכן $b = \sqrt{a^2 - c^2}$$b =$$\sqrt{a^2 - c^2}$⁠, קטן מ־$a$⁠. בהיפרבולה זה הפוך: $c^2 = a^2 + b^2$⁠.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

50 °

מרחק מהקודקוד

1.8קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

האפשרויות

• נכונה הוא יגדל ויתרחק בלי סוף: לפרבולה יש מוקד אחד

• שגויה הוא יקטן עד שייעלם

  משוב

  הכדור הגדול יושב מעבר לחתך, במקום שהחרוט רחב. ככל שהחתך מקביל יותר לצד, הוא נדחק רחוק יותר במעלה החרוט, וגדל.

• שגויה הוא יתמזג עם הכדור הקטן

  משוב

  שני הכדורים מתמזגים רק בחתך מאוזן, כשהאליפסה היא מעגל ושני המוקדים במרכז.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

הטיית החתך

60 °

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

60 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.8קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה $PF = PD$⁠

• שגויה $PF + PD$⁠ קבוע

  משוב

  סכום קבוע של מרחקים שייך לאליפסה, ושם שני המרחקים הם לשני מוקדים. בפרבולה המרחק למוקד והמרחק לישר המדריך גדלים יחד, ולכן הסכום שלהם לא קבוע.

• שגויה $PF = 2 \cdot PD$⁠

  משוב

  $PF = 2 \cdot PD$⁠ פירושו $e = 2$⁠: היפרבולה, לא פרבולה.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

80 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.8

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה ההפרש $|PF_1 - PF_2|$⁠

• שגויה הסכום $PF_1 + PF_2$⁠

  טעות נפוצה: Expects the distances to a hyperbola’s foci to have a fixed sum, as an ellipse’s do, rather than a fixed difference.

  משוב מהקטלוג

  בהיפרבולה כל ענף רחוק יותר ממוקד אחד מאשר מהשני, ובכל נקודה ההפרש בין המרחקים הוא $2a$⁠. הסכום גדל בלי גבול ככל שמתרחקים לאורך הענף.

• שגויה המכפלה $PF_1 \cdot PF_2$⁠

  משוב

  ככל ש־$P$⁠ מתרחק על הענף, שני המרחקים גדלים, וגם המכפלה שלהם.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

הטיית החתך

30 °קבוע

מרחק מהקודקוד

1.8קבוע

הצגת כדורי המוקד

פועלקבוע

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

From a vertex to the focus beside it: a − c, the parabola's focal length, or c − a; NaN through the tip/nodes/cone/outputs/vertexToFocus

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 2.459 ± 0.01

  טעות נפוצה: Adds the centre-to-focus distance to a instead of subtracting it, giving the far focus.

  משוב מהקטלוג

  קודקוד ומוקד שבאותו צד של המרכז קרובים זה לזה: המרחק ביניהם $a - c$⁠. המרחק $a + c$⁠ הוא אל המוקד שבצד השני של המרכז.

רמז

פתרון מלא