מפתח תשובות · יחידה 13

סדרות וטורים.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 4

שיעור 1 מתוך 4 · כ־20 דקות

סדרה חשבונית

סדרה שמוסיפה אותו מספר בכל צעד: האיבר הכללי, איך מוצאים את ההפרש, איך גאוס חיבר את המספרים מ־1 עד 100 בזוגות, ולמה סכום המספרים האי־זוגיים הוא תמיד ריבוע.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
מוסיפים את ההפרש
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠ ו־ $d = 2$ ⁠. מהם חמשת האיברים הראשונים של הסדרה?

התשובה הנכונה
- נכונה $1, 3, 5, 7, 9$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
2קבוע
המנה q
0.5ברירת מחדלמוסתר
מספר האיברים n
1
חיבור האיברים
איבריםקבוע
האפשרויות
- נכונה $1, 3, 5, 7, 9$ ⁠
- שגויה $2, 4, 6, 8, 10$ ⁠
  משוב
  זו הסדרה שמתחילה ב־ $2$ ⁠. כאן האיבר הראשון הוא $a_1 = 1$ ⁠, ומוסיפים $2$ ⁠ רק מהאיבר השני.
- שגויה $1, 2, 4, 8, 16$ ⁠
  משוב
  כאן כפלתם ב־ $2$ ⁠. בסדרה חשבונית מוסיפים את ההפרש $d$ ⁠ בכל צעד.
- שגויה $1, 2, 3, 4, 5$ ⁠
  משוב
  זו הסדרה עם $d = 1$ ⁠. כאן כל צעד מוסיף $2$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מספר האיברים n
5
ואז הסצנה מראה: 9 · The last arithmetic term shown, aₙ = a₁ + (n − 1)d/nodes/stairs/outputs/arithmeticLast
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$1, 3, 5, 7, 9$ ⁠: מתחילים ב־ $1$ ⁠ ומוסיפים $2$ ⁠ בכל צעד. אלה המספרים האי־זוגיים, והעמודות עולות בקו ישר.

פתרון מלא
1. האיבר הראשון נתון: $a_1 = 1$ ⁠.
2. כל איבר גדול מקודמו ב־ $d = 2$ ⁠: $a_2 = 3$ ⁠, $a_3 = 5$ ⁠, $a_4 = 7$ ⁠, $a_5 = 9$ ⁠.
אם בחרתם $1, 2, 4, 8, 16$ ⁠, כפלתם במקום לחבר: זו סדרה הנדסית.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
האיבר הכללי
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠ ו־ $n = 8$ ⁠ נעולים. שנו את ההפרש d כך שהאיבר השמיני יהיה $a_8 = 22$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 22 ± 0.01
  בתחילת השלב: 8
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1
המנה q
0.5ברירת מחדלמוסתר
מספר האיברים n
8קבוע
חיבור האיברים
איבריםקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
The last arithmetic term shown, aₙ = a₁ + (n − 1)d/nodes/stairs/outputs/arithmeticLast
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
ההפרש d
3
משוב לתשובה נכונה
$a_8 = 1 + 7d = 22$ ⁠, ולכן $7d = 21$ ⁠ ו־ $d = 3$ ⁠. מהאיבר הראשון לשמיני יש שבעה צעדים, לא שמונה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כמה צעדים יש מ־ $a_1$ ⁠ ל־ $a_8$ ⁠, וכמה צריך לעלות בכל אחד?

רמז
$a_8 = a_1 + 7d$ ⁠.

פתרון מלא
1. האיבר הכללי: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ ⁠.
2. מציבים $n = 8$ ⁠: $a_8 = 1 + 7d$ ⁠.
3. $1 + 7d = 22$ ⁠, כלומר $7d = 21$ ⁠ ו־ $d = 3$ ⁠.
4. קבעו את ההפרש d על $3$ ⁠.
אם ניסיתם $d = \frac{21}{8}$ ⁠, ספרתם שמונה צעדים: האיבר הראשון הוא אפס צעדים.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
איברים רחוקים
תרגול · חשבו
השאלה
בסדרת המספרים האי־זוגיים, $a_1 = 1$ ⁠ ו־ $d = 2$ ⁠. הלוח מראה רק עשרה איברים. מהו האיבר ה־ $100$ ⁠?

התשובה הנכונה
199 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
2קבוע
המנה q
0.5ברירת מחדלמוסתר
מספר האיברים n
10
חיבור האיברים
איברים
מתקבלת בטווח
± 0
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 201 ± 0
  טעות נפוצה: Counts n steps to the nth term instead of n − 1, so the general term comes out one step too far.
  משוב מהקטלוג
  מהאיבר הראשון לאיבר ה־ $n$ ⁠ יש רק $n - 1$ ⁠ צעדים: האיבר הראשון עצמו הוא אפס צעדים. לכן $a_n = a_1 + (n - 1)d$ ⁠ בסדרה חשבונית ו־ $a_n = a_1 q^{n-1}$ ⁠ בסדרה הנדסית. בדקו על $n = 1$ ⁠: הנוסחה צריכה לתת את $a_1$ ⁠.
- 200 ± 0
  טעות נפוצה: Counts n steps to the nth term instead of n − 1, so the general term comes out one step too far.
  משוב
  $100 \cdot 2 = 200$ ⁠ מניח שהסדרה מתחילה מ־ $0$ ⁠. היא מתחילה ב־ $a_1 = 1$ ⁠, ומוסיפים לה $99$ ⁠ פעמים $2$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$a_{100} = 1 + 99 \cdot 2 = 199$ ⁠. בלי הנוסחה הייתם צריכים לחבר $2$ ⁠ תשעים ותשע פעמים.

רמז
כמה צעדים של $2$ ⁠ יש מ־ $a_1$ ⁠ ל־ $a_{100}$ ⁠?

פתרון מלא
1. $a_n = a_1 + (n - 1)d$ ⁠.
2. $a_{100} = 1 + (100 - 1) \cdot 2 = 1 + 198 = 199$ ⁠.
אם יצא לכם $201$ ⁠, הוספתם $d$ ⁠ מאה פעמים: מהאיבר הראשון למאה יש רק $99$ ⁠ צעדים. אם יצא $200$ ⁠, שכחתם שהסדרה מתחילה ב־ $1$ ⁠.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
חיבור בזוגות
תרגול · חשבו
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠, $d = 1$ ⁠ ו־ $n = 10$ ⁠: הלוח מראה את $1, 2, \dots, 10$ ⁠. חברו אותם בשיטת הזוגות: כמה זה $S_{10}$ ⁠? ענו, ואז העבירו את חיבור האיברים לסכומים המצטברים.

התשובה הנכונה
55 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1קבוע
המנה q
0.5ברירת מחדלמוסתר
מספר האיברים n
10קבוע
חיבור האיברים
איברים
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The arithmetic running total Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2/nodes/stairs/outputs/arithmeticSum
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 110 ± 0
  טעות נפוצה: In Gauss’s pairing, forgets to halve: counts every pair twice.
  משוב מהקטלוג
  כשמחברים את הסדרה לעצמה בסדר הפוך, כל זוג נותן $a_1 + a_n$ ⁠ ויש $n$ ⁠ זוגות, אבל כל איבר נספר פעמיים: פעם בשורה הישרה ופעם בהפוכה. לכן הסכום הוא חצי: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ⁠.
- 50 ± 0
  טעות נפוצה: In Gauss’s pairing, forgets to halve: counts every pair twice.
  משוב
  $\frac{10 \cdot 10}{2} = 50$ ⁠ זוגות את האיבר האחרון עם כלום. כל זוג הוא האיבר הראשון ועוד האחרון: $1 + 10 = 11$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$S_{10} = \frac{10(1 + 10)}{2} = 55$ ⁠. חמישה זוגות, $1 + 10$ ⁠, $2 + 9$ ⁠ וכן הלאה, כל אחד $11$ ⁠.

רמז
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ⁠.

פתרון מלא
1. כתבו את הסדרה פעם קדימה ופעם אחורה, זו מתחת לזו: כל עמודה מסתכמת ב־ $1 + 10 = 11$ ⁠.
2. יש $10$ ⁠ עמודות, ולכן שתי השורות יחד הן $10 \cdot 11 = 110$ ⁠.
3. כל איבר נספר פעמיים, ולכן $S_{10} = \frac{110}{2} = 55$ ⁠.
אם יצא לכם $110$ ⁠, שכחתם לחלק ב־ $2$ ⁠.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
מספרים אי־זוגיים וריבועים
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הסדרה היא המספרים האי־זוגיים, $a_1 = 1$ ⁠ ו־ $d = 2$ ⁠, והלוח מראה את הסכומים המצטברים. שנו את מספר האיברים n כך שהסכום יהיה $S_n = 49$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 49 ± 0.01
  בתחילת השלב: 9
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
2קבוע
המנה q
0.5ברירת מחדלמוסתר
מספר האיברים n
3
חיבור האיברים
סכומים מצטבריםקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
The arithmetic running total Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2/nodes/stairs/outputs/arithmeticSum
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מספר האיברים n
7
משוב לתשובה נכונה
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7^2$ ⁠. סכום $n$ ⁠ המספרים האי־זוגיים הראשונים הוא תמיד $n^2$ ⁠: $a_n = 2n - 1$ ⁠, ולכן $S_n = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = n^2$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הסתכלו על הסכומים שכבר יצאו: $1, 4, 9, 16, \dots$ ⁠ מה הם?

פתרון מלא
1. $a_n = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 2n - 1$ ⁠.
2. $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n \cdot 2n}{2} = n^2$ ⁠.
3. $n^2 = 49$ ⁠, ולכן $n = 7$ ⁠.
4. קבעו את מספר האיברים n על $7$ ⁠.

שיעור 2 מתוך 4 · כ־20 דקות

סדרה הנדסית

סדרה שכופלת באותו מספר בכל צעד: האיבר הכללי, איך מוצאים את המנה, הסכום של n האיברים הראשונים, ולמה בסוף היא עוקפת כל סדרה חשבונית.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
כופלים במנה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠ ו־ $q = 2$ ⁠. מהם ששת האיברים הראשונים?

התשובה הנכונה
- נכונה $1, 2, 4, 8, 16, 32$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
2קבוע
מספר האיברים n
1
חיבור האיברים
איבריםקבוע
האפשרויות
- נכונה $1, 2, 4, 8, 16, 32$ ⁠
- שגויה $1, 3, 5, 7, 9, 11$ ⁠
  טעות נפוצה: Treats a geometric sequence as adding the ratio q each step, instead of multiplying by it.
  משוב מהקטלוג
  בסדרה הנדסית כופלים בכל צעד במנה $q$ ⁠, לא מוסיפים אותה. עם $q = 2$ ⁠ הסדרה היא $1, 2, 4, 8, \dots$ ⁠: כל איבר כפול מקודמו. הוספה של מספר קבוע היא סדרה חשבונית, והיא גדלה בקו ישר, לא בעקומה.
- שגויה $2, 4, 8, 16, 32, 64$ ⁠
  טעות נפוצה: Counts n steps to the nth term instead of n − 1, so the general term comes out one step too far.
  משוב מהקטלוג
  מהאיבר הראשון לאיבר ה־ $n$ ⁠ יש רק $n - 1$ ⁠ צעדים: האיבר הראשון עצמו הוא אפס צעדים. לכן $a_n = a_1 + (n - 1)d$ ⁠ בסדרה חשבונית ו־ $a_n = a_1 q^{n-1}$ ⁠ בסדרה הנדסית. בדקו על $n = 1$ ⁠: הנוסחה צריכה לתת את $a_1$ ⁠.
- שגויה $2, 4, 6, 8, 10, 12$ ⁠
  משוב
  אלה כפולות של $2$ ⁠, שגדלות בהוספה. כאן כל איבר הוא פי $2$ ⁠ מקודמו.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מספר האיברים n
6
ואז הסצנה מראה: 32 · The last geometric term shown, aₙ = a₁qⁿ⁻¹/nodes/stairs/outputs/geometricLast
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$1, 2, 4, 8, 16, 32$ ⁠: כל איבר כפול מקודמו, $a_n = 2^{n-1}$ ⁠. ההפרשים בין האיברים גדלים בעצמם, ולכן הקו דרך ראשי העמודות מתעקל.

פתרון מלא
1. $a_1 = 1$ ⁠.
2. כופלים ב־ $q = 2$ ⁠ בכל צעד: $2$ ⁠, $4$ ⁠, $8$ ⁠, $16$ ⁠, $32$ ⁠.
3. בנוסחה: $a_n = a_1 q^{n-1}$ ⁠, ולכן $a_6 = 2^5 = 32$ ⁠.
אם בחרתם $1, 3, 5, \dots$ ⁠, הוספתם $2$ ⁠ במקום לכפול.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
האיבר הכללי והמנה
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
כאן האיבר הראשון הוא $a_1 = 4$ ⁠, ו־ $n = 3$ ⁠ נעול. שנו את המנה q כך שהאיבר השלישי יהיה $a_3 = 9$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 9 ± 0.01
  בתחילת השלב: 4
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
1
מספר האיברים n
3קבוע
חיבור האיברים
איבריםקבוע
הגדרות נוספות
First/nodes/stairs/props/first = 4
נקרא מהסצנה בנקודה
The last geometric term shown, aₙ = a₁qⁿ⁻¹/nodes/stairs/outputs/geometricLast
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
המנה q
1.5
משוב לתשובה נכונה
$a_3 = 4q^2 = 9$ ⁠, ולכן $q^2 = \frac94$ ⁠ ו־ $q = 1.5$ ⁠. הסדרה היא $4, 6, 9$ ⁠: כל איבר גדול מקודמו ב־ $50\%$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. מ־ $a_1$ ⁠ ל־ $a_3$ ⁠ כופלים פעמיים ב־ $q$ ⁠.

פתרון מלא
1. $a_n = a_1 q^{n-1}$ ⁠, ולכן $a_3 = 4q^2$ ⁠.
2. $4q^2 = 9$ ⁠, כלומר $q^2 = 2.25$ ⁠.
3. $q = \sqrt{2.25} = 1.5$ ⁠.
4. קבעו את המנה q על $1.5$ ⁠.
אם ניסיתם $q = \frac94 = 2.25$ ⁠, כפלתם רק פעם אחת: מ־ $a_1$ ⁠ ל־ $a_3$ ⁠ יש שני צעדים.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
סכום של חזקות של 2
תרגול · חשבו
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠, $q = 2$ ⁠ ו־ $n = 10$ ⁠. כמה זה $1 + 2 + 4 + \dots + 512$ ⁠? ענו, ואז העבירו את חיבור האיברים לסכומים המצטברים.

התשובה הנכונה
1023 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
2קבוע
מספר האיברים n
10קבוע
חיבור האיברים
איברים
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The geometric running total Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)/nodes/stairs/outputs/geometricSum
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1024 ± 0
  טעות נפוצה: Thinks 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ equals 2ⁿ, the next term, rather than 2ⁿ − 1.
  משוב מהקטלוג
  $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$ ⁠ קטן ב־ $1$ ⁠ מהאיבר הבא, $2^n$ ⁠: $1 + 2 = 3$ ⁠, $1 + 2 + 4 = 7$ ⁠, $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ ⁠. הנוסחה $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ⁠ נותנת עם $q = 2$ ⁠ בדיוק $2^n - 1$ ⁠.
- 2047 ± 0
  טעות נפוצה: Counts n steps to the nth term instead of n − 1, so the general term comes out one step too far.
  משוב
  $2^{11} - 1 = 2047$ ⁠ הוא סכום של אחד־עשר איברים. האיבר העשירי הוא $2^9 = 512$ ⁠, ולכן הסכום הוא $2^{10} - 1$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$S_{10} = \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023$ ⁠: אחד פחות מהאיבר הבא, $1024$ ⁠.

רמז
$1 + 2 = 3$ ⁠, $1 + 2 + 4 = 7$ ⁠, $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ ⁠. מה הכלל?

פתרון מלא
1. $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ⁠.
2. $S_{10} = \frac{1 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2^{10} - 1$ ⁠.
3. $2^{10} = 1024$ ⁠, ולכן $S_{10} = 1023$ ⁠.
אם יצא לכם $1024$ ⁠, זה האיבר הבא, $a_{11}$ ⁠. אם יצא $512$ ⁠, זה רק האיבר האחרון.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
סכום של חצאים
תרגול · חשבו
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠, $q = 0.5$ ⁠ ו־ $n = 6$ ⁠: $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{32}$ ⁠. מהו $S_6$ ⁠? ענו, ואז העבירו את חיבור האיברים לסכומים המצטברים.

התשובה הנכונה
1.969 ± 0.001
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
0.5קבוע
מספר האיברים n
6קבוע
חיבור האיברים
איברים
מתקבלת בטווח
± 0.001
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The geometric running total Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)/nodes/stairs/outputs/geometricSum
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2 ± 0.0005
  טעות נפוצה: Thinks an endless sum is a little less than its limit (0.999… < 1), because no running total reaches it.
  משוב
  $2$ ⁠ הוא הסכום האינסופי, שאליו הסכומים המצטברים מתקרבים. ששה איברים עדיין לא מגיעים אליו: חסר $\frac{1}{32}$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$S_6 = \frac{1 - 0.5^6}{1 - 0.5} = 2\left(1 - \frac{1}{64}\right) = 1.96875$ ⁠. הסכום קרוב ל־ $2$ ⁠, אבל חסר לו בדיוק האיבר האחרון, $\frac{1}{32}$ ⁠.

פתרון מלא
1. כש־ $q < 1$ ⁠ נוח לכתוב $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ ⁠.
2. $0.5^6 = \frac{1}{64}$ ⁠.
3. $S_6 = \frac{1 - \frac{1}{64}}{0.5} = 2 \cdot \frac{63}{64} = 1.96875$ ⁠.
אם עניתם $2$ ⁠, זה הסכום של כל האיברים, עד אינסוף, לא של ששת הראשונים.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
מי מנצחת
תרגול · בחרו
השאלה
בשמאל $a_1 = 1$ ⁠ ו־ $d = 3$ ⁠; בימין $a_1 = 1$ ⁠ ו־ $q = 1.5$ ⁠. ב־ $n = 4$ ⁠ הסדרה החשבונית מקדימה: $a_4 = 10$ ⁠ לעומת $3.375$ ⁠. מי תהיה גדולה יותר באיבר העשירי?

התשובה הנכונה
- נכונה ההנדסית
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
3קבוע
המנה q
1.5קבוע
מספר האיברים n
4
חיבור האיברים
איבריםקבוע
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה ההנדסית
- שגויה החשבונית
  טעות נפוצה: Expects a sequence that starts ahead by adding to stay ahead of one that multiplies by more than 1.
  משוב מהקטלוג
  סדרה חשבונית מוסיפה בכל צעד אותה כמות, וסדרה הנדסית עם $q > 1$ ⁠ מוסיפה בכל צעד יותר מבצעד הקודם, כי התוספת היא חלק קבוע ממה שכבר יש. לכן בסוף היא עוקפת כל סדרה חשבונית, גם אם בהתחלה היא מאחור.
- שגויה הן ישתוו
  משוב
  הן אכן נפגשות בין $n = 8$ ⁠ ל־ $n = 9$ ⁠, אבל רק עוברות זו את זו: אחר כך ההנדסית ממשיכה להתרחק.
משוב לתשובה נכונה
$a_{10}$ ⁠ החשבוני הוא $1 + 9 \cdot 3 = 28$ ⁠, וההנדסי הוא $1.5^9 \approx 38.4$ ⁠. החשבונית מוסיפה תמיד $3$ ⁠; ההנדסית מוסיפה חצי ממה שיש לה, ותוספת כזאת רק גדלה.

פתרון מלא
1. חשבונית: $a_{10} = 1 + 9 \cdot 3 = 28$ ⁠.
2. הנדסית: $a_{10} = 1.5^9$ ⁠. $1.5^2 = 2.25$ ⁠, $1.5^4 \approx 5.06$ ⁠, $1.5^8 \approx 25.6$ ⁠, ו־ $1.5^9 \approx 38.4$ ⁠.
3. $38.4 > 28$ ⁠: ההנדסית גדולה יותר.
4. הזיזו את מספר האיברים n ותראו איפה היא עוקפת.

שיעור 3 מתוך 4 · כ־25 דקות

טורים אינסופיים

מה קורה כשמחברים איברים עד אינסוף: למה חצי ועוד רבע ועוד שמינית מסתכמים בדיוק ב־2, הנוסחה לסכום של טור הנדסי מתכנס, מתי אין סכום סופי, ולמה 0.999… שווה ל־1.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
חצאים עד אינסוף
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠ ו־ $q = 0.5$ ⁠. הלוח מראה את הסכומים המצטברים של עשרה איברים. אם ממשיכים לחבר עד אינסוף, $1 + \frac12 + \frac14 + \dots$ ⁠, מה יהיה הסכום?

התשובה הנכונה
- נכונה בדיוק $2$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
0.5קבוע
מספר האיברים n
10
חיבור האיברים
סכומים מצטבריםקבוע
האפשרויות
- נכונה בדיוק $2$ ⁠
- שגויה אין סכום סופי: הוא גדל בלי גבול
  טעות נפוצה: Thinks adding infinitely many positive terms must give an infinite total.
  משוב מהקטלוג
  אינסוף איברים חיוביים יכולים להסתכם במספר סופי, אם הם קטנים מספיק מהר. ב־ $1 + \frac12 + \frac14 + \dots$ ⁠ כל איבר ממלא חצי מהפער שנשאר עד $2$ ⁠, ולכן הסכומים המצטברים לעולם לא עוברים את $2$ ⁠ ומתקרבים אליו כמה שרוצים. הסכום האינסופי הוא בדיוק $2$ ⁠.
- שגויה קצת פחות מ־ $2$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks an endless sum is a little less than its limit (0.999… < 1), because no running total reaches it.
  משוב מהקטלוג
  נכון שאף סכום מצטבר אינו מגיע לגבול. אבל הסכום האינסופי מוגדר כמספר שהסכומים המצטברים מתקרבים אליו, ולכן הוא שווה לגבול בדיוק. כך $0.999\ldots = 1$ ⁠: אין מספר בין שניהם.
- שגויה $1$ ⁠
  משוב
  $1$ ⁠ הוא רק האיבר הראשון. כבר שני איברים נותנים $1.5$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
חיבור האיברים
עד אינסוףקבוע
ואז הסצנה מראה: 2 · The sum of all the geometric terms, a₁/(1 − q), NaN when q ≥ 1/nodes/stairs/outputs/geometricLimit
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
בדיוק $2$ ⁠. כל איבר ממלא חצי מהפער שנשאר עד $2$ ⁠, ולכן הסכומים המצטברים מתקרבים ל־ $2$ ⁠ כמה שרוצים ולעולם לא עוברים אותו. תיבת הזכוכית מתמלאת בדיוק.

פתרון מלא
1. אחרי $n$ ⁠ איברים, $S_n = 2\left(1 - 0.5^n\right)$ ⁠: הפער עד $2$ ⁠ הוא $2 \cdot 0.5^n$ ⁠.
2. כש־ $n$ ⁠ גדל, $0.5^n$ ⁠ קטן לאפס, ולכן $S_n$ ⁠ מתקרב ל־ $2$ ⁠.
3. הסכום האינסופי הוא המספר שאליו הסכומים מתקרבים: $S_\infty = \frac{1}{1 - 0.5} = 2$ ⁠.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
הנוסחה לסכום האינסופי
תרגול · חשבו
השאלה
כאן האיבר הראשון הוא $a_1 = 3$ ⁠ ו־ $q = 0.75$ ⁠: $3 + 2.25 + 1.6875 + \dots$ ⁠. מהו הסכום האינסופי? ענו, ואז העבירו את חיבור האיברים עד אינסוף.

התשובה הנכונה
12 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
0.75קבוע
מספר האיברים n
10
חיבור האיברים
סכומים מצטברים
הגדרות נוספות
First/nodes/stairs/props/first = 3
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The sum of all the geometric terms, a₁/(1 − q), NaN when q ≥ 1/nodes/stairs/outputs/geometricLimit
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 4 ± 0.01
  טעות נפוצה: Uses 1/(1 − q) for an endless geometric sum and forgets to multiply by the first term a₁.
  משוב מהקטלוג
  הנוסחה היא $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$ ⁠. $\frac{1}{1 - q}$ ⁠ נכון רק כשהאיבר הראשון הוא $1$ ⁠. כשכל האיברים גדלים פי $3$ ⁠, גם הסכום גדל פי $3$ ⁠.
- 9 ± 0.01
  טעות נפוצה: Uses 1/(1 − q) for an endless geometric sum and forgets to multiply by the first term a₁.
  משוב
  $9 = \frac{2.25}{0.25}$ ⁠ הוא הסכום שמתחיל מהאיבר השני. הסכום כולל גם את $a_1 = 3$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$S_\infty = \frac{3}{1 - 0.75} = \frac{3}{0.25} = 12$ ⁠.

פתרון מלא
1. $|q| < 1$ ⁠, ולכן לסכום יש ערך סופי: $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$ ⁠.
2. $1 - q = 0.25$ ⁠.
3. $S_\infty = \frac{3}{0.25} = 12$ ⁠.
אם יצא לכם $4$ ⁠, שכחתם לכפול ב־ $a_1 = 3$ ⁠.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
קרוב ל־1
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
$a_1 = 1$ ⁠. שנו את המנה q כך שהסכום האינסופי יהיה $10$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 10 ± 0.01
  בתחילת השלב: 2
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
0.5
מספר האיברים n
10
חיבור האיברים
עד אינסוף
נקרא מהסצנה בנקודה
The sum of all the geometric terms, a₁/(1 − q), NaN when q ≥ 1/nodes/stairs/outputs/geometricLimit
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
המנה q
0.9
מספר האיברים n
1
משוב לתשובה נכונה
$\frac{1}{1 - q} = 10$ ⁠, ולכן $1 - q = 0.1$ ⁠ ו־ $q = 0.9$ ⁠. ככל ש־ $q$ ⁠ קרוב יותר ל־ $1$ ⁠, הסכום גדול יותר: ב־ $q = 0.99$ ⁠ הוא כבר $100$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אילו $q$ ⁠ נותן $1 - q = \frac{1}{10}$ ⁠?

פתרון מלא
1. $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - q}$ ⁠.
2. $\frac{1}{1 - q} = 10$ ⁠, כלומר $1 - q = 0.1$ ⁠.
3. $q = 0.9$ ⁠. קבעו את המנה q על $0.9$ ⁠.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
כשאין סכום סופי
תרגול · בחרו
השאלה
לאילו מהסכומים האינסופיים האלה יש ערך סופי? סמנו את כולם.

התשובה הנכונה
- נכונה $1 + 0.5 + 0.25 + \dots$ ⁠, עם $q = 0.5$ ⁠
- נכונה $1 + 0.9 + 0.81 + \dots$ ⁠, עם $q = 0.9$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
0.5
המנה q
1
מספר האיברים n
10
חיבור האיברים
עד אינסוף
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי. יותר מאפשרות נכונה אחת: צריך לסמן את כולן.
- נכונה $1 + 0.5 + 0.25 + \dots$ ⁠, עם $q = 0.5$ ⁠
- נכונה $1 + 0.9 + 0.81 + \dots$ ⁠, עם $q = 0.9$ ⁠
- שגויה $1 + 1 + 1 + \dots$ ⁠, עם $q = 1$ ⁠
  משוב
  כש־ $q = 1$ ⁠ כל האיברים שווים ל־ $1$ ⁠, ו־ $n$ ⁠ איברים נותנים $n$ ⁠: הסכום גדל בלי גבול.
- שגויה $1 + 1.1 + 1.21 + \dots$ ⁠, עם $q = 1.1$ ⁠
  משוב
  כש־ $q > 1$ ⁠ האיברים גדלים, והסכום ודאי גדל בלי גבול.
- שגויה $1 + 1.5 + 2 + \dots$ ⁠, חשבונית עם $d = 0.5$ ⁠
  משוב
  לסכום אינסופי של סדרה חשבונית אין ערך סופי, חוץ מהסדרה שכל איבריה $0$ ⁠: האיברים לא קטנים.
משוב לתשובה נכונה
רק $q = 0.5$ ⁠ ו־ $q = 0.9$ ⁠: לטור הנדסי יש סכום סופי בדיוק כש־ $-1 < q < 1$ ⁠. בשאר האיברים לא קטנים, והסכום גדל בלי גבול.

פתרון מלא
1. לטור הנדסי יש סכום סופי כש־ $|q| < 1$ ⁠, ואז $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$ ⁠.
2. $q = 0.5$ ⁠ ו־ $q = 0.9$ ⁠ מקיימים את התנאי: הסכומים הם $2$ ⁠ ו־ $10$ ⁠.
3. $q = 1$ ⁠ ו־ $q = 1.1$ ⁠ לא: האיברים לא קטנים.
4. סדרה חשבונית עם $d > 0$ ⁠ גדלה, וסכומה גדל בלי גבול.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
0.999… = 1
תרגול · חשבו
השאלה
$0.999\ldots$ ⁠ הוא $0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots$ ⁠: טור הנדסי עם $a_1 = 0.9$ ⁠ ו־ $q = 0.1$ ⁠. מהו הסכום שלו? ענו, ואז העבירו את חיבור האיברים עד אינסוף.

התשובה הנכונה
1 ± 0.0001
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
ההפרש d
1ברירת מחדלמוסתר
המנה q
0.1קבוע
מספר האיברים n
4
חיבור האיברים
סכומים מצטברים
הגדרות נוספות
First/nodes/stairs/props/first = 0.9
מתקבלת בטווח
± 0.0001
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The sum of all the geometric terms, a₁/(1 − q), NaN when q ≥ 1/nodes/stairs/outputs/geometricLimit
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.999 ± 0.00005
  טעות נפוצה: Thinks an endless sum is a little less than its limit (0.999… < 1), because no running total reaches it.
  משוב מהקטלוג
  נכון שאף סכום מצטבר אינו מגיע לגבול. אבל הסכום האינסופי מוגדר כמספר שהסכומים המצטברים מתקרבים אליו, ולכן הוא שווה לגבול בדיוק. כך $0.999\ldots = 1$ ⁠: אין מספר בין שניהם.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{0.9}{1 - 0.1} = \frac{0.9}{0.9} = 1$ ⁠. כלומר $0.999\ldots = 1$ ⁠ בדיוק: שתי דרכים לכתוב את אותו מספר.

פתרון מלא
1. $|q| = 0.1 < 1$ ⁠, ולכן $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$ ⁠.
2. $S_\infty = \frac{0.9}{0.9} = 1$ ⁠.
אם עניתם $0.999$ ⁠, זה סכום שלושת האיברים הראשונים. הסכום האינסופי הוא הגבול, $1$ ⁠.

שיעור 4 מתוך 4 · כ־20 דקות

ספירלות פיבונאצ׳י

למה בחמנייה ובאצטרובל סופרים 8 ו־13 או 34 ו־55 ספירלות: סיבוב קבוע בין זרעים, שברים של סיבוב שיוצרים קרניים, זווית הזהב שאינה קרובה לשום שבר פשוט, ומספרי פיבונאצ׳י שמתקרבים אליה.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
קרניים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עכשיו כל זרע מסתובב $\frac13$ ⁠ סיבוב מקודמו, והזרעים מסתדרים ב־ $3$ ⁠ קרניים. בכמה קרניים הם יסתדרו ב־ $\frac38$ ⁠ סיבוב, $135^\circ$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $8$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הסיבוב בין הזרעים
120 °קבוע
הצמח
חמנייהקבוע
הצגת הספירלות
כבויקבוע
האפשרויות
- נכונה $8$ ⁠
- שגויה $3$ ⁠
  טעות נפוצה: Reads the number of spokes from the numerator of the fraction of a turn instead of its denominator.
  משוב מהקטלוג
  כשכל זרע מסתובב $\frac{p}{q}$ ⁠ סיבוב, אחרי $q$ ⁠ זרעים הסיבוב הכולל הוא $p$ ⁠ סיבובים שלמים, והזרע חוזר לאותו כיוון. לכן הזרעים מסתדרים ב־ $q$ ⁠ קרניים: המכנה, לא המונה. ב־ $\frac38$ ⁠ סיבוב יש $8$ ⁠ קרניים, ולוקח $3$ ⁠ סיבובים לעבור על כולן.
- שגויה $11$ ⁠
  משוב
  $3 + 8 = 11$ ⁠ לא סופר דבר. הזרעים חוזרים לאותו כיוון אחרי $8$ ⁠ זרעים, כשהסיבוב הכולל הוא $3$ ⁠ סיבובים שלמים.
- שגויה אין קרניים: הזרעים מתפזרים באופן אחיד
  משוב
  $\frac38$ ⁠ הוא שבר פשוט, ולכן כל זרע שמיני חוזר לאותו כיוון: קרניים ישרות עם רווחים ביניהן.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הסיבוב בין הזרעים
135 °קבוע
ואז הסצנה מראה: 8 · Q when the turn is p/q of a full turn (q up to 21, to half the slider's 0.01° step): the seeds then line up in q straight spokes; 0 for a turn near no such fraction, such as the golden angle/nodes/flower/outputs/spokes
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$8$ ⁠ קרניים: אחרי $8$ ⁠ זרעים הסיבוב הכולל הוא $8 \cdot \frac38 = 3$ ⁠ סיבובים שלמים, והזרע התשיעי נוחת מאחורי הראשון.

פתרון מלא
1. זרע מספר $k$ ⁠ מסתובב $k \cdot \frac38$ ⁠ סיבוב.
2. המכפלה היא מספר שלם לראשונה כש־ $k = 8$ ⁠: $8 \cdot \frac38 = 3$ ⁠.
3. לכן כל זרע שמיני באותו כיוון, ויש $8$ ⁠ קרניים.
אם בחרתם $3$ ⁠, ספרתם את הסיבובים השלמים, לא את הקרניים.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
השברים של פיבונאצ׳י
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
$\frac13$ ⁠, $\frac25$ ⁠, $\frac38$ ⁠: המונים והמכנים הם מספרי פיבונאצ׳י. השבר הבא בשורה הוא $\frac{5}{13}$ ⁠. שנו את הסיבוב בין הזרעים כך שהזרעים יסתדרו ב־ $13$ ⁠ קרניים, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 13 ± 0.1
  בתחילת השלב: 8
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הסיבוב בין הזרעים
135 °
הצמח
חמנייהקבוע
הצגת הספירלות
כבויקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
Q when the turn is p/q of a full turn (q up to 21, to half the slider's 0.01° step): the seeds then line up in q straight spokes; 0 for a turn near no such fraction, such as the golden angle/nodes/flower/outputs/spokes
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הסיבוב בין הזרעים
138.5 °
משוב לתשובה נכונה
$\frac{5}{13}$ ⁠ סיבוב הוא $\frac{5}{13} \cdot 360^\circ \approx 138.46^\circ$ ⁠. השברים $\frac25$ ⁠, $\frac38$ ⁠, $\frac{5}{13}$ ⁠, $\frac{8}{21}$ ⁠ מתקרבים, לסירוגין מלמעלה ומלמטה, לזווית הזהב.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כמה מעלות הן $\frac{5}{13}$ ⁠ של $360^\circ$ ⁠? הזווית צריכה להיות מדויקת עד מאית מעלה.

רמז
$\frac{5}{13} \cdot 360^\circ$ ⁠, עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

פתרון מלא
1. כדי לקבל $13$ ⁠ קרניים, הסיבוב צריך להיות $\frac{p}{13}$ ⁠ סיבוב.
2. בטווח של הסרגל, $120^\circ$ ⁠ עד $150^\circ$ ⁠, השבר היחיד כזה הוא $\frac{5}{13}$ ⁠.
3. $\frac{5}{13} \cdot 360^\circ = \frac{1800^\circ}{13} \approx 138.46^\circ$ ⁠.
4. קבעו את הסיבוב בין הזרעים על $138.46^\circ$ ⁠.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
זווית הזהב
תרגול · חשבו
השאלה
הסיבוב הוא זווית הזהב, $137.508^\circ$ ⁠, ויחס הזהב הוא $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1.618$ ⁠. איזה חלק מסיבוב שלם היא זווית הזהב? (תנו שבר עשרוני.)

התשובה הנכונה
0.382 ± 0.001
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הסיבוב בין הזרעים
137.5 °קבוע
הצמח
חמנייהקבוע
הצגת הספירלות
כבויקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.001
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The turn between seeds as a fraction of a full turn, angle / 360/nodes/flower/outputs/turnFraction
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.618 ± 0.001
  טעות נפוצה: Takes the golden angle as 1/φ ≈ 0.618 of a turn (222.5°), the larger part, rather than the smaller part 1 − 1/φ.
  משוב
  $0.618 = \frac{1}{\varphi}$ ⁠ הוא החלק הגדול של הסיבוב, $222.5^\circ$ ⁠. זווית הזהב היא מה שנשאר: $1 - 0.618$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{137.508}{360} \approx 0.382 = 1 - \frac{1}{\varphi} = \frac{1}{\varphi^2}$ ⁠. זווית הזהב מחלקת את הסיבוב בחתך הזהב: החלק הגדול, $222.5^\circ$ ⁠, חלקי החלק הקטן הוא שוב $\varphi$ ⁠.

פתרון מלא
1. חלק מסיבוב הוא הזווית חלקי $360^\circ$ ⁠: $\frac{137.508}{360} \approx 0.382$ ⁠.
2. בדקו מול יחס הזהב: $\frac{1}{\varphi} \approx 0.618$ ⁠, ו־ $1 - 0.618 = 0.382$ ⁠.
3. זווית הזהב היא החלק הקטן של הסיבוב כשמחלקים אותו ביחס $\varphi$ ⁠.
אם יצא לכם $0.618$ ⁠, זה החלק הגדול, $222.5^\circ$ ⁠: סיבוב כזה לכיוון אחד הוא $137.5^\circ$ ⁠ לכיוון השני.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
סופרים ספירלות
תרגול · בחרו
השאלה
בחרו פועל תחת הצגת הספירלות. כל צבע הוא משפחה של ספירלות, והמספר לידו סופר את הזרועות שלה. מה משותף למספרים?

התשובה הנכונה
- נכונה הם מספרי פיבונאצ׳י עוקבים: כל אחד הוא סכום שני הקודמים
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הסיבוב בין הזרעים
137.5 °קבוע
הצמח
חמנייהקבוע
הצגת הספירלות
כבוי
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה הם מספרי פיבונאצ׳י עוקבים: כל אחד הוא סכום שני הקודמים
- שגויה כולם כפולות של אותו מספר
  משוב
  $34$ ⁠ ו־ $55$ ⁠ (או $21$ ⁠ ו־ $34$ ⁠) זרים זה לזה: אין להם מחלק משותף חוץ מ־ $1$ ⁠.
- שגויה כולם ראשוניים
  משוב
  $34 = 2 \cdot 17$ ⁠ ו־ $55 = 5 \cdot 11$ ⁠: לא ראשוניים.
- שגויה שום דבר: הם תלויים בפרח
  משוב
  בזווית הזהב הספירות הן תמיד מספרי פיבונאצ׳י עוקבים. רק אילו מהם רואים תלוי בגודל הפרח: בפרח קטן, ספירלות של $21$ ⁠ ו־ $34$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$34$ ⁠, $55$ ⁠ ו־ $89$ ⁠ (בטלפון $21$ ⁠, $34$ ⁠ ו־ $55$ ⁠): מספרי פיבונאצ׳י עוקבים, $34 + 55 = 89$ ⁠. הם המכנים של השברים שמתקרבים לזווית הזהב, ולכן זרעים שהמרחק ביניהם $34$ ⁠ או $55$ ⁠ צעדים יושבים כמעט באותו כיוון ונראים כספירלה.

פתרון מלא
1. קראו את המספרים שליד הספירלות: $34$ ⁠, $55$ ⁠ ו־ $89$ ⁠ (על מסך קטן $21$ ⁠, $34$ ⁠ ו־ $55$ ⁠).
2. $21 + 34 = 55$ ⁠ ו־ $34 + 55 = 89$ ⁠: כל אחד הוא סכום שני הקודמים.
3. אלה המכנים של השברים $\frac{13}{34}$ ⁠, $\frac{21}{55}$ ⁠, $\frac{34}{89}$ ⁠ שמתקרבים ל־ $0.382$ ⁠, זווית הזהב.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
אצטרובל
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
החליפו את הצמח לאצטרובל, באותה זווית זהב. באצטרובל יש רק $180$ ⁠ קשקשים. כמה ספירלות תמצאו בשתי המשפחות?

התשובה הנכונה
- נכונה $8$ ⁠ ו־ $13$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הסיבוב בין הזרעים
137.5 °קבוע
הצמח
חמנייה
הצגת הספירלות
פועל
האפשרויות
- נכונה $8$ ⁠ ו־ $13$ ⁠
- שגויה $34$ ⁠ ו־ $55$ ⁠, כמו בחמנייה
  משוב
  במעט קשקשים רואים את הספירלות הקצרות: השכנים הקרובים של כל קשקש הם $8$ ⁠ ו־ $13$ ⁠ צעדים ממנו.
- שגויה $10$ ⁠ ו־ $20$ ⁠
  משוב
  הזווית לא השתנתה, ולכן הספירות נשארות מספרי פיבונאצ׳י.
- שגויה אין ספירלות באצטרובל
  משוב
  אותו כלל, אותו סיבוב בכל קשקש, יוצר ספירלות גם על אצטרובל.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הצמח
אצטרובל
הצגת הספירלות
פועל
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$8$ ⁠ ו־ $13$ ⁠, שוב מספרי פיבונאצ׳י עוקבים. אצטרובלים אמיתיים נספרים כך: רובם $8$ ⁠ ו־ $13$ ⁠, וחלקם $5$ ⁠ ו־ $8$ ⁠.

פתרון מלא
1. הכלל לא השתנה: כל קשקש מסתובב בזווית הזהב.
2. השכנים הקרובים של קשקש הם אלה שהמרחק אליהם הוא מספר פיבונאצ׳י של צעדים.
3. בכמה מאות קשקשים, אלה $8$ ⁠ ו־ $13$ ⁠: מספרים קטנים יותר מאשר באלף הזרעים של החמנייה.

בכל היחידה · 10 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

סדרה חשבונית

מוסיפים את ההפרש

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

האיבר הכללי

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

איברים רחוקים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

חיבור בזוגות

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מספרים אי־זוגיים וריבועים

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

סדרה הנדסית

כופלים במנה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

האיבר הכללי והמנה

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

סכום של חזקות של 2

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

סכום של חצאים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

פתרון מלא

מי מנצחת

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

טורים אינסופיים

חצאים עד אינסוף

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

הנוסחה לסכום האינסופי

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה