פונקציות והגרפים שלהן.

כלל והתמונה שלו

פונקציה היא כלל שמקבל מספר ומחזיר מספר אחד בדיוק. הכפילו אותו והוסיפו אחת. העלו אותו בריבוע. מדדו את הגובה של כדור זרוק אחרי $x$⁠ שניות. את המספר שנכנס מסמנים בדרך כלל ב־$x$⁠, את זה שיוצא ב־$y$⁠, ואת הכלל כותבים $y = f(x)$⁠.

הגרף שלה הוא כל הזוגות $(x, y)$⁠ שמקיימים את הכלל, וכל זוג מצויר כנקודה על רשת. מסמנים מספיק נקודות והן מתחברות לקו או לעקומה, וכל הכלל הופך לצורה אחת שאפשר לקלוט במבט: איפה הוא עולה, איפה הוא יורד, איפה הוא הכי גדול ואיפה הוא חוצה את האפס. מכיוון שכל $x$⁠ נותן $y$⁠ אחד, בגרף של פונקציה אף פעם אין שתי נקודות זו מעל זו.

הלוח מציג אחת המשפחות השימושיות ביותר, הפונקציות הריבועיות, $y = ax^2 + bx + c$⁠. הגרפים שלהן הם פרבולות: אותה עקומה שמשרטט סילון מים ממזרקה או כדור זרוק, ואותה עקומה שמתקבלת כשחותכים חרוט במקביל לדופן שלו.

מה עושה כל מקדם

$a$⁠ קובע את הצורה. כש־$a$⁠ חיובי הזרועות פונות למעלה ולעקומה יש נקודה נמוכה ביותר; כשהוא שלילי הן פונות למטה ולעקומה יש נקודה גבוהה ביותר. ככל ש־$a$⁠ גדול יותר בערכו המוחלט, העקומה צרה יותר; קרוב לאפס היא משתטחת. כש־$a$⁠ שווה לאפס בדיוק, האיבר $x^2$⁠ נעלם והגרף הוא קו ישר, פונקציה קווית.

$c$⁠ מרים או מוריד את כל העקומה בלי לשנות את הצורה שלה. הוא הערך של $y$⁠ ב־$x = 0$⁠, ולכן העקומה תמיד חותכת את ציר $y$⁠ בגובה $c$⁠.

$b$⁠ הוא היוצא דופן. הוא לא מותח את העקומה ולא סתם מזיז אותה: הוא מזיז את הנקודה הנמוכה (או הגבוהה) ביותר הצידה ולמטה (או למעלה) בבת אחת. הזיזו את המקדם b והנקודה הזאת נעה לאורך פרבולה שנייה, $y = c - ax^2$⁠: התאומה ההפוכה של העקומה, שעוברת דרך הנקודה $(0, c)$⁠.

הקודקוד וציר הסימטריה

נקודת המפנה של פרבולה היא הקודקוד שלה. כל פרבולה סימטרית סביב הקו הזקוף שעובר דרך הקודקוד, ציר הסימטריה: מקפלים את הגרף לאורך הקו הזה ושתי הזרועות נופלות זו על זו. הקודקוד נמצא ב־

$x = \frac{-b}{2a}$⁠

והגובה שלו הוא ערך הפונקציה שם. כשכותבים את הכלל מחדש סביב הנקודה הזאת מקבלים את צורת הקודקוד, $y = a(x - h)^2 + k$⁠, והקודקוד ב־$(h, k)$⁠. בעקומת ההתחלה, $y = x^2 - 2x - 3$⁠, הקודקוד ב־$(1, -4)$⁠, והעקומה היא הפרבולה הפשוטה $y = x^2$⁠ אחרי הזזה של $1$⁠ ימינה ו־$4$⁠ למטה.

שורשים והדיסקרימיננטה

השורשים של הפונקציה הם ערכי $x$⁠ שבהם $y = 0$⁠: המקומות שבהם העקומה פוגשת את ציר $x$⁠. נוסחת השורשים מוצאת אותם,

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$x =$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$⁠

והמספר שמתחת לשורש קובע כמה שורשים יש. זו הדיסקרימיננטה, שמסמנים $\Delta = b^2 - 4ac$⁠.

• $\Delta > 0$⁠: שני שורשים. העקומה חותכת את הציר פעמיים, במרחקים שווים משני צדי ציר הסימטריה.
• $\Delta = 0$⁠: שורש אחד. הקודקוד יושב בדיוק על ציר $x$⁠, והעקומה רק נוגעת בו.
• $\Delta < 0$⁠: אין שורשים ממשיים. השורש הריבועי של מספר שלילי אינו מספר ממשי, ועל הלוח כל העקומה נשארת מעל הציר או מתחתיו.

הדיסקרימיננטה איננה תעלול של הנוסחה. היא הגובה של הקודקוד בתחפושת: $\Delta = -4ak$⁠, כאשר $k$⁠ הוא גובה הקודקוד. אם הזרועות פונות למעלה ($a > 0$⁠), העקומה מגיעה לציר רק כשהקודקוד עליו או מתחתיו, וזה בדיוק כש־$\Delta \ge 0$⁠. כשהן פונות למטה, הקודקוד צריך להיות על הציר או מעליו. מספר אחד בודק באיזה צד של הציר נמצא הקודקוד, ביחס לכיוון שאליו פונות הזרועות.

נסו: השאירו את המקדם a על $1$⁠ ואת המקדם b על $-2$⁠, קדמו את קריאת העקומה עד שורשים ו־Δ, ואז הזיזו את המקדם c אל $-3$⁠, אחר כך אל $1$⁠ ואז אל $3$⁠. העקומה עולה, שני השורשים מתקרבים ומתמזגים בקודקוד, ו־$\Delta$⁠ יורדת מ־$16$⁠ דרך $0$⁠ אל $-8$⁠.

חזרה לניסוי ↑

מאיפה באו הרעיונות

בעיות שפתרונן הוא פתרון של משוואה ריבועית מופיעות כבר על לוחות חרס בבליים בני כמעט ארבעת אלפים שנה, כמתכונים עם מספרים מסוימים. בסביבות שנת $820$⁠ הסביר המלומד הבגדדי מוחמד אבן מוסא אל־ח’ואריזמי את השיטה באופן כללי, כשהשלים ריבוע בעזרת ריבועים ומלבנים של ממש, בספר שהשם שלו נתן לנו את המילה אלגברה. הרעיון לצייר משוואה כעקומה על רשת בא הרבה יותר מאוחר, בשנות ה־$1630$⁠, מרנה דקארט ומפייר דה פרמה, והמילה פונקציה במובנה המודרני התגבשה במאה שאחר כך, אצל לייבניץ, אוילר ואחרים.

מה המודל הזה משמיט

הלוח מראה רק פונקציות ריבועיות, משפחה אחת מתוך רבות: אפשר לבנות פונקציות מחזקות, משורשים, מסינוסים, מפונקציות מעריכיות או מכל כלל שהוא, והן לא חייבות להיות נתונות בנוסחה. הוא מצייר חלון קבוע מ־$-6$⁠ עד $6$⁠, ולכן קודקוד או שורש רחוקים מודפסים אבל לא נראים. המחוונים מזיזים את $a$⁠, $b$⁠ ו־$c$⁠ בצעדים של רבע או חצי, והערכים המודפסים מעוגלים לשתי ספרות אחרי הנקודה. כש־$\Delta$⁠ שלילית, למשוואה עדיין יש שני פתרונות בין המספרים המרוכבים, והלוח לא מצייר אותם; מספרים מרוכבים הוא המקום לפגוש אותם.