מפתח תשובות · יחידה 10

מספרים מרוכבים.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 3

שיעור 1 מתוך 3 · כ־25 דקות

כפל ב־i

המספר i, שהריבוע שלו הוא מינוס 1, והמישור המרוכב: כפל ב־i כרבע סיבוב, החזקות של i, מספר מרוכב לפי אורך וזווית, ומספר ששלוש פעמים הוא מינוס 1.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
הריבוע של i
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
סיבוב בכל צעד הוא $90^\circ$ ⁠ ומתיחה בכל צעד $1$ ⁠: כל צעד הוא כפל ב־ $i$ ⁠. מתחילים מ־ $1$ ⁠. איפה תהיה הנקודה אחרי שני צעדים, $1 \cdot i \cdot i$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $-1$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
90 °קבוע
מתיחה בכל צעד
1קבוע
מספר הצעדים
0קבוע
בניית נוסחת אוילר
צעדים
האפשרויות
- נכונה $-1$ ⁠
- שגויה $1$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks i² = 1, as if i were an ordinary number whose square is positive.
  משוב מהקטלוג
  $i$ ⁠ מוגדר כך ש־ $i^2 = -1$ ⁠; לכן אינו אף מספר ממשי, שהריבוע שלו תמיד חיובי או אפס. במישור המרוכב, כפל ב־ $i$ ⁠ הוא רבע סיבוב, וכפל ב־ $i$ ⁠ פעמיים הוא חצי סיבוב: מ־ $1$ ⁠ ל־ $-1$ ⁠.
- שגויה $i$ ⁠
  משוב
  $i$ ⁠ הוא המקום אחרי צעד אחד: רבע סיבוב, לראש הציר המדומה.
- שגויה $2i$ ⁠
  משוב
  כפל ב־ $i$ ⁠ לא משנה אורך: הנקודה נשארת על מעגל היחידה. הוא רק מסובב.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מספר הצעדים
2קבוע
ואז הסצנה מראה: -1 · Complex: the real part of the last product zₙ/nodes/board/outputs/complexRe
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$-1$ ⁠: שני רבעי סיבוב הם חצי סיבוב. זה כל הסוד של $i$ ⁠: $i^2 = -1$ ⁠.

פתרון מלא
1. כפל ב־ $i$ ⁠ מסובב ב־ $90^\circ$ ⁠ בלי לשנות אורך.
2. $1 \cdot i = i$ ⁠: רבע סיבוב, לראש הציר המדומה.
3. $i \cdot i$ ⁠: עוד רבע סיבוב, לקצה השלילי של הציר הממשי, $-1$ ⁠.
אם בחרתם $1$ ⁠, חשבתם על $i$ ⁠ כעל מספר רגיל, שהריבוע שלו חיובי.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
החזקות של i
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
כל צעד הוא כפל ב־ $i$ ⁠. שנו את מספר הצעדים כך שהנקודה האחרונה תהיה $-i$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0 ± 0.01
  בתחילת השלב: 0
- -1 ± 0.01
  בתחילת השלב: 1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
90 °קבוע
מתיחה בכל צעד
1קבוע
מספר הצעדים
1
בניית נוסחת אוילר
צעדים
נקרא מהסצנה בנקודה
Complex: the real part of the last product zₙ/nodes/board/outputs/complexRe
נקרא מהסצנה בנקודה
Complex: the imaginary part of zₙ/nodes/board/outputs/complexIm
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מספר הצעדים
3
משוב לתשובה נכונה
$i^3 = i^2 \cdot i = -i$ ⁠: שלושה רבעי סיבוב, לתחתית הציר המדומה. גם $7$ ⁠ ו־ $11$ ⁠ צעדים מגיעים לשם: החזקות של $i$ ⁠ חוזרות כל ארבעה, $1, i, -1, -i, 1, \dots$ ⁠

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. $-i$ ⁠ נמצא בתחתית הציר המדומה. כמה רבעי סיבוב צריך?

פתרון מלא
1. כל צעד מוסיף $90^\circ$ ⁠.
2. $-i$ ⁠ נמצא ב־ $270^\circ$ ⁠.
3. $\frac{270^\circ}{90^\circ} = 3$ ⁠ צעדים: $i^3 = -i$ ⁠.
4. קבעו את מספר הצעדים על $3$ ⁠.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
אורך וזווית
תרגול · חשבו
השאלה
$w$ ⁠ מסובב ב־ $30^\circ$ ⁠ ואורכו $1$ ⁠: $w = \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ$ ⁠. מהו החלק הממשי של $w$ ⁠?

התשובה הנכונה
0.866 ± 0.005
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
30 °קבוע
מתיחה בכל צעד
1קבוע
מספר הצעדים
0קבוע
בניית נוסחת אוילר
צעדים
מתקבלת בטווח
± 0.005
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Complex: the real part of w, r·cos φ/nodes/board/outputs/stepRe
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.5 ± 0.005
  טעות נפוצה: Takes the real part of r(cos φ + i sin φ) from sin φ.
  משוב מהקטלוג
  מספר באורך $r$ ⁠ ובזווית $\varphi$ ⁠ הוא $r\cos\varphi + i \, r\sin\varphi$ ⁠: החלק הממשי, האופקי, הוא הקוסינוס, כמו הרכיב האופקי של וקטור, והחלק המדומה, האנכי, הוא הסינוס.
משוב לתשובה נכונה
$\cos 30^\circ \approx 0.866$ ⁠, ו־ $w \approx 0.866 + 0.5i$ ⁠. זה אותו פירוק לרכיבים כמו של וקטור באורך $1$ ⁠.

פתרון מלא
1. מספר באורך $r$ ⁠ ובזווית $\varphi$ ⁠ הוא $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ ⁠.
2. החלק הממשי הוא $r\cos\varphi = 1 \cdot \cos 30^\circ$ ⁠.
3. $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0.866$ ⁠.
אם עניתם $0.5$ ⁠, זה החלק המדומה, $\sin 30^\circ$ ⁠.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
שורשים של מינוס 1
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
מספר הצעדים נעול על $3$ ⁠ והמתיחה בכל צעד על $1$ ⁠. שנו את הסיבוב בכל צעד כך ש־ $w^3 = -1$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- -1 ± 0.01
  בתחילת השלב: -0.7071
- 0 ± 0.01
  בתחילת השלב: 0.7071
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
45 °
מתיחה בכל צעד
1קבוע
מספר הצעדים
3קבוע
בניית נוסחת אוילר
צעדים
נקרא מהסצנה בנקודה
Complex: the real part of the last product zₙ/nodes/board/outputs/complexRe
נקרא מהסצנה בנקודה
Complex: the imaginary part of zₙ/nodes/board/outputs/complexIm
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
סיבוב בכל צעד
60 °
משוב לתשובה נכונה
שלושה סיבובים צריכים להגיע לחצי סיבוב: $3\varphi = 180^\circ$ ⁠, כלומר $\varphi = 60^\circ$ ⁠. גם $\varphi = 180^\circ$ ⁠ עובד, $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$ ⁠, סיבוב וחצי: $(-1)^3 = -1$ ⁠. ל־ $-1$ ⁠ יש שלושה שורשים שלישיים, ושניים מהם אינם ממשיים.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. $-1$ ⁠ נמצא בחצי סיבוב. איזה סיבוב, שלוש פעמים, מגיע לשם?

פתרון מלא
1. האורך נשאר $1$ ⁠, ולכן צריך רק את הזווית: $3\varphi$ ⁠ צריך להיות $180^\circ$ ⁠, או $180^\circ$ ⁠ ועוד סיבובים שלמים.
2. $3\varphi = 180^\circ$ ⁠ נותן $\varphi = 60^\circ$ ⁠.
3. קבעו את הסיבוב בכל צעד על $60^\circ$ ⁠.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
ריבוע
תרגול · בחרו
השאלה
$w = \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ$ ⁠. מהו $w^2$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
30 °
מתיחה בכל צעד
1
מספר הצעדים
1
בניית נוסחת אוילר
צעדים
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ$ ⁠
- שגויה $\cos^2 30^\circ + i \sin^2 30^\circ$ ⁠
  טעות נפוצה: Squares a complex number part by part, (a + bi)² = a² + b²i, forgetting the cross term.
  משוב מהקטלוג
  $(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2 i^2 = (a^2 - b^2) + 2ab \, i$ ⁠, כמו $(x + y)^2$ ⁠ ביחידה על ביטויים אלגבריים. ובמישור המרוכב קל יותר: בריבוע האורך מוכפל בעצמו והזווית מוכפלת ב־ $2$ ⁠.
- שגויה $2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$ ⁠
  משוב
  זה $2w$ ⁠, לא $w^2$ ⁠. האורך של $w$ ⁠ הוא $1$ ⁠, ו־ $1 \cdot 1 = 1$ ⁠.
- שגויה $-1$ ⁠
  משוב
  $-1$ ⁠ הוא $w^6$ ⁠: שישה סיבובים של $30^\circ$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$w^2 = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ$ ⁠: האורך $1 \cdot 1 = 1$ ⁠, והזווית $30^\circ + 30^\circ$ ⁠. ובחישוב ישיר: $(0.866 + 0.5i)^2 = 0.75 - 0.25 + 2 \cdot 0.866 \cdot 0.5 \, i = 0.5 + 0.866i$ ⁠.

פתרון מלא
1. בכפל האורכים נכפלים: $1 \cdot 1 = 1$ ⁠.
2. והזוויות מתחברות: $30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$ ⁠.
3. לכן $w^2 = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ = 0.5 + 0.866i$ ⁠.
4. בדיקה בלוח: קבעו סיבוב בכל צעד $30^\circ$ ⁠ ומספר הצעדים $2$ ⁠.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
החלק המדומה
תרגול · חשבו
השאלה
סיבוב בכל צעד $60^\circ$ ⁠ ומתיחה בכל צעד $1.04$ ⁠: $w$ ⁠ באורך $1.04$ ⁠ ובזווית $60^\circ$ ⁠. מה החלק המדומה של $w$ ⁠?

התשובה הנכונה
0.9007 ± 0.005
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
60 °קבוע
מתיחה בכל צעד
1.04קבוע
מספר הצעדים
1קבוע
בניית נוסחת אוילר
צעדים
מתקבלת בטווח
± 0.005
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Complex: the imaginary part of w, r·sin φ/nodes/board/outputs/stepIm
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.52 ± 0.005
  טעות נפוצה: Takes the real part of r(cos φ + i sin φ) from sin φ.
  משוב מהקטלוג
  מספר באורך $r$ ⁠ ובזווית $\varphi$ ⁠ הוא $r\cos\varphi + i \, r\sin\varphi$ ⁠: החלק הממשי, האופקי, הוא הקוסינוס, כמו הרכיב האופקי של וקטור, והחלק המדומה, האנכי, הוא הסינוס.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $0.901$ ⁠: $w \approx 0.52 + 0.901i$ ⁠.

רמז
$w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ ⁠: החלק המדומה הוא $r\sin\varphi$ ⁠.

פתרון מלא
1. $r = 1.04$ ⁠ ו־ $\varphi = 60^\circ$ ⁠.
2. $r\sin\varphi = 1.04 \times 0.866 \approx 0.901$ ⁠.
3. החלק הממשי: $1.04 \times 0.5 = 0.52$ ⁠. כלומר $w \approx 0.52 + 0.901i$ ⁠.
אם עניתם $0.52$ ⁠, נתתם את החלק הממשי. החלק המדומה הוא הגובה של הנקודה, ולכן הוא בא עם הסינוס.

שיעור 2 מתוך 3 · כ־25 דקות

סיבובים, מתיחות ונוסחת אוילר

כפל של מספרים מרוכבים כופל אורכים ומחבר זוויות: חזקות כספירלות, זמן הכפלה במישור המרוכב, ספירלה שמתכנסת לאפס, ונוסחת אוילר, שבה e בחזקת iπ שווה למינוס 1.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
זוויות מתחברות
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הסיבוב בכל צעד הוא $40^\circ$ ⁠ והמתיחה בכל צעד $1$ ⁠. מה תהיה הזווית של הנקודה אחרי $5$ ⁠ צעדים, במעלות?

התשובה הנכונה
200 ° ± 1 °
ניבוי מספרי נחשב נכון בטווח ± 1 °
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
40 °קבוע
מתיחה בכל צעד
1קבוע
מספר הצעדים
0קבוע
בניית נוסחת אוילר
צעדים
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מספר הצעדים
5קבוע
ואז הסצנה מראה: 200 ° · Complex: the total turn n·φ, as the board prints it/nodes/board/outputs/complexTurn
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$5 \cdot 40^\circ = 200^\circ$ ⁠: כל כפל מוסיף $40^\circ$ ⁠, והנקודה עברה את הציר הממשי השלילי.

פתרון מלא
1. בכל כפל ב־ $w$ ⁠ הזווית גדלה בזווית של $w$ ⁠, $40^\circ$ ⁠.
2. אחרי $5$ ⁠ כפלים: $w^5$ ⁠, בזווית $5 \cdot 40^\circ = 200^\circ$ ⁠.
3. $200^\circ$ ⁠ הוא קצת אחרי $180^\circ$ ⁠: מתחת לציר הממשי, משמאל.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
אורכים נכפלים
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
המתיחה בכל צעד נעולה על $1.08$ ⁠: כל כפל מאריך ב־ $8\%$ ⁠. שנו את מספר הצעדים כך שאורך הנקודה האחרונה יהיה $2$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 2 ± 0.01
  בתחילת השלב: 1.08
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
30 °קבוע
מתיחה בכל צעד
1.08קבוע
מספר הצעדים
1
בניית נוסחת אוילר
צעדים
נקרא מהסצנה בנקודה
Complex: |zₙ| = rⁿ/nodes/board/outputs/complexLength
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מספר הצעדים
9
משוב לתשובה נכונה
$1.08^9 \approx 2.00$ ⁠: תשעה צעדים מכפילים את האורך. זה זמן ההכפלה מהיחידה על חזקות: האורכים נכפלים כמו סדרה הנדסית.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. האורך אחרי $n$ ⁠ צעדים הוא $1.08^n$ ⁠. מתי זה $2$ ⁠?

פתרון מלא
1. האורכים נכפלים: אחרי $n$ ⁠ צעדים האורך הוא $1.08^n$ ⁠.
2. $1.08^n = 2$ ⁠, ולכן $n = \frac{\log 2}{\log 1.08} \approx 9.0$ ⁠.
3. קבעו את מספר הצעדים על $9$ ⁠.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
הכלל
תרגול · בחרו
השאלה
ל־ $z$ ⁠ יש אורך $3$ ⁠ וזווית $50^\circ$ ⁠, ול־ $w$ ⁠ אורך $2$ ⁠ וזווית $30^\circ$ ⁠. מהו $z \cdot w$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה אורך $6$ ⁠, זווית $80^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
30 °
מתיחה בכל צעד
1.08
מספר הצעדים
4
בניית נוסחת אוילר
0.3 (צעדים → נוסחת אוילר)
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה אורך $6$ ⁠, זווית $80^\circ$ ⁠
- שגויה אורך $5$ ⁠, זווית $80^\circ$ ⁠
  טעות נפוצה: Adds the lengths when multiplying complex numbers, instead of multiplying them.
  משוב מהקטלוג
  בכפל של מספרים מרוכבים האורכים נכפלים והזוויות מתחברות. זה ממשיך את הכפל הרגיל: $2 \cdot 3 = 6$ ⁠, לא $5$ ⁠. הזוויות הן שמתחברות, כי סיבוב אחרי סיבוב הוא סיבוב בסכום הזוויות.
- שגויה אורך $6$ ⁠, זווית $1500^\circ$ ⁠
  טעות נפוצה: Multiplies the angles when multiplying complex numbers, instead of adding them.
  משוב מהקטלוג
  כפל ב־ $w$ ⁠ מסובב בזווית של $w$ ⁠. כשכופלים ב־ $w$ ⁠ ואחר כך ב־ $z$ ⁠, מסובבים פעם אחת ואחר כך פעם נוספת, והזוויות מתחברות. רק חזקה, $w^n$ ⁠, מכפילה את הזווית במספר: $n$ ⁠ סיבובים זהים.
- שגויה אורך $6$ ⁠, זווית $20^\circ$ ⁠
  משוב
  הפרש הזוויות שייך לחילוק: $\frac{z}{w}$ ⁠ באורך $1.5$ ⁠ ובזווית $20^\circ$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
אורך $3 \cdot 2 = 6$ ⁠, וזווית $50^\circ + 30^\circ = 80^\circ$ ⁠. כפל ב־ $w$ ⁠ מותח פי $2$ ⁠ ומסובב ב־ $30^\circ$ ⁠, כמו צעד אחד בלוח.

פתרון מלא
1. בכפל מספרים מרוכבים האורכים נכפלים: $3 \cdot 2 = 6$ ⁠.
2. והזוויות מתחברות: $50^\circ + 30^\circ = 80^\circ$ ⁠.
3. הסיבה: $z = 3(\cos 50^\circ + i \sin 50^\circ)$ ⁠, ובכפל הנוסחאות לסינוס ולקוסינוס של סכום זוויות נותנות $6(\cos 80^\circ + i \sin 80^\circ)$ ⁠.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
ספירלה פנימה
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
מספר הצעדים נעול על $12$ ⁠. שנו את הסיבוב בכל צעד ואת המתיחה בכל צעד כך שהנקודה האחרונה תהיה על הציר הממשי השלילי, בזווית $180^\circ$ ⁠, ובאורך של בערך חצי, בין $0.45$ ⁠ ל־ $0.55$ ⁠. לחצו על בדיקה.

המטרה
- 180 ° ± 0.5 °
  בתחילת השלב: 0 °
- 0.5 ± 0.05
  בתחילת השלב: 1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
30 °
מתיחה בכל צעד
1
מספר הצעדים
12קבוע
בניית נוסחת אוילר
0.5 (צעדים → נוסחת אוילר)
נקרא מהסצנה בנקודה
Complex: the angle of zₙ, the total turn less whole turns, 0 up to 360/nodes/board/outputs/complexArgument
נקרא מהסצנה בנקודה
Complex: |zₙ| = rⁿ/nodes/board/outputs/complexLength
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
סיבוב בכל צעד
15 °
מתיחה בכל צעד
0.94
משוב לתשובה נכונה
האורך $r^{12}$ ⁠ צריך להיות בערך $0.5$ ⁠, ולכן $r \approx 0.5^{1/12} \approx 0.94$ ⁠ או $0.95$ ⁠. הזווית $12\varphi$ ⁠ צריכה להיות $180^\circ$ ⁠ ועוד סיבובים שלמים: $\varphi = 15^\circ$ ⁠, $45^\circ$ ⁠, $75^\circ$ ⁠ וכן הלאה. הנקודות יורדות בספירלה אל $0$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. חשבו כל אחד לחוד: אילו $r$ ⁠ נותן $r^{12} \approx 0.5$ ⁠, ואילו $\varphi$ ⁠ נותן $12\varphi = 180^\circ$ ⁠?

פתרון מלא
1. האורך: $r^{12} = 0.5$ ⁠, ולכן $r = 0.5^{1/12} \approx 0.944$ ⁠. במדרגות של הסרגל, $0.94$ ⁠ נותן $0.48$ ⁠ ו־ $0.95$ ⁠ נותן $0.54$ ⁠.
2. הזווית: $12\varphi = 180^\circ$ ⁠ נותן $\varphi = 15^\circ$ ⁠. גם $12\varphi = 540^\circ$ ⁠, כלומר $\varphi = 45^\circ$ ⁠, עובד.
3. קבעו את המתיחה בכל צעד על $0.94$ ⁠ ואת הסיבוב בכל צעד על $15^\circ$ ⁠.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
נוסחת אוילר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הסיבוב בכל צעד הוא $180^\circ$ ⁠, כלומר $\pi$ ⁠ רדיאנים, ואורכו $1$ ⁠. לפי נוסחת אוילר, $w = e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi$ ⁠. מהו $e^{i\pi}$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $-1$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בכל צעד
180 °קבוע
מתיחה בכל צעד
1קבוע
מספר הצעדים
1קבוע
בניית נוסחת אוילר
צעדים
האפשרויות
- נכונה $-1$ ⁠
- שגויה $1$ ⁠
  משוב
  $1$ ⁠ הוא $e^{i \cdot 0}$ ⁠, או $e^{2\pi i}$ ⁠: סיבוב שלם. $\pi$ ⁠ הוא רק חצי סיבוב.
- שגויה $i$ ⁠
  משוב
  $i$ ⁠ הוא $e^{i\pi/2}$ ⁠, רבע סיבוב.
- שגויה מספר ענק, כי $e^{\pi} \approx 23$ ⁠
  משוב
  $e^{\pi}$ ⁠ אכן בערך $23$ ⁠, אבל $e^{i\pi}$ ⁠ הוא סיבוב, לא גדילה: האורך שלו $1$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
בניית נוסחת אוילר
נוסחת אוילר
ואז הסצנה מראה: -1 · Complex: the real part of w, r·cos φ/nodes/board/outputs/stepRe
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0i = -1$ ⁠. ולכן $e^{i\pi} + 1 = 0$ ⁠: חמשת המספרים $e$ ⁠, $i$ ⁠, $\pi$ ⁠, $1$ ⁠ ו־ $0$ ⁠ בנוסחה אחת.

פתרון מלא
1. נוסחת אוילר: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ⁠, הנקודה על מעגל היחידה בזווית $\theta$ ⁠ רדיאנים.
2. $\theta = \pi$ ⁠ הוא חצי סיבוב: $\cos\pi = -1$ ⁠ ו־ $\sin\pi = 0$ ⁠.
3. $e^{i\pi} = -1$ ⁠.

שיעור 3 מתוך 3 · כ־20 דקות

חיבור סינוסים

כל גל מחזורי הוא סכום של סינוסים: מעגלים שמסתובבים זה על זה, הסינוסים האי־זוגיים של הגל הריבועי וגודלם, הגל המשולש שמתכנס מהר, והבליטה ליד קפיצה שלא נעלמת.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
מעגל אחד
תרגול · חשבו
השאלה
איברים הוא $1$ ⁠: מעגל אחד, והסינוס הראשון של הגל הריבועי, $b_1 \sin t$ ⁠ עם $b_1 = \frac{4}{\pi}$ ⁠. מהו הרדיוס של המעגל, $b_1$ ⁠, בשבר עשרוני?

התשובה הנכונה
1.273 ± 0.005
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
איברים
1קבוע
צורת הגל
גל ריבועיקבוע
הצגת הסינוסים
מעגלים
מתקבלת בטווח
± 0.005
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Fourier: the radius of the first circle, |b₁|/nodes/board/outputs/fourierFirstAmplitude
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1 ± 0.005
  טעות נפוצה: Expects the first sine of a square wave to be exactly as tall as the wave.
  משוב
  $1$ ⁠ הוא הגובה של הגל הריבועי. סינוס אחד שהולך כמה שיותר קרוב לריבוע חייב לעלות מעליו באמצע כדי לפצות על הכתפיים הנמוכות.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{4}{\pi} \approx 1.273$ ⁠: הסינוס הראשון גבוה מהגל הריבועי, שמגיע רק ל־ $1$ ⁠. האיברים הבאים מורידים את הפסגה ומרימים את הכתפיים.

פתרון מלא
1. $b_1 = \frac{4}{\pi}$ ⁠.
2. $\pi \approx 3.1416$ ⁠, ולכן $\frac{4}{3.1416} \approx 1.273$ ⁠.
אם עניתם $1$ ⁠, הנחתם שהסינוס הראשון בגובה הגל. כדי שהשטח שמתחתיו יתאים לשטח של הריבוע, הוא צריך להיות גבוה יותר.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
עוד מעגלים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
יש $4$ ⁠ מעגלים של הגל הריבועי: הם מסתובבים פי $1$ ⁠, $3$ ⁠, $5$ ⁠ ו־ $7$ ⁠ מהר מהראשון. כמה סיבובים יעשה המעגל החמישי בזמן שהראשון מסתובב פעם אחת?

התשובה הנכונה
9 ± 0.1
ניבוי מספרי נחשב נכון בטווח ± 0.1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
איברים
4קבוע
צורת הגל
גל ריבועיקבוע
הצגת הסינוסים
0.3 (מעגלים → הסינוסים שבפנים)
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
איברים
5קבוע
ואז הסצנה מראה: 9 · Fourier: k of the last term, how many times its circle turns while the first turns once/nodes/board/outputs/fourierLastHarmonic
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$9$ ⁠: בגל ריבועי יש רק סינוסים אי־זוגיים, $\sin t$ ⁠, $\sin 3t$ ⁠, $\sin 5t, \dots$ ⁠, והאיבר החמישי הוא $\frac{4}{9\pi}\sin 9t$ ⁠.

פתרון מלא
1. הגל הריבועי משתמש רק בתדירויות אי־זוגיות: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ ⁠
2. האיבר החמישי ברשימה הוא $9$ ⁠.
אם ניבאתם $5$ ⁠, סיפרתם את כל המספרים השלמים. כך בנוי גל שן מסור, לא גל ריבועי.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
הגל המשולש
תרגול · חשבו
השאלה
צורת הגל היא גל משולש, עם $3$ ⁠ איברים. באיבר $k$ ⁠ הגודל הוא $\frac{8}{\pi^2 k^2}$ ⁠, ו־ $k$ ⁠ רק אי־זוגי. מהו הרדיוס של המעגל השלישי?

התשובה הנכונה
0.03242 ± 0.0005
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
איברים
3קבוע
צורת הגל
גל משולשקבוע
הצגת הסינוסים
0.3 (מעגלים → הסינוסים שבפנים)
מתקבלת בטווח
± 0.0005
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Fourier: the radius of the last (smallest) circle, |b| of its term/nodes/board/outputs/fourierLastAmplitude
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.162 ± 0.002
  טעות נפוצה: Uses 1/k for the size of the triangle wave’s terms instead of 1/k².
  משוב מהקטלוג
  בגל ריבועי ובגל שן מסור האיבר $k$ ⁠ קטן כמו $\frac1k$ ⁠, אבל בגל המשולש כמו $\frac{1}{k^2}$ ⁠: הגל חלק יותר, בלי קפיצות, ולכן הסינוסים המהירים נחוצים פחות. האיבר בתדירות $5$ ⁠ הוא $\frac{1}{25}$ ⁠ מהראשון, לא $\frac15$ ⁠.
- 0.0901 ± 0.001
  טעות נפוצה: Expects a square wave to use every whole-number harmonic, 1, 2, 3, …, not only the odd ones.
  משוב
  $\frac{8}{9\pi^2} \approx 0.090$ ⁠ הוא האיבר $k = 3$ ⁠. גם בגל המשולש $k$ ⁠ רק אי־זוגי, ולכן השלישי הוא $k = 5$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
המעגל השלישי הוא $k = 5$ ⁠: $\frac{8}{25\pi^2} \approx 0.0324$ ⁠, פחות מ־ $4\%$ ⁠ מהראשון. בגל המשולש האיברים קטנים מהר, ולכן כבר שלושה איברים נראים כמעט מושלמים.

פתרון מלא
1. ה־ $k$ ⁠ האי־זוגיים הם $1, 3, 5$ ⁠: המעגל השלישי הוא $k = 5$ ⁠.
2. $\frac{8}{\pi^2 \cdot 25} = \frac{8}{246.7} \approx 0.0324$ ⁠.
אם יצא לכם $0.162$ ⁠, חילקתם ב־ $k = 5$ ⁠ במקום ב־ $k^2 = 25$ ⁠.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
ליד הקפיצה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
ליד כל קפיצה של הגל הריבועי הסכום עולה מעל הגל, ב־ $9\%$ ⁠ בערך מגובה הקפיצה, עם $5$ ⁠ איברים. מה יקרה לבליטה הזאת כשתוסיפו איברים, עד $15$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה היא תצטופף אל הקפיצה, אבל תישאר בערך באותו גובה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
איברים
5
צורת הגל
גל ריבועיקבוע
הצגת הסינוסים
הסינוסים שבפניםקבוע
האפשרויות
- נכונה היא תצטופף אל הקפיצה, אבל תישאר בערך באותו גובה
- שגויה היא תקטן עד שתיעלם
  טעות נפוצה: Expects the overshoot beside a jump to vanish as more sines are added.
  משוב מהקטלוג
  הוספת איברים מצרה את הבליטה ליד הקפיצה ומקרבת אותה אליה, אבל לא מנמיכה אותה: היא נשארת בערך $9\%$ ⁠ מגובה הקפיצה, כמה איברים שלא יוסיפו. זו תופעת גיבס. סכום סופי של סינוסים חלקים לא יכול לקפוץ בבת אחת.
- שגויה היא תגדל עם כל איבר
  משוב
  כל איבר נוסף קטן יותר מקודמו, ולכן הבליטה לא יכולה לגדול בלי סוף. היא מתייצבת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
איברים
15
הצגת הסינוסים
הסינוסים שבפניםקבוע
ואז הסצנה מראה: 8.968 · Fourier: how far the peak rises above the top, in per cent of the jump of 2; 0 for the triangle, which has no jump/nodes/board/outputs/fourierOvershoot
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
הבליטה מצטופפת אל הקפיצה, אבל נשארת בערך $9\%$ ⁠: תופעת גיבס. סכום של סינוסים חלקים לא יכול לקפוץ בבת אחת, ולכן הוא תמיד עולה מעל הגל ליד הקפיצה.

פתרון מלא
1. עם $5$ ⁠ איברים הפסגה היא בערך $1.182$ ⁠: $9.1\%$ ⁠ מהקפיצה, שגובהה $2$ ⁠.
2. עם $15$ ⁠ איברים הפסגה בערך $1.179$ ⁠: $9.0\%$ ⁠.
3. הגבול כשמוסיפים איברים בלי סוף הוא $\frac{2}{\pi}\operatorname{Si}(\pi) \approx 1.179$ ⁠, כלומר כ־ $9\%$ ⁠, לא אפס.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
בלי קפיצה
תרגול · בחרו
השאלה
נסו את שלוש האפשרויות של צורת הגל עם $15$ ⁠ איברים, וגררו את הצגת הסינוסים עד הסוף. באיזה גל הסכום לא עולה מעל הגל?

התשובה הנכונה
- נכונה בגל המשולש
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
איברים
15קבוע
צורת הגל
גל ריבועי
הצגת הסינוסים
0.5 (מעגלים → הסינוסים שבפנים)
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה בגל המשולש
- שגויה בגל הריבועי
  טעות נפוצה: Expects the overshoot beside a jump to vanish as more sines are added.
  משוב מהקטלוג
  הוספת איברים מצרה את הבליטה ליד הקפיצה ומקרבת אותה אליה, אבל לא מנמיכה אותה: היא נשארת בערך $9\%$ ⁠ מגובה הקפיצה, כמה איברים שלא יוסיפו. זו תופעת גיבס. סכום סופי של סינוסים חלקים לא יכול לקפוץ בבת אחת.
- שגויה בגל שן המסור
  משוב
  לגל שן המסור יש קפיצה בכל מחזור, מ־ $1$ ⁠ ל־ $-1$ ⁠, ולידה אותה בליטה של כ־ $9\%$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
בגל המשולש: אין בו קפיצות, רק פינות, ולכן אין בליטה. הבליטה של גיבס שייכת לקפיצות, וגלים עם קפיצה, ריבועי ושן מסור, שומרים עליה.

פתרון מלא
1. בגל הריבועי ובגל שן המסור יש קפיצות, ולידן הסכום עולה כ־ $9\%$ ⁠ מעל הגל.
2. בגל המשולש אין קפיצות: הוא רציף, ורק משנה כיוון בפינות.
3. לכן הסכום שלו מתקרב לגל בלי לעלות מעליו, והפסגה נשארת מתחת ל־ $1$ ⁠.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
הנקודה הגבוהה ביותר
תרגול · חשבו
השאלה
צורת הגל: ריבוע, ואיברים $15$ ⁠. הגל קופץ מ־ $-1$ ⁠ ל־ $1$ ⁠, וליד כל קפיצה הסכום עולה מעל הגל בכ־ $9\%$ ⁠ מגודל הקפיצה. מה הערך הגבוה ביותר שהסכום מגיע אליו?

התשובה הנכונה
1.179 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
איברים
15קבוע
צורת הגל
גל ריבועיקבוע
הצגת הסינוסים
הסינוסים שבפנים
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Fourier: the highest value the sum reaches (the wave’s top is 1)/nodes/board/outputs/fourierPeak
משוב לתשובה נכונה
כ־ $1.18$ ⁠: $18\%$ ⁠ מעל הגל, גם ב־ $15$ ⁠ איברים.

רמז
מה גודל הקפיצה, מ־ $-1$ ⁠ עד $1$ ⁠?

פתרון מלא
1. גודל הקפיצה: $1 - (-1) = 2$ ⁠.
2. הבליטה: $0.09 \times 2 = 0.18$ ⁠.
3. הערך הגבוה ביותר: $1 + 0.18 = 1.18$ ⁠.
זו תופעת גיבס: עם עוד איברים הבליטה נעשית צרה יותר ונצמדת לקפיצה, אבל לא נמוכה יותר. אם עניתם $1.09$ ⁠, לקחתם $9\%$ ⁠ מגובה הגל, $1$ ⁠, ולא מהקפיצה כולה.

בכל היחידה · 9 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

כפל ב־i

הריבוע של i

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

החזקות של i

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

אורך וזווית

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

פתרון מלא

שורשים של מינוס 1

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

ריבוע

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

החלק המדומה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

סיבובים, מתיחות ונוסחת אוילר

זוויות מתחברות

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

אורכים נכפלים

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

הכלל

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

ספירלה פנימה

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

נוסחת אוילר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

חיבור סינוסים

מעגל אחד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

פתרון מלא

עוד מעגלים

השאלה