סדרות וטורים.

שני סוגים של מדרגות

סדרה היא רשימה של מספרים בסדר מסוים: איבר ראשון, איבר שני, איבר שלישי וכן הלאה, שמסמנים $a_1, a_2, a_3, \ldots$⁠, ואת האיבר שבמקום $n$⁠ מסמנים $a_n$⁠. הלוח בונה כל איבר כעמודה של קוביות, וכך סדרה הופכת לגרם מדרגות.

שתי הסדרות הפשוטות ביותר נבנות מחזרה על פעולה אחת. בסדרה חשבונית מוסיפים בכל פעם אותו מספר, ההפרש $d$⁠. מתחילים ב־$1$⁠ ומוסיפים $2$⁠, ומקבלים $1, 3, 5, 7$⁠: המספרים האי־זוגיים. בסדרה הנדסית כופלים בכל פעם באותו מספר, המנה $q$⁠. מתחילים ב־$1$⁠ וכופלים ב־$\frac{1}{2}$⁠, ומקבלים $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$⁠. לכל אחת יש כלל שקופץ ישר לכל איבר בלי לעבור על האיברים שלפניו:

• סדרה חשבונית: $a_n = a_1 + (n - 1)d$$a_n =$$a_1 + (n - 1)d$⁠
• סדרה הנדסית: $a_n = a_1 q^{n-1}$⁠

המדרגות השמאליות הן סדרה חשבונית, ולכן כל מדרגה גבוהה מקודמתה באותו גובה, וקו שעובר דרך ראשי העמודות הוא ישר: הסדרה היא פונקציה קווית שקוראים אותה במספרים השלמים. המדרגות הימניות הן סדרה הנדסית, ולכן כל מדרגה היא אותו חלק מקודמתה, והקו דרך הראשים מתעקל. כש־$q$⁠ גדול מ־$1$⁠ הוא מתעקל כלפי מעלה מהר יותר ויותר: הגדילה המעריכית של חיידקים שמכפילים את עצמם או של ריבית דריבית. כש־$q$⁠ קטן מ־$1$⁠ הוא יורד בעקומה שמשתטחת לעבר האפס ואף פעם לא מגיעה אליו.

לחבר את האיברים

טור הוא מה שמקבלים כשמחברים את האיברים של סדרה. את הסכום המצטבר של $n$⁠ האיברים הראשונים מסמנים $S_n$⁠: $S_1 = a_1$⁠, $S_2 = a_1 + a_2$⁠, וכן הלאה. קדמו את חיבור האיברים אל סכומים מצטברים, וכל עמודה מרימה את הקובייה החדשה שלה על עותקים של כל הקוביות שלפניה, כך שעמודה $n$⁠ גבוהה בדיוק $S_n$⁠.

מסופר שקרל פרידריך גאוס הצעיר קיבל פעם משימה לחבר את כל המספרים מ־$1$⁠ עד $100$⁠, כדי להעסיק אותו, וענה מיד. מחברים את המספר הראשון עם האחרון, $1 + 100$⁠, ואת השני עם הלפני אחרון, $2 + 99$⁠, וכן הלאה: כל זוג נותן $101$⁠, ויש $50$⁠ זוגות, ולכן הסכום הוא $5{,}050$⁠. בין שזה קרה כך ובין שלא, התעלול עובד בכל סדרה חשבונית. הפכו עותק של המדרגות והניחו אותו על המקור, והשניים משתלבים למלבן ברוחב $n$⁠ עמודות ובגובה $a_1 + a_n$⁠. המדרגות הן חצי ממנו:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$S_n =$$\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$⁠

מכיוון ש־$S_n$⁠ גדל כמו $n^2$⁠, ראשי הסכומים המצטברים מתעקלים כלפי מעלה, בצורת פרבולה, אף שהאיברים עצמם ישבו על קו ישר. קבעו את ההפרש d על $2$⁠, המספרים האי־זוגיים, והסכומים המצטברים יוצאים $1, 4, 9, 16, 25$⁠: סכום $n$⁠ המספרים האי־זוגיים הראשונים הוא תמיד $n^2$⁠.

הסכום של סדרה הנדסית

לסכומים של סדרה הנדסית יש תעלול משלהם. כתבו את הסכום $S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}$$S =$$a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}$⁠ והכפילו אותו ב־$q$⁠. כל איבר זז מקום אחד הלאה, ולכן ל־$qS$⁠ ול־$S$⁠ יש את כל האיברים במשותף חוץ משניים; מחסירים, וכמעט הכול מתבטל ונשאר $qS - S = a_1q^n - a_1$$qS - S =$$a_1q^n - a_1$⁠. לכן

$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}, \qquad q \ne 1$$S_n =$$\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}, \qquad q \ne$$1$⁠

כש־$q$⁠ שווה $2$⁠, הסכום אחרי $n$⁠ צעדים הוא $2^n - 1$⁠, אחד פחות מהאיבר הבא: כל הכפלה מוסיפה יותר מכל מה שהיה לפניה. האגדה הישנה על ממציא השחמט, שביקש גרגר אורז אחד על המשבצת הראשונה, שניים על השנייה, ארבעה על השלישית וכן הלאה, נגמרת ב־$2^{64} - 1$⁠ גרגרים, יותר אורז משגדל אי פעם.

סכום אינסופי עם סכום סופי

עכשיו תנו לאיברים להמשיך לעד. לסדרה חשבונית שעולה, או אפילו נשארת שטוחה, לא יכול להיות סכום סופי: כל איבר חדש מוסיף לפחות כמו הראשון, ולכן הסכום עובר כל מספר שתבחרו. אותו דבר נכון לסדרה הנדסית שבה $q$⁠ שווה $1$⁠ או יותר. טור כזה מתבדר.

אבל כש־$q$⁠ בין $0$⁠ ל־$1$⁠, האיברים קטנים כל כך מהר שהסכום שלהם מתקרב למספר קבוע ואף פעם לא עובר אותו. לכו חצי מהדרך אל קיר, אחר כך חצי ממה שנשאר, ואחר כך חצי מזה: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$⁠ לעולם לא יעביר אתכם דרך הקיר, ולעולם לא יפסיק להתקרב אליו. בנוסחה, $q^n$⁠ קטן לעבר האפס כש־$n$⁠ גדל, ולכן סכום כל האיברים הוא

$S = \frac{a_1}{1 - q}$$S =$$\frac{a_1}{1 - q}$⁠

והטור מתכנס ל־$S$⁠. כש־$a_1 = 1$⁠ ו־$q = \frac{1}{2}$⁠ הסכום הוא $2$⁠. גם שבר עשרוני מחזורי הוא טור כזה: $0.999\ldots$⁠ הוא $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$⁠, טור הנדסי עם $a_1 = 0.9$⁠ ו־$q = 0.1$⁠, והסכום שלו הוא $\frac{0.9}{0.9}$⁠, בדיוק $1$⁠.

נסו: קבעו את המנה q על $0.5$⁠ וקדמו את חיבור האיברים אל עד אינסוף. תיבת הזכוכית בגובה $2$⁠, ושמונה הקוביות נשפכות לתוכה וממלאות את כולה חוץ מפס דק של $\frac{1}{128}$⁠. הזיזו את מספר האיברים n אל $1$⁠: קובייה אחת ממלאת חצי מהתיבה, והשארית הזוהרת, כל השאר, היא החצי השני. החזירו אותו למעלה, והסכומים המצטברים מטפסים לעבר הקו המקווקו, וכל אחד סוגר חצי מהפער שנשאר. קבעו את המנה q על $0.9$⁠, והם עדיין רחוקים ממנו אחרי עשרה איברים; ב־$1$⁠ התיבה הופכת לצינור פתוח בלי מכסה.

חזרה לניסוי ↑

איברים שקטנים הם תנאי הכרחי לסכום סופי, אבל לא מספיק. לטור ההרמוני, $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$⁠, יש איברים שקטנים לעבר האפס, ובכל זאת אין לו סכום סופי: קבצו את האיברים שלו ל־$\frac{1}{2}$⁠, אחר כך $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$⁠, אחר כך $\frac{1}{5}$⁠ עד $\frac{1}{8}$⁠, וכל קבוצה גדולה מ־$\frac{1}{2}$⁠, ולכן הסכום עובר כל מספר, רק לאט מאוד. ניקול אורם הראה זאת בסביבות שנת $1350$⁠. טור הנדסי מתכנס כי כל איבר הוא חלק קבוע מקודמו: כל מה שנשאר אחרי $n$⁠ איברים הוא אז כפולה קבועה של האיבר הבא, והאיברים קטנים עד שלא נשאר מהם כלום.

איפה טורים מופיעים

תוכנית חיסכון שמפקידים בה אותו סכום בכל חודש, וכל הפקדה צוברת ריבית, היא טור הנדסי, וכך גם לוח הסילוקין של משכנתה. המרחק הכולל שכדור קופץ עובר עד שהוא נעצר הוא טור הנדסי, כשכל קפיצה מגיעה לחלק קבוע מגובה הקודמת. החידה העתיקה של זנון, שבה אכילס המהיר לעולם לא ישיג את הצב כי הוא צריך קודם להגיע למקום שבו הצב היה, נפתרת בטור מתכנס של זמנים שהולכים ומתקצרים. והשטח שמתחת לעקומה בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי מוגדר כגבול של סכומים של פרוסות דקות יותר ויותר. לא כל סדרה מפורסמת היא מאחד משני הסוגים האלה: במספרי פיבונאצ’י כל איבר הוא סכום שני האיברים שלפניו, והיחס בין שכנים מתייצב על יחס הזהב, שמעצב את הספירלות בחמנייה.

מה המודל הזה משמיט

שתי הסדרות מתחילות ב־$1$⁠. שינוי של $a_1$⁠ היה כופל כל איבר וכל סכום באותו גורם, ולכן היה משנה את המספרים על הסרגלים אבל לא את הצורות. ההפרש רק עולה מ־$0$⁠, והמנה אף פעם לא שלילית: סדרה חשבונית יורדת הייתה צוללת מתחת לאפס, ומנה שלילית גורמת לאיברים להחליף סימן לסירוגין, ואת זה גרם מדרגות של קוביות לא יכול להראות. טור הנדסי שבו $q$⁠ בין $-1$⁠ ל־$0$⁠ עדיין מתכנס, לאותו $\frac{a_1}{1 - q}$⁠.

רק עשרה איברים מצוירים. תיבת הזכוכית לא בנויה מאינסוף קוביות; הגובה שלה מחושב מהנוסחה, והשארית הזוהרת היא כל מה שבא אחרי האיבר האחרון שמצויר, $\frac{a_{n+1}}{1 - q}$⁠ בסך הכול. כל סרגל מותאם לעמודה הגבוהה ביותר שלו, ולכן שני חצאי הלוח לא מצוירים באותו קנה מידה. להתכנסות עצמה יש הגדרה מדויקת, שהסכומים המצטברים מתקרבים לגבול ונשארים קרובים אליו כמה שרק נדרוש, ובעמוד הזה היא מתוארת רק במילים.