טורים אינסופיים.

שלב 1 מתוך 5

חצאים עד אינסוף

כדי לחצות חדר, צריך קודם לעבור חצי ממנו, אחר כך חצי ממה שנשאר, ואז חצי ממה שנשאר שוב. זנון מאלאה טען שאי אפשר לעשות אינסוף צעדים, ולכן אי אפשר לחצות את החדר. אבל אורכי הצעדים הם $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$⁠, וחיבור כזה יכול להסתיים במספר סופי.

בלוח $a_1 = 1$⁠ ו־$q = 0.5$⁠, וחיבור האיברים עומד על הסכומים המצטברים: $1$⁠, $1.5$⁠, $1.75$⁠, $1.875, \dots$⁠ נבאו מה יהיה הסכום אם ממשיכים לחבר עד אינסוף.

שלב 2 מתוך 5

הנוסחה לסכום האינסופי

סכום אינסופי הוא המספר שהסכומים המצטברים $S_n$⁠ מתקרבים אליו כש־$n$⁠ גדל. בנוסחה $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$S_n =$$\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$⁠, כש־$-1 < q < 1$⁠, החזקה $q^n$⁠ קטנה לאפס, ונשאר:

$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$$S_\infty =$$\frac{a_1}{1 - q}$⁠

אומרים שהטור מתכנס. כאן האיבר הראשון הוא $a_1 = 3$⁠ ו־$q = 0.75$⁠. חשבו את הסכום האינסופי, ואז העבירו את חיבור האיברים עד אינסוף: תיבת הזכוכית בגובה הסכום, והאיברים ממלאים אותה בדיוק.

שלב 3 מתוך 5

קרוב ל־1

ככל ש־$q$⁠ קרוב יותר ל־$1$⁠, האיברים קטנים לאט יותר, והסכום גדל: $\frac{1}{1 - 0.5} = 2$$\frac{1}{1 - 0.5} =$$2$⁠, $\frac{1}{1 - 0.8} = 5$$\frac{1}{1 - 0.8} =$$5$⁠. מצאו את המנה שנותנת סכום אינסופי של $10$⁠.

שלב 4 מתוך 5

כשאין סכום סופי

לא לכל טור יש סכום. כש־$q = 1$⁠ כל האיברים שווים ל־$a_1$⁠, ו־$n$⁠ איברים נותנים $n a_1$⁠: הסכום גדל בלי גבול. כש־$q > 1$⁠ הוא גדל מהר עוד יותר. גם לסדרה חשבונית שעולה אין סכום אינסופי. בלוח, תיבת הזכוכית פתוחה למעלה, עם חץ: אין סכום. נסו כמה ערכים של המנה q ושל ההפרש d, וענו.

שלב 5 מתוך 5

0.999… = 1

השבר העשרוני $0.999\ldots$⁠, עם תשיעיות בלי סוף, הוא טור: $0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots$⁠, עם $a_1 = 0.9$⁠ ו־$q = 0.1$⁠. כאן הלוח מראה ארבעה איברים; העמודות כבר כמעט שוות. חשבו את הסכום האינסופי, ואז העבירו את חיבור האיברים עד אינסוף.