מפתח תשובות · יחידה 6

הפונקציה הריבועית.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 4

שיעור 1 מתוך 4 · כ־15 דקות

הצורה והסימן של a

מתי הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ומתי כלפי מטה, מה קובע אם היא צרה או רחבה, ומה קורה כשהמקדם a עובר דרך אפס.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
הפרבולה הבסיסית
אין שאלת תרגול בשלב הזה.
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1
y = x² / y = ax²
y = ax²ברירת מחדל
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
דרך האפס
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עכשיו $a = 1$ ⁠. נוריד את המקדם a בהדרגה עד $a = -1$ ⁠, ובדרך הוא יעבור דרך אפס. מה יקרה לפרבולה בדרך?

התשובה הנכונה
- נכונה היא תיעשה רחבה יותר ויותר, ב־ $a = 0$ ⁠ תהיה קו ישר, ואחר כך תיפתח כלפי מטה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1קבוע
y = x² / y = ax²
y = ax²ברירת מחדל
האפשרויות
- נכונה היא תיעשה רחבה יותר ויותר, ב־ $a = 0$ ⁠ תהיה קו ישר, ואחר כך תיפתח כלפי מטה
- שגויה היא תתהפך בבת אחת ותישאר באותו רוחב
  טעות נפוצה: Thinks the parabola flips from opening up to opening down in one jump as a passes zero, keeping its width.
  משוב מהקטלוג
  המקדם $a$ ⁠ משתנה ברצף, וכך גם הפרבולה: ככל ש־ $a$ ⁠ מתקרב לאפס היא נעשית רחבה יותר ויותר, ב־ $a = 0$ ⁠ נשאר קו ישר, ורק אחר כך היא נפתחת כלפי מטה.
- שגויה היא תיעשה צרה יותר ויותר, ואז תתהפך
  טעות נפוצה: Thinks a larger |a| makes the parabola wider.
  משוב מהקטלוג
  כש־ $|a|$ ⁠ גדול, $y$ ⁠ גדל מהר יותר לכל צעד של $x$ ⁠, ולכן הענפים מטפסים מהר והפרבולה צרה יותר. למשל ב־ $x = 1$ ⁠: $y = 3$ ⁠ עבור $3x^2$ ⁠, אבל רק $y = 0.5$ ⁠ עבור $0.5x^2$ ⁠.
- שגויה היא תישאר פתוחה כלפי מעלה, רק רחבה יותר
  משוב
  בדקו ערך אחד: ב־ $a = -1$ ⁠ ו־ $x = 1$ ⁠ יוצא $y = -1$ ⁠, מתחת לציר. הענפים כבר יורדים.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
המקדם a
-1קבוע
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
כש־ $a$ ⁠ קטן, $ax^2$ ⁠ גדל לאט והענפים שטוחים. ב־ $a = 0$ ⁠ האיבר $x^2$ ⁠ נעלם ונשאר $y = 0$ ⁠, קו ישר. מעבר לאפס כל $y$ ⁠ מחליף סימן, והפרבולה נפתחת כלפי מטה. הזיזו את המקדם a לאט ותראו את המעבר.

פתרון מלא
עקבו אחרי נקודה אחת, $x = 2$ ⁠, שבה $y = a \cdot 2^2 = 4a$ ⁠:
- ב־ $a = 1$ ⁠: $y = 4$ ⁠.
- ב־ $a = 0.5$ ⁠: $y = 2$ ⁠. הענף נמוך יותר, כלומר הפרבולה רחבה יותר.
- ב־ $a = 0$ ⁠: $y = 0$ ⁠, וכך בכל $x$ ⁠: הגרף הוא הקו הישר $y = 0$ ⁠.
- ב־ $a = -0.5$ ⁠: $y = -2$ ⁠, וב־ $a = -1$ ⁠: $y = -4$ ⁠. הענפים יורדים, והפרבולה פתוחה כלפי מטה.
כל ערך של $y$ ⁠ משתנה ברציפות עם $a$ ⁠, ולכן אין היפוך פתאומי: הפרבולה משתטחת, הופכת לקו ישר ונפתחת לצד השני.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
למעלה או למטה
תרגול · בחרו
השאלה
לאן פתוחה הפרבולה $y = -2x^2 + 5$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה כלפי מטה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1
y = x² / y = ax²
y = ax²ברירת מחדל
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה כלפי מטה
- שגויה כלפי מעלה, כי $5$ ⁠ חיובי
  טעות נפוצה: Thinks the sign of the constant term decides whether the parabola opens up or down.
  משוב מהקטלוג
  המספר החופשי רק מרים או מוריד את הגרף. את הכיוון קובע הסימן של $a$ ⁠, המקדם של $x^2$ ⁠: כש־ $x$ ⁠ גדול, האיבר $ax^2$ ⁠ גובר על כל השאר.
- שגויה אי אפשר לדעת בלי לשרטט
  משוב
  אפשר לדעת מהמקדם של $x^2$ ⁠ לבד: הסימן שלו מכריע כש־ $x$ ⁠ גדול.
משוב לתשובה נכונה
המקדם של $x^2$ ⁠ הוא $a = -2$ ⁠, שלילי, ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה והקודקוד שלה הוא נקודת מקסימום. ה־ $5$ ⁠ רק מרים את הקודקוד ל־ $y = 5$ ⁠.

פתרון מלא
הסתכלו על המקדם של $x^2$ ⁠: כאן $a = -2$ ⁠, שלילי. כש־ $x$ ⁠ מתרחק מאפס, האיבר $-2x^2$ ⁠ גדל בגודלו הרבה יותר מכל מספר קבוע, ולכן הוא קובע את הכיוון. למשל ב־ $x = 10$ ⁠: $y = -2 \cdot 100 + 5 = -195$ ⁠.

הענפים יורדים בשני הצדדים, ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה. ה־ $5$ ⁠ קובע רק את הגובה של הקודקוד $(0, 5)$ ⁠, שהוא נקודת המקסימום.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
צרה או רחבה
תרגול · בחרו
השאלה
איזו פרבולה צרה יותר: $y = 3x^2$ ⁠ או $y = 0.5x^2$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $y = 3x^2$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
0.5
y = x² / y = ax²
y = ax²ברירת מחדל
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $y = 3x^2$ ⁠
- שגויה $y = 0.5x^2$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks a larger |a| makes the parabola wider.
  משוב מהקטלוג
  כש־ $|a|$ ⁠ גדול, $y$ ⁠ גדל מהר יותר לכל צעד של $x$ ⁠, ולכן הענפים מטפסים מהר והפרבולה צרה יותר. למשל ב־ $x = 1$ ⁠: $y = 3$ ⁠ עבור $3x^2$ ⁠, אבל רק $y = 0.5$ ⁠ עבור $0.5x^2$ ⁠.
- שגויה הן באותו רוחב, רק הגובה שונה
  משוב
  שתיהן עוברות דרך $(0, 0)$ ⁠, אבל ב־ $x = 1$ ⁠ אחת כבר ב־ $y = 3$ ⁠ והשנייה רק ב־ $y = 0.5$ ⁠. הענפים לא באותה זווית.
משוב לתשובה נכונה
ב־ $y = 3x^2$ ⁠ כל $y$ ⁠ גדול פי $6$ ⁠ מאשר ב־ $y = 0.5x^2$ ⁠, ולכן הענפים מטפסים מהר יותר והפרבולה צרה יותר. ככל ש־ $|a|$ ⁠ גדול, הפרבולה צרה; ככל שהוא קרוב לאפס, היא רחבה.

פתרון מלא
השוו את שתי הפרבולות באותו $x$ ⁠:
- ב־ $x = 1$ ⁠: $3x^2 = 3$ ⁠, אבל $0.5x^2 = 0.5$ ⁠.
- ב־ $x = 2$ ⁠: $3x^2 = 12$ ⁠, אבל $0.5x^2 = 2$ ⁠.
$y = 3x^2$ ⁠ מטפסת מהר יותר. דרך נוספת לראות את זה: שתיהן מגיעות לגובה $y = 3$ ⁠, אבל $3x^2 = 3$ ⁠ כבר ב־ $x = \pm 1$ ⁠, ו־ $0.5x^2 = 3$ ⁠ רק ב־ $x = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2.45$ ⁠. באותו גובה הראשונה ברוחב $2$ ⁠ והשנייה ברוחב של כמעט $5$ ⁠, ולכן $y = 3x^2$ ⁠ צרה יותר.

שיעור 2 מתוך 4 · כ־20 דקות

הזזת פרבולה

איך מזיזים את y = x² ימינה, שמאלה, למעלה ולמטה, ואיך קוראים את הקודקוד מצורת הקודקוד.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
שלושה צעדים מהפרבולה הבסיסית
אין שאלת תרגול בשלב הזה.
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
2
הזזה אופקית p
3
הזזה אנכית k
-2
y = x² / העקומה כולה
y = x²
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
לאיזה כיוון?
תרגול · בחרו
השאלה
הגרף של $y = (x-3)^2$ ⁠ הוא הגרף של $y = x^2$ ⁠ אחרי הזזה. איזו?

התשובה הנכונה
- נכונה $3$ ⁠ יחידות ימינה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1
הזזה אופקית p
0
הזזה אנכית k
0
y = x² / העקומה כולה
הזזה אנכית
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $3$ ⁠ יחידות ימינה
- שגויה $3$ ⁠ יחידות שמאלה
  טעות נפוצה: Reads the horizontal shift with the wrong sign: (x − 3)² moved left, or the vertex of (x + 1)² at x = 1.
  משוב מהקטלוג
  בתוך הסוגריים הסימן הפוך למה שנראה: $(x-3)^2$ ⁠ מתאפס כש־ $x = 3$ ⁠, ולכן הקודקוד זז ימינה ל־ $x = 3$ ⁠. בדקו: הציבו את ה־ $x$ ⁠ של הקודקוד וודאו שהסוגריים מתאפסים.
- שגויה $3$ ⁠ יחידות למטה
  משוב
  השינוי נמצא בתוך הסוגריים, יחד עם $x$ ⁠, ולכן הוא מזיז לרוחב. הזזה למטה היא מספר שמחסירים מחוץ לסוגריים, כמו $x^2 - 3$ ⁠.
- שגויה $3$ ⁠ יחידות למעלה
  משוב
  השינוי נמצא בתוך הסוגריים, יחד עם $x$ ⁠, ולכן הוא מזיז לרוחב, לא לגובה.
משוב לתשובה נכונה
$(x-3)^2$ ⁠ מתאפס כש־ $x = 3$ ⁠, ולכן הקודקוד עובר מ־ $x = 0$ ⁠ ל־ $x = 3$ ⁠: הזזה ימינה. כל נקודה של $y = x^2$ ⁠ מופיעה עכשיו $3$ ⁠ יחידות מימין למקום שלה.

פתרון מלא
מצאו את הקודקוד: $(x-3)^2$ ⁠ הוא ריבוע, ולכן הוא הכי קטן, אפס, כש־ $x - 3 = 0$ ⁠, כלומר ב־ $x = 3$ ⁠. הקודקוד עבר מ־ $(0, 0)$ ⁠ ל־ $(3, 0)$ ⁠.

אותו דבר קורה לכל נקודה: הערך ש־ $y = x^2$ ⁠ מקבל ב־ $x = 1$ ⁠ מתקבל עכשיו ב־ $x = 4$ ⁠, כי $(4-3)^2 = 1^2$ ⁠. כל הגרף זז $3$ ⁠ יחידות ימינה. מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה, כי צריך $x$ ⁠ גדול יותר כדי להגיע לאותו ערך.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
לפגוע בטבעת
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הזיזו את הפרבולה כך שהקודקוד שלה ייפול על הטבעת בנקודה $(2, -3)$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 2 ± 0.01
  בתחילת השלב: 0
- -3 ± 0.01
  בתחילת השלב: 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1קבוע
הזזה אופקית p
0
הזזה אנכית k
0
y = x² / העקומה כולה
הזזה אנכית
הגדרות נוספות
Target/nodes/graph/props/target = [2,-3]
נקרא מהסצנה בנקודה
X of the vertex; NaN when a = 0/nodes/graph/outputs/vertexX
נקרא מהסצנה בנקודה
Y of the vertex; NaN when a = 0/nodes/graph/outputs/vertexY
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הזזה אופקית p
2
הזזה אנכית k
-3
משוב לתשובה נכונה
הקודקוד ב־ $(2, -3)$ ⁠, והפונקציה היא $y = (x-2)^2 - 3$ ⁠. שימו לב לסימנים: ימינה $2$ ⁠ נכתב $x - 2$ ⁠ בתוך הסוגריים, ולמטה $3$ ⁠ נכתב $-3$ ⁠ בחוץ.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא שם. הסתכלו על הקודקוד הוורוד: הוא צריך לזוז ימינה $2$ ⁠ ולמטה $3$ ⁠ מראשית הצירים.

רמז
הזזה אופקית p מזיזה את הקודקוד לרוחב, והזזה אנכית k לגובה. הקודקוד של $y = (x-p)^2 + k$ ⁠ הוא $(p, k)$ ⁠.

פתרון מלא
בצורת הקודקוד $y = (x-p)^2 + k$ ⁠ הקודקוד הוא $(p, k)$ ⁠. צריך קודקוד ב־ $(2, -3)$ ⁠, ולכן:
1. קבעו הזזה אופקית p ל־ $2$ ⁠: הקודקוד זז $2$ ⁠ יחידות ימינה.
2. קבעו הזזה אנכית k ל־ $-3$ ⁠: הקודקוד יורד $3$ ⁠ יחידות.
הפונקציה היא $y = (x-2)^2 - 3$ ⁠. בדיקה: ב־ $x = 2$ ⁠ הסוגריים מתאפסים ו־ $y = -3$ ⁠.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
לקרוא את הקודקוד
תרגול · בחרו
השאלה
מהו הקודקוד של הפרבולה $y = (x+1)^2 - 4$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $(-1, -4)$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1
הזזה אופקית p
2
הזזה אנכית k
1
y = x² / העקומה כולה
הזזה אנכית
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $(-1, -4)$ ⁠
- שגויה $(1, -4)$ ⁠
  טעות נפוצה: Reads the horizontal shift with the wrong sign: (x − 3)² moved left, or the vertex of (x + 1)² at x = 1.
  משוב מהקטלוג
  בתוך הסוגריים הסימן הפוך למה שנראה: $(x-3)^2$ ⁠ מתאפס כש־ $x = 3$ ⁠, ולכן הקודקוד זז ימינה ל־ $x = 3$ ⁠. בדקו: הציבו את ה־ $x$ ⁠ של הקודקוד וודאו שהסוגריים מתאפסים.
- שגויה $(-4, -1)$ ⁠
  משוב
  הסדר בזוג הוא $(x, y)$ ⁠: קודם ההזזה לרוחב, מתוך הסוגריים, ואחר כך הגובה, מחוץ להם.
- שגויה $(-1, 4)$ ⁠
  משוב
  המספר שמחוץ לסוגריים נכתב כמו שהוא: $-4$ ⁠ מוריד את הקודקוד $4$ ⁠ יחידות.
משוב לתשובה נכונה
$(x+1)^2$ ⁠ מתאפס כש־ $x = -1$ ⁠, ושם $y = -4$ ⁠. בדקו בסצנה: קבעו הזזה אופקית p ל־ $-1$ ⁠ והזזה אנכית k ל־ $-4$ ⁠.

פתרון מלא
כתבו את הפונקציה בצורה $y = (x-p)^2 + k$ ⁠: $(x+1)^2 = (x-(-1))^2$ ⁠, ולכן $p = -1$ ⁠ ו־ $k = -4$ ⁠. הקודקוד הוא $(p, k) = (-1, -4)$ ⁠.

בדיקה: ב־ $x = -1$ ⁠ הסוגריים מתאפסים ו־ $y = 0 - 4 = -4$ ⁠. ריבוע לא יכול להיות שלילי, ולכן זה הערך הקטן ביותר של $y$ ⁠.

שיעור 3 מתוך 4 · כ־20 דקות

שורשים והדיסקרימיננטה

איפה הפרבולה חותכת את ציר x, ואיך מספר אחד, הדיסקרימיננטה, אומר מראש אם יש שניים, אחד או אף שורש.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
איפה הגרף פוגש את הציר
אין שאלת תרגול בשלב הזה.
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1
המקדם b
-2
המקדם c
-3
העקומה / שורשים ו־Δ
שורשים ו־Δ
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
נבאו לפני שמסתכלים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
לפרבולה $y = x^2 - 2x - 3$ ⁠ יש שני שורשים. נעלה את המקדם c מ־ $-3$ ⁠ ל־ $1$ ⁠, כלומר נרים את הגרף $4$ ⁠ יחידות. כמה שורשים יהיו ל־ $y = x^2 - 2x + 1$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה אחד
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1קבוע
המקדם b
-2קבוע
המקדם c
-3קבוע
העקומה / שורשים ו־Δ
שורשים ו־Δ
האפשרויות
- שגויה שניים
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
- נכונה אחד
- שגויה אף אחד
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
המקדם c
1קבוע
ואז הסצנה מראה: 1 · Real roots: 0, 1 or 2 (a line: 1, or 0 when flat)/nodes/graph/outputs/rootCount
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$ ⁠. הקודקוד היה ב־ $(1, -4)$ ⁠, וההרמה ב־ $4$ ⁠ מביאה אותו בדיוק לציר $x$ ⁠: הפרבולה נוגעת בציר בנקודה אחת, $x = 1$ ⁠. זה שורש כפול: $y = (x-1)^2$ ⁠.

רמז
חשבו את $\Delta = b^2 - 4ac$ ⁠ עם $c = 1$ ⁠, או מצאו את הקודקוד: כמה יחידות מתחת לציר הוא עכשיו?

פתרון מלא
אחרי ההרמה הפונקציה היא $y = x^2 - 2x + 1$ ⁠, עם $a = 1$ ⁠, $b = -2$ ⁠ ו־ $c = 1$ ⁠.
1. הדיסקרימיננטה: $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$ ⁠.
2. $\Delta = 0$ ⁠ פירושו שורש אחד (כפול): $x = -\dfrac{b}{2a} = 1$ ⁠.
דרך אחרת: הקודקוד של $y = x^2 - 2x - 3$ ⁠ הוא $(1, -4)$ ⁠, ארבע יחידות מתחת לציר. הרמה ב־ $4$ ⁠ מביאה אותו בדיוק אל הציר, והפרבולה נוגעת בו בנקודה אחת. ואכן $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ ⁠.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
לחשב את הדיסקרימיננטה
תרגול · חשבו
השאלה
חשבו את הדיסקרימיננטה $\Delta$ ⁠ של $y = 2x^2 + 3x - 5$ ⁠.

התשובה הנכונה
49 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
2קבוע
המקדם b
3קבוע
המקדם c
-5קבוע
העקומה / שורשים ו־Δ
העקומהמוסתר
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
B² − 4ac/nodes/graph/outputs/discriminant
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- -31 ± 0.01
  טעות נפוצה: Computes the discriminant as b² + 4ac.
  משוב מהקטלוג
  הדיסקרימיננטה היא $\Delta = b^2 - 4ac$ ⁠, עם מינוס. היא מה שמופיע מתחת לשורש בנוסחת השורשים $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$ ⁠. היא חיובית, ולכן יש שני שורשים: $x = \dfrac{-3 \pm 7}{4}$ ⁠, כלומר $x = 1$ ⁠ ו־ $x = -2.5$ ⁠. בחרו שורשים ו־Δ תחת מבט פנימה ובדקו.

רמז
$a = 2$ ⁠, $b = 3$ ⁠, $c = -5$ ⁠. הציבו ב־ $\Delta = b^2 - 4ac$ ⁠, ושימו לב לסימן של $c$ ⁠.

פתרון מלא
1. זהו את המקדמים: $a = 2$ ⁠, $b = 3$ ⁠ ו־ $c = -5$ ⁠.
2. הציבו: $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)$ ⁠.
3. שימו לב לסימן: $-4 \cdot 2 \cdot (-5) = +40$ ⁠, ולכן $\Delta = 9 + 40 = 49$ ⁠.
אם יצא לכם $-31$ ⁠, כתבתם $b^2 + 4ac$ ⁠ או איבדתם את המינוס של $c$ ⁠. $\Delta = 49$ ⁠ חיובית, ולכן לפרבולה שני שורשים: $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}$ ⁠, כלומר $x = 1$ ⁠ ו־ $x = -2.5$ ⁠.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
כשהדיסקרימיננטה שלילית
תרגול · בחרו
השאלה
לפרבולה $y = x^2 + 4x + 5$ ⁠ יש $\Delta = -4$ ⁠. מה זה אומר על השורשים שלה?

התשובה הנכונה
- נכונה אין לה שורשים: היא לא חותכת את ציר $x$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1
המקדם b
4
המקדם c
5
העקומה / שורשים ו־Δ
שורשים ו־Δ
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה אין לה שורשים: היא לא חותכת את ציר $x$ ⁠
- שגויה שני השורשים שלה שליליים
  טעות נפוצה: Thinks a negative discriminant means the roots are negative numbers.
  משוב מהקטלוג
  הסימן של $\Delta$ ⁠ לא אומר אם השורשים חיוביים או שליליים, אלא כמה יש: אין שורש ממשי למספר שלילי, ולכן כש־ $\Delta < 0$ ⁠ אין לפרבולה שורשים ממשיים. היא לא חותכת את ציר $x$ ⁠.
- שגויה יש לה שורש אחד
  משוב
  שורש אחד (כפול) יש רק כש־ $\Delta = 0$ ⁠ בדיוק, כשהקודקוד יושב על הציר.
משוב לתשובה נכונה
בנוסחת השורשים מופיע $\sqrt{\Delta}$ ⁠, ואין שורש ממשי למספר שלילי. בגרף: הקודקוד $(-2, 1)$ ⁠ נמצא מעל ציר $x$ ⁠ והפרבולה פתוחה כלפי מעלה, כך שהיא אף פעם לא יורדת אל הציר.

פתרון מלא
$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$ ⁠. בנוסחת השורשים $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ⁠ צריך את $\sqrt{-4}$ ⁠, ולמספר שלילי אין שורש ריבועי ממשי, ולכן אין שורשים ממשיים.

השלמה לריבוע מראה את זה ישירות: $x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$ ⁠. ריבוע אף פעם לא שלילי, ולכן $y \ge 1$ ⁠ לכל $x$ ⁠: הפרבולה כולה מעל ציר $x$ ⁠, והקודקוד שלה ב־ $(-2, 1)$ ⁠. דיסקרימיננטה שלילית לא אומרת דבר על הסימן של השורשים; היא אומרת שאין כאלה.

שיעור 4 מתוך 4 · כ־25 דקות

מהצורה הכללית לצורת קודקוד

למצוא את הקודקוד של y = ax² + bx + c, להשלים לריבוע, ולבחור מקדם כך שהפרבולה תיגע בציר בנקודה אחת.

לפתוח את השיעור

3 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 3
לפתוח את השלב
איפה הקודקוד
תרגול · חשבו
השאלה
מהו שיעור ה־ $x$ ⁠ של הקודקוד של $y = 2x^2 - 8x + 3$ ⁠?

התשובה הנכונה
2 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
2קבוע
המקדם b
-8קבוע
המקדם c
3קבוע
y = x² / העקומה כולה
הזזה אנכיתברירת מחדלמוסתר
הגדרות נוספות
Mark vertex/nodes/graph/props/markVertex = false
הגדרות נוספות
Mark axis/nodes/graph/props/markAxis = false
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
X of the vertex; NaN when a = 0/nodes/graph/outputs/vertexX
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- -2 ± 0.01
  טעות נפוצה: Uses x = b/(2a) for the vertex, dropping the minus sign.
  משוב מהקטלוג
  שיעור ה־ $x$ ⁠ של הקודקוד הוא $x = -\dfrac{b}{2a}$ ⁠, עם מינוס. כשמשלימים לריבוע, $x^2 + bx$ ⁠ הופך ל־ $\left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2$ ⁠, שמתאפס ב־ $x = -\tfrac{b}{2}$ ⁠.
- 4 ± 0.01
  טעות נפוצה: Uses x = −b/a for the vertex, forgetting the 2 in the denominator.
  משוב מהקטלוג
  הקודקוד נמצא באמצע בין השורשים, ולכן $x = -\dfrac{b}{2a}$ ⁠: סכום השורשים הוא $-\dfrac{b}{a}$ ⁠, והאמצע הוא חצי ממנו.
משוב לתשובה נכונה
$x = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = \dfrac{8}{4} = 2$ ⁠. ציר הסימטריה הוא $x = 2$ ⁠, והקודקוד הוא $(2, 2 \cdot 4 - 16 + 3) = (2, -5)$ ⁠.

רמז
$x = -\dfrac{b}{2a}$ ⁠, עם $a = 2$ ⁠ ו־ $b = -8$ ⁠.

פתרון מלא
1. זהו את המקדמים: $a = 2$ ⁠ ו־ $b = -8$ ⁠.
2. הציבו בנוסחה: $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = \dfrac{8}{4} = 2$ ⁠.
שתי מלכודות: המינוס שבנוסחה והמינוס של $b$ ⁠ מבטלים זה את זה, ולכן התשובה חיובית ( $-2$ ⁠ שוכח אחד מהם); והמכנה הוא $2a = 4$ ⁠, לא $a$ ⁠ ( $4$ ⁠ שוכח את ה־ $2$ ⁠). בדיקה בהשלמה לריבוע: $2x^2 - 8x + 3 = 2(x-2)^2 - 5$ ⁠, והקודקוד הוא $(2, -5)$ ⁠.
שלב 2 מתוך 3
לפתוח את השלב
השלמה לריבוע
תרגול · בחרו
השאלה
איך נכתבת $y = x^2 + 6x + 5$ ⁠ בצורת קודקוד?

התשובה הנכונה
- נכונה $y = (x+3)^2 - 4$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
2
המקדם b
-8
המקדם c
3
y = x² / העקומה כולה
y = x²
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $y = (x+3)^2 - 4$ ⁠
- שגויה $y = (x-3)^2 - 4$ ⁠
  טעות נפוצה: Uses x = b/(2a) for the vertex, dropping the minus sign.
  משוב מהקטלוג
  שיעור ה־ $x$ ⁠ של הקודקוד הוא $x = -\dfrac{b}{2a}$ ⁠, עם מינוס. כשמשלימים לריבוע, $x^2 + bx$ ⁠ הופך ל־ $\left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2$ ⁠, שמתאפס ב־ $x = -\tfrac{b}{2}$ ⁠.
- שגויה $y = (x+3)^2 + 5$ ⁠
  טעות נפוצה: Completes the square without subtracting the added square, so the constant term is unchanged.
  משוב מהקטלוג
  $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ ⁠, כלומר הסוגריים הוסיפו $9$ ⁠ שלא היה בביטוי המקורי. כדי לא לשנות את הפונקציה צריך להחסיר אותו: $x^2 + 6x + 5 = (x+3)^2 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$ ⁠.
- שגויה $y = (x+6)^2 - 31$ ⁠
  משוב
  בסוגריים נכנס חצי מ־ $b$ ⁠: $(x+6)^2 = x^2 + 12x + 36$ ⁠, ולא $x^2 + 6x$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
חצי מ־ $6$ ⁠ הוא $3$ ⁠: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ ⁠. הסוגריים הוסיפו $9$ ⁠, ולכן מחסירים אותו: $y = (x+3)^2 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$ ⁠. הקודקוד $(-3, -4)$ ⁠.

פתרון מלא
1. קחו חצי מהמקדם של $x$ ⁠: חצי מ־ $6$ ⁠ הוא $3$ ⁠.
2. פתחו את הריבוע: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ ⁠. הוא נותן את $x^2 + 6x$ ⁠, ועוד $9$ ⁠ מיותר.
3. החסירו את מה שנוסף: $x^2 + 6x + 5 = (x+3)^2 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$ ⁠.
בדיקה: $(x+3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$ ⁠. הקודקוד הוא $(-3, -4)$ ⁠, ואפשר לאשר אותו גם עם $x = -\dfrac{b}{2a} = -3$ ⁠.
שלב 3 מתוך 3
לפתוח את השלב
לגעת בציר פעם אחת
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הפרבולה $y = x^2 + bx + 4$ ⁠ לא נוגעת עכשיו בציר $x$ ⁠. בחרו ערך למקדם b כך שהיא תיגע בציר בנקודה אחת בדיוק, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0 ± 0.001
  בתחילת השלב: -16
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
המקדם a
1קבוע
המקדם b
0
המקדם c
4קבוע
y = x² / העקומה כולה
הזזה אנכית
הגדרות נוספות
Mark roots/nodes/graph/props/markRoots = true
נקרא מהסצנה בנקודה
B² − 4ac/nodes/graph/outputs/discriminant
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
המקדם b
-4
משוב לתשובה נכונה
$b^2 = 16$ ⁠, ולכן $b = 4$ ⁠ או $b = -4$ ⁠: שתי תשובות נכונות. ב־ $b = 4$ ⁠ זו $y = (x+2)^2$ ⁠ והקודקוד ב־ $(-2, 0)$ ⁠; ב־ $b = -4$ ⁠ זו $y = (x-2)^2$ ⁠ והקודקוד ב־ $(2, 0)$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הסתכלו על הקודקוד: הוא צריך לשבת בדיוק על ציר $x$ ⁠, לא מעליו ולא מתחתיו.

רמז
נגיעה בנקודה אחת פירושה $\Delta = 0$ ⁠. כאן $\Delta = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$ ⁠.

פתרון מלא
נגיעה בציר $x$ ⁠ בנקודה אחת פירושה שורש אחד בדיוק, כלומר $\Delta = 0$ ⁠.
1. כאן $a = 1$ ⁠ ו־ $c = 4$ ⁠, ולכן $\Delta = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$ ⁠.
2. $b^2 - 16 = 0$ ⁠ נותן $b^2 = 16$ ⁠, כלומר $b = 4$ ⁠ או $b = -4$ ⁠.
שתי התשובות נכונות: עם $b = 4$ ⁠ הפונקציה היא $(x+2)^2$ ⁠, והיא נוגעת בציר ב־ $x = -2$ ⁠; עם $b = -4$ ⁠ היא $(x-2)^2$ ⁠, ונוגעת ב־ $x = 2$ ⁠. קבעו את המקדם b לאחד מהערכים האלה.

בכל היחידה · 9 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

הצורה והסימן של a

הפרבולה הבסיסית

דרך האפס

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

למעלה או למטה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

צרה או רחבה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

הזזת פרבולה

שלושה צעדים מהפרבולה הבסיסית

לאיזה כיוון?

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

לפגוע בטבעת

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

לקרוא את הקודקוד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

שורשים והדיסקרימיננטה

איפה הגרף פוגש את הציר

נבאו לפני שמסתכלים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

לחשב את הדיסקרימיננטה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

כשהדיסקרימיננטה שלילית

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

מהצורה הכללית לצורת קודקוד

איפה הקודקוד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

השלמה לריבוע

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

לגעת בציר פעם אחת