סדרה חשבונית.

שלב 1 מתוך 5

מוסיפים את ההפרש

סדרה היא רשימה של מספרים לפי הסדר: $a_1$⁠ הוא האיבר הראשון, $a_2$⁠ השני, וכן הלאה. בסדרה חשבונית כל איבר גדול מקודמו באותו מספר, ההפרש $d$⁠: $a_{n+1} = a_n + d$⁠. בלוח, כל איבר הוא עמודה של קוביות, והסדרה החשבונית היא המדרגות שמשמאל. כאן $a_1 = 1$⁠ ו־ההפרש d הוא $2$⁠, ורק האיבר הראשון מוצג. נבאו את חמשת האיברים הראשונים.

שלב 2 מתוך 5

האיבר הכללי

כדי להגיע לאיבר ה־$n$⁠ לא צריך לעבור על כל האיברים שלפניו. מהאיבר הראשון לאיבר ה־$n$⁠ יש $n - 1$⁠ צעדים, ובכל צעד מוסיפים $d$⁠:

$a_n = a_1 + (n - 1)d$$a_n =$$a_1 + (n - 1)d$⁠

הנוסחה הזאת היא פונקציה קווית של $n$⁠, כמו ביחידה על פונקציות קוויות: ההפרש $d$⁠ הוא השיפוע, ולכן ראשי העמודות עולים בקו ישר. מספר האיברים n נעול על $8$⁠; מצאו את ההפרש שנותן איבר שמיני מסוים.

שלב 3 מתוך 5

איברים רחוקים

עם הנוסחה אפשר לקפוץ ישר לאיבר רחוק, גם אם הלוח מראה רק עשרה. בסדרת המספרים האי־זוגיים, $a_1 = 1$⁠ ו־$d = 2$⁠, האיבר העשירי הוא $1 + 9 \cdot 2 = 19$⁠, וזה המספר שמעל העמודה האחרונה. חשבו כך איבר הרבה יותר רחוק.

שלב 4 מתוך 5

חיבור בזוגות

כמה זה $1 + 2 + \dots + 100$⁠? לפי סיפור מפורסם, קרל פרידריך גאוס פתר את זה כילד בתוך דקות: הוא חיבר את הראשון עם האחרון, $1 + 100 = 101$⁠, את השני עם הלפני־אחרון, $2 + 99 = 101$⁠, וכן הלאה. יש $50$⁠ זוגות כאלה, ולכן הסכום הוא $50 \cdot 101 = 5050$⁠.

אותו רעיון עובד בכל סדרה חשבונית, כי כל זוג “ראשון ועוד אחרון” שווה. מסמנים ב־$S_n$⁠ את סכום $n$⁠ האיברים הראשונים:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$S_n =$$\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$⁠

כאן הסדרה היא $1, 2, \dots, 10$⁠. חשבו את $S_{10}$⁠, ואז העבירו את חיבור האיברים לסכומים המצטברים: כל עמודה מרימה עליה את כל האיברים שלפניה ומראה את הסכום המצטבר.

שלב 5 מתוך 5

מספרים אי־זוגיים וריבועים

הלוח מראה את הסכומים המצטברים של המספרים האי־זוגיים: $1$⁠, $1 + 3 = 4$⁠, $1 + 3 + 5 = 9$⁠. הסכומים עצמם לא עולים בקו ישר אלא בעקומה: הם ריבועים. הזיזו את מספר האיברים n ומצאו כמה מספרים אי־זוגיים מסתכמים ב־$49$⁠.