משוואות ממעלה ראשונה.

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

2קבוע

אגף שמאל: המספר

1קבוע

אגף ימין: המספר

7קבוע

שני האגפים / נקודת המפגש

שני האגפים

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

X where the curve meets the second line (the smaller, when two); NaN when they never meet or are the same line/nodes/graph/outputs/crossX

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 4 ± 0.01

  טעות נפוצה: Moves a term to the other side without changing its sign: 2x + 1 = 7 becomes 2x = 7 + 1.

  משוב מהקטלוג

  “להעביר אגף” הוא קיצור של פעולה שעושים בשני האגפים. ב־$2x + 1 = 7$⁠ מחסרים $1$⁠ משני האגפים: $2x + 1 - 1 = 7 - 1$⁠, כלומר $2x = 6$⁠. ה־$+1$⁠ לא עבר לצד השני כמו שהוא; הוא בוטל, ובאגף השני הופיע $-1$⁠.

• 6 ± 0.01

  טעות נפוצה: Stops at 2x = 6 and answers 6, forgetting to divide by the coefficient of x.

  משוב מהקטלוג

  $2x = 6$⁠ עוד לא אומר כמה זה $x$⁠: הוא אומר כמה זה פעמיים $x$⁠. הצעד האחרון הוא לחלק את שני האגפים במקדם של $x$⁠: $x = 6 \div 2 = 3$⁠. בדקו בהצבה: $2 \cdot 6 + 1 = 13$⁠, לא $7$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

3קבוע

אגף שמאל: המספר

-4קבוע

אגף ימין: המספר

5קבוע

שני האגפים / נקודת המפגש

שני האגפים

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה להוסיף $4$⁠ לשני האגפים

• שגויה לחסר $4$⁠ משני האגפים

  טעות נפוצה: Moves a term to the other side without changing its sign: 2x + 1 = 7 becomes 2x = 7 + 1.

  משוב מהקטלוג

  “להעביר אגף” הוא קיצור של פעולה שעושים בשני האגפים. ב־$2x + 1 = 7$⁠ מחסרים $1$⁠ משני האגפים: $2x + 1 - 1 = 7 - 1$⁠, כלומר $2x = 6$⁠. ה־$+1$⁠ לא עבר לצד השני כמו שהוא; הוא בוטל, ובאגף השני הופיע $-1$⁠.

• שגויה לחלק את $3x$⁠ ב־$3$⁠

  טעות נפוצה: Does an operation to one side, or to one term, only.

  משוב מהקטלוג

  משוואה היא כמו מאזניים: כל פעולה עושים לשני האגפים, ולכל האגף. אם מוסיפים $4$⁠ רק לאגף אחד, השוויון נשבר, וה־$x$⁠ שתמצאו כבר לא פותר את המשוואה המקורית.

• שגויה להוסיף $4$⁠ לאגף שמאל

  טעות נפוצה: Does an operation to one side, or to one term, only.

  משוב מהקטלוג

  משוואה היא כמו מאזניים: כל פעולה עושים לשני האגפים, ולכל האגף. אם מוסיפים $4$⁠ רק לאגף אחד, השוויון נשבר, וה־$x$⁠ שתמצאו כבר לא פותר את המשוואה המקורית.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

4קבוע

אגף שמאל: המספר

-3קבוע

אגף ימין: המספר

3קבוע

שני האגפים / נקודת המפגש

שני האגפים

הגדרות נוספות

M2/nodes/graph/props/m2 = 1

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

X where the curve meets the second line (the smaller, when two); NaN when they never meet or are the same line/nodes/graph/outputs/crossX

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 1.2 ± 0.01

  טעות נפוצה: Moves a term to the other side without changing its sign: 2x + 1 = 7 becomes 2x = 7 + 1.

  משוב מהקטלוג

  “להעביר אגף” הוא קיצור של פעולה שעושים בשני האגפים. ב־$2x + 1 = 7$⁠ מחסרים $1$⁠ משני האגפים: $2x + 1 - 1 = 7 - 1$⁠, כלומר $2x = 6$⁠. ה־$+1$⁠ לא עבר לצד השני כמו שהוא; הוא בוטל, ובאגף השני הופיע $-1$⁠.

• 0 ± 0.01

  טעות נפוצה: Moves a term to the other side without changing its sign: 2x + 1 = 7 becomes 2x = 7 + 1.

  משוב מהקטלוג

  “להעביר אגף” הוא קיצור של פעולה שעושים בשני האגפים. ב־$2x + 1 = 7$⁠ מחסרים $1$⁠ משני האגפים: $2x + 1 - 1 = 7 - 1$⁠, כלומר $2x = 6$⁠. ה־$+1$⁠ לא עבר לצד השני כמו שהוא; הוא בוטל, ובאגף השני הופיע $-1$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

2קבוע

אגף שמאל: המספר

1קבוע

אגף ימין: המספר

7

שני האגפים / נקודת המפגש

נקודת המפגש

נקרא מהסצנה בנקודה

X where the curve meets the second line (the smaller, when two); NaN when they never meet or are the same line/nodes/graph/outputs/crossX

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

אגף ימין: המספר

-3

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

2קבוע

אגף ימין: המספר

7קבוע

הסימן

=קבוע

שני האגפים / נקודת המפגש

נקודת המפגש

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = 1

האפשרויות

• נכונה כל $x$⁠ שקטן מ־$3$⁠

• שגויה כל $x$⁠ שגדול מ־$3$⁠

  משוב

  בדקו מספר אחד: ב־$x = 5$⁠ יוצא $2 \cdot 5 + 1 = 11$⁠, ו־$11$⁠ לא קטן מ־$7$⁠.

• שגויה רק $x = 3$⁠

  משוב

  ב־$x = 3$⁠ שני האגפים שווים: זה הפתרון של המשוואה, לא של אי־השוויון. הוא הגבול בין הפתרונות לשאר.

• שגויה כל $x$⁠ שקטן מ־$7$⁠

  משוב

  $7$⁠ הוא הערך של אגף ימין, לא גבול של $x$⁠. בדקו $x = 5$⁠: $11 < 7$⁠ לא נכון.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

הסימן

<קבוע

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

-2קבוע

אגף ימין: המספר

7קבוע

הסימן

=קבוע

שני האגפים / נקודת המפגש

נקודת המפגש

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = 1

האפשרויות

• נכונה $x > -3$⁠

• שגויה $x < -3$⁠

  טעות נפוצה: Divides an inequality by a negative number without turning the sign round.

  משוב מהקטלוג

  כפל או חילוק במספר שלילי הופכים את סימן אי־השוויון. $2 < 5$⁠, אבל $-2 > -5$⁠. ב־$-2x < 6$⁠ מחלקים ב־$-2$⁠ ומקבלים $x > -3$⁠. בדקו מספר אחד: $x = 0$⁠ נותן $0 < 6$⁠, נכון, ו־$0$⁠ אכן גדול מ־$-3$⁠.

• שגויה $x > 3$⁠

  משוב

  $-2x < 6$⁠ ומחלקים ב־$-2$⁠: $6 \div (-2) = -3$⁠, לא $3$⁠.

• שגויה $x < 3$⁠

  משוב

  זה הפתרון של $2x + 1 < 7$⁠. כאן המקדם של $x$⁠ שלילי, והקו יורד.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

הסימן

<קבוע

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

2קבוע

אגף ימין: המספר

7קבוע

הסימן

<

שני האגפים / נקודת המפגש

נקודת המפגש

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = 1

מתקבלת בטווח

± 0.01

ערך קבוע בשאלה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 3 ± 0.01

  טעות נפוצה: Counts the boundary of a strict inequality (< or >) as a solution.

  משוב מהקטלוג

  ב־$<$⁠ ו־$>$⁠ הגבול עצמו לא פתרון: בו שני האגפים שווים, ושווה זה לא קטן יותר. רק ב־$\le$⁠ וב־$\ge$⁠ הגבול נכלל. על הלוח: טבעת ריקה לגבול שלא נכלל, נקודה מלאה לגבול שנכלל.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

אגף שמאל: המקדם של x

-1קבוע

אגף ימין: המספר

2קבוע

הסימן

=

שני האגפים / נקודת המפגש

נקודת המפגש

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = 5

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה $x < 3$⁠

• שגויה $x > 3$⁠

  טעות נפוצה: Divides an inequality by a negative number without turning the sign round.

  משוב מהקטלוג

  כפל או חילוק במספר שלילי הופכים את סימן אי־השוויון. $2 < 5$⁠, אבל $-2 > -5$⁠. ב־$-2x < 6$⁠ מחלקים ב־$-2$⁠ ומקבלים $x > -3$⁠. בדקו מספר אחד: $x = 0$⁠ נותן $0 < 6$⁠, נכון, ו־$0$⁠ אכן גדול מ־$-3$⁠.

• שגויה $x > -3$⁠

  משוב

  מ־$5 - x > 2$⁠ מחסרים $5$⁠: $-x > -3$⁠. עכשיו כופלים ב־$-1$⁠, ושני הדברים קורים יחד: הסימנים של המספרים מתהפכים, וגם סימן אי־השוויון.

• שגויה $x < -3$⁠

  משוב

  מ־$-x > -3$⁠ הכפל ב־$-1$⁠ הופך גם את המספר: $3$⁠, לא $-3$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

מחיר לשעה

2קבוע

דמי הגעה

3קבוע

התקציב

11קבוע

קו העלות / איפה נגמר התקציב

קו העלות

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

X where the curve meets the second line (the smaller, when two); NaN when they never meet or are the same line/nodes/graph/outputs/crossX

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 8 ± 0.01

  טעות נפוצה: Stops at 2x = 6 and answers 6, forgetting to divide by the coefficient of x.

  משוב מהקטלוג

  $2x = 6$⁠ עוד לא אומר כמה זה $x$⁠: הוא אומר כמה זה פעמיים $x$⁠. הצעד האחרון הוא לחלק את שני האגפים במקדם של $x$⁠: $x = 6 \div 2 = 3$⁠. בדקו בהצבה: $2 \cdot 6 + 1 = 13$⁠, לא $7$⁠.

• 2.5 ± 0.01

  טעות נפוצה: Divides only one term of a side: (y − 3)/2 becomes y/2 − 3.

  משוב מהקטלוג

  כשמחלקים אגף ב־$2$⁠, מחלקים את כולו: $\dfrac{y - 3}{2}$⁠, ולא $\dfrac{y}{2} - 3$⁠. בדקו עם מספר: ב־$y = 11$⁠ הראשון נותן $4$⁠, והשני $2.5$⁠. רק $4$⁠ מחזיר את $11$⁠ בנוסחה $y = 2x + 3$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

מחיר לשעה

2

דמי הגעה

3

התקציב

11

קו העלות / איפה נגמר התקציב

איפה נגמר התקציב

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה $x = \dfrac{y - 3}{2}$$x =$$\dfrac{y - 3}{2}$⁠

• שגויה $x = \dfrac{y}{2} - 3$$x =$$\dfrac{y}{2} - 3$⁠

  טעות נפוצה: Divides only one term of a side: (y − 3)/2 becomes y/2 − 3.

  משוב מהקטלוג

  כשמחלקים אגף ב־$2$⁠, מחלקים את כולו: $\dfrac{y - 3}{2}$⁠, ולא $\dfrac{y}{2} - 3$⁠. בדקו עם מספר: ב־$y = 11$⁠ הראשון נותן $4$⁠, והשני $2.5$⁠. רק $4$⁠ מחזיר את $11$⁠ בנוסחה $y = 2x + 3$⁠.

• שגויה $x = \dfrac{y + 3}{2}$$x =$$\dfrac{y + 3}{2}$⁠

  טעות נפוצה: Moves a term to the other side without changing its sign: 2x + 1 = 7 becomes 2x = 7 + 1.

  משוב מהקטלוג

  “להעביר אגף” הוא קיצור של פעולה שעושים בשני האגפים. ב־$2x + 1 = 7$⁠ מחסרים $1$⁠ משני האגפים: $2x + 1 - 1 = 7 - 1$⁠, כלומר $2x = 6$⁠. ה־$+1$⁠ לא עבר לצד השני כמו שהוא; הוא בוטל, ובאגף השני הופיע $-1$⁠.

• שגויה $x = 2y - 3$⁠

  משוב

  את הכפל ב־$2$⁠ מבטל חילוק ב־$2$⁠, לא כפל. בדקו: ב־$y = 11$⁠ יוצא $19$⁠ שעות, אבל $2 \cdot 19 + 3 = 41$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

מחיר לשעה

2

דמי הגעה

3

התקציב

11

קו העלות / איפה נגמר התקציב

איפה נגמר התקציב

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה $b = \dfrac{P - 2a}{2}$$b =$$\dfrac{P - 2a}{2}$⁠

• שגויה $b = \dfrac{P}{2} - 2a$$b =$$\dfrac{P}{2} - 2a$⁠

  טעות נפוצה: Divides only one term of a side: (y − 3)/2 becomes y/2 − 3.

  משוב מהקטלוג

  כשמחלקים אגף ב־$2$⁠, מחלקים את כולו: $\dfrac{y - 3}{2}$⁠, ולא $\dfrac{y}{2} - 3$⁠. בדקו עם מספר: ב־$y = 11$⁠ הראשון נותן $4$⁠, והשני $2.5$⁠. רק $4$⁠ מחזיר את $11$⁠ בנוסחה $y = 2x + 3$⁠.

• שגויה $b = \dfrac{P + 2a}{2}$$b =$$\dfrac{P + 2a}{2}$⁠

  טעות נפוצה: Moves a term to the other side without changing its sign: 2x + 1 = 7 becomes 2x = 7 + 1.

  משוב מהקטלוג

  “להעביר אגף” הוא קיצור של פעולה שעושים בשני האגפים. ב־$2x + 1 = 7$⁠ מחסרים $1$⁠ משני האגפים: $2x + 1 - 1 = 7 - 1$⁠, כלומר $2x = 6$⁠. ה־$+1$⁠ לא עבר לצד השני כמו שהוא; הוא בוטל, ובאגף השני הופיע $-1$⁠.

• שגויה $b = P - 2a$⁠

  טעות נפוצה: Stops at 2x = 6 and answers 6, forgetting to divide by the coefficient of x.

  משוב מהקטלוג

  $2x = 6$⁠ עוד לא אומר כמה זה $x$⁠: הוא אומר כמה זה פעמיים $x$⁠. הצעד האחרון הוא לחלק את שני האגפים במקדם של $x$⁠: $x = 6 \div 2 = 3$⁠. בדקו בהצבה: $2 \cdot 6 + 1 = 13$⁠, לא $7$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

מחיר לשעה

2קבוע

דמי הגעה

3קבוע

התקציב

11

קו העלות / איפה נגמר התקציב

איפה נגמר התקציב

נקרא מהסצנה בנקודה

X where the curve meets the second line (the smaller, when two); NaN when they never meet or are the same line/nodes/graph/outputs/crossX

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

התקציב

10

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

ראשונה: המקדם של x

1קבוע

שנייה: המקדם של x

-1קבוע

שנייה: המספר

5קבוע

שני הישרים / נקודת המפגש

שני הישרים

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = 1

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה $(2, 3)$⁠

• שגויה $(3, 2)$⁠

  טעות נפוצה: Writes a point as (y, x), or gives x when asked for y.

  משוב מהקטלוג

  נקודה נכתבת תמיד $(x, y)$⁠: קודם המרחק לרוחב, ואחר כך הגובה. בדקו בהצבה: הציבו את המספר הראשון במקום $x$⁠ ובדקו שיוצא המספר השני.

• שגויה $(0, 1)$⁠

  משוב

  $(0, 1)$⁠ על הישר הראשון, אבל בישר השני $x = 0$⁠ נותן $y = 5$⁠. פתרון של מערכת צריך לקיים את שתי המשוואות.

• שגויה $(4, 0)$⁠

  משוב

  $(4, 0)$⁠ על הישר השני בלבד: בראשון $x = 4$⁠ נותן $y = 5$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

ראשונה: המקדם של x

2קבוע

שנייה: המקדם של x

-1קבוע

שנייה: המספר

8קבוע

שני הישרים / נקודת המפגש

שני הישרים

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = -1

מתקבלת בטווח

± 0.01

מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב

Y there/nodes/graph/outputs/crossY

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

• 3 ± 0.01

  טעות נפוצה: Writes a point as (y, x), or gives x when asked for y.

  משוב מהקטלוג

  נקודה נכתבת תמיד $(x, y)$⁠: קודם המרחק לרוחב, ואחר כך הגובה. בדקו בהצבה: הציבו את המספר הראשון במקום $x$⁠ ובדקו שיוצא המספר השני.

• 3.667 ± 0.01

  טעות נפוצה: Drops the brackets when substituting an expression with a minus: x + 2x + 1 instead of x + (2x − 1).

  משוב מהקטלוג

  כשמציבים ביטוי במקום אות, מכניסים אותו בסוגריים: $y = 2x - 1$⁠ נכנס ל־$x + y = 8$⁠ כ־$x + (2x - 1) = 8$⁠. המינוס שייך ל־$1$⁠ ונשאר איתו: $3x - 1 = 8$⁠, ולכן $x = 3$⁠ ו־$y = 5$⁠.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

ראשונה: המקדם של x

-1קבוע

שנייה: המקדם של x

1קבוע

שנייה: המספר

-1קבוע

שני הישרים / נקודת המפגש

נקודת המפגש

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = 5

האפשרויות

מוצגות בסדר אקראי.

• נכונה $2x = 6$⁠

• שגויה $2x + 2y = 6$⁠

  משוב

  $y + (-y) = 0$⁠: ה־$y$⁠ מהמשוואה הראשונה וה־$-y$⁠ מהשנייה מבטלים זה את זה. בדיוק בשביל זה מחברים.

• שגויה $2x = 4$⁠

  טעות נפוצה: Does an operation to one side, or to one term, only.

  משוב מהקטלוג

  משוואה היא כמו מאזניים: כל פעולה עושים לשני האגפים, ולכל האגף. אם מוסיפים $4$⁠ רק לאגף אחד, השוויון נשבר, וה־$x$⁠ שתמצאו כבר לא פותר את המשוואה המקורית.

• שגויה $2y = 4$⁠

  משוב

  $2y = 4$⁠ יוצא מחיסור המשוואות, לא מחיבור. גם הוא דרך טובה, אבל השאלה היא על החיבור.

רמז

פתרון מלא

הסצנה בשלב הזה

ראשונה: המקדם של x

2קבוע

שנייה: המקדם של x

2קבוע

שנייה: המספר

-3קבוע

שני הישרים / נקודת המפגש

שני הישרים

הגדרות נוספות

C/nodes/graph/props/c = 1

האפשרויות

• נכונה אין פתרון

• שגויה פתרון אחד

  טעות נפוצה: Thinks any two lines meet once, so every system has exactly one solution.

  משוב מהקטלוג

  שני ישרים עם אותו מקדם של $x$⁠ עולים באותו קצב, ולכן המרחק ביניהם לא משתנה: הם מקבילים ולא נפגשים, ולמערכת אין פתרון. אם גם המספר החופשי שווה, זה אותו ישר, וכל נקודה עליו היא פתרון.

• שגויה אינסוף פתרונות

  משוב

  אינסוף פתרונות יש כששתי המשוואות הן אותו ישר. כאן המספר החופשי שונה: $+1$⁠ ו־$-3$⁠.

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

שני הישרים / נקודת המפגש

נקודת המפגש

ואז הסצנה מראה: 0 · How many times the curve meets the second line: 0, 1 or 2, Infinity when they are the same line/nodes/graph/outputs/crossCount

ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.

פתרון מלא