מפתח תשובות · יחידה 9

תנועה מעגלית וכבידה.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 5

שיעור 1 מתוך 5 · כ־25 דקות

תאוצה כלפי המרכז

כדור שמסתובב במעגל במהירות קבועה בגודלה מאיץ כל הזמן. לאן הוא מאיץ, בכמה, וכמה זמן נמשך סיבוב אחד?

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
משחררים את החוט
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הכדור מסתובב ב־2 m/s על חוט באורך 0.6 m. חותכים את החוט. באיזה מסלול ינוע הכדור?

התשובה הנכונה
- נכונה בקו ישר לאורך המשיק, בכיוון שבו נע ברגע החיתוך
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
2 m/s
אורך החוט
0.6 m
כוחות, ואז חיתוך
סיבובמוסתר
האפשרויות
- נכונה בקו ישר לאורך המשיק, בכיוון שבו נע ברגע החיתוך
- שגויה בקו ישר החוצה, הרחק מהיתד, בהמשך לחוט
  טעות נפוצה: Thinks a ball let go from a circle flies straight outward, away from the centre.
  משוב מהקטלוג
  ברגע שהחוט נחתך אין על הכדור שום כוח אופקי, ולפי החוק הראשון של ניוטון הוא ממשיך במהירות שהייתה לו באותו רגע: לאורך המשיק למעגל, בניצב לחוט. שום דבר לא דחף אותו החוצה קודם, ולכן אין גם מה שיזרוק אותו החוצה עכשיו. הוא אמנם מתרחק מהיתד, אבל רק כי הוא ממשיך ישר בזמן שהמעגל היה ממשיך להתעקם.
- שגויה ימשיך להתעקם, במעגל שהולך וגדל
  טעות נפוצה: Thinks a ball let go from a circle keeps curving round, as if it remembered the circle.
  משוב מהקטלוג
  לכדור אין זיכרון של המעגל. המסלול שלו התעקם רק כי החוט משך אותו פנימה בכל רגע. בלי המשיכה הזאת אין מה שיעקם את המסלול, והכדור ממשיך בקו ישר לאורך המשיק, במהירות קבועה.
- שגויה ייעצר במקום
  משוב
  שום כוח לא עוצר את הכדור: השולחן חלק, ובלי כוח המהירות שלו נשארת כפי שהייתה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
כוחות, ואז חיתוך
חיתוך החוטמוסתר
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
בלי משיכה אין מה שיעקם את המסלול. הצלליות, במרווחים שווים, מראות שהכדור ממשיך לאורך המשיק בקו ישר ובאותה מהירות.

פתרון מלא
1. לפני החיתוך הכוח האופקי היחיד על הכדור הוא המשיכה של החוט, אל היתד.
2. ברגע החיתוך גם הכוח הזה נעלם. המשקל והכוח של השולחן מאזנים זה את זה, ולכן הכוח השקול על הכדור הוא אפס.
3. לפי החוק הראשון של ניוטון, גוף שאין עליו כוח שקול ממשיך במהירות קבועה ובקו ישר. ברגע החיתוך הוא נע ב־2 m/s לאורך המשיק, ולכן הוא ממשיך כך עד שהשפה של השולחן עוצרת אותו.
מי שבוחר “החוצה” מדמיין כוח שדוחף את הכדור מהמרכז; אבל כוח כזה לא פעל עליו גם קודם.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
המהירות מסתובבת
תרגול · בחרו
השאלה
הכדור נע במעגל ב־2 m/s, וגודל המהירות לא משתנה. לאן מכוונת התאוצה שלו?

התשובה הנכונה
- נכונה אל היתד, במרכז המעגל
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
2 m/s
אורך החוט
0.6 m
כוחות, ואז חיתוך
0.4 (סיבוב → חיתוך החוט)קבוע
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה אל היתד, במרכז המעגל
- שגויה אין לו תאוצה, כי גודל המהירות קבוע
  טעות נפוצה: Thinks a body moving at a constant speed has no acceleration, even on a circle.
  משוב מהקטלוג
  תאוצה היא קצב השינוי של המהירות, והמהירות היא וקטור: גודל וכיוון. במעגל הגודל קבוע, אבל הכיוון משתנה בכל רגע, ולכן יש תאוצה. היא מכוונת אל המרכז, וגודלה $a = \dfrac{v^2}{r}$ ⁠.
- שגויה קדימה, בכיוון התנועה
  טעות נפוצה: Thinks the acceleration, or a force, on a body moving on a circle points forward along its velocity.
  משוב מהקטלוג
  כוח או תאוצה לאורך התנועה היו משנים את גודל המהירות, וכאן הגודל קבוע. כדי לשנות רק את הכיוון, התאוצה צריכה להיות בניצב לתנועה: לאורך הרדיוס, אל המרכז. שום דבר לא צריך לדחוף את הכדור קדימה; בלי חיכוך הוא ממשיך לנוע מעצמו.
- שגויה החוצה, הרחק מהיתד
  טעות נפוצה: Believes an outward centrifugal force acts on the circling body and balances the inward pull.
  משוב מהקטלוג
  אילו כוח החוצה היה מאזן את המשיכה פנימה, הכוח השקול היה אפס והגוף היה נע בקו ישר. הוא מתעקם דווקא כי יש עליו כוח שקול פנימה. מה שמרגישים כמשיכה החוצה הוא הכדור שמושך את החוט ואת היד (החוק השלישי של ניוטון), או הגוף שלכם שממשיך ישר בזמן שהמכונית פונה מתחתיו.
משוב לתשובה נכונה
המהירות משנה כיוון בכל רגע, והשינוי הזה מכוון אל המרכז, כמו החץ הכתום. זו התאוצה הצנטריפטלית.

פתרון מלא
1. התאוצה היא השינוי במהירות בכל שנייה, $\vec a = \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t}$ ⁠, והמהירות היא וקטור.
2. גודל המהירות קבוע, 2 m/s, ולכן אין לתאוצה רכיב לאורך התנועה; רק הכיוון משתנה.
3. שינוי של הכיוון בלבד דורש תאוצה בניצב למהירות. המהירות לאורך המשיק, ולכן התאוצה לאורך הרדיוס.
4. החוט, הכוח היחיד במישור השולחן, מושך אל היתד, ולפי $\vec F = m\vec a$ ⁠ התאוצה באותו כיוון: אל המרכז.
הטעות הנפוצה היא “אין תאוצה כי המהירות קבועה”: קבוע כאן רק הגודל של המהירות.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
סיבוב אחד
תרגול · חשבו
השאלה
הכדור נע ב־2.5 m/s על חוט באורך 0.8 m. כמה זמן נמשך סיבוב אחד?

התשובה הנכונה
2.011 s ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
2.5 m/sקבוע
אורך החוט
0.8 mקבוע
כוחות, ואז חיתוך
סיבובמוסתר
מתקבלת בטווח
± 2%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Seconds for one turn, 2πr/v/nodes/whirl/outputs/period
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.32 s ± 3%
  טעות נפוצה: Divides the radius by the speed for the period, forgetting the circumference 2πr.
  משוב מהקטלוג
  בסיבוב אחד הכדור עובר את כל ההיקף של המעגל, $2\pi r$ ⁠, ולא רדיוס אחד. לכן $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ ⁠. החלוקה $\dfrac{r}{v}$ ⁠ נותנת רק את הזמן לעבור מרחק של רדיוס אחד, בערך שישית סיבוב.
משוב לתשובה נכונה
$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \cdot 0.8}{2.5} \approx 2.01\ \mathrm{s}$ ⁠: כחצי סיבוב בשנייה.

רמז
בסיבוב אחד הכדור עובר את ההיקף, $2\pi r$ ⁠, במהירות $v$ ⁠.

פתרון מלא
1. הנתונים: $v = 2.5\ \mathrm{m/s}$ ⁠ ו־ $r = 0.8\ \mathrm{m}$ ⁠.
2. בסיבוב אחד הכדור עובר את ההיקף, ולכן $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ ⁠.
3. מציבים: $T = \dfrac{2\pi \cdot 0.8}{2.5} \approx \dfrac{5.03}{2.5} \approx 2.01\ \mathrm{s}$ ⁠.
4. בדיקה דרך המהירות הזוויתית: $\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{2.5}{0.8} = 3.125\ \mathrm{rad/s}$ ⁠, ו־ $\dfrac{2\pi}{3.125} \approx 2.01\ \mathrm{s}$ ⁠.
מי שקיבל 0.32 s חילק את הרדיוס במהירות ושכח שבסיבוב עוברים את כל ההיקף, $2\pi$ ⁠ רדיוסים.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
כמה מהר המהירות מסתובבת
תרגול · חשבו
השאלה
הכדור נע ב־3 m/s על חוט באורך 0.5 m. מה גודל התאוצה שלו?

התשובה הנכונה
18 m/s² ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
3 m/sקבוע
אורך החוט
0.5 mקבוע
כוחות, ואז חיתוך
סיבובמוסתר
מתקבלת בטווח
± 2%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Acceleration towards the peg, v²/r/nodes/whirl/outputs/acceleration
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 6 m/s² ± 3%
  טעות נפוצה: Uses v/r or v²·r instead of v²/r for the centripetal acceleration.
  משוב מהקטלוג
  בדקו את היחידות. $\dfrac{v}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{1/s}$ ⁠: זו המהירות הזוויתית, ברדיאנים לשנייה, ולא תאוצה. $v^2 r$ ⁠ נותן $\mathrm{m^3/s^2}$ ⁠. רק $\dfrac{v^2}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m^2/s^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m/s^2}$ ⁠, יחידה של תאוצה.
- 4.5 m/s² ± 3%
  טעות נפוצה: Uses v/r or v²·r instead of v²/r for the centripetal acceleration.
  משוב מהקטלוג
  בדקו את היחידות. $\dfrac{v}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{1/s}$ ⁠: זו המהירות הזוויתית, ברדיאנים לשנייה, ולא תאוצה. $v^2 r$ ⁠ נותן $\mathrm{m^3/s^2}$ ⁠. רק $\dfrac{v^2}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m^2/s^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m/s^2}$ ⁠, יחידה של תאוצה.
משוב לתשובה נכונה
$a = \dfrac{3^2}{0.5} = 18\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠, אל המרכז: כמעט פי שניים מתאוצת הנפילה החופשית.

רמז
$a = \dfrac{v^2}{r}$ ⁠: המהירות בריבוע, חלקי הרדיוס.

פתרון מלא
1. הנתונים: $v = 3\ \mathrm{m/s}$ ⁠ ו־ $r = 0.5\ \mathrm{m}$ ⁠.
2. התאוצה הצנטריפטלית: $a = \dfrac{v^2}{r}$ ⁠.
3. מציבים: $a = \dfrac{3^2}{0.5} = \dfrac{9}{0.5} = 18\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠, אל היתד.
זה כמעט פי שניים מתאוצת הנפילה החופשית. מי שקיבל $6$ ⁠ חישב $\dfrac{v}{r}$ ⁠, שהיא המהירות הזוויתית ברדיאנים לשנייה ולא תאוצה; מי שקיבל $4.5$ ⁠ כפל ב־ $r$ ⁠ במקום לחלק בו.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
מהירות כפולה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בסיבוב הזה התאוצה 3.75 m/s². מכפילים את המהירות, מ־1.5 m/s ל־3 m/s, על אותו חוט. מה תהיה התאוצה?

התשובה הנכונה
- נכונה 15 m/s², פי ארבעה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
1.5 m/sקבוע
אורך החוט
0.6 mקבוע
כוחות, ואז חיתוך
0.4 (סיבוב → חיתוך החוט)קבוע
האפשרויות
- שגויה 3.75 m/s², כמו קודם
  משוב
  גודל המהירות השתנה, ולכן גם התאוצה: הכיוון צריך להשתנות מהר יותר.
- שגויה 7.5 m/s², פי שניים
  טעות נפוצה: Thinks the centripetal acceleration, and the pull, grow in proportion to the speed: twice the speed, twice the pull.
  משוב מהקטלוג
  המהירות נכנסת בריבוע: $a = \dfrac{v^2}{r}$ ⁠. במהירות כפולה הכיוון צריך להשתנות מהר פי שניים, ויש פי שניים מהירות שצריך לסובב, ולכן התאוצה, וגם המשיכה, גדלות פי $2^2 = 4$ ⁠.
- נכונה 15 m/s², פי ארבעה
- שגויה 30 m/s², פי שמונה
  משוב
  המהירות נכנסת בריבוע, לא בחזקה שלישית: $2^2 = 4$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מהירות
3 m/sקבוע
ואז הסצנה מראה: 15 m/s² · Acceleration towards the peg, v²/r/nodes/whirl/outputs/acceleration
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
פי ארבעה: $\dfrac{3^2}{0.6} = 15\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠. גם המשיכה על החץ הכתום גדלה פי ארבעה, מ־0.75 N ל־3 N.

פתרון מלא
1. לפני: $a = \dfrac{1.5^2}{0.6} = 3.75\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠.
2. אחרי: $a = \dfrac{3^2}{0.6} = \dfrac{9}{0.6} = 15\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠.
3. היחס: $\dfrac{15}{3.75} = 4 = 2^2$ ⁠, כי $a$ ⁠ תלויה ב־ $v^2$ ⁠.
במהירות כפולה הכדור מסתובב סביב היתד מהר פי שניים, ולכן החץ הכחול מסתובב מהר פי שניים, והוא גם ארוך פי שניים. שני הגורמים יחד נותנים פי ארבעה, לא פי שניים.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
תאוצה של עשרה
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
שנו את מהירות ואת אורך החוט עד שהתאוצה של הכדור תהיה 10 m/s², ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 10 m/s² ± 0.25 m/s²
  בתחילת השלב: 1.667 m/s²
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
1 m/s
אורך החוט
0.6 m
כוחות, ואז חיתוך
0.4 (סיבוב → חיתוך החוט)קבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
Acceleration towards the peg, v²/r/nodes/whirl/outputs/acceleration
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מהירות
2 m/s
אורך החוט
0.4 m
משוב לתשובה נכונה
יש יותר מצירוף אחד: כל מהירות ואורך שבהם $v^2 = 10\,r$ ⁠. לחוט קצר יותר מספיקה מהירות קטנה יותר.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אם התאוצה קטנה מדי, הגבירו את המהירות או קצרו את החוט; אם היא גדולה מדי, להפך.

רמז
צריך $v^2 = 10\,r$ ⁠. בחרו אורך חוט, וחשבו את המהירות שמתאימה לו.

פתרון מלא
1. רוצים $a = \dfrac{v^2}{r} = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠, כלומר $v^2 = 10\, r$ ⁠.
2. בחרו אורך חוט שבו $10\,r$ ⁠ הוא ריבוע נוח: ב־ $r = 0.4\ \mathrm{m}$ ⁠ צריך $v^2 = 4$ ⁠, כלומר $v = 2\ \mathrm{m/s}$ ⁠.
3. בדיקה: $\dfrac{2^2}{0.4} = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠.
גם $r = 0.9\ \mathrm{m}$ ⁠ עם $v = 3\ \mathrm{m/s}$ ⁠ עובד: $\dfrac{9}{0.9} = 10$ ⁠. מי שרק הגביר את המהירות על החוט של 0.6 m עובר את המטרה: ב־2.4 m/s התאוצה 9.6 m/s², וב־2.5 m/s כבר כ־10.4 m/s².

שיעור 2 מתוך 5 · כ־25 דקות

הכוח שמחזיק במעגל

כדי לנוע במעגל צריך כוח שקול אל המרכז, בגודל m·v²/r. מי מספק אותו, כמה הוא חזק, ולמה אין כוח שדוחף החוצה?

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
מה מושך את הכדור
תרגול · בחרו
השאלה
מסתכלים על הכדור מלמעלה, בזמן שהוא מסתובב. אילו כוחות אופקיים פועלים עליו?

התשובה הנכונה
- נכונה רק המשיכה של החוט, אל היתד
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
2 m/s
אורך החוט
0.6 m
כוחות, ואז חיתוך
0.4 (סיבוב → חיתוך החוט)קבוע
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה רק המשיכה של החוט, אל היתד
- שגויה המשיכה של החוט פנימה, וכוח צנטריפוגלי שווה לה החוצה
  טעות נפוצה: Believes an outward centrifugal force acts on the circling body and balances the inward pull.
  משוב מהקטלוג
  אילו כוח החוצה היה מאזן את המשיכה פנימה, הכוח השקול היה אפס והגוף היה נע בקו ישר. הוא מתעקם דווקא כי יש עליו כוח שקול פנימה. מה שמרגישים כמשיכה החוצה הוא הכדור שמושך את החוט ואת היד (החוק השלישי של ניוטון), או הגוף שלכם שממשיך ישר בזמן שהמכונית פונה מתחתיו.
- שגויה המשיכה של החוט פנימה, וכוח קדימה שמחזיק את הכדור בתנועה
  טעות נפוצה: Thinks the acceleration, or a force, on a body moving on a circle points forward along its velocity.
  משוב מהקטלוג
  כוח או תאוצה לאורך התנועה היו משנים את גודל המהירות, וכאן הגודל קבוע. כדי לשנות רק את הכיוון, התאוצה צריכה להיות בניצב לתנועה: לאורך הרדיוס, אל המרכז. שום דבר לא צריך לדחוף את הכדור קדימה; בלי חיכוך הוא ממשיך לנוע מעצמו.
- שגויה המשיכה של החוט פנימה, ועוד כוח צנטריפטלי פנימה
  טעות נפוצה: Adds the centripetal force as a force of its own, on top of the real forces on the body.
  משוב מהקטלוג
  כוח צנטריפטלי הוא לא סוג נוסף של כוח, אלא שם לתפקיד: הכוח השקול שמכוון אל המרכז. כאן ממלאת אותו המשיכה של החוט; במכונית שפונה, החיכוך בין הצמיגים לכביש; אצל הירח, הכבידה. בתרשים כוחות מציירים רק את הכוחות האמיתיים, ובודקים שהשקול שלהם מכוון אל המרכז ושווה ל־ $\dfrac{m v^2}{r}$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
רק החוט. המשיכה שלו היא הכוח הצנטריפטלי: הכוח השקול, אל המרכז, שמסובב את המהירות.

פתרון מלא
1. מה נוגע בכדור? השולחן מלמטה והחוט. ומרחוק כדור הארץ מושך אותו למטה.
2. המשקל והכוח של השולחן אנכיים ומאזנים זה את זה, כי הכדור לא עולה ולא יורד.
3. במישור השולחן נשאר רק החוט, וחוט יכול רק למשוך לאורכו: אל היתד.
4. בדיקה: הכדור מאיץ אל המרכז, $a = \dfrac{v^2}{r}$ ⁠, ולכן הכוח השקול צריך להיות אל המרכז ובגודל $\dfrac{m v^2}{r} = \dfrac{0.2 \cdot 2^2}{0.6} \approx 1.33\ \mathrm{N}$ ⁠. זה בדיוק המספר על החץ הכתום.
כוח צנטריפוגלי החוצה היה מאפס את הכוח השקול, והכדור היה נע בקו ישר. וכוח צנטריפטלי הוא השם של התפקיד שממלאת כאן המשיכה של החוט, לא כוח נוסף.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
כמה חזק
תרגול · חשבו
השאלה
כדור של 0.5 kg מסתובב ב־2 m/s על חוט באורך 0.8 m. בכמה כוח החוט מושך אותו?

התשובה הנכונה
2.5 N ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
2 m/sקבוע
אורך החוט
0.8 mקבוע
כוחות, ואז חיתוך
סיבובמוסתר
הגדרות נוספות
Mass/nodes/whirl/props/mass = 0.5
מתקבלת בטווח
± 2%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The string's pull on the ball, m·v²/r/nodes/whirl/outputs/pull
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1.25 N ± 3%
  טעות נפוצה: Uses v/r or v²·r instead of v²/r for the centripetal acceleration.
  משוב מהקטלוג
  בדקו את היחידות. $\dfrac{v}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{1/s}$ ⁠: זו המהירות הזוויתית, ברדיאנים לשנייה, ולא תאוצה. $v^2 r$ ⁠ נותן $\mathrm{m^3/s^2}$ ⁠. רק $\dfrac{v^2}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m^2/s^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m/s^2}$ ⁠, יחידה של תאוצה.
- 1.6 N ± 3%
  טעות נפוצה: Uses v/r or v²·r instead of v²/r for the centripetal acceleration.
  משוב מהקטלוג
  בדקו את היחידות. $\dfrac{v}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{1/s}$ ⁠: זו המהירות הזוויתית, ברדיאנים לשנייה, ולא תאוצה. $v^2 r$ ⁠ נותן $\mathrm{m^3/s^2}$ ⁠. רק $\dfrac{v^2}{r}$ ⁠ נותן $\dfrac{\mathrm{m^2/s^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m/s^2}$ ⁠, יחידה של תאוצה.
משוב לתשובה נכונה
$F = \dfrac{m v^2}{r} = \dfrac{0.5 \cdot 4}{0.8} = 2.5\ \mathrm{N}$ ⁠, אל היתד.

רמז
קודם התאוצה, $a = \dfrac{v^2}{r}$ ⁠. אחר כך החוק השני של ניוטון, $F = m a$ ⁠.

פתרון מלא
1. הנתונים: $m = 0.5\ \mathrm{kg}$ ⁠, $v = 2\ \mathrm{m/s}$ ⁠ ו־ $r = 0.8\ \mathrm{m}$ ⁠.
2. התאוצה: $a = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{4}{0.8} = 5\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠, אל היתד.
3. הכוח, מהחוק השני של ניוטון: $F = m a = 0.5 \cdot 5 = 2.5\ \mathrm{N}$ ⁠.
או בבת אחת: $F = \dfrac{m v^2}{r} = \dfrac{0.5 \cdot 2^2}{0.8} = 2.5\ \mathrm{N}$ ⁠. מי שקיבל 1.25 N שכח לעלות את המהירות בריבוע, ומי שקיבל 1.6 N כפל ב־ $r$ ⁠ במקום לחלק בו.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
משיכה של שני ניוטון
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הכדור של 0.2 kg. שנו את מהירות ואת אורך החוט עד שהחוט מושך בכוח של 2 N, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 2 N ± 0.05 N
  בתחילת השלב: 0.3333 N
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
1 m/s
אורך החוט
0.6 m
כוחות, ואז חיתוך
0.4 (סיבוב → חיתוך החוט)קבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
The string's pull on the ball, m·v²/r/nodes/whirl/outputs/pull
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מהירות
2 m/s
אורך החוט
0.4 m
משוב לתשובה נכונה
החוט מושך 2 N: התאוצה מהשיעור הקודם, 10 m/s², כפול המסה, 0.2 kg.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הסתכלו על המספר על החץ הכתום: אם הוא קטן מדי, הגבירו את המהירות או קצרו את החוט.

רמז
$F = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠, ולכן צריך $\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{2}{0.2} = 10$ ⁠.

פתרון מלא
1. רוצים $\dfrac{m v^2}{r} = 2\ \mathrm{N}$ ⁠ עם $m = 0.2\ \mathrm{kg}$ ⁠, כלומר תאוצה של $a = \dfrac{F}{m} = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠.
2. לכן צריך $v^2 = 10\, r$ ⁠: למשל $r = 0.4\ \mathrm{m}$ ⁠ ו־ $v = 2\ \mathrm{m/s}$ ⁠.
3. בדיקה: $\dfrac{0.2 \cdot 2^2}{0.4} = 2\ \mathrm{N}$ ⁠, וזה מה שהחץ הכתום מראה.
גם $r = 0.9\ \mathrm{m}$ ⁠ עם $v = 3\ \mathrm{m/s}$ ⁠ נותן 2 N. בהתחלה, ב־1 m/s, החוט מושך רק 0.33 N: כדי להגיע לפי שש, מספיק להגביר את המהירות פי $\sqrt{6} \approx 2.4$ ⁠, כי היא נכנסת בריבוע.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
חוט ארוך יותר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הכדור נע ב־2 m/s על חוט באורך 0.5 m, והחוט מושך ב־1.6 N. מאריכים את החוט ל־1 m ושומרים על אותה מהירות. מה יקרה למשיכה?

התשובה הנכונה
- נכונה תקטן לחצי, 0.8 N
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
2 m/sקבוע
אורך החוט
0.5 mקבוע
כוחות, ואז חיתוך
0.4 (סיבוב → חיתוך החוט)קבוע
האפשרויות
- נכונה תקטן לחצי, 0.8 N
- שגויה תגדל פי שניים, 3.2 N
  טעות נפוצה: Thinks that at the same speed a bigger circle needs a bigger pull.
  משוב מהקטלוג
  באותה מהירות, מעגל גדול יותר הוא פנייה מתונה יותר: הכיוון משתנה לאט יותר. לכן $F = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠ קטן כשהרדיוס גדל, וחוט כפול באורכו צריך רק חצי מהמשיכה.
- שגויה לא תשתנה
  משוב
  המהירות היא אותה מהירות, אבל הפנייה מתונה יותר: הכיוון משתנה לאט יותר, ולכן צריך פחות משיכה.
- שגויה תקטן לרבע, 0.4 N
  משוב
  הרדיוס נמצא במכנה בחזקה ראשונה, לא בריבוע: $F = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
אורך החוט
1 mקבוע
ואז הסצנה מראה: 0.8 N · The string's pull on the ball, m·v²/r/nodes/whirl/outputs/pull
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
חצי: $F = \dfrac{0.2 \cdot 2^2}{1} = 0.8\ \mathrm{N}$ ⁠. באותה מהירות, מעגל גדול הוא פנייה מתונה יותר.

פתרון מלא
1. לפני: $F = \dfrac{m v^2}{r} = \dfrac{0.2 \cdot 4}{0.5} = 1.6\ \mathrm{N}$ ⁠.
2. אחרי: $F = \dfrac{0.2 \cdot 4}{1} = 0.8\ \mathrm{N}$ ⁠.
3. הרדיוס במכנה, ולכן רדיוס כפול נותן חצי מהכוח.
באותה מהירות, מעגל גדול יותר הוא פנייה מתונה: זמן המחזור ארוך פי שניים, והמהירות מסתובבת לאט פי שניים. ההרגשה שחוט ארוך מושך חזק יותר באה מסיבוב באותו קצב סיבובים: אז הכדור שעל החוט הארוך נע מהר יותר, $v = \omega r$ ⁠, והמשיכה $m \omega^2 r$ ⁠ אכן גדלה.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
מי עושה את העבודה של החוט
תרגול · בחרו
השאלה
מכונית נוסעת במהירות קבועה סביב כיכר עגולה, על כביש מישורי. איזה כוח שומר עליה במעגל?

התשובה הנכונה
- נכונה החיכוך בין הצמיגים לכביש, לצד, אל מרכז הכיכר
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מהירות
2 m/s
אורך החוט
0.6 m
כוחות, ואז חיתוך
0.4 (סיבוב → חיתוך החוט)
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה החיכוך בין הצמיגים לכביש, לצד, אל מרכז הכיכר
- שגויה הכוח הצנטריפוגלי
  טעות נפוצה: Believes an outward centrifugal force acts on the circling body and balances the inward pull.
  משוב מהקטלוג
  אילו כוח החוצה היה מאזן את המשיכה פנימה, הכוח השקול היה אפס והגוף היה נע בקו ישר. הוא מתעקם דווקא כי יש עליו כוח שקול פנימה. מה שמרגישים כמשיכה החוצה הוא הכדור שמושך את החוט ואת היד (החוק השלישי של ניוטון), או הגוף שלכם שממשיך ישר בזמן שהמכונית פונה מתחתיו.
- שגויה הכוח של המנוע, שדוחף את המכונית קדימה
  טעות נפוצה: Thinks the acceleration, or a force, on a body moving on a circle points forward along its velocity.
  משוב מהקטלוג
  כוח או תאוצה לאורך התנועה היו משנים את גודל המהירות, וכאן הגודל קבוע. כדי לשנות רק את הכיוון, התאוצה צריכה להיות בניצב לתנועה: לאורך הרדיוס, אל המרכז. שום דבר לא צריך לדחוף את הכדור קדימה; בלי חיכוך הוא ממשיך לנוע מעצמו.
- שגויה המשקל של המכונית
  משוב
  המשקל מכוון למטה, והכביש מאזן אותו. כוח אנכי לא יכול לעקם מסלול אופקי.
משוב לתשובה נכונה
החיכוך מכוון לצד, אל מרכז הכיכר, והוא הכוח הצנטריפטלי כאן. על קרח אין מספיק חיכוך, והמכונית ממשיכה ישר.

פתרון מלא
1. כמו הכדור, המכונית מאיצה אל מרכז הכיכר, $a = \dfrac{v^2}{r}$ ⁠, ולכן צריך עליה כוח שקול אל המרכז.
2. המשקל והכוח הנורמלי של הכביש אנכיים ומאזנים זה את זה.
3. הכוח האופקי היחיד שיכול להצביע לצד הוא החיכוך בין הצמיגים לכביש. הוא ממלא כאן את התפקיד של החוט.
4. לכן לכל פנייה יש מהירות מרבית: כשהחיכוך המרבי קטן מ־ $\dfrac{m v^2}{r}$ ⁠, למשל על כביש רטוב, המכונית מחליקה ונעה ישר יותר מהכיכר.
כוח צנטריפוגלי לא פועל על המכונית; זה מה שהנוסעים מרגישים כשהגוף שלהם ממשיך ישר.

שיעור 3 מתוך 5 · כ־30 דקות

חוק הכבידה העולמי

כל שתי מסות מושכות זו את זו, באותו כוח, שגדל עם המסות ונחלש עם ריבוע המרחק. מהמשיכה בין שני גופים בסצנה ועד המשקל שלכם.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
מי מושך את מי
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
המסה של הגוף השני היא $12\%$ ⁠ מזו של הראשון. איזה גוף מושך את השני חזק יותר?

התשובה הנכונה
- נכונה שניהם מושכים זה את זה באותו כוח
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
12 % מהראשונה
המרחק ביניהם
9
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
האפשרויות
- שגויה הגוף הכבד מושך את הקל חזק יותר
  טעות נפוצה: Thinks the heavier body pulls harder on the lighter one than the lighter pulls on it.
  משוב מהקטלוג
  הכבידה היא כוח הדדי. לפי החוק השלישי של ניוטון, ובנוסחה $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ ⁠, יש מספר אחד לשני הגופים: כדור הארץ מושך את הירח בדיוק באותו כוח שבו הירח מושך את כדור הארץ. ההבדל הוא בתאוצה, $a = \dfrac{F}{m}$ ⁠: אותו כוח מזיז מעט את הגוף הכבד והרבה את הקל.
- נכונה שניהם מושכים זה את זה באותו כוח
- שגויה הגוף הקל מושך את הכבד חזק יותר
  משוב
  הגוף הקל אכן זז יותר, אבל זה בגלל המסה הקטנה שלו, לא בגלל כוח חזק יותר.
- שגויה רק הגוף הכבד מושך; הקל לא מושך בכלל
  טעות נפוצה: Thinks the heavier body pulls harder on the lighter one than the lighter pulls on it.
  משוב מהקטלוג
  הכבידה היא כוח הדדי. לפי החוק השלישי של ניוטון, ובנוסחה $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ ⁠, יש מספר אחד לשני הגופים: כדור הארץ מושך את הירח בדיוק באותו כוח שבו הירח מושך את כדור הארץ. ההבדל הוא בתאוצה, $a = \dfrac{F}{m}$ ⁠: אותו כוח מזיז מעט את הגוף הכבד והרבה את הקל.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
שני החצים באותו אורך ועם אותו מספר. אותו כוח, אבל הגוף הקל מאיץ הרבה יותר, ולכן נדמה שרק הכבד מושך.

פתרון מלא
1. לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהגוף הראשון מפעיל על השני שווה בגודלו, ומנוגד בכיוונו, לכוח שהשני מפעיל על הראשון.
2. גם בחוק הכבידה, $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ ⁠, שתי המסות מופיעות באותו מקום: יש כוח אחד, והוא פועל על שניהם.
3. מה ששונה הוא התאוצה, $a = \dfrac{F}{m}$ ⁠. לגוף השני מסה קטנה פי $\dfrac{100}{12} \approx 8.3$ ⁠, ולכן התאוצה שלו גדולה פי $8.3$ ⁠: הוא עושה את רוב התנועה.
התחושה שהגוף הגדול מושך חזק יותר באה מכך שרק הגוף הקטן נראה זז.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
החוק של ניוטון
אין שאלת תרגול בשלב הזה.
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
100 % מהראשונה
המרחק ביניהם
10
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
ריבוע המרחק
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
שני גופים שווים במרחק $4$ ⁠ מושכים זה את זה בכוח של $6.25$ ⁠, ביחידה של הסצנה. מרחיקים אותם למרחק $12$ ⁠, פי שלושה. מה תהיה המשיכה?

התשובה הנכונה
0.6944 ± 5%
ניבוי מספרי נחשב נכון בטווח ± 5%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
100 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
4
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
המרחק ביניהם
12
ואז הסצנה מראה: 0.6944 · The pull between the bodies, in the Scene unit: 1 between two bodies like the first, 10 apart/nodes/pair/outputs/pull
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
פי שלושה רחוק, פי תשעה חלש: $\dfrac{6.25}{9} \approx 0.69$ ⁠.

רמז
המשיכה הפוכה לריבוע המרחק: $F \propto \dfrac{1}{r^2}$ ⁠.

פתרון מלא
1. המסות לא משתנות, ו־ $F \propto \dfrac{1}{r^2}$ ⁠.
2. המרחק גדל פי $3$ ⁠, ולכן המשיכה קטנה פי $3^2 = 9$ ⁠.
3. $\dfrac{6.25}{9} \approx 0.69$ ⁠.
בדיקה ביחידה של הסצנה: $F = 1 \cdot \left(\dfrac{10}{12}\right)^2 \approx 0.69$ ⁠. מי שחילק ב־ $3$ ⁠ וקיבל כ־ $2.08$ ⁠ שכח שהמרחק בחוק נמצא בריבוע.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
מסה ומרחק יחד
תרגול · בחרו
השאלה
מכפילים את המסה של הגוף השני, וגם את המרחק בין הגופים. מה קורה למשיכה ביניהם?

התשובה הנכונה
- נכונה קטנה לחצי
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
30 % מהראשונה
המרחק ביניהם
6
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה קטנה לחצי
- שגויה לא משתנה
  טעות נפוצה: Thinks the pull falls in proportion to the distance (1/r), not to its square.
  משוב מהקטלוג
  המרחק בחוק הכבידה נמצא בריבוע: $F \propto \dfrac{1}{r^2}$ ⁠. מרחק כפול נותן רבע מהמשיכה, ומרחק משולש נותן תשיעית, לא שליש.
- שגויה גדלה פי שניים
  משוב
  מסה כפולה מכפילה את המשיכה, אבל המרחק הכפול מחלק אותה בארבעה.
- שגויה קטנה לרבע
  משוב
  המרחק הכפול לבדו נותן רבע, אבל המסה הכפולה מכפילה אותה בחזרה פי שניים.
משוב לתשובה נכונה
המסה נותנת פי $2$ ⁠, המרחק חלקי $4$ ⁠: ביחד חצי. נסו בסצנה: מ־ $30\%$ ⁠ ומרחק $6$ ⁠ אל $60\%$ ⁠ ומרחק $12$ ⁠.

פתרון מלא
1. $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ ⁠. מסה כפולה במונה: פי $2$ ⁠.
2. מרחק כפול במכנה, בריבוע: חלקי $2^2 = 4$ ⁠.
3. ביחד: $\dfrac{2}{4} = \dfrac12$ ⁠.
בסצנה: עם מסה שנייה של $30\%$ ⁠ ומרחק $6$ ⁠ המשיכה כ־ $0.83$ ⁠; עם $60\%$ ⁠ ומרחק $12$ ⁠ היא כ־ $0.42$ ⁠, חצי. מי שענה “לא משתנה” חילק במרחק בלי לעלות אותו בריבוע.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
המשקל שלכם
תרגול · חשבו
השאלה
המסה של כדור הארץ $5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$ ⁠, והרדיוס שלו 6370 km. בכמה כוח הוא מושך אדם של 70 kg שעומד על פניו? השתמשו ב־ $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ ⁠.

התשובה הנכונה
687 N ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
1 % מהראשונה
המרחק ביניהם
9
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
מתקבלת בטווח
± 2%
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 4380000000 N ± 5%
  טעות נפוצה: Thinks the pull falls in proportion to the distance (1/r), not to its square.
  משוב מהקטלוג
  המרחק בחוק הכבידה נמצא בריבוע: $F \propto \dfrac{1}{r^2}$ ⁠. מרחק כפול נותן רבע מהמשיכה, ומרחק משולש נותן תשיעית, לא שליש.
- 687000000 N ± 5%
  טעות נפוצה: Puts a distance in kilometres into G·M·m/r², whose G is in metres.
  משוב מהקטלוג
  $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ ⁠ בנוי על מטרים, ולכן גם $r$ ⁠ צריך להיות במטרים: $6370\ \mathrm{km} = 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠. עם קילומטרים המכנה קטן פי $10^6$ ⁠, והכוח יוצא גדול פי מיליון.
משוב לתשובה נכונה
$F = G\dfrac{M m}{r^2} \approx 687\ \mathrm{N}$ ⁠, המשקל של האדם: $\dfrac{687}{70} \approx 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠, תאוצת הנפילה החופשית.

רמז
המרחק $r$ ⁠ נמדד ממרכז כדור הארץ, והוא צריך להיות במטרים.

פתרון מלא
1. הנתונים: $M = 5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$ ⁠, $m = 70\ \mathrm{kg}$ ⁠, ו־ $r = 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠, המרחק בין המרכזים.
2. חוק הכבידה: $F = G\dfrac{M m}{r^2}$ ⁠.
3. המונה: $6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24} \cdot 70 \approx 2.79 \times 10^{16}$ ⁠.
4. המכנה: $r^2 = (6.37 \times 10^6)^2 \approx 4.06 \times 10^{13}\ \mathrm{m^2}$ ⁠.
5. $F \approx \dfrac{2.79 \times 10^{16}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 687\ \mathrm{N}$ ⁠.
זה בדיוק המשקל, $m g$ ⁠: חלקו ב־ $70$ ⁠ וקבלו $g \approx 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠. מי שקיבל מספר עצום שכח לעלות את $r$ ⁠ בריבוע, או הציב אותו בקילומטרים.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
מרכז המסה
תרגול · חשבו
השאלה
המסה של הגוף השני היא $25\%$ ⁠ מזו של הראשון, והמרחק ביניהם $10$ ⁠. כמה רחוק הגוף הראשון, הכבד, ממרכז המסה המשותף?

התשובה הנכונה
2 ± 0.05
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
25 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
10קבוע
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
מתקבלת בטווח
± 0.05
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The first (heavier) body's distance from the centre of mass, Scene units/nodes/pair/outputs/distance1
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0 ± 0.01
  טעות נפוצה: Thinks the heavier body sits fixed at the centre while the lighter one goes round it.
  משוב מהקטלוג
  שני הגופים מקיפים את מרכז המסה המשותף שלהם. הוא נמצא על הקו ביניהם, קרוב יותר לגוף הכבד, כך ש־ $m_1 r_1 = m_2 r_2$ ⁠. גם הגוף הכבד נע, במעגל קטן. רק כשהגוף השני זניח לעומתו, מרכז המסה נמצא כמעט במרכז של הכבד.
משוב לתשובה נכונה
$r_1 = 10 \cdot \dfrac{0.25}{1.25} = 2$ ⁠. אותו כוח על שניהם, אבל לגוף הכבד תאוצה קטנה פי $4$ ⁠, ולכן מעגל קטן פי $4$ ⁠.

רמז
מרכז המסה מקיים $m_1 r_1 = m_2 r_2$ ⁠, ו־ $r_1 + r_2 = 10$ ⁠.

פתרון מלא
1. נסמן $m_1 = 1$ ⁠ ו־ $m_2 = 0.25$ ⁠, ביחידות של המסה הראשונה, ו־ $r_1 + r_2 = 10$ ⁠.
2. מרכז המסה: $m_1 r_1 = m_2 r_2$ ⁠, ולכן $r_1 = 0.25\, r_2$ ⁠.
3. מציבים: $0.25\, r_2 + r_2 = 10$ ⁠, כלומר $r_2 = 8$ ⁠ ו־ $r_1 = 2$ ⁠.
הגוף הכבד נע במעגל ברדיוס $2$ ⁠ והקל ברדיוס $8$ ⁠: פי ארבעה, כמו היחס בין המסות. מי שענה $0$ ⁠ הניח שהגוף הכבד עומד במקום.

שיעור 4 מתוך 5 · כ־30 דקות

מסלולים: נפילה שלא נגמרת

לוויין הוא גוף שנופל כל הזמן ומחטיא את כדור הארץ. הכבידה היא הכוח הצנטריפטלי שלו, ומכאן המהירות שלו, זמן ההקפה, החוק השלישי של קפלר, ולמה אסטרונאוטים מרחפים.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
נופל ומחטיא
תרגול · בחרו
השאלה
תחנת החלל הבין־לאומית מקיפה את כדור הארץ בגובה של כ־400 km. למה האסטרונאוטים בתוכה מרחפים?

התשובה הנכונה
- נכונה הם והתחנה נופלים יחד סביב כדור הארץ, באותה תאוצה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
1 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
9
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה הם והתחנה נופלים יחד סביב כדור הארץ, באותה תאוצה
- שגויה בגובה כזה אין כבידה
  טעות נפוצה: Thinks there is no gravity in orbit, so astronauts float because nothing pulls on them.
  משוב מהקטלוג
  בגובה של תחנת החלל, כ־400 km, הכבידה עדיין כ־ $89\%$ ⁠ ממה שהיא על פני הקרקע. בלעדיה התחנה הייתה ממשיכה ישר אל החלל במקום להקיף את כדור הארץ. האסטרונאוטים מרחפים כי הם והתחנה נופלים יחד באותה תאוצה, ולכן שום דבר לא לוחץ עליהם: זו נפילה חופשית, לא היעדר כבידה.
- שגויה הכבידה מאוזנת בכוח צנטריפוגלי החוצה
  טעות נפוצה: Believes an outward centrifugal force acts on the circling body and balances the inward pull.
  משוב מהקטלוג
  אילו כוח החוצה היה מאזן את המשיכה פנימה, הכוח השקול היה אפס והגוף היה נע בקו ישר. הוא מתעקם דווקא כי יש עליו כוח שקול פנימה. מה שמרגישים כמשיכה החוצה הוא הכדור שמושך את החוט ואת היד (החוק השלישי של ניוטון), או הגוף שלכם שממשיך ישר בזמן שהמכונית פונה מתחתיו.
- שגויה הם רחוקים מדי מכדור הארץ, והכבידה שם זניחה
  טעות נפוצה: Thinks there is no gravity in orbit, so astronauts float because nothing pulls on them.
  משוב מהקטלוג
  בגובה של תחנת החלל, כ־400 km, הכבידה עדיין כ־ $89\%$ ⁠ ממה שהיא על פני הקרקע. בלעדיה התחנה הייתה ממשיכה ישר אל החלל במקום להקיף את כדור הארץ. האסטרונאוטים מרחפים כי הם והתחנה נופלים יחד באותה תאוצה, ולכן שום דבר לא לוחץ עליהם: זו נפילה חופשית, לא היעדר כבידה.
משוב לתשובה נכונה
נפילה חופשית משותפת: הכבידה מאיצה את התחנה ואת מי שבתוכה באותה תאוצה, ולכן שום דבר לא לוחץ עליהם. לזה קוראים חוסר משקל, אבל הכבידה שם.

פתרון מלא
1. בגובה 400 km המרחק ממרכז כדור הארץ הוא $r = 6370 + 400 = 6770\ \mathrm{km}$ ⁠, רק כ־ $6\%$ ⁠ יותר מעל הקרקע.
2. הכבידה קטנה פי $\left(\dfrac{6770}{6370}\right)^2 \approx 1.13$ ⁠: היא עדיין כ־ $89\%$ ⁠ מהכבידה על הקרקע.
3. הכבידה היא הכוח היחיד על התחנה ועל האסטרונאוטים, והיא נותנת לכולם את אותה תאוצה, אל מרכז כדור הארץ. הם נופלים יחד, ולכן הרצפה לא לוחצת עליהם, ואין משקל שאפשר להרגיש.
אין גם כוח צנטריפוגלי שמאזן את הכבידה: אילו הכוחות היו מאוזנים, התחנה הייתה נעה בקו ישר.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
כמה כבידה יש שם למעלה
תרגול · חשבו
השאלה
מה תאוצת הכובד בגובה של תחנת החלל, 400 km מעל פני כדור הארץ? המסה של כדור הארץ $5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$ ⁠, הרדיוס שלו 6370 km, ו־ $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ ⁠.

התשובה הנכונה
8.69 m/s² ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
1 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
9
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
מתקבלת בטווח
± 2%
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0 m/s² ± 0.01 m/s²
  טעות נפוצה: Thinks there is no gravity in orbit, so astronauts float because nothing pulls on them.
  משוב מהקטלוג
  בגובה של תחנת החלל, כ־400 km, הכבידה עדיין כ־ $89\%$ ⁠ ממה שהיא על פני הקרקע. בלעדיה התחנה הייתה ממשיכה ישר אל החלל במקום להקיף את כדור הארץ. האסטרונאוטים מרחפים כי הם והתחנה נופלים יחד באותה תאוצה, ולכן שום דבר לא לוחץ עליהם: זו נפילה חופשית, לא היעדר כבידה.
- 2490 m/s² ± 5%
  טעות נפוצה: Uses the height above the ground instead of the distance from the Earth's centre as r.
  משוב מהקטלוג
  בחוק הכבידה $r$ ⁠ הוא המרחק בין המרכזים של הגופים. ללוויין בגובה $h$ ⁠ מעל הקרקע, $r = R + h$ ⁠, כאשר $R \approx 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠ הוא הרדיוס של כדור הארץ. גובה של 400 km לבדו רחוק מאוד מהמרחק האמיתי למרכז.
משוב לתשובה נכונה
$g = \dfrac{GM}{r^2} \approx 8.7\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠, לא הרבה פחות מ־ $9.8$ ⁠ על הקרקע. הכבידה בהחלט שם.

רמז
$g = \dfrac{G M}{r^2}$ ⁠, כאשר $r$ ⁠ הוא המרחק ממרכז כדור הארץ.

פתרון מלא
1. המרחק ממרכז כדור הארץ: $r = R + h = 6.37 \times 10^6 + 0.40 \times 10^6 = 6.77 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠.
2. על גוף במסה $m$ ⁠ פועל $F = G\dfrac{M m}{r^2}$ ⁠, ולכן התאוצה שלו $g = \dfrac{F}{m} = \dfrac{G M}{r^2}$ ⁠.
3. $G M = 6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24} \approx 3.98 \times 10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$ ⁠.
4. $g = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{(6.77 \times 10^6)^2} \approx \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.7\ \mathrm{m/s^2}$ ⁠.
זה כ־ $89\%$ ⁠ מ־ $9.8$ ⁠ שעל הקרקע. מי שהציב $r = 400\ \mathrm{km}$ ⁠ קיבל אלפי מטרים לשנייה בריבוע: $r$ ⁠ נמדד ממרכז כדור הארץ, לא מהקרקע.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
מהירות של מסלול
תרגול · חשבו
השאלה
כמה מהר נעה תחנת החלל במסלול מעגלי בגובה 400 km? השתמשו באותם נתונים: $M = 5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$ ⁠, $R = 6370\ \mathrm{km}$ ⁠ ו־ $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ ⁠.

התשובה הנכונה
7670 m/s ± 1.5%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
1 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
9
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
הגדרות נוספות
Forces/nodes/pair/props/forces = 1
מתקבלת בטווח
± 1.5%
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 7910 m/s ± 1%
  טעות נפוצה: Uses the Earth's radius alone for r, leaving out the height of the orbit.
  משוב מהקטלוג
  הלוויין לא נמצא על פני הקרקע: המרחק שלו ממרכז כדור הארץ הוא $r = R + h$ ⁠. עם $R$ ⁠ לבדו מקבלים את המהירות של מסלול צמוד לקרקע, כ־7.9 km/s, ולא את המהירות בגובה של התחנה.
- 31600 m/s ± 3%
  טעות נפוצה: Uses the height above the ground instead of the distance from the Earth's centre as r.
  משוב מהקטלוג
  בחוק הכבידה $r$ ⁠ הוא המרחק בין המרכזים של הגופים. ללוויין בגובה $h$ ⁠ מעל הקרקע, $r = R + h$ ⁠, כאשר $R \approx 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠ הוא הרדיוס של כדור הארץ. גובה של 400 km לבדו רחוק מאוד מהמרחק האמיתי למרכז.
משוב לתשובה נכונה
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} \approx 7.7\ \mathrm{km/s}$ ⁠, כ־27,600 km/h: סיבוב שלם סביב כדור הארץ בכ־ $92$ ⁠ דקות.

רמז
הכבידה היא הכוח הצנטריפטלי: $G\dfrac{M m}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠.

פתרון מלא
1. במסלול מעגלי הכבידה היא הכוח הצנטריפטלי: $G\dfrac{M m}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠.
2. מצמצמים את $m$ ⁠ ו־ $r$ ⁠ אחד: $v^2 = \dfrac{G M}{r}$ ⁠, כלומר $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ ⁠.
3. מציבים $r = 6.77 \times 10^6\ \mathrm{m}$ ⁠: $v = \sqrt{\dfrac{3.98 \times 10^{14}}{6.77 \times 10^6}} = \sqrt{5.88 \times 10^7} \approx 7670\ \mathrm{m/s}$ ⁠.
4. זמן ההקפה: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \cdot 6.77 \times 10^6}{7670} \approx 5550\ \mathrm{s}$ ⁠, כ־ $92$ ⁠ דקות.
מי שקיבל כ־7910 m/s הציב את הרדיוס של כדור הארץ בלי הגובה, ומי שקיבל כ־31,600 m/s הציב את הגובה בלבד.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
החוק השלישי של קפלר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בסצנה, גוף קטן ( $1\%$ ⁠) מקיף גוף גדול במרחק $4$ ⁠, והקפה אחת נמשכת כ־3.3 s. מרחיקים אותו למרחק $16$ ⁠, פי ארבעה. פי כמה תתארך ההקפה?

התשובה הנכונה
- נכונה פי $8$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
1 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
4
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
האפשרויות
- שגויה פי $2$ ⁠
  משוב
  פי $2$ ⁠ הוא $\sqrt{4}$ ⁠, אבל גם המסלול עצמו ארוך פי $4$ ⁠.
- שגויה פי $4$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks the orbital period grows in proportion to the distance.
  משוב מהקטלוג
  רחוק יותר, המסלול גם ארוך יותר וגם איטי יותר, כי $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠ קטנה עם המרחק. שני האפקטים יחד נותנים את החוק השלישי של קפלר, $T^2 \propto r^3$ ⁠: מרחק פי $4$ ⁠ נותן זמן הקפה פי $\sqrt{4^3} = 8$ ⁠.
- נכונה פי $8$ ⁠
- שגויה פי $16$ ⁠
  משוב
  $T^2 \propto r^3$ ⁠, לא $T \propto r^2$ ⁠: פי $\sqrt{4^3} = 8$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
המרחק ביניהם
16
ואז הסצנה מראה: 26.68 s · Seconds the Scene takes for one orbit/nodes/pair/outputs/period
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
פי $8$ ⁠: המסלול ארוך פי $4$ ⁠ והמהירות קטנה פי $2$ ⁠. זה $T^2 \propto r^3$ ⁠, החוק השלישי של קפלר.

פתרון מלא
1. במסלול מעגלי $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ ⁠ ו־ $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ ⁠.
2. מציבים: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}$ ⁠, כלומר $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G M}\, r^3$ ⁠: החוק השלישי של קפלר.
3. מרחק פי $4$ ⁠: $T$ ⁠ גדל פי $\sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ ⁠.
4. בסצנה: מכ־3.3 s לכ־26.7 s.
המסלול ארוך פי $4$ ⁠, והגוף גם נע לאט פי $2$ ⁠, כי $v \propto \dfrac{1}{\sqrt{r}}$ ⁠. מי שענה פי $4$ ⁠ חשב רק על אורך המסלול.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
באותו מסלול
תרגול · בחרו
השאלה
לוויין שני, כבד פי עשרה מהראשון, מוצב באותו מסלול מעגלי סביב כדור הארץ. באיזו מהירות הוא צריך לנוע?

התשובה הנכונה
- נכונה באותה מהירות כמו הראשון
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
1 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
9
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה באותה מהירות כמו הראשון
- שגויה מהר יותר, כי הכבידה מושכת אותו חזק יותר
  טעות נפוצה: Thinks a heavier satellite needs a different speed, or period, on the same orbit.
  משוב מהקטלוג
  המסה של הלוויין מצטמצמת: מ־ $\dfrac{G M m}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠ יוצא $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ ⁠, בלי $m$ ⁠. לוויין כבד נמשך חזק יותר, אבל גם קשה יותר לסובב אותו באותה מידה, בדיוק כמו שכל הגופים נופלים באותה תאוצה.
- שגויה לאט יותר, כי קשה יותר להזיז אותו
  טעות נפוצה: Thinks a heavier satellite needs a different speed, or period, on the same orbit.
  משוב מהקטלוג
  המסה של הלוויין מצטמצמת: מ־ $\dfrac{G M m}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠ יוצא $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ ⁠, בלי $m$ ⁠. לוויין כבד נמשך חזק יותר, אבל גם קשה יותר לסובב אותו באותה מידה, בדיוק כמו שכל הגופים נופלים באותה תאוצה.
- שגויה מהר יותר פי $\sqrt{10}$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks a heavier satellite needs a different speed, or period, on the same orbit.
  משוב מהקטלוג
  המסה של הלוויין מצטמצמת: מ־ $\dfrac{G M m}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠ יוצא $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ ⁠, בלי $m$ ⁠. לוויין כבד נמשך חזק יותר, אבל גם קשה יותר לסובב אותו באותה מידה, בדיוק כמו שכל הגופים נופלים באותה תאוצה.
משוב לתשובה נכונה
המסה של הלוויין מצטמצמת, ו־ $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ⁠ תלויה רק במסה של כדור הארץ ובמרחק. לכן גם בורג שהשתחרר מתחנת החלל ממשיך לצידה, באותו מסלול.

פתרון מלא
1. הכבידה על הלוויין היא הכוח הצנטריפטלי: $G\dfrac{M m}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}$ ⁠.
2. המסה $m$ ⁠ מופיעה בשני האגפים ומצטמצמת: $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$ ⁠.
3. $M$ ⁠ היא המסה של כדור הארץ, ו־ $r$ ⁠ הוא אותו מסלול, ולכן $v$ ⁠ זהה לשני הלוויינים.
הלוויין הכבד נמשך בכוח גדול פי $10$ ⁠, אבל צריך גם כוח גדול פי $10$ ⁠ כדי לסובב אותו: אותו חשבון שבגללו כדור כבד וכדור קל נופלים יחד.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
זמן כפול
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הגוף הקטן מקיף במרחק $6$ ⁠, והקפה אחת נמשכת בסצנה כ־6.1 s. שנו את המרחק ביניהם עד שהקפה אחת תימשך פי שניים, כ־12.3 s, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 12.26 s ± 3%
  בתחילת השלב: 6.128 s
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המסה השנייה
1 % מהראשונהקבוע
המרחק ביניהם
6
הצגת המסלול
פועלברירת מחדל
הצגת הבור
כבויברירת מחדל
נקרא מהסצנה בנקודה
Seconds the Scene takes for one orbit/nodes/pair/outputs/period
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
המרחק ביניהם
9.5
הצגת המסלול
כבוי
משוב לתשובה נכונה
מרחק פי $\sqrt[3]{4} \approx 1.59$ ⁠ נותן זמן הקפה פי $2$ ⁠. כך אפשר לדעת שמאדים, שזמן ההקפה שלו כמעט שנתיים, רחוק מהשמש פי $1.5$ ⁠ בערך מכדור הארץ.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אם ההקפה קצרה מדי, הרחיקו את הגוף; אם היא ארוכה מדי, קרבו אותו.

רמז
$T^2 \propto r^3$ ⁠, ולכן $r \propto T^{2/3}$ ⁠: זמן פי $2$ ⁠ דורש מרחק פי $2^{2/3}$ ⁠.

פתרון מלא
1. מהחוק השלישי של קפלר: $\dfrac{r_2^3}{r_1^3} = \dfrac{T_2^2}{T_1^2} = 2^2 = 4$ ⁠.
2. לכן $\dfrac{r_2}{r_1} = \sqrt[3]{4} \approx 1.59$ ⁠.
3. $r_2 \approx 1.59 \cdot 6 \approx 9.5$ ⁠.
במרחק $9.5$ ⁠ ההקפה נמשכת בסצנה כ־12.2 s. מי שהכפיל את המרחק ל־ $12$ ⁠ קיבל כ־17.3 s, כמעט פי שלושה: $2^{3/2} \approx 2.8$ ⁠.

שיעור 5 מתוך 5 · כ־25 דקות

תנע זוויתי: מחליקה וגירוסקופ

גוף מסתובב שומר על התנע הזוויתי שלו, L = Iω, כל עוד שום מומנט כוח לא פועל עליו: מחליקה שמצמידה את הזרועות ומסתובבת מהר יותר, האנרגיה שהיא מוסיפה, וגירוסקופ שמקיף את המעמד במקום ליפול.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
למשוך פנימה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
המחליקה מסתובבת עם הזרועות פרושות, בערך סיבוב אחד בשנייה. הקרח חלק, ואף אחד לא דוחף אותה. מה יקרה כשהיא תצמיד את הזרועות לגוף?

התשובה הנכונה
- נכונה היא תסתובב מהר יותר
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מרחק הזרועות
0.8 m
סיבוב הגירוסקופ
3000 סל״ד
הצגת התנע הזוויתי
כבוי
האפשרויות
- נכונה היא תסתובב מהר יותר
- שגויה היא תמשיך באותו קצב: שום דבר מבחוץ לא דחף אותה
  טעות נפוצה: Thinks a skater can spin faster only if something outside pushes her, so pulling her arms in changes nothing.
  משוב מהקטלוג
  מה שנשמר בלי מומנט כוח מבחוץ הוא התנע הזוויתי $L = I\omega$ ⁠, לא המהירות הזוויתית. כשהזרועות מתקרבות לציר, מומנט ההתמד $I$ ⁠ קטן, ולכן $\omega$ ⁠ גדל באותו יחס, בלי שום דחיפה.
- שגויה היא תאט, כי הזרועות עוצרות את הסיבוב
  משוב
  הזרועות לא מתחככות בשום דבר. כשהן מתקרבות לציר, המסה שלהן מסתובבת במעגל קטן יותר, והמחליקה צריכה להסתובב מהר יותר, לא לאט יותר.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מרחק הזרועות
0.15 m
ואז הסצנה מראה: 2.601 Hz · The skater’s turns per second, L / (2π I)/nodes/spin/outputs/spin
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
עם זרועות צמודות היא מסתובבת כ־ $2.6$ ⁠ סיבובים בשנייה, יותר מפי שניים, בלי שום דחיפה. התנע הזוויתי שלה נשמר, ומה שהשתנה הוא מומנט ההתמד.

פתרון מלא
1. גוף מסתובב נושא תנע זוויתי $L = I\omega$ ⁠. הוא משתנה רק כשמשהו מבחוץ מפעיל עליו מומנט כוח.
2. הקרח חלק, ולכן $L$ ⁠ של המחליקה קבוע.
3. כשהזרועות מתקרבות לציר, $I$ ⁠ קטן, ולכן $\omega$ ⁠ חייב לגדול באותו יחס.
אם ציפיתם שהיא תמשיך באותו קצב, חשבתם שסיבוב מהיר יותר צריך דחיפה. מה שנשמר הוא המכפלה $I\omega$ ⁠, לא $\omega$ ⁠.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
מומנט ההתמד
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
עם זרועות פרושות, 0.8 m מהציר, המחליקה מסתובבת סיבוב אחד בשנייה. שנו את מרחק הזרועות עד שהיא תסתובב בדיוק פי שניים, 2 Hz, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 2 Hz ± 0.03 Hz
  בתחילת השלב: 1.001 Hz
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מרחק הזרועות
0.8 m
סיבוב הגירוסקופ
3000 סל״דקבוע
הצגת התנע הזוויתי
פועל
נקרא מהסצנה בנקודה
The skater’s turns per second, L / (2π I)/nodes/spin/outputs/spin
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מרחק הזרועות
0.35 m
משוב לתשובה נכונה
בכ־0.35 m מומנט ההתמד הוא כ־1.30 kg·m², חצי מ־2.59 kg·m² של הזרועות הפרושות, והסיבוב כפול.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כשהזרועות קרובות יותר לציר היא מסתובבת מהר יותר. קראו את מספר הסיבובים בשנייה על הלוח.

רמז
פי שניים בסיבוב פירושו חצי במומנט ההתמד. מסה רחוקה מהציר נחשבת לפי ריבוע המרחק, ולכן לא צריך להצמיד את הזרועות עד הסוף.

פתרון מלא
1. $L$ ⁠ קבוע, ולכן $\omega$ ⁠ גדל פי שניים כש־ $I$ ⁠ קטן לחצי: מ־2.59 kg·m² ל־1.30 kg·m².
2. חלק מ־ $I$ ⁠ הוא הגוף עצמו, 0.8 kg·m², שלא משתנה. רק הזרועות צריכות לתת את ההפרש.
3. על הלוח זה קורה בכ־0.35 m: קבעו שם את מרחק הזרועות.
אם תקטינו את המרחק לחצי, ל־0.4 m, חלקן של הזרועות יקטן בערך פי ארבעה, אבל חלקו של הגוף נשאר, ולכן $I$ ⁠ כולו קטן פחות מחצי, והיא מסתובבת רק כ־1.86 Hz.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
האנרגיה של הסיבוב
תרגול · חשבו
השאלה
הזרועות צמודות, והלוח מראה את $I$ ⁠ ואת $L$ ⁠. האנרגיה של סיבוב היא $E = \dfrac{L^2}{2I}$ ⁠. כמה אנרגיה יש לסיבוב של המחליקה עכשיו?

התשובה הנכונה
133.2 J ± 2%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מרחק הזרועות
0.15 mקבוע
סיבוב הגירוסקופ
3000 סל״דקבוע
הצגת התנע הזוויתי
פועל
מתקבלת בטווח
± 2%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The energy of her spin, L² / 2I/nodes/spin/outputs/energy
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 51.25 J ± 2%
  טעות נפוצה: Thinks the energy of a spin stays the same when the skater pulls her arms in, as the angular momentum does.
  משוב מהקטלוג
  התנע הזוויתי נשמר, אבל האנרגיה $E = \dfrac{L^2}{2I}$ ⁠ גדלה כש־ $I$ ⁠ קטן. האנרגיה הנוספת באה מהשרירים: הזרועות מנסות לעוף החוצה, והמחליקה עושה עבודה כשהיא מושכת אותן פנימה.
משוב לתשובה נכונה
$E = \dfrac{16.3^2}{2 \times 1.00} \approx 133$ ⁠ ג’אול. עם זרועות פרושות היו לה $\dfrac{16.3^2}{2 \times 2.59} \approx 51$ ⁠ ג’אול: התנע הזוויתי נשמר, אבל האנרגיה גדלה בכ־80 J.

רמז
על הלוח $L \approx 16.3$ ⁠ ו־ $I \approx 1.00$ ⁠, ביחידות SI.

פתרון מלא
1. נתון: L ≈ 16.3 kg·m²/s, I ≈ 1.00 kg·m².
2. $E = \dfrac{L^2}{2I} = \dfrac{16.3^2}{2 \times 1.00} = \dfrac{265.7}{2} \approx 133$ ⁠.
3. האנרגיה היא כ־133 J.
אם עניתם כ־51 J, זו האנרגיה עם זרועות פרושות. האנרגיה לא נשמרת: המחליקה עושה עבודה כשהיא מושכת פנימה זרועות שמנסות לעוף החוצה, והעבודה הזו הופכת לסיבוב מהיר יותר.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
הגירוסקופ
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הגירוסקופ לא מסתובב, וקצה הציר שלו מונח על המעמד: הוא נפל ונשען על העמוד. מה יקרה אם הגלגל יסתובב ב־3000 סל״ד והגירוסקופ ישוחרר עם ציר אופקי?

התשובה הנכונה
- נכונה הציר יישאר כמעט אופקי, ויסתובב לאט במעגל סביב המעמד
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מרחק הזרועות
0.8 mקבוע
סיבוב הגירוסקופ
0 סל״ד
הצגת התנע הזוויתי
כבוי
האפשרויות
- נכונה הציר יישאר כמעט אופקי, ויסתובב לאט במעגל סביב המעמד
- שגויה הוא יישאר במקום, אופקי: הסיבוב מבטל את כוח הכובד
  טעות נפוצה: Thinks a fast spin cancels or cuts gravity, so a gyroscope stays up because its weight is gone.
  משוב מהקטלוג
  הסיבוב לא מבטל את כוח הכובד. המשקל ממשיך לפעול, והמעמד ממשיך לשאת אותו. מה שהסיבוב משנה הוא מה המשקל עושה: מומנט הכוח שלו מסיט את התנע הזוויתי הצידה, ולכן הציר נע במעגל במקום ליפול.
- שגויה הוא ייפול שוב, רק לאט יותר
  משוב
  הסיבוב לא מאט את הנפילה: הוא מסיט אותה הצידה. מומנט הכוח של המשקל משנה את התנע הזוויתי בכיוון אופקי, ולכן הציר נע במעגל ולא למטה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
סיבוב הגירוסקופ
3000 סל״ד
ואז הסצנה מראה: 3.084 s · Seconds for the gyroscope to circle its post once, once the wobble has settled; NaN when it has fallen/nodes/spin/outputs/precessionPeriod
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
הציר נשאר כמעט אופקי ומקיף את המעמד פעם בכ־3.1 s. התנועה הזו נקראת נקיפה. כוח הכובד עדיין פועל: בלי המעמד הגירוסקופ היה נופל.

פתרון מלא
1. המשקל מושך את הגלגל למטה, והמעמד דוחף למעלה בציר. יחד הם יוצרים מומנט כוח, שמכוון אופקית, בניצב לציר.
2. מומנט כוח משנה את התנע הזוויתי בכיוון שלו. התנע הזוויתי של הגלגל המסתובב מכוון לאורך הציר, ולכן בכל רגע הוא מקבל תוספת קטנה הצידה.
3. הציר מסתובב הצידה, לא למטה, וממשיך כך כל עוד הגלגל מסתובב.
הסיבוב לא מבטל את כוח הכובד: המשקל ממשיך לפעול, והמעמד ממשיך לשאת אותו.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
קצב הנקיפה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
ב־3000 סל״ד הגירוסקופ מקיף את המעמד פעם ב־3.1 s. כמה זמן ייקח לו להקיף אותו פעם אחת ב־6000 סל״ד?

התשובה הנכונה
6.163 s ± 0.3 s
ניבוי מספרי נחשב נכון בטווח ± 0.3 s
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מרחק הזרועות
0.8 mקבוע
סיבוב הגירוסקופ
3000 סל״ד
הצגת התנע הזוויתי
פועל
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
סיבוב הגירוסקופ
6000 סל״ד
ואז הסצנה מראה: 6.163 s · Seconds for the gyroscope to circle its post once, once the wobble has settled; NaN when it has fallen/nodes/spin/outputs/precessionPeriod
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
כ־6.2 s: פי שניים סיבוב, חצי מקצב הנקיפה. לגלגל מהיר יותר יש יותר תנע זוויתי, ואותו מומנט כוח מסובב אותו פחות.

פתרון מלא
1. קצב הנקיפה של גלגל מהיר הוא $\Omega = \dfrac{Mg\ell}{I\omega}$ ⁠: מומנט הכוח חלקי התנע הזוויתי.
2. מומנט הכוח $Mg\ell$ ⁠ לא השתנה, ו־ $I\omega$ ⁠ גדל פי $2$ ⁠. לכן $\Omega$ ⁠ קטן פי $2$ ⁠.
3. זמן ההקפה $\dfrac{2\pi}{\Omega}$ ⁠ גדל פי $2$ ⁠: $2 \times 3.1 = 6.2$ ⁠ שניות.
אם ניבאתם זמן קצר יותר, ציפיתם שגלגל מהיר יותר יקיף מהר יותר. ההפך: ככל שהתנע הזוויתי גדול יותר, קשה יותר לסובב אותו.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
גלגל שמאט
תרגול · בחרו
השאלה
בגירוסקופ אמיתי החיכוך במסבים מאט את הגלגל לאט לאט. מה קורה לנקיפה בזמן שהגלגל מאט?

התשובה הנכונה
- נכונה הוא מקיף מהר יותר ויותר ושוקע יותר, עד שהוא נופל
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מרחק הזרועות
0.8 mקבוע
סיבוב הגירוסקופ
800 סל״ד
הצגת התנע הזוויתי
פועל
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה הוא מקיף מהר יותר ויותר ושוקע יותר, עד שהוא נופל
- שגויה הוא מקיף לאט יותר ויותר, עד שהוא נעצר
  טעות נפוצה: Thinks a gyroscope precesses more slowly as its wheel slows, as if the circling followed the spin.
  משוב מהקטלוג
  קצב הנקיפה הוא $\dfrac{Mg\ell}{I\omega}$ ⁠: מומנט הכוח חלקי התנע הזוויתי. גלגל איטי יותר נושא פחות תנע זוויתי, ולכן אותו מומנט כוח מסובב אותו מהר יותר. גירוסקופ שמאט מקיף מהר יותר, שוקע, ובסוף נופל.
- שגויה הנקיפה לא משתנה עד שהגלגל נעצר
  משוב
  קצב הנקיפה תלוי בתנע הזוויתי של הגלגל, ולכן הוא משתנה ברגע שהגלגל מאט. נסו 800 סל״ד: הוא כבר מקיף פעם בפחות משנייה.
משוב לתשובה נכונה
ככל שהגלגל מאט, יש לו פחות תנע זוויתי, ואותו מומנט כוח מסובב אותו מהר יותר. ב־800 סל״ד הוא כבר שוקע כ־ $19^\circ$ ⁠ ומקיף בפחות משנייה, ומתחת לכ־325 סל״ד הוא נופל.

רמז
השוו את 3000 סל״ד ל־800 סל״ד על הלוח.

פתרון מלא
1. $\Omega = \dfrac{Mg\ell}{I\omega}$ ⁠: כש־ $\omega$ ⁠ קטן, $\Omega$ ⁠ גדל.
2. ב־3000 סל״ד ההקפה אורכת 3.1 s, וב־800 סל״ד כ־0.9 s.
3. בסיבוב איטי הנוסחה כבר לא מספיקה: הציר שוקע ומתנודד (נוטציה), ובסוף נשען על העמוד.
אם בחרתם שהוא מאט, חשבתם שהנקיפה הולכת עם הסיבוב. היא הולכת הפוך לו.

בכל היחידה · 23 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

תאוצה כלפי המרכז

משחררים את החוט

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

המהירות מסתובבת

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

סיבוב אחד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

כמה מהר המהירות מסתובבת

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מהירות כפולה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

תאוצה של עשרה

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

הכוח שמחזיק במעגל

מה מושך את הכדור

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

כמה חזק

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

משיכה של שני ניוטון

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

חוט ארוך יותר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

מי עושה את העבודה של החוט

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

חוק הכבידה העולמי

מי מושך את מי

השאלה

התשובה הנכונה