מפתח תשובות · יחידה 15

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 4

שיעור 1 מתוך 4 · כ־20 דקות

קצב שינוי ממוצע

לישר יש שיפוע אחד, ולעקומה לא. מודדים את הקצב הממוצע בין שתי נקודות עם מיתר, ורואים מה קורה כששתי הנקודות מתקרבות.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
מישר לעקומה
תרגול · חשבו
השאלה
מה קצב השינוי הממוצע של $y = x^2$ ⁠ בין $x = 1$ ⁠ ל־ $x = 3$ ⁠?

התשובה הנכונה
4 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
1קבוע
ההתקדמות h
2קבוע
המיתר / המשיק
המיתר
הגדרות נוספות
Mark secant/nodes/graph/props/markSecant = false
הגדרות נוספות
Mark slope/nodes/graph/props/markSlope = false
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Rise ÷ run, the slope of the secant; NaN when run is 0/nodes/graph/outputs/secantSlope
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 8 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives the change in y as the rate, without dividing by the change in x.
  משוב מהקטלוג
  קצב הוא שינוי לכל יחידה של $x$ ⁠: מחלקים את השינוי ב־ $y$ ⁠ בשינוי ב־ $x$ ⁠. בין $x = 1$ ⁠ ל־ $x = 3$ ⁠ הפרבולה עולה $8$ ⁠, אבל על פני $2$ ⁠ יחידות, ולכן הקצב הממוצע $8 \div 2 = 4$ ⁠.
- 0.25 ± 0.01
  טעות נפוצה: Divides the change in x by the change in y.
  משוב מהקטלוג
  שיפוע וקצב הם השינוי ב־ $y$ ⁠ חלקי השינוי ב־ $x$ ⁠, כמו בישר: העלייה למעלה, ההתקדמות למטה. ההפך נותן את השבר ההפוך.
משוב לתשובה נכונה
$\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4$ ⁠. זה השיפוע של המיתר בין שתי הנקודות. בחרו המשיק תחת מבט פנימה והשוו אותו למשיק ב־ $x = 1$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. חלקו את השינוי ב־ $y$ ⁠ בשינוי ב־ $x$ ⁠.

רמז
$f(1) = 1$ ⁠ ו־ $f(3) = 9$ ⁠. כמה השתנה $y$ ⁠, וכמה $x$ ⁠?

פתרון מלא
1. בנקודה הראשונה: $f(1) = 1^2 = 1$ ⁠.
2. בשנייה: $f(3) = 3^2 = 9$ ⁠.
3. השינוי ב־ $y$ ⁠: $9 - 1 = 8$ ⁠. השינוי ב־ $x$ ⁠: $3 - 1 = 2$ ⁠.
4. הקצב הממוצע: $\dfrac{8}{2} = 4$ ⁠.
$8$ ⁠ הוא רק השינוי ב־ $y$ ⁠, בלי לחלק. $0.25$ ⁠ הוא $\dfrac{2}{8}$ ⁠, השבר ההפוך.
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
לקרב את הנקודות
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עכשיו $h = 2$ ⁠ ושיפוע המיתר $4$ ⁠. נקטין את ההתקדמות h ל־ $0.1$ ⁠, כך שהנקודה השנייה כמעט נוגעת בראשונה. מה יקרה לשיפוע המיתר?

התשובה הנכונה
- נכונה הוא יתקרב ל־ $2$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
1קבוע
ההתקדמות h
2
המיתר / המשיק
המיתר
האפשרויות
- נכונה הוא יתקרב ל־ $2$ ⁠
- שגויה הוא יתקרב ל־ $0$ ⁠, כי העלייה כמעט נעלמת
  טעות נפוצה: Thinks the secant's slope goes to zero as the two points close in, because rise and run both vanish.
  משוב מהקטלוג
  גם העלייה וגם ההתקדמות מתכווצות לאפס, אבל היחס ביניהן לא: על $y = x^2$ ⁠ ב־ $x = 1$ ⁠ הוא $2 + h$ ⁠, ומתקרב ל־ $2$ ⁠. זה הרעיון של נגזרת: היחס של שני דברים קטנים מאוד יכול להיות מספר רגיל לגמרי.
- שגויה הוא יישאר $4$ ⁠
  משוב
  על ישר השיפוע לא תלוי ב־ $h$ ⁠, אבל על עקומה כן: ככל שהקטע קצר יותר, הממוצע קרוב יותר לתלילות בנקודה עצמה.
- שגויה הוא יגדל בלי סוף
  משוב
  גם העלייה מתכווצת, יחד עם $h$ ⁠: היחס ביניהם נשאר מספר רגיל.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
ההתקדמות h
0.1
המיתר / המשיק
המשיק
ואז הסצנה מראה: 2 · The slope of the tangent at pointX, the derivative 2a·x + b/nodes/graph/outputs/tangentSlope
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
ב־ $h = 0.1$ ⁠ השיפוע $2.1$ ⁠, וב־ $h = 0.01$ ⁠ הוא $2.01$ ⁠: בכל פעם $2 + h$ ⁠. המיתר הופך למשיק, שהשיפוע שלו ב־ $x = 1$ ⁠ הוא בדיוק $2$ ⁠.

פתרון מלא
1. השיפוע של המיתר מ־ $x = 1$ ⁠ עד $1 + h$ ⁠: $\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h}$ ⁠.
2. פותחים: $(1 + h)^2 - 1 = 2h + h^2$ ⁠.
3. מחלקים ב־ $h$ ⁠: $2 + h$ ⁠.
4. ב־ $h = 2$ ⁠ זה $4$ ⁠, ב־ $h = 0.1$ ⁠ זה $2.1$ ⁠, וכש־ $h$ ⁠ שואף לאפס זה שואף ל־ $2$ ⁠.
העלייה אכן נעלמת, אבל גם ההתקדמות, והיחס ביניהן מתייצב על $2$ ⁠: השיפוע של המשיק.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
משני צדי הקודקוד
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
מה קצב השינוי הממוצע של $y = x^2$ ⁠ בין $x = -1$ ⁠ ל־ $x = 1$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $0$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
-1קבוע
ההתקדמות h
2קבוע
המיתר / המשיק
המיתר
הגדרות נוספות
Mark secant/nodes/graph/props/markSecant = false
הגדרות נוספות
Mark slope/nodes/graph/props/markSlope = false
האפשרויות
- נכונה $0$ ⁠
- שגויה $1$ ⁠
  טעות נפוצה: Averages the y-values instead of finding the average rate of change.
  משוב מהקטלוג
  קצב שינוי ממוצע הוא כמה השתנה $y$ ⁠ חלקי כמה השתנה $x$ ⁠, לא הממוצע של ערכי $y$ ⁠. מ־ $x = -1$ ⁠ עד $x = 1$ ⁠ ה־ $y$ ⁠ מתחיל ב־ $1$ ⁠ ונגמר ב־ $1$ ⁠: השינוי $0$ ⁠, והקצב הממוצע $0$ ⁠.
- שגויה $2$ ⁠
  משוב
  $2$ ⁠ הוא שיפוע המשיק ב־ $x = 1$ ⁠ בלבד. כאן מחשבים ממוצע על כל הקטע, וחלק ממנו הפרבולה יורדת.
- שגויה אי אפשר, כי העקומה יורדת ואז עולה
  משוב
  אפשר: הממוצע לא מתעניין במה שקרה בדרך, רק בהתחלה ובסוף.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הגדרות נוספות
Mark secant/nodes/graph/props/markSecant = true
הגדרות נוספות
Mark slope/nodes/graph/props/markSlope = true
ואז הסצנה מראה: 0 · Rise ÷ run, the slope of the secant; NaN when run is 0/nodes/graph/outputs/secantSlope
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$f(-1) = 1$ ⁠ ו־ $f(1) = 1$ ⁠: אותו גובה בשני הקצוות, ולכן $\dfrac{1 - 1}{2} = 0$ ⁠. המיתר שוכב ישר, למרות שבדרך הפרבולה ירדה ועלתה.

פתרון מלא
1. $f(-1) = (-1)^2 = 1$ ⁠ ו־ $f(1) = 1^2 = 1$ ⁠.
2. השינוי ב־ $y$ ⁠: $1 - 1 = 0$ ⁠. השינוי ב־ $x$ ⁠: $1 - (-1) = 2$ ⁠.
3. הקצב הממוצע: $\dfrac{0}{2} = 0$ ⁠.
הממוצע מסתיר את הדרך: הירידה עד הקודקוד והעלייה ממנו מבטלות זו את זו. $1$ ⁠ הוא הממוצע של ערכי $y$ ⁠, לא של השינוי.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
לחפש קצב
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הזיזו את הנקודה x כך שהמיתר עם $h = 1$ ⁠ יהיה בשיפוע $5$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 5 ± 0.01
  בתחילת השלב: -3
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
-2
ההתקדמות h
1קבוע
המיתר / המשיק
המיתר
נקרא מהסצנה בנקודה
Rise ÷ run, the slope of the secant; NaN when run is 0/nodes/graph/outputs/secantSlope
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הנקודה x
2
משוב לתשובה נכונה
$(x + 1)^2 - x^2 = 2x + 1 = 5$ ⁠, ולכן $x = 2$ ⁠: המיתר מ־ $(2, 4)$ ⁠ עד $(3, 9)$ ⁠ עולה $5$ ⁠ על צעד אחד.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. ככל שהנקודה ימינה יותר, המיתר תלול יותר.

רמז
השיפוע מ־ $x$ ⁠ עד $x + 1$ ⁠ הוא $(x + 1)^2 - x^2$ ⁠. פשטו ופתרו.

פתרון מלא
1. השיפוע של המיתר מ־ $x$ ⁠ עד $x + 1$ ⁠: $\dfrac{(x + 1)^2 - x^2}{1}$ ⁠.
2. פותחים: $x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$ ⁠.
3. פותרים $2x + 1 = 5$ ⁠: $x = 2$ ⁠.
4. קבעו את הנקודה x ל־ $2$ ⁠. בדיקה: $f(3) - f(2) = 9 - 4 = 5$ ⁠. ✓

שיעור 2 מתוך 4 · כ־25 דקות

הנגזרת

המשיק בנקודה ושיפועו, הנגזרת. למה הנגזרת של x² היא 2x, הכלל לכל פונקציה ריבועית, ולמה בקודקוד השיפוע אפס.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
המשיק
תרגול · חשבו
השאלה
מה השיפוע של המשיק ל־ $y = x^2$ ⁠ בנקודה $x = 3$ ⁠?

התשובה הנכונה
6 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
3קבוע
המקדם a
1קבוע
המקדם b
0קבוע
העקומה / המשיק
העקומה
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The slope of the tangent at pointX, the derivative 2a·x + b/nodes/graph/outputs/tangentSlope
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 9 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives the value of the function (or the function itself) instead of the slope.
  משוב מהקטלוג
  $f(x)$ ⁠ אומר כמה גבוהה העקומה; $f'(x)$ ⁠ אומר כמה תלולה היא. ב־ $x = 3$ ⁠ על $y = x^2$ ⁠ הגובה $9$ ⁠, אבל המשיק עולה $6$ ⁠ על כל צעד. הנגזרת של $x^2$ ⁠ היא $2x$ ⁠, לא $x^2$ ⁠.
- 3 ± 0.01
  טעות נפוצה: Lowers the power but drops the factor in front: the derivative of x² taken as x.
  משוב מהקטלוג
  בגזירה החזקה יורדת לפנים כגורם: $x^2$ ⁠ נותן $2x$ ⁠, ו־ $3x^2$ ⁠ נותן $3 \cdot 2x = 6x$ ⁠. אפשר לבדוק במיתר: ב־ $y = x^2$ ⁠ השיפוע מ־ $x$ ⁠ עד $x + h$ ⁠ הוא $2x + h$ ⁠, וזה שואף ל־ $2x$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$2 \cdot 3 = 6$ ⁠: המיתר מ־ $3$ ⁠ עד $3 + h$ ⁠ הוא בשיפוע $6 + h$ ⁠, ומתקרב ל־ $6$ ⁠. בחרו המשיק תחת מבט פנימה וראו אותו.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. השאלה היא על התלילות בנקודה, לא על הגובה.

רמז
שיפוע המיתר מ־ $x$ ⁠ עד $x + h$ ⁠ על $y = x^2$ ⁠ הוא $2x + h$ ⁠. מה קורה כש־ $h$ ⁠ שואף לאפס?

פתרון מלא
1. המיתר מ־ $x = 3$ ⁠ עד $3 + h$ ⁠: $\dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h$ ⁠.
2. כש־ $h$ ⁠ שואף לאפס, השיפוע שואף ל־ $6$ ⁠.
3. ובקיצור: הנגזרת של $x^2$ ⁠ היא $2x$ ⁠, וב־ $x = 3$ ⁠ היא $6$ ⁠.
$9$ ⁠ הוא הגובה של העקומה ב־ $x = 3$ ⁠, לא השיפוע. $3$ ⁠ שוכח את ה־ $2$ ⁠ שיורד מהחזקה.
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
הנגזרת כפונקציה
תרגול · בחרו
השאלה
שיפועי המשיקים ל־ $y = x^2$ ⁠ ב־ $x = 1$ ⁠, $2$ ⁠ ו־ $3$ ⁠ הם $2$ ⁠, $4$ ⁠ ו־ $6$ ⁠. מהי הנגזרת של $x^2$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $2x$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
1
המקדם a
1קבוע
המקדם b
0קבוע
העקומה / המשיק
המשיק
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $2x$ ⁠
- שגויה $x^2$ ⁠
  טעות נפוצה: Gives the value of the function (or the function itself) instead of the slope.
  משוב מהקטלוג
  $f(x)$ ⁠ אומר כמה גבוהה העקומה; $f'(x)$ ⁠ אומר כמה תלולה היא. ב־ $x = 3$ ⁠ על $y = x^2$ ⁠ הגובה $9$ ⁠, אבל המשיק עולה $6$ ⁠ על כל צעד. הנגזרת של $x^2$ ⁠ היא $2x$ ⁠, לא $x^2$ ⁠.
- שגויה $x$ ⁠
  טעות נפוצה: Lowers the power but drops the factor in front: the derivative of x² taken as x.
  משוב מהקטלוג
  בגזירה החזקה יורדת לפנים כגורם: $x^2$ ⁠ נותן $2x$ ⁠, ו־ $3x^2$ ⁠ נותן $3 \cdot 2x = 6x$ ⁠. אפשר לבדוק במיתר: ב־ $y = x^2$ ⁠ השיפוע מ־ $x$ ⁠ עד $x + h$ ⁠ הוא $2x + h$ ⁠, וזה שואף ל־ $2x$ ⁠.
- שגויה $2$ ⁠
  משוב
  $2$ ⁠ הוא השיפוע רק ב־ $x = 1$ ⁠. בנקודות אחרות המשיק תלול יותר, ולכן הנגזרת משתנה עם $x$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
בכל נקודה השיפוע כפול מה־ $x$ ⁠: $f'(x) = 2x$ ⁠. ב־ $x = 0$ ⁠ הוא $0$ ⁠, בקודקוד, ומשמאל לו שלילי. הזיזו את הנקודה x ובדקו.

רמז
כל שיפוע הוא פי כמה מה־ $x$ ⁠ של הנקודה?

פתרון מלא
1. הטבלה: $x = 1 \to 2$ ⁠, $x = 2 \to 4$ ⁠, $x = 3 \to 6$ ⁠. כל שיפוע הוא $2$ ⁠ כפול $x$ ⁠.
2. החישוב מאשר: המיתר מ־ $x$ ⁠ עד $x + h$ ⁠ בשיפוע $\dfrac{(x + h)^2 - x^2}{h} = 2x + h$ ⁠, ששואף ל־ $2x$ ⁠.
3. לכן $f'(x) = 2x$ ⁠.
$x^2$ ⁠ הוא הגובה, לא השיפוע; ב־ $x = 3$ ⁠ הוא נותן $9$ ⁠ ולא $6$ ⁠.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
איפה המשיק שוכב?
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
על הלוח $y = x^2 - 4x + 3$ ⁠. הזיזו את הנקודה x למקום שבו המשיק שוכב ישר, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0 ± 0.01
  בתחילת השלב: -4
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
0
המקדם a
1קבוע
המקדם b
-4קבוע
העקומה / המשיק
המשיק
הגדרות נוספות
C/nodes/graph/props/c = 3
נקרא מהסצנה בנקודה
The slope of the tangent at pointX, the derivative 2a·x + b/nodes/graph/outputs/tangentSlope
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הנקודה x
2
משוב לתשובה נכונה
ב־ $x = 2$ ⁠ המשיק ישר: $f'(x) = 2x - 4$ ⁠, ו־ $f'(2) = 0$ ⁠. זה הקודקוד, $(2, -1)$ ⁠, נקודת המינימום של הפרבולה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אם המשיק יורד, הזיזו ימינה; אם הוא עולה, שמאלה.

רמז
המשיק שוכב ישר בקודקוד. בצורה הכללית הקודקוד ב־ $x = -\dfrac{b}{2a}$ ⁠.

פתרון מלא
1. הנגזרת: $f'(x) = 2x - 4$ ⁠.
2. המשיק ישר כש־ $f'(x) = 0$ ⁠: $2x - 4 = 0$ ⁠, כלומר $x = 2$ ⁠.
3. קבעו את הנקודה x ל־ $2$ ⁠.
4. זה בדיוק הקודקוד מהיחידה על הפונקציה הריבועית: $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2} = 2$ ⁠, ו־ $f(2) = -1$ ⁠.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
הכלל
תרגול · חשבו
השאלה
מה השיפוע של $y = 3x^2 - 2x + 5$ ⁠ בנקודה $x = 1$ ⁠?

התשובה הנכונה
4 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הנקודה x
1קבוע
המקדם a
3קבוע
המקדם b
-2קבוע
העקומה / המשיק
העקומה
הגדרות נוספות
C/nodes/graph/props/c = 5
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The slope of the tangent at pointX, the derivative 2a·x + b/nodes/graph/outputs/tangentSlope
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 9 ± 0.01
  טעות נפוצה: Keeps the constant term when differentiating.
  משוב מהקטלוג
  מספר קבוע רק מרים או מוריד את העקומה כולה; הוא לא משנה כמה היא תלולה. לכן הנגזרת שלו $0$ ⁠: הנגזרת של $3x^2 - 2x + 5$ ⁠ היא $6x - 2$ ⁠, בלי ה־ $5$ ⁠.
- 1 ± 0.01
  טעות נפוצה: Lowers the power but drops the factor in front: the derivative of x² taken as x.
  משוב מהקטלוג
  בגזירה החזקה יורדת לפנים כגורם: $x^2$ ⁠ נותן $2x$ ⁠, ו־ $3x^2$ ⁠ נותן $3 \cdot 2x = 6x$ ⁠. אפשר לבדוק במיתר: ב־ $y = x^2$ ⁠ השיפוע מ־ $x$ ⁠ עד $x + h$ ⁠ הוא $2x + h$ ⁠, וזה שואף ל־ $2x$ ⁠.
- 6 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives the value of the function (or the function itself) instead of the slope.
  משוב מהקטלוג
  $f(x)$ ⁠ אומר כמה גבוהה העקומה; $f'(x)$ ⁠ אומר כמה תלולה היא. ב־ $x = 3$ ⁠ על $y = x^2$ ⁠ הגובה $9$ ⁠, אבל המשיק עולה $6$ ⁠ על כל צעד. הנגזרת של $x^2$ ⁠ היא $2x$ ⁠, לא $x^2$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$f'(x) = 6x - 2$ ⁠, ו־ $f'(1) = 4$ ⁠. בחרו המשיק תחת מבט פנימה ובדקו.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. גזרו קודם, ורק אחר כך הציבו.

רמז
גזרו לפי הכלל: $f'(x) = 2ax + b$ ⁠. ואז הציבו $x = 1$ ⁠.

פתרון מלא
1. גוזרים איבר איבר: $3x^2 \to 6x$ ⁠, $-2x \to -2$ ⁠, $5 \to 0$ ⁠.
2. $f'(x) = 6x - 2$ ⁠.
3. מציבים $x = 1$ ⁠: $f'(1) = 6 - 2 = 4$ ⁠.
$9$ ⁠ משאיר את ה־ $5$ ⁠ בנגזרת. $1$ ⁠ גוזר את $3x^2$ ⁠ ל־ $3x$ ⁠ בלי ה־ $2$ ⁠. ו־ $6$ ⁠ הוא $f(1)$ ⁠, הגובה, לא השיפוע.

שיעור 3 מתוך 4 · כ־25 דקות

השטח מתחת לעקומה

שטח מתחת לישר הוא משולש, ומתחת לעקומה מעריכים אותו במלבנים צרים. הפונקציה הקדומה נותנת אותו בדיוק, ושטח מתחת לציר נספר כשלילי.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
שטח מתחת לישר
תרגול · חשבו
השאלה
מה השטח מתחת לישר $y = x$ ⁠, מעל ציר $x$ ⁠, בין $x = 0$ ⁠ ל־ $x = 4$ ⁠?

התשובה הנכונה
8 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד x
4קבוע
מלבנים
0קבוע
העקומה / השטח
העקומה
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The signed area between the curve and the x-axis from areaFrom to areaTo, the integral/nodes/graph/outputs/area
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 16 ± 0.01
  טעות נפוצה: Takes base × height for a triangle, forgetting the half.
  משוב מהקטלוג
  השטח של משולש הוא חצי בסיס כפול גובה: הוא חצי מהמלבן שמסביבו. מתחת ל־ $y = x$ ⁠ מ־ $0$ ⁠ עד $4$ ⁠: $\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ ⁠, ולא $16$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ ⁠. בחרו השטח תחת מבט פנימה וראו את המשולש.

רמז
זה משולש: בסיס $4$ ⁠ לאורך ציר $x$ ⁠, וגובה $4$ ⁠ ב־ $x = 4$ ⁠.

פתרון מלא
1. בין הישר $y = x$ ⁠ לציר $x$ ⁠, מ־ $0$ ⁠ עד $4$ ⁠, יש משולש ישר־זווית.
2. הבסיס: $4$ ⁠. הגובה: $y = 4$ ⁠ ב־ $x = 4$ ⁠.
3. השטח: $\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ ⁠.
$16$ ⁠ הוא השטח של כל הריבוע $4$ ⁠ על $4$ ⁠; המשולש הוא חציו.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
מלבנים צרים
תרגול · חשבו
השאלה
חותכים את השטח מתחת ל־ $y = x^2$ ⁠ מ־ $0$ ⁠ עד $3$ ⁠ לשלושה מלבנים ברוחב $1$ ⁠, כל אחד בגובה העקומה בקצה השמאלי שלו. מה סכום השטחים שלהם?

התשובה הנכונה
5 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד x
3קבוע
מלבנים
3קבוע
העקומה / השטח
העקומה
הגדרות נוספות
A/nodes/graph/props/a = 1
הגדרות נוספות
B/nodes/graph/props/b = 0
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The left Riemann sum with `slices` slices; NaN when slices is 0/nodes/graph/outputs/sliceSum
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 14 ± 0.01
  טעות נפוצה: Uses the height at each rectangle's right edge when the rectangles are drawn from the left edge.
  משוב מהקטלוג
  כאן כל מלבן גבוה כמו העקומה בקצה השמאלי שלו: ב־ $x = 0$ ⁠, $1$ ⁠ ו־ $2$ ⁠, כלומר $0$ ⁠, $1$ ⁠ ו־ $4$ ⁠. גבהים מהקצה הימני, $1 + 4 + 9 = 14$ ⁠, הם בחירה אחרת, שנותנת הערכה גבוהה מדי.
- 9 ± 0.01
  טעות נפוצה: Thinks a sum of rectangles already is the exact area.
  משוב מהקטלוג
  מלבן שטוח למעלה לא מכסה עקומה בדיוק: נשארות פיסות בחוץ (או בולטות החוצה). סכום המלבנים הוא הערכה, והוא מתקרב לשטח המדויק רק כשהמלבנים צרים יותר ויותר.
משוב לתשובה נכונה
$1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 = 5$ ⁠. בחרו השטח תחת מבט פנימה וראו כמה שטח המלבנים משאירים מחוץ לעקומה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כל מלבן: רוחב $1$ ⁠ כפול הגובה של העקומה בקצה השמאלי.

רמז
הקצוות השמאליים ב־ $x = 0$ ⁠, $1$ ⁠ ו־ $2$ ⁠. מה הגובה של העקומה בכל אחד?

פתרון מלא
1. הקצוות השמאליים: $x = 0$ ⁠, $1$ ⁠, $2$ ⁠.
2. הגבהים: $0^2 = 0$ ⁠, $1^2 = 1$ ⁠, $2^2 = 4$ ⁠.
3. כל רוחב $1$ ⁠, ולכן הסכום $0 + 1 + 4 = 5$ ⁠.
$14$ ⁠ לוקח גבהים מהקצה הימני ( $1 + 4 + 9$ ⁠). $9$ ⁠ הוא השטח המדויק, והמלבנים רק מעריכים אותו.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
יותר מלבנים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
שלושה מלבנים נותנים $5$ ⁠. מה יקרה לסכום כשנחתוך את אותו קטע ל־ $30$ ⁠ מלבנים צרים?

התשובה הנכונה
- נכונה הוא יגדל ויתקרב לשטח המדויק, אבל יישאר מתחתיו
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד x
3קבוע
מלבנים
3
העקומה / השטח
השטח
הגדרות נוספות
A/nodes/graph/props/a = 1
הגדרות נוספות
B/nodes/graph/props/b = 0
האפשרויות
- נכונה הוא יגדל ויתקרב לשטח המדויק, אבל יישאר מתחתיו
- שגויה הוא יעבור את השטח המדויק
  טעות נפוצה: Thinks narrower rectangles push the sum past the exact area.
  משוב מהקטלוג
  על עקומה עולה, כל מלבן שגובהו מהקצה השמאלי נמוך מהעקומה, צר או רחב. מלבנים צרים יותר משאירים בחוץ פחות שטח, ולכן הסכום מתקרב לשטח המדויק מלמטה, בלי לעבור אותו.
- שגויה הוא יישאר $5$ ⁠, כי זה אותו שטח
  טעות נפוצה: Thinks a sum of rectangles already is the exact area.
  משוב מהקטלוג
  מלבן שטוח למעלה לא מכסה עקומה בדיוק: נשארות פיסות בחוץ (או בולטות החוצה). סכום המלבנים הוא הערכה, והוא מתקרב לשטח המדויק רק כשהמלבנים צרים יותר ויותר.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מלבנים
30
ואז הסצנה מראה: 8.555 · The left Riemann sum with `slices` slices; NaN when slices is 0/nodes/graph/outputs/sliceSum
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
עם $30$ ⁠ מלבנים הסכום בערך $8.56$ ⁠, קרוב בהרבה לשטח המדויק $9$ ⁠. כל מלבן עדיין נמוך מהעקומה, אבל הפיסות שבחוץ קטנות יותר.

פתרון מלא
1. העקומה $y = x^2$ ⁠ עולה מ־ $0$ ⁠ עד $3$ ⁠, ולכן כל מלבן, שגובהו מהקצה השמאלי, נמוך מהעקומה לכל רוחבו. הסכום תמיד קטן מהשטח המדויק.
2. מלבנים צרים יותר משאירים בחוץ פיסות קטנות יותר, ולכן הסכום גדל.
3. עם $30$ ⁠ מלבנים ברוחב $0.1$ ⁠: הסכום בערך $8.56$ ⁠. השטח המדויק $9$ ⁠.
כשהמלבנים צרים עוד ועוד, הסכום מתקרב ל־ $9$ ⁠ כמה שרוצים: זה האינטגרל.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
הפונקציה הקדומה
תרגול · חשבו
השאלה
השתמשו בפונקציה הקדומה $\dfrac{x^3}{3}$ ⁠: מה השטח המדויק מתחת ל־ $y = x^2$ ⁠ מ־ $0$ ⁠ עד $3$ ⁠?

התשובה הנכונה
9 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד x
3קבוע
מלבנים
0קבוע
העקומה / השטח
העקומה
הגדרות נוספות
A/nodes/graph/props/a = 1
הגדרות נוספות
B/nodes/graph/props/b = 0
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The signed area between the curve and the x-axis from areaFrom to areaTo, the integral/nodes/graph/outputs/area
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 27 ± 0.01
  טעות נפוצה: Raises the power when integrating but forgets to divide by the new power.
  משוב מהקטלוג
  הפונקציה הקדומה של $x^2$ ⁠ היא $\dfrac{x^3}{3}$ ⁠, לא $x^3$ ⁠: הנגזרת של $x^3$ ⁠ היא $3x^2$ ⁠, גדולה פי $3$ ⁠. לכן מחלקים בחזקה החדשה: $\dfrac{3^3}{3} = 9$ ⁠.
- 6 ± 0.01
  טעות נפוצה: Differentiates instead of finding the antiderivative.
  משוב מהקטלוג
  לשטח צריך את הפעולה ההפוכה לגזירה: פונקציה שהנגזרת שלה היא $x^2$ ⁠. גזירה של $x^2$ ⁠ נותנת $2x$ ⁠, שיפוע, לא שטח. החזקה צריכה לעלות, לא לרדת.
משוב לתשובה נכונה
$\dfrac{3^3}{3} - 0 = 9$ ⁠. בחרו השטח תחת מבט פנימה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הפונקציה הקדומה בקצה הימני, פחות הפונקציה הקדומה בקצה השמאלי.

רמז
הציבו $3$ ⁠ ו־ $0$ ⁠ ב־ $\dfrac{x^3}{3}$ ⁠ וחסרו.

פתרון מלא
1. הפונקציה הקדומה של $x^2$ ⁠ היא $\dfrac{x^3}{3}$ ⁠: הנגזרת שלה $\dfrac{3x^2}{3} = x^2$ ⁠. ✓
2. בקצה הימני: $\dfrac{3^3}{3} = \dfrac{27}{3} = 9$ ⁠.
3. בקצה השמאלי: $\dfrac{0^3}{3} = 0$ ⁠.
4. השטח: $9 - 0 = 9$ ⁠.
$27$ ⁠ שוכח לחלק ב־ $3$ ⁠. $6$ ⁠ גוזר את $x^2$ ⁠ ל־ $2x$ ⁠ במקום למצוא פונקציה קדומה.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
מתחת לציר
תרגול · בחרו
השאלה
מה האינטגרל של $y = x - 2$ ⁠ מ־ $x = 0$ ⁠ עד $x = 4$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $0$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עד x
4קבוע
מלבנים
0קבוע
העקומה / השטח
העקומה
הגדרות נוספות
C/nodes/graph/props/c = -2
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $0$ ⁠
- שגויה $4$ ⁠
  טעות נפוצה: Counts area below the x-axis as positive in an integral.
  משוב מהקטלוג
  האינטגרל סופר שטח מתחת לציר $x$ ⁠ כשלילי: שם $y$ ⁠ שלילי, ורוחב כפול גובה שלילי הוא מספר שלילי. מתחת ל־ $y = x - 2$ ⁠ מ־ $0$ ⁠ עד $4$ ⁠ יש משולש של $-2$ ⁠ ומשולש של $2$ ⁠, ויחד $0$ ⁠.
- שגויה $-2$ ⁠
  משוב
  $-2$ ⁠ הוא רק המשולש שמתחת לציר, מ־ $0$ ⁠ עד $2$ ⁠. מ־ $2$ ⁠ עד $4$ ⁠ יש משולש נוסף, מעל הציר.
- שגויה $8$ ⁠
  משוב
  $8$ ⁠ הוא השטח מתחת ל־ $y = x$ ⁠. כאן הישר נמוך ב־ $2$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
מ־ $0$ ⁠ עד $2$ ⁠ משולש מתחת לציר, $-2$ ⁠, ומ־ $2$ ⁠ עד $4$ ⁠ משולש מעליו, $+2$ ⁠. יחד $0$ ⁠. בחרו השטח תחת מבט פנימה וראו את הוורוד ואת הכחול.

רמז
הישר חוצה את ציר $x$ ⁠ ב־ $x = 2$ ⁠. חשבו כל משולש לחוד, עם הסימן שלו.

פתרון מלא
1. $x - 2 = 0$ ⁠ ב־ $x = 2$ ⁠: משם הישר עובר מתחת לציר אל מעליו.
2. מ־ $0$ ⁠ עד $2$ ⁠: משולש עם בסיס $2$ ⁠ וגובה $2$ ⁠, מתחת לציר: $-\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = -2$ ⁠.
3. מ־ $2$ ⁠ עד $4$ ⁠: אותו משולש מעל הציר: $+2$ ⁠.
4. האינטגרל: $-2 + 2 = 0$ ⁠.
בדיקה בפונקציה הקדומה $\dfrac{x^2}{2} - 2x$ ⁠: ב־ $4$ ⁠ היא $8 - 8 = 0$ ⁠, וב־ $0$ ⁠ היא $0$ ⁠. אם עניתם $4$ ⁠, ספרתם גם את השטח שמתחת לציר כחיובי.

שיעור 4 מתוך 4 · כ־20 דקות

שיפוע ושטח מבטלים זה את זה

עקומה אחת עם גבעה ושקע, משיק שזז עליה ושטח שמצטבר מתחתיה. המשפט היסודי מחבר את שתי השאלות, כי קצב הגידול של השטח הוא גובה העקומה.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
עקומה עם גבעה
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הזיזו את הנקודה x עד שהמשיק שוכב ישר על פסגת הגבעה, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 1 ± 0.01
  בתחילת השלב: 2.4
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
רוחב הרצועה
0.5
הנקודה x
2.4
רצועות דקות יותר
רצועות
נקרא מהסצנה בנקודה
Tangent x/nodes/board/props/tangentX
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
רוחב הרצועה
0.05
הנקודה x
1
משוב לתשובה נכונה
ב־ $x = 1$ ⁠ השיפוע $0.6 \cdot 0 \cdot (-2) = 0$ ⁠: המשיק ישר, ומשני צדדיו העקומה נמוכה יותר. זו נקודת מקסימום מקומי.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אם המשיק עולה, הפסגה עוד לפניכם; אם הוא יורד, עברתם אותה.

רמז
הנגזרת $0.6(x - 1)(x - 3)$ ⁠ מתאפסת בשני מקומות. הגבעה היא הראשון.

פתרון מלא
1. בפסגה המשיק שוכב ישר: $f'(x) = 0$ ⁠.
2. $0.6(x - 1)(x - 3) = 0$ ⁠ ב־ $x = 1$ ⁠ או ב־ $x = 3$ ⁠.
3. משמאל ל־ $1$ ⁠ השיפוע חיובי (העקומה עולה), ובין $1$ ⁠ ל־ $3$ ⁠ שלילי (יורדת): ב־ $x = 1$ ⁠ היא מפסיקה לעלות. זו הגבעה.
4. קבעו את הנקודה x ל־ $1$ ⁠. ב־ $x = 3$ ⁠ יש את השקע.
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
בירידה
תרגול · בחרו
השאלה
מה הסימן של השיפוע בין פסגת הגבעה ( $x = 1$ ⁠) לתחתית השקע ( $x = 3$ ⁠)?

התשובה הנכונה
- נכונה שלילי
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
רוחב הרצועה
0.5
הנקודה x
2
רצועות דקות יותר
רצועות
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה שלילי
- שגויה חיובי, כי העקומה מעל ציר $x$ ⁠
  טעות נפוצה: Reads the sign of the slope from the height of the curve: above the axis means a positive slope.
  משוב מהקטלוג
  הגובה והשיפוע הם שני דברים: העקומה יכולה להיות גבוהה מעל הציר ובכל זאת לרדת. השיפוע תלוי רק בכיוון: עקומה שעולה משמאל לימין, שיפוע חיובי; עקומה שיורדת, שיפוע שלילי.
- שגויה אפס
  משוב
  השיפוע אפס רק בשתי הנקודות עצמן, $x = 1$ ⁠ ו־ $x = 3$ ⁠. ביניהן המשיק נוטה.
משוב לתשובה נכונה
ביניהן העקומה יורדת מהגבעה אל השקע, ולכן השיפוע שלילי. למשל ב־ $x = 2$ ⁠: $0.6 \cdot 1 \cdot (-1) = -0.6$ ⁠.

רמז
הזיזו את הנקודה x בין $1$ ⁠ ל־ $3$ ⁠ והסתכלו לאן המשיק נוטה.

פתרון מלא
1. הנגזרת: $f'(x) = 0.6(x - 1)(x - 3)$ ⁠.
2. בין $1$ ⁠ ל־ $3$ ⁠: $x - 1$ ⁠ חיובי ו־ $x - 3$ ⁠ שלילי, ולכן המכפלה שלילית.
3. למשל $f'(2) = 0.6 \cdot 1 \cdot (-1) = -0.6$ ⁠.
העקומה כולה מעל הציר, אבל זה אומר שהגובה חיובי, לא השיפוע: היא גבוהה ויורדת.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
רצועות צרות
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עם רצועות ברוחב $1$ ⁠, סכום הרצועות עד $x = 4$ ⁠ הוא $3.2$ ⁠, והשטח המדויק $3.6$ ⁠. מה יקרה לסכום ברוחב הרצועה $0.1$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה הוא יתקרב ל־ $3.6$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
רוחב הרצועה
1
הנקודה x
4קבוע
רצועות דקות יותר
רצועות
האפשרויות
- נכונה הוא יתקרב ל־ $3.6$ ⁠
- שגויה הוא יהיה בדיוק $3.6$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks a sum of rectangles already is the exact area.
  משוב מהקטלוג
  מלבן שטוח למעלה לא מכסה עקומה בדיוק: נשארות פיסות בחוץ (או בולטות החוצה). סכום המלבנים הוא הערכה, והוא מתקרב לשטח המדויק רק כשהמלבנים צרים יותר ויותר.
- שגויה הוא יתרחק מ־ $3.6$ ⁠
  משוב
  רצועה צרה צמודה לעקומה יותר מרצועה רחבה, ולכן הטעות של כל אחת קטנה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
רוחב הרצועה
0.1
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
ב־ $0.1$ ⁠ הסכום $3.56$ ⁠: השגיאה ירדה מ־ $0.4$ ⁠ ל־ $0.04$ ⁠, פי עשרה, כמו הרוחב. היא מגיעה לאפס רק בגבול, כשהרוחב שואף לאפס.

פתרון מלא
1. ברוחב $1$ ⁠ השגיאה $3.6 - 3.2 = 0.4$ ⁠.
2. הטעות של כל רצועה היא פס דק בין המכסה השטוח שלה לבין העקומה, והוא מתכווץ יחד עם הרוחב.
3. ברוחב $0.1$ ⁠ הסכום $3.56$ ⁠, והשגיאה $0.04$ ⁠: קטנה פי $10$ ⁠.
הסכום לא מגיע בדיוק ל־ $3.6$ ⁠ באף רוחב; $3.6$ ⁠ הוא הגבול, האינטגרל.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
המשפט היסודי
תרגול · בחרו
השאלה
השטח $A(x)$ ⁠ שמתחת לעקומה, מ־ $0$ ⁠ ועד הנקודה, גדל כשהנקודה זזה ימינה. באיזה קצב?

התשובה הנכונה
- נכונה בקצב $f(x)$ ⁠, הגובה של העקומה בנקודה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
רוחב הרצועה
0.5
הנקודה x
2.4
רצועות דקות יותר
השטח המדויק
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה בקצב $f(x)$ ⁠, הגובה של העקומה בנקודה
- שגויה בקצב $f'(x)$ ⁠, השיפוע של העקומה בנקודה
  טעות נפוצה: Thinks the area under a curve grows at the rate of the curve's slope.
  משוב מהקטלוג
  כל צעד קטן $dx$ ⁠ ימינה מוסיף רצועה ברוחב $dx$ ⁠ ובגובה $f(x)$ ⁠, כלומר שטח של $f(x) \cdot dx$ ⁠. לכן השטח גדל בקצב $f(x)$ ⁠, הגובה של העקומה, לא השיפוע שלה. זה המשפט היסודי.
- שגויה בקצב $A(x)$ ⁠, השטח שכבר נאסף
  משוב
  השטח שכבר נאסף לא משפיע על כמה מתווסף עכשיו: מה שמתווסף הוא רצועה בגובה העקומה בנקודה.
משוב לתשובה נכונה
צעד $dx$ ⁠ מוסיף רצועה בגובה $f(x)$ ⁠, כלומר $f(x)\,dx$ ⁠ של שטח. לכן $A'(x) = f(x)$ ⁠: השיפוע של $A$ ⁠ הוא הגובה של $f$ ⁠. על הלוח, העלייה של המשולש הוורוד שווה למוט הירוק.

רמז
צעד קטן ימינה מוסיף רצועה דקה. מה הגובה שלה?

פתרון מלא
1. כשהנקודה זזה צעד קטן $dx$ ⁠ ימינה, נוספת רצועה דקה ברוחב $dx$ ⁠.
2. הגובה של הרצועה הוא גובה העקומה שם, $f(x)$ ⁠, ולכן השטח גדל ב־ $f(x) \cdot dx$ ⁠.
3. הקצב: $\dfrac{f(x)\,dx}{dx} = f(x)$ ⁠. כלומר $A'(x) = f(x)$ ⁠.
זה המשפט היסודי: הנגזרת של השטח היא העקומה. ולכן, הפוך, את השטח מוצאים בפונקציה קדומה. על הגבעה, ב־ $x = 1$ ⁠, השיפוע של $f$ ⁠ הוא $0$ ⁠, אבל השטח עדיין גדל, ומהר, כי שם העקומה גבוהה.

בכל היחידה · 16 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

קצב שינוי ממוצע

מישר לעקומה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

לקרב את הנקודות

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

משני צדי הקודקוד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

לחפש קצב

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

הנגזרת

המשיק

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

הנגזרת כפונקציה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

רמז

פתרון מלא

איפה המשיק שוכב?

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

הכלל

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

השטח מתחת לעקומה

שטח מתחת לישר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מלבנים צרים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

יותר מלבנים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא