סדרה הנדסית.

שלב 1 מתוך 5

כופלים במנה

בסדרה הנדסית כל איבר הוא מכפלה של קודמו באותו מספר, המנה $q$⁠: $a_{n+1} = a_n \cdot q$$a_{n+1} =$$a_n \cdot q$⁠. זו הגדילה המעריכית מהיחידה על חזקות, שנכתבת כרשימה. בלוח היא המדרגות שמימין. כאן $a_1 = 1$⁠ ו־המנה q היא $2$⁠. נבאו את ששת האיברים הראשונים.

שלב 2 מתוך 5

האיבר הכללי והמנה

מהאיבר הראשון לאיבר ה־$n$⁠ יש $n - 1$⁠ צעדים, ובכל צעד כופלים ב־$q$⁠:

$a_n = a_1 q^{n-1}$⁠

כאן האיבר הראשון הוא $a_1 = 4$⁠, ו־מספר האיברים n נעול על $3$⁠. מצאו את המנה שנותנת $a_3 = 9$⁠. רמז מהיחידה על חזקות: שני צעדים של כפל ב־$q$⁠ הם כפל ב־$q^2$⁠.

שלב 3 מתוך 5

סכום של חזקות של 2

את הסכום של סדרה הנדסית מוצאים בתרגיל אחר. כותבים את הסכום, $S_n = a_1 + a_1 q + \dots + a_1 q^{n-1}$$S_n =$$a_1 + a_1 q + \dots + a_1 q^{n-1}$⁠, ומתחתיו את $q S_n$⁠: אותם איברים, כל אחד זז מקום אחד. כשמחסרים, כמעט הכול מתבטל, ונשאר $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$$q S_n - S_n =$$a_1 q^n - a_1$⁠:

$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$$S_n =$$\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$⁠

הנוסחה עובדת לכל $q \neq 1$⁠. כאן $q = 2$⁠: חשבו את $S_{10}$⁠, ואז העבירו את חיבור האיברים לסכומים המצטברים.

שלב 4 מתוך 5

סכום של חצאים

כש־$q < 1$⁠ האיברים קטנים, ונוח לכתוב את אותה נוסחה עם שני הסימנים הפוכים: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$S_n =$$\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$⁠. כאן $q = 0.5$⁠, כל איבר חצי מקודמו. חשבו את סכום ששת האיברים הראשונים.

שלב 5 מתוך 5

מי מנצחת

הלוח מראה עכשיו את שתי הסדרות, שתיהן מ־$a_1 = 1$⁠: בשמאל מוסיפים $3$⁠, ובימין כופלים ב־$1.5$⁠. בארבעת האיברים הראשונים החשבונית מקדימה בהרבה. נבאו מי תהיה גדולה יותר באיבר העשירי, ואז הזיזו את מספר האיברים n ובדקו.