מפתח תשובות · יחידה 19

דפוסים ומקריות.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 3

שיעור 1 מתוך 3 · כ־15 דקות

כאוס

שתי מטוטלות כפולות זהות כמעט: תנועה שנקבעת לגמרי מההתחלה ובכל זאת אי אפשר לחזות אותה, הפרש זעיר שגדל בכפל, ולמה דיוק גדול יותר קונה מעט מאוד זמן.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
אותה התחלה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הפרש בזווית ההתחלה הוא אפס: שתי המטוטלות משוחררות מאותה זווית בדיוק. מה יקרה במהלך ההרצה?

התשובה הנכונה
- נכונה הן ינועו כאחת כל הזמן
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הפרש בזווית ההתחלה
0 °
זווית שחרור
120 °קבוע
הצגת המסלולים
כבויקבוע
האפשרויות
- נכונה הן ינועו כאחת כל הזמן
- שגויה אחרי כמה שניות הן ייפרדו, כי התנועה כאוטית
  טעות נפוצה: Thinks chaotic motion is random: that the same start could give a different motion.
  משוב מהקטלוג
  כאוס אינו מקריות. המטוטלת הכפולה דטרמיניסטית: אותה התחלה בדיוק נותנת תמיד אותה תנועה בדיוק, ושתי מטוטלות שמתחילות זהות נעות כאחת לנצח. מה שהכאוס עושה הוא להגדיל בכפל כל הבדל, קטן ככל שיהיה, ולכן תחזית ארוכה דורשת דיוק שאי אפשר להשיג.
- שגויה הן ינועו בכיוונים הפוכים
  משוב
  שתי המטוטלות בנויות אותו דבר ומשוחררות אותו דבר, ולכן אין שום סיבה שאחת תפנה לכיוון אחר.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הצגת המסלולים
פועלקבוע
ואז הסצנה מראה: 0 ° · Double: the gap between the two pendulums at the end of the 20-second run/nodes/pendulums/outputs/endGap
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
בסוף ההרצה ההפרש עדיין $0^\circ$ ⁠. התנועה דטרמיניסטית: אותה התחלה נותנת תמיד אותה תנועה. הכאוס מתחיל רק כשיש הפרש כלשהו להגדיל.

רמז
המשוואות של התנועה זהות לשתיהן. מה יכול להבדיל ביניהן?

פתרון מלא
1. שתי המטוטלות מחושבות מאותן משוואות, באותו צעד זמן.
2. ההתחלה זהה: אותה זווית, ובמנוחה.
3. לכן כל צעד נותן לשתיהן אותו מצב, וההפרש נשאר $0$ ⁠ לכל אורך ההרצה.
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
הפרש זעיר
תרגול · חשבו
השאלה
הוורודה מתחילה $0.01^\circ$ ⁠ יותר מסובבת. צפו בשעון שעל הלוח: אחרי כמה שניות ההפרש בין המטוטלות מגיע ל־ $10^\circ$ ⁠?

התשובה הנכונה
4.051 s ± 0.4 s
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הפרש בזווית ההתחלה
0.01 °קבוע
זווית שחרור
120 °קבוע
הצגת המסלולים
פועל
מתקבלת בטווח
± 0.4 s
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Double: seconds after release until the gap between the two pendulums first reaches 10°, as the board's timer reads it; NaN if it stays under 10° for the whole 20-second run/nodes/pendulums/outputs/splitTime
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $4$ ⁠ שניות: הפרש של $0.01^\circ$ ⁠ גדל פי $1000$ ⁠ בתוך ארבע שניות. בגרף, בסולם לוגריתמי, הוא מטפס כמעט בקו ישר: גדילה מעריכית.

רמז
השעון מראה את הזמן מהשחרור ואת ההפרש. אפשר לעצור את התנועה ולהריץ שוב.

פתרון מלא
1. הריצו מהשחרור, ועקבו אחרי ההפרש על הלוח.
2. בשניות הראשונות הוא קטן מאוד, ואז גדל בכפל.
3. הוא עובר את $10^\circ$ ⁠ בערך אחרי $4$ ⁠ שניות.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
דיוק גדול פי עשרה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עכשיו מקטינים את ההפרש בהתחלה פי עשרה, ל־ $0.001^\circ$ ⁠. מתי ההפרש יגיע ל־ $10^\circ$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה רק קצת יותר משנייה אחרי קודם
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הפרש בזווית ההתחלה
0.01 °
זווית שחרור
120 °קבוע
הצגת המסלולים
פועל
האפשרויות
- נכונה רק קצת יותר משנייה אחרי קודם
- שגויה פי עשרה מאוחר יותר, אחרי כ־ $40$ ⁠ שניות
  טעות נפוצה: Thinks a start gap ten times smaller keeps two chaotic systems together ten times as long.
  משוב מהקטלוג
  ההפרש גדל בכפל: בערך פי עשרה בכל פרק זמן קבוע. הפרש קטן פי עשרה צריך רק עוד פרק זמן אחד כזה כדי להגיע לאותו גודל, לא פי עשרה זמן. כמו בלוגריתם: הזמן גדל לפי $\log$ ⁠ של הדיוק, ולא ביחס ישר אליו.
- שגויה אף פעם: הפרש כל כך זעיר לא משנה דבר
  טעות נפוצה: Thinks chaotic motion is random: that the same start could give a different motion.
  משוב מהקטלוג
  כאוס אינו מקריות. המטוטלת הכפולה דטרמיניסטית: אותה התחלה בדיוק נותנת תמיד אותה תנועה בדיוק, ושתי מטוטלות שמתחילות זהות נעות כאחת לנצח. מה שהכאוס עושה הוא להגדיל בכפל כל הבדל, קטן ככל שיהיה, ולכן תחזית ארוכה דורשת דיוק שאי אפשר להשיג.
- שגויה באותו זמן בדיוק
  משוב
  הפרש קטן יותר צריך לגדול פי יותר כדי להגיע ל־ $10^\circ$ ⁠, ולכן זה לוקח קצת יותר זמן.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הפרש בזווית ההתחלה
0.001 °
ואז הסצנה מראה: 5.357 s · Double: seconds after release until the gap between the two pendulums first reaches 10°, as the board's timer reads it; NaN if it stays under 10° for the whole 20-second run/nodes/pendulums/outputs/splitTime
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $5.4$ ⁠ שניות, לעומת כ־ $4.1$ ⁠: רק כשנייה ורבע נוספות. דיוק גדול פי עשרה לא קונה זמן ארוך פי עשרה, אלא עוד פרק זמן קצר וקבוע. לכן תחזית מזג אוויר מוגבלת לימים ספורים.

רמז
ההפרש גדל בכפל. כמה זמן לוקח לו לגדול פי עשרה?

פתרון מלא
1. בשחרור גבוה ההפרש גדל בערך פי עשרה בכל שנייה וקצת.
2. הפרש קטן פי עשרה צריך לגדול פי עשרה עוד פעם אחת כדי להגיע לאותו גודל.
3. לכן הוא מגיע ל־ $10^\circ$ ⁠ בערך שנייה אחרי קודם, לא פי עשרה מאוחר יותר.
אם ציפיתם לפי עשרה זמן, חשבתם על גדילה בחיבור. בגדילה בכפל הזמן תלוי ב־ $\log$ ⁠ של ההפרש.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
שחרור עדין
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
משחררים את הזוג נמוך, מ־ $30^\circ$ ⁠, עם אותו הפרש של $0.01^\circ$ ⁠. מה יקרה להפרש במהלך 20 שניות ההרצה?

התשובה הנכונה
- נכונה הוא יגדל רק לאט, ובסוף ההרצה עדיין יהיה זעיר
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הפרש בזווית ההתחלה
0.01 °
זווית שחרור
120 °
הצגת המסלולים
פועל
האפשרויות
- נכונה הוא יגדל רק לאט, ובסוף ההרצה עדיין יהיה זעיר
- שגויה הוא יגדל באותו קצב: מטוטלת כפולה תמיד כאוטית
  משוב
  מטוטלת כפולה כאוטית רק בשחרור גבוה. מתחת לכ־ $80^\circ$ ⁠ היא מתנדנדת בצורה סדירה, וההפרש גדל רק לאט.
- שגויה הוא ייעלם, ושתי המטוטלות יתאחדו
  משוב
  בלי חיכוך אין מה שיקטין את ההפרש: הוא נשמר, ובמקרה הזה גדל מעט.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
זווית שחרור
30 °
ואז הסצנה מראה: 0.03178 ° · Double: the gap between the two pendulums at the end of the 20-second run/nodes/pendulums/outputs/endGap
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
אחרי 20 שניות ההפרש רק כ־ $0.03^\circ$ ⁠: גדל פי שלושה בערך, במקום פי אלף בארבע שניות. מערכת אחת יכולה להיות סדירה בתנאים מסוימים וכאוטית באחרים.

רמז
הסתכלו על הגרף: האם הוא עדיין מטפס בקו ישר?

פתרון מלא
1. בשחרור נמוך כל מטוטלת מתנדנדת הלוך ושוב בצורה שחוזרת על עצמה.
2. ההפרש גדל רק לאט, בערך כמו הזמן ולא בכפל.
3. בסוף ההרצה הוא עדיין חלקים ספורים של מעלה.

שיעור 2 מתוך 3 · כ־25 דקות

פרקטלים

צורות שכל חלק בהן הוא עותק קטן של השלם: כמה חלקים יש בכל שלב, היקף שגדל בלי סוף סביב שטח סופי, וממד שאינו מספר שלם.

לפתוח את השיעור

8 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 8
לפתוח את השלב
עותקים של עותקים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בעומק $3$ ⁠ פירמידת שרפינסקי בנויה מ־ $4^3 = 64$ ⁠ פירמידות קטנות. מכמה פירמידות היא בנויה בעומק $5$ ⁠?

התשובה הנכונה
1024 ± 0.5
ניבוי מספרי נחשב נכון בטווח ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
3
צורה
פירמידת שרפינסקיקבוע
התקרבות
הצורה כולה
הגדרות נוספות
Readouts/nodes/fractal/props/readouts = false
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
עומק
5
ואז הסצנה מראה: 1024 · Pyramids (4ⁿ) or edges (3·4ⁿ) at the depth shown/nodes/fractal/outputs/pieces
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$4^5 = 1024$ ⁠: פי $16$ ⁠ מבעומק $3$ ⁠, כי עברו שני שלבים, וכל אחד כופל בארבע.

רמז
כל שלב מחליף כל פירמידה בארבע.

פתרון מלא
1. כל שלב: כל פירמידה מתחלפת ב־ $4$ ⁠.
2. מעומק $3$ ⁠ לעומק $5$ ⁠: שני שלבים, $64 \cdot 4 \cdot 4$ ⁠.
3. $64 \cdot 16 = 1024 = 4^5$ ⁠.
שלב 2 מתוך 8
לפתוח את השלב
היקף שגדל
תרגול · חשבו
השאלה
בכל שלב של פתית השלג של קוך, כל צלע מתחלפת בארבע צלעות, כל אחת שליש מאורכה. פי כמה ארוך ההיקף בעומק $5$ ⁠ מההיקף של המשולש שבהתחלה?

התשובה הנכונה
4.214 ± 1%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
5קבוע
צורה
פתית השלג של קוךקבוע
התקרבות
הצורה כולה
הגדרות נוספות
Readouts/nodes/fractal/props/readouts = false
מתקבלת בטווח
± 1%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The snowflake’s perimeter, times the starting triangle’s, (4/3)ⁿ; NaN for the pyramid/nodes/fractal/outputs/perimeter
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2.667 ± 0.05
  טעות נפוצה: Adds the same amount at each step where each step multiplies: grows the Koch perimeter by a third of the start each step instead of × 4/3.
  משוב מהקטלוג
  בכל שלב כל צלע מתחלפת בארבע צלעות של שליש, ולכן ההיקף כולו מוכפל ב־ $\tfrac{4}{3}$ ⁠, כולל מה שנוסף בשלבים הקודמים. אחרי $n$ ⁠ שלבים זה $\left(\tfrac{4}{3}\right)^n$ ⁠, לא $1 + \tfrac{n}{3}$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$\left(\tfrac{4}{3}\right)^5 \approx 4.21$ ⁠. אחרי $50$ ⁠ שלבים זה כבר יותר מפי $1.7$ ⁠ מיליון, וההיקף גדל בלי סוף.

רמז
בכל שלב ההיקף מוכפל ב־ $\tfrac{4}{3}$ ⁠.

פתרון מלא
1. כל צלע באורך $\ell$ ⁠ מתחלפת ב־ $4$ ⁠ צלעות באורך $\tfrac{\ell}{3}$ ⁠: סך הכול $\tfrac{4}{3}\ell$ ⁠.
2. זה קורה לכל הצלעות, ולכן ההיקף כולו מוכפל ב־ $\tfrac{4}{3}$ ⁠ בכל שלב.
3. אחרי $5$ ⁠ שלבים: $\left(\tfrac{4}{3}\right)^5 = \dfrac{1024}{243} \approx 4.21$ ⁠.
אם יצא לכם כ־ $2.67$ ⁠, הוספתם שליש בכל שלב. אבל כל שלב כופל גם את מה שנוסף קודם.
שלב 3 מתוך 8
לפתוח את השלב
בלי סוף
תרגול · בחרו
השאלה
ממשיכים את הבנייה של פתית השלג בלי סוף. מה קורה להיקף שלו ולשטח שלו?

התשובה הנכונה
- נכונה ההיקף גדל בלי סוף, והשטח מתקרב לגבול: $\tfrac{8}{5}$ ⁠ מהמשולש
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
5
צורה
פתית השלג של קוך
התקרבות
הצורה כולה
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה ההיקף גדל בלי סוף, והשטח מתקרב לגבול: $\tfrac{8}{5}$ ⁠ מהמשולש
- שגויה שניהם גדלים בלי סוף
  טעות נפוצה: Thinks a curve of endless length must enclose an endless area.
  משוב מהקטלוג
  אורך ושטח אינם הולכים יחד. כל שלב של פתית השלג מוסיף משולשים קטנים פי $9$ ⁠ בשטח, ורק פי $4$ ⁠ יותר מהם, ולכן התוספות לשטח קטנות פי $\tfrac{4}{9}$ ⁠ בכל שלב ומסתכמות לגבול: $\tfrac{8}{5}$ ⁠ מהמשולש. ההיקף, לעומת זאת, מוכפל ב־ $\tfrac{4}{3}$ ⁠ בכל שלב וגדל בלי סוף. כל הפתית נשאר בתוך עיגול סביב המשולש.
- שגויה שניהם מתקרבים לגבול
  משוב
  ההיקף מוכפל ב־ $\tfrac{4}{3}$ ⁠ בכל שלב, ומכפלה חוזרת במספר גדול מ־ $1$ ⁠ גדלה בלי סוף.
- שגויה השטח גדל בלי סוף, וההיקף מתקרב לגבול
  משוב
  זה הפוך: כל הפתית נשאר בתוך עיגול סביב המשולש, ולכן השטח שלו חסום.
משוב לתשובה נכונה
קו באורך אינסופי שתוחם שטח סופי: זה מה שמאפיין פרקטל. הקו “צפוף” מדי בשביל ממד $1$ ⁠, ודק מדי בשביל ממד $2$ ⁠.

רמז
האם הפתית יוצא אי פעם מעיגול שמקיף את המשולש?

פתרון מלא
1. ההיקף: $\left(\tfrac{4}{3}\right)^n$ ⁠, שגדל בלי סוף.
2. השטח: שלב $k$ ⁠ מוסיף משולשים שכל אחד $\tfrac{1}{9^k}$ ⁠ מהמשולש, ויש מהם $3 \cdot 4^{k-1}$ ⁠. התוספות קטנות פי $\tfrac{4}{9}$ ⁠ בכל שלב.
3. סכום של סדרה הנדסית עם מנה קטנה מ־ $1$ ⁠ מתקרב לגבול: $1 + \dfrac{1/3}{1 - 4/9} = \dfrac{8}{5}$ ⁠.
שלב 4 מתוך 8
לפתוח את השלב
ממד שבור
תרגול · חשבו
השאלה
כל צלע של פתית השלג של קוך בנויה מ־ $N = 4$ ⁠ עותקים של עצמה, כל אחד בגודל $\tfrac{1}{3}$ ⁠ ממנה. מהו הממד הפרקטלי של הפתית?

התשובה הנכונה
1.262 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
3
צורה
פתית השלג של קוךקבוע
התקרבות
הצורה כולה
הגדרות נוספות
Readouts/nodes/fractal/props/readouts = false
הגדרות נוספות
Eq/callouts/shape-koch/when/eq = "none"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Similarity dimension, log(copies) ÷ log(scale factor)/nodes/fractal/outputs/dimension
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1.333 ± 0.01
  טעות נפוצה: Takes the fractal dimension as copies ÷ scale factor instead of log copies ÷ log scale factor.
  משוב מהקטלוג
  הממד הוא המעריך $D$ ⁠ שבו $s^D = N$ ⁠: כמה פעמים צריך להכפיל ב־ $s$ ⁠ כדי לקבל $N$ ⁠ עותקים. לכן $D = \dfrac{\log N}{\log s}$ ⁠, ולא $\dfrac{N}{s}$ ⁠. ריבוע, למשל: $4$ ⁠ עותקים בחצי הגודל, $2^2 = 4$ ⁠, ממד $2$ ⁠, אף ש־ $\tfrac{4}{2}$ ⁠ במקרה גם הוא $2$ ⁠. בפתית השלג $\tfrac{4}{3}$ ⁠ אינו הממד.
משוב לתשובה נכונה
$D = \dfrac{\log 4}{\log 3} \approx 1.26$ ⁠: יותר מקו, פחות ממשטח.

רמז
$D = \dfrac{\log N}{\log s}$ ⁠, כש־ $s$ ⁠ הוא פי כמה כל עותק קטן מהשלם.

פתרון מלא
1. $N = 4$ ⁠ עותקים, כל אחד קטן פי $s = 3$ ⁠.
2. הממד הוא המעריך $D$ ⁠ שבו $3^D = 4$ ⁠.
3. $D = \dfrac{\log 4}{\log 3} \approx \dfrac{0.602}{0.477} \approx 1.26$ ⁠.
אם עניתם כ־ $1.33$ ⁠, חילקתם $\tfrac{4}{3}$ ⁠. הממד הוא מנה של לוגריתמים.
שלב 5 מתוך 8
לפתוח את השלב
כמה עותקים
תרגול · חשבו
השאלה
צורה: פירמידת שרפינסקי, עומק $1$ ⁠. לכמה פירמידות קטנות, זהות לגדולה, מתפרקת הפירמידה בצעד אחד?

התשובה הנכונה
4 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
1קבוע
צורה
פירמידת שרפינסקיקבוע
התקרבות
הצורה כולה
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Smaller copies of the whole each step makes/nodes/fractal/outputs/copies
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 8 ± 0
  טעות נפוצה: Expects a shape halved in size to break into 8 copies, as a cube does, whatever the shape.
  משוב מהקטלוג
  קובייה בחצי הגודל נכנסת $8$ ⁠ פעמים בגדולה. אבל פירמידת שרפינסקי לא שומרת על כל הנפח: מכל פירמידה נשארות רק $4$ ⁠ קטנות, אחת בכל פינה, והחלק שבאמצע מוצא.
משוב לתשובה נכונה
$4$ ⁠ עותקים, אחד בכל פינה. התמניון שבאמצע מוצא.

רמז
ספרו את הפינות של הפירמידה: בכל פינה נשארת פירמידה קטנה אחת.

פתרון מלא
1. לפירמידה המשולשת, הארבעון, $4$ ⁠ פינות.
2. בכל צעד נשארת בכל פינה פירמידה בחצי הגודל, והחלק שבאמצע נזרק.
3. לכן $4$ ⁠ עותקים.
אם עניתם $8$ ⁠, חשבתם על קובייה שנחצית לשמונה. בפירמידה החלק האמצעי, תמניון, מוצא, ונשארים רק ארבעה.
שלב 6 מתוך 8
לפתוח את השלב
כמה קטן
תרגול · חשבו
השאלה
בכל צעד של פירמידת שרפינסקי כל פירמידה מוחלפת ב־ $4$ ⁠ קטנות ממנה, שכל אחת יושבת בפינה. פי כמה קצרה כל צלע של פירמידה קטנה מצלע הגדולה?

התשובה הנכונה
2 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
1קבוע
צורה
פירמידת שרפינסקיקבוע
התקרבות
הצורה כולה
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
How many times smaller each copy is/nodes/fractal/outputs/scale
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 4 ± 0
  טעות נפוצה: Mixes up how many copies a fractal step makes with how many times smaller each copy is.
  משוב מהקטלוג
  בכל צעד של פרקטל יש שני מספרים נפרדים: כמה עותקים נוצרים, $N$ ⁠, ופי כמה כל אחד קטן, $s$ ⁠. בפירמידת שרפינסקי $N = 4$ ⁠ ו־ $s = 2$ ⁠. הממד, $\dfrac{\log N}{\log s}$ ⁠, צריך את שניהם.
משוב לתשובה נכונה
פי $2$ ⁠: צלע של חצי. ארבעה עותקים, כל אחד פי שניים קטן.

רמז
שתי פירמידות קטנות יושבות זו ליד זו לאורך כל צלע של הגדולה.

פתרון מלא
1. לאורך כל צלע של הפירמידה הגדולה יש שתי פירמידות קטנות, פינה מול פינה.
2. לכן כל צלע קטנה היא חצי מהגדולה: פי $2$ ⁠ קצרה.
3. עם $N = 4$ ⁠ ו־ $s = 2$ ⁠: $D = \dfrac{\log 4}{\log 2} = 2$ ⁠.
אם עניתם $4$ ⁠, ערבבתם בין מספר העותקים לבין פי כמה כל אחד קטן. אלה שני המספרים שהממד בנוי מהם.
שלב 7 מתוך 8
לפתוח את השלב
הנפח
תרגול · חשבו
השאלה
בעומק $3$ ⁠ של פירמידת שרפינסקי, איזה חלק מנפח הפירמידה שבה התחלנו נשאר? בכל צעד כל פירמידה מוחלפת ב־ $4$ ⁠ עותקים, כל אחד בחצי הגודל.

התשובה הנכונה
0.125 ± 0.001
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
3קבוע
צורה
פירמידת שרפינסקיקבוע
התקרבות
הצורה כולה
מתקבלת בטווח
± 0.001
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The pyramids’ volume, times the starting pyramid’s, (1/2)ⁿ; NaN for the snowflake/nodes/fractal/outputs/volume
משוב לתשובה נכונה
$\dfrac{1}{8}$ ⁠, כלומר $0.125$ ⁠: הנפח נחצה בכל צעד.

רמז
גוף בחצי הגודל בכל כיוון הוא $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ ⁠ מהנפח.

פתרון מלא
1. כל עותק בחצי הגודל, ולכן נפחו $\dfrac{1}{8}$ ⁠ מהקודם.
2. ארבעה עותקים: $4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$ ⁠ מהנפח בכל צעד.
3. אחרי שלושה צעדים: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 0.125$ ⁠.
בכל צעד הנפח נחצה, ולכן הוא שואף לאפס. אבל השטח של כל הפאות נשאר אותו דבר בכל צעד: $4$ ⁠ עותקים, כל אחד עם רבע מהשטח. זה גוף בממד $2$ ⁠.
שלב 8 מתוך 8
לפתוח את השלב
השטח של הפתית
תרגול · חשבו
השאלה
צורה: פתית השלג של קוך, עומק $1$ ⁠. על כל אחת משלוש הצלעות של המשולש צמח משולש קטן, שצלעו שליש מצלע המשולש הגדול. פי כמה גדול השטח של הפתית משטח המשולש שבו התחלנו?

התשובה הנכונה
1.333 ± 0.005
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עומק
1קבוע
צורה
פתית השלג של קוךקבוע
התקרבות
הצורה כולה
מתקבלת בטווח
± 0.005
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The snowflake’s area, times the starting triangle’s, towards 8/5; NaN for the pyramid/nodes/fractal/outputs/area
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2 ± 0.005
  טעות נפוצה: Shrinks an area by the same factor as a length.
  משוב מהקטלוג
  כשכל אורך קטן פי $3$ ⁠, השטח קטן פי $3^2 = 9$ ⁠, כי הוא קטן גם ברוחב וגם בגובה. משולש שצלעו שליש הוא תשיעית מהשטח, לא שליש.
משוב לתשובה נכונה
$\dfrac{4}{3} \approx 1.333$ ⁠. אחרי אינסוף צעדים: $\dfrac{8}{5}$ ⁠.

רמז
משולש שצלעו שליש הוא $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$ ⁠ מהשטח.

פתרון מלא
1. כל משולש חדש: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ ⁠ משטח המשולש הגדול.
2. שלושה כאלה: $3 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3}$ ⁠.
3. יחד: $1 + \dfrac{1}{3} \approx 1.333$ ⁠.
בכל צעד נוספים יותר משולשים, אבל קטנים פי תשעה, ולכן התוספות קטנות בהדרגה והשטח שואף ל־ $\dfrac{8}{5} = 1.6$ ⁠, בעוד ההיקף גדל בלי סוף.

שיעור 3 מתוך 3 · כ־20 דקות

תורת המשחקים

דילמת האסיר: למה בסיבוב אחד כדאי לבגוד גם כששיתוף פעולה טוב לשניים, מה קורה כשאסטרטגיות מתחרות לאורך דורות, ולמה משחק ארוך מתגמל את מידה כנגד מידה.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
דילמת האסיר
תרגול · בחרו
השאלה
משחק של סיבוב אחד מול שחקן שאינכם מכירים. אתם לא יודעים מה הוא יעשה. מה כדאי לכם, אם אכפת לכם רק מהנקודות שלכם?

התשובה הנכונה
- נכונה לבגוד: אם הוא משתף פעולה תקבלו $5$ ⁠ במקום $3$ ⁠, ואם הוא בוגד תקבלו $1$ ⁠ במקום $0$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
בוגדים בהתחלה
30 %
מידה כנגד מידה מבין השאר
50 %
סיבובים בכל משחק
1
דורות
ההרכב בהתחלהקבוע
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה לבגוד: אם הוא משתף פעולה תקבלו $5$ ⁠ במקום $3$ ⁠, ואם הוא בוגד תקבלו $1$ ⁠ במקום $0$ ⁠
- שגויה לשתף פעולה, כי כך שניכם מקבלים $3$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks cooperating is each player's best move in a single round, because mutual cooperation is best for both together.
  משוב מהקטלוג
  שיתוף פעולה הדדי, $3$ ⁠ ו־ $3$ ⁠, אכן טוב לשניהם יחד יותר מבגידה הדדית. אבל כל שחקן בוחר לבד: אם השני משתף פעולה, בגידה נותנת $5$ ⁠ במקום $3$ ⁠; אם הוא בוגד, בגידה נותנת $1$ ⁠ במקום $0$ ⁠. בשני המקרים עדיף לבגוד, וזו הדילמה.
- שגויה אי אפשר לדעת: זה תלוי במה שהוא יעשה
  משוב
  בדקו את שני המקרים בנפרד. בשניהם בגידה מזכה ביותר נקודות, ולכן לא צריך לדעת מה הוא יעשה.
משוב לתשובה נכונה
בגידה היא אסטרטגיה שולטת: היא טובה יותר מול כל מהלך של השני. אבל שניהם חושבים כך, ושניהם מקבלים $1$ ⁠ במקום $3$ ⁠: זו דילמת האסיר.

רמז
השוו את הנקודות שלכם בכל אחד משני המקרים: הוא משתף פעולה, או הוא בוגד.

פתרון מלא
1. אם השני משתף פעולה: שיתוף פעולה נותן $3$ ⁠, בגידה $5$ ⁠. עדיף לבגוד.
2. אם השני בוגד: שיתוף פעולה נותן $0$ ⁠, בגידה $1$ ⁠. עדיף לבגוד.
3. בגידה עדיפה בשני המקרים, ולכן היא הבחירה, בלי לדעת מה השני יעשה.
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
ממוצע מול השולחן
תרגול · חשבו
השאלה
על השולחן $30\%$ ⁠ בוגדים, $35\%$ ⁠ שמשתפים פעולה תמיד ו־ $35\%$ ⁠ שמשחקים מידה כנגד מידה, וכל משחק הוא סיבוב אחד. כמה נקודות לסיבוב מקבל בוגד, בממוצע מול כל השולחן?

התשובה הנכונה
3.8 ± 0.05
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
בוגדים בהתחלה
30 %קבוע
מידה כנגד מידה מבין השאר
50 %קבוע
סיבובים בכל משחק
1קבוע
דורות
ההרכב בהתחלהקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.05
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Average points a round for a defector at the shown generation/nodes/table/outputs/scoreDefect
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 5 ± 0.05
  טעות נפוצה: Gives a defector 5 points a round against everyone, forgetting the rounds against other defectors.
  משוב מהקטלוג
  בוגד מקבל $5$ ⁠ רק מול שחקן שמשתף פעולה באותו סיבוב. מול בוגד אחר הוא מקבל $1$ ⁠. הממוצע שלו הוא ממוצע משוקלל: כל תוצאה כפול החלק של השחקנים שמולם הוא מקבל אותה.
משוב לתשובה נכונה
$0.35 \cdot 5 + 0.35 \cdot 5 + 0.30 \cdot 1 = 3.8$ ⁠. בסיבוב אחד מידה כנגד מידה משתפת פעולה, ולכן היא נבגדת כמו משתף פעולה תמידי.

רמז
מה עושה מידה כנגד מידה בסיבוב הראשון?

פתרון מלא
1. מול משתף פעולה תמידי ( $35\%$ ⁠): $5$ ⁠.
2. מול מידה כנגד מידה ( $35\%$ ⁠): בסיבוב הראשון היא משתפת פעולה, ולכן $5$ ⁠.
3. מול בוגד ( $30\%$ ⁠): $1$ ⁠.
4. ממוצע משוקלל: $0.35 \cdot 5 + 0.35 \cdot 5 + 0.30 \cdot 1 = 3.8$ ⁠.
אם עניתם $5$ ⁠, שכחתם את הסיבובים מול בוגדים אחרים.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
דור אחרי דור
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
ההרכב הזה משחק דור אחרי דור, וכל אסטרטגיה גדלה לפי הנקודות שהיא צוברת. כל משחק הוא עדיין סיבוב אחד. מה יהיה על השולחן אחרי 30 דורות?

התשובה הנכונה
- נכונה רק בוגדים
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
בוגדים בהתחלה
30 %קבוע
מידה כנגד מידה מבין השאר
50 %קבוע
סיבובים בכל משחק
1קבוע
דורות
ההרכב בהתחלה
האפשרויות
- נכונה רק בוגדים
- שגויה בעיקר מידה כנגד מידה
  טעות נפוצה: Thinks defectors take over any tournament, however many rounds each match lasts.
  משוב
  בסיבוב אחד אין למידה כנגד מידה הזדמנות להגיב: היא משתפת פעולה ונבגדת, בדיוק כמו משתף פעולה תמידי.
- שגויה אותו הרכב כמו בהתחלה
  משוב
  הבוגדים צוברים $3.8$ ⁠ לסיבוב והאחרים רק $2.1$ ⁠, ולכן החלק שלהם גדל בכל דור.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
דורות
30 דורות אחר כך
ואז הסצנה מראה: 1 · Share of players who always defect, 0 to 1, at the shown generation/nodes/table/outputs/defectors
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
הבוגדים משתלטים על כל השולחן, ואז הם פוגשים רק זה את זה ומקבלים $1$ ⁠ בסיבוב. כולם היו מרוויחים יותר משיתוף פעולה, אבל בסיבוב אחד אף אחד לא יכול להרשות אותו לעצמו.

רמז
מי צובר יותר נקודות בהרכב הזה, ומה קורה לו בדור הבא?

פתרון מלא
1. בסיבוב אחד בוגד מקבל $3.8$ ⁠ בממוצע, ומשתף פעולה או מידה כנגד מידה רק $0.70 \cdot 3 + 0.30 \cdot 0 = 2.1$ ⁠.
2. בכל דור החלק של הבוגדים גדל, ושל האחרים קטן.
3. ככל שיש פחות משתפי פעולה, הבוגדים מרוויחים פחות, אבל האחרים מרוויחים פחות עוד יותר. בסוף נשארים רק בוגדים.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
משחק חוזר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
אותו הרכב בהתחלה, אבל עכשיו כל משחק נמשך עשרה סיבובים. מי יוביל אחרי 30 דורות?

התשובה הנכונה
- נכונה מידה כנגד מידה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
בוגדים בהתחלה
30 %קבוע
מידה כנגד מידה מבין השאר
50 %קבוע
סיבובים בכל משחק
10
דורות
ההרכב בהתחלה
האפשרויות
- נכונה מידה כנגד מידה
- שגויה הבוגדים, כמו בסיבוב אחד
  טעות נפוצה: Thinks defectors take over any tournament, however many rounds each match lasts.
  משוב מהקטלוג
  במשחק של סיבוב אחד בגידה תמיד משתלמת. במשחק ארוך, מידה כנגד מידה מפסידה לבוגד רק בסיבוב הראשון ומשם בוגדת בחזרה, אבל מול שחקנים מנומסים היא צוברת $3$ ⁠ בכל סיבוב. ככל שהמשחק ארוך יותר, הסיבוב הטוב היחיד של הבוגד שווה פחות, והבוגדים נעלמים.
- שגויה אלה שמשתפים פעולה תמיד
  משוב
  משתפי פעולה תמידיים נבגדים בכל סיבוב מול בוגד, ולכן בדורות הראשונים הם מאבדים הכי הרבה. מידה כנגד מידה נבגדת רק בסיבוב הראשון.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
דורות
30 דורות אחר כך
ואז הסצנה מראה: 0.8412 · Share of players who play tit for tat, 0 to 1, at the shown generation/nodes/table/outputs/titForTat
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
מידה כנגד מידה מגיעה לכ־ $84\%$ ⁠ מהשולחן, והבוגדים כמעט נעלמים. מול מידה כנגד מידה, בוגד מקבל $5$ ⁠ רק בסיבוב הראשון ו־ $1$ ⁠ בתשעה הבאים, ואילו שני שחקנים מנומסים מקבלים $3$ ⁠ בכל סיבוב.

רמז
כמה סיבובים טובים מקבל בוגד מול מידה כנגד מידה במשחק של עשרה סיבובים?

פתרון מלא
1. בוגד מול מידה כנגד מידה בעשרה סיבובים: $\dfrac{5 + 9 \cdot 1}{10} = 1.4$ ⁠ לסיבוב.
2. מידה כנגד מידה מול משתף פעולה או מול עצמה: $3$ ⁠ לסיבוב.
3. בהתחלה הבוגדים עוד מנצלים את משתפי הפעולה התמידיים, אבל ככל שאלה מתמעטים, מידה כנגד מידה צוברת הכי הרבה, והחלק שלה גדל.

בכל היחידה · 11 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

כאוס

אותה התחלה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

הפרש זעיר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

רמז

פתרון מלא

דיוק גדול פי עשרה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

שחרור עדין

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

פרקטלים

עותקים של עותקים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

היקף שגדל

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

בלי סוף

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

רמז

פתרון מלא

ממד שבור

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

כמה עותקים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

כמה קטן

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

הנפח

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

רמז

פתרון מלא