יחידות מידה.

מספר ויחידה

לכל מדידה יש שני חלקים, מספר ויחידה. “הקופסה ברוחב 10 cm” פירושו שסנטימטר נכנס לאורך המקצוע שלה עשר פעמים. היחידה היא הדבר שסופרים בעזרתו, והמספר הוא כמה פעמים הוא נכנס. מחליפים יחידה והמספר משתנה, בזמן שהקופסה נשארת בדיוק אותה קופסה.

בסצנה יש דבר אחד למדוד: קופסת זכוכית שרוחבה מבפנים 10 cm, מלאה עד שפתה בליטר מים, שעומדת על מאזניים. כשנבחר סנטימטר ומידה מכוונת לנפח, המים מחולקים לקוביות של סנטימטר והתווית מעליהם סופרת אותן: 1000 cm³. בחרו מילימטר ואותם מים מכילים מיליון מילימטרים מעוקבים. בחרו דצימטר והם דצימטר מעוקב אחד, וזה בדיוק מה שליטר הוא.

נסו: השאירו נפח ועברו ביחידה ממילימטר עד מטר. הספירה עוברת 1 000 000, 1000, 61.02, 1, 0.03531, 0.001. שום דבר על המאזניים לא זז.

חזרה לניסוי ↑

אורכים, שטחים ונפחים

כוונו את מידה לאורך, והספירה היא כמה יחידות נכנסות לאורך מקצוע אחד: 100 mm, 10 cm, 1 dm. שטח סופר ריבועי יחידה על פאה אחת: 10 000 mm², 100 cm², 1 dm². נפח סופר קוביות יחידה בכל הקופסה.

סנטימטר הוא עשרה מילימטרים, אבל סנטימטר רבוע הוא מאה מילימטרים רבועים, עשר שורות של עשרה, וסנטימטר מעוקב הוא אלף מילימטרים מעוקבים. בכל פעם שהיחידה קטנה פי עשרה, ספירת אורך גדלה פי עשרה, ספירת שטח פי מאה וספירת נפח פי אלף. לכן מטר מעוקב הוא לא מאה אלא מיליון סנטימטרים מעוקבים, ולכן הוא מכיל אלף ליטרים. אותו חשבון, בכיוון ההפוך, הוא הסיבה שיצור גבוה פי שניים שוקל פי שמונה, הנושא של חוק הריבוע והקובייה.

תחיליות וחזקות של עשר

היחידות המטריות עולות ויורדות בחזקות של עשר, ותחילית אומרת באיזו חזקה מדובר: מילי היא אלפית, סנטי מאית, דצי עשירית, קילו אלף, מגה מיליון. מילימטר הוא אלפית של מטר וקילוגרם הוא אלף גרמים. אותן תחיליות עובדות על כל יחידה, כך שקילוואט הוא אלף ואט וננו־שנייה היא מיליארדית של שנייה. התחיליות משתרעות מקווקטו ($10^{-30}$⁠) עד קווטה ($10^{30}$⁠), מספיק כדי לכסות את קנה המידה של היקום מפרוטון ועד הגלקסיות הרחוקות ביותר בלי להמציא יחידה חדשה לכל אחד.

המרה בתוך השיטה המטרית היא הזזה של הנקודה העשרונית. המרה ליחידות ישנות יותר היא לא. בחרו אינץ’: אינץ’ הוא 2.54 cm, כך ש־10 cm הם 3.937 אינץ’ והקופסה מכילה 61.02 אינץ’ מעוקבים, עם פרוסה של קוביות חלקיות לאורך הצד האחורי והעליון. בחרו רגל והיחידה ארוכה מכל הקופסה; קווי המתאר שיוצאים מהפינה של הקופסה הם רגל מעוקבת אחת, והליטר ממלא רק 0.03531 ממנה.

יחידות שמתאימות למים

הסתכלו על המאזניים כשאתם משנים את יחידה. עם סנטימטר הם מראים 1000.0 g; עם מילימטר, 1 000 000 mg; עם דצימטר, 1.0000 kg; עם מטר, 0.001000 t. בכל מקרה לקובייה אחת של מים יש מסה של יחידה אחת: סנטימטר מעוקב של מים הוא גרם, ליטר הוא קילוגרם, מטר מעוקב הוא טונה. זה לא מקרה. כשהשיטה המטרית נקבעה בשנות ה־1790, הגרם הוגדר כמסה של סנטימטר מעוקב של מים, כך שאורך, נפח ומסה נקשרו זה לזה מההתחלה.

האינץ’ והרגל באים עם האונקיה והליברה, שמעולם לא הותאמו להם. אינץ’ מעוקב של מים הוא 16.4 g, או 0.578 oz, והליטר מראה 35.27 oz או 2.205 lb. המספרים נכונים, אבל שום דבר בהם לא עגול. מאז 1959 האינץ’ מוגדר כ־25.4 mm בדיוק והליברה כ־0.453 592 37 kg בדיוק, כך שהיחידות הישנות הן היום יחידות מטריות בגדלים משונים.

לערבוב יחידות יש מחיר אמיתי. ב־1999 איבדה נאס“א את Mars Climate Orbiter, כי התוכנה של צוות אחד דיווחה על דחיפות המנועים בליברה־כוח כפול שנייה, והתוכנה של צוות אחר קראה אותן כניוטון כפול שנייה, הבדל של פי 4.45. החללית טסה נמוך מדי ואבדה, כנראה כשנשרפה באטמוספרה של מאדים.

מאיפה בא המטר

יחידה מועילה רק אם המטר של כולם באותו אורך, ולכן משהו צריך להגדיר אותה. קדמו את לאורך ההיסטוריה אל 1799. המדענים הצרפתים שתכננו את השיטה המטרית רצו יחידה שלקוחה מהטבע ולא מכף הרגל של מלך. הם הגדירו את המטר כחלק העשרה מיליון של המרחק מהקוטב הצפוני לקו המשווה, לאורך קו האורך שעובר בפריז, הקשת המוזהבת על הגלובוס. שני אסטרונומים בילו שש שנים במדידת הקטע מדנקרק עד ברצלונה כדי למדוד אותו. הקילוגרם היה המסה של דצימטר מעוקב של מים ב־4 °C, הטמפרטורה שבה המים הכי צפופים: קופסת מים כמו זו. ב־1799 נוצקו מוט פלטינה וגליל פלטינה בגדלים האלה ונשמרו בפריז.

במדידה הייתה שגיאה קטנה, כך שהמטר יצא קצר בערך ב־0.2 mm מחלק עשרה מיליון אמיתי של רבע קו האורך. אבל אז זה כבר לא היה חשוב: המוט, ולא כדור הארץ, נעשה למטר.

קדמו אל 1889. אחרי ששבע־עשרה מדינות חתמו על אמנת המטר ב־1875, נוצקו תקנים חדשים מסגסוגת של פלטינה ואירידיום: מוט שחתך הרוחב שלו בצורת X, כשהמטר הוא המרחק בין שני קווים דקים שנחרטו סמוך לקצותיו, ב־0 °C, וגליל שגובהו בערך 39 mm ורוחבו כגובהו, אב הטיפוס הבין־לאומי של הקילוגרם. הגליל נשמר מתחת לפעמוני זכוכית זה בתוך זה בכספת בסוור, ליד פריז, והעתקים נשלחו לכל מדינה חברה.

עצם ממתכת יכול להשתנות. במאה שנים של השוואות זהירות, ההעתקים ואב הטיפוס התרחקו זה מזה בכ־50 מיקרוגרם, חמישה חלקים במאה מיליון, ואיש לא יכול היה לומר מי השתנה, כי אב הטיפוס היה, לפי ההגדרה, קילוגרם אחד בדיוק.

יחידות מקבועי טבע

קדמו אל 2019. היום כל יחידת SI נקבעת בכך שנותנים ערך מדויק לקבוע טבע, מספר שזהה בכל מקום ולא נשחק לעולם. השנייה מוגדרת בעזרת אטומי צזיום: הקרינה ממעבר מסוים אחד באטום צזיום־133 מתנודדת בדיוק 9 192 631 770 פעמים בשנייה, ושעון אטומי סופר את התנודות האלה. המטר מוגדר בעזרת מהירות האור, בדיוק 299 792 458 m/s, כך שמטר הוא המרחק שהאור עובר ב־$1/299\,792\,458$⁠ של שנייה. הגל הסגול שמונח לאורך המקצוע העליון של הקופסה הוא קרינת המיקרוגל של שעון הצזיום עצמו, 3.26 cm משיא לשיא: המקצוע של 10 cm הוא 3.07 מהגלים שלו, והאור עובר לאורכו בשליש ננו־שנייה.

מאז 20 במאי 2019 הקילוגרם מוגדר בכך שקובעים את קבוע פלאנק, $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}$$h =$$6.626\,070\,15 \times 10^{-34}$⁠ J s. מאזני קיבל מממשים אותו כשהם שוקלים מסה מול כוח אלקטרומגנטי שנמדד בעזרת תופעות קוונטיות. דרך אחרת סופרת אטומים: כדור הצורן שעל השולחן הוא כדור כמעט מושלם של צורן־28 בקוטר של כ־93.6 mm, ומהמרווח בין האטומים בגביש שלו ומהגודל שלו, המטרולוגים יודעים שיש בו כ־$2.15 \times 10^{25}$⁠ אטומים. האמפר, הקלווין והמול הוגדרו מחדש באותו זמן מהמטען של האלקטרון, מקבוע בולצמן ומקבוע אבוגדרו, והקנדלה נשענת על נצילות אורית קבועה. הלוח שליד הסצנה מונה את כל השבעה.

המים בקופסה לא השתנו בכל זה. ההגדרות נבחרו כך שהמטר והקילוגרם החדשים יתאימו לישנים בדיוק הרב ביותר שאפשר היה למדוד, ולכן הקופסה עדיין 10 cm והמאזניים עדיין מראים 1000.0 g. מה שהשתנה הוא שכל מי שיש לו את הציוד המתאים יכול היום לממש מטר או קילוגרם בכל מקום, בלי לנסוע לסוור.

יחידות כבדיקה

יחידות הן לא רק תוויות; בחשבון הן מתנהגות כמו גדלים. אורך כפול אורך הוא שטח, ב־cm²; מרחק חלקי זמן הוא מהירות, ב־m/s. זה הופך אותן לבדיקה של כל נוסחה. נוסחה למהירות שהיחידות שלה יוצאות שניות שגויה עוד לפני שמציבים בה מספר אחד, מבחן שמדענים משתמשים בו כל הזמן כשהם בונים ובודקים מודלים. כתיבת היחידות בכל שלב של חישוב תופסת בדיוק את סוג הטעות שהשמיד את החללית למאדים.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

מים מתפשטים מעט כשהם מתחממים, ולכן לליטר מהם יש מסה של 999.97 g רק סביב 4 °C; בטמפרטורת החדר אותו ליטר הוא כ־998 g. קופסת הזכוכית והציפה של האוויר על המאזניים לא נלקחות בחשבון, וההנחה היא שהמאזניים מדויקים עד 0.1 g. הסרגל והסריג שבמים הם ציורים של היחידות, לא סימונים על הקופסה. מאזני קיבל מתוארים אבל לא מוצגים. כל שלב היסטורי מציג תקן אחד בכל פעם; במציאות מוט המטר וגליל הקילוגרם היו שייכים לאותה ערכה מ־1889. פעימת האור לאורך המקצוע מואטת בערך פי חמישה מיליארד כדי שאפשר יהיה לראות אותה.