מפתח תשובות · יחידה 16

סטטיסטיקה.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 5

שיעור 1 מתוך 5 · כ־25 דקות

ממוצע, חציון ושכיח

שלוש דרכים לתת לרשימה ארוכה של מדידות מספר אחד: נקודת האיזון, הערך שבאמצע והערך הנפוץ ביותר, ומה קורה לכל אחת מהן כשנכנסת מדידה שגויה.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
נקודת האיזון
תרגול · חשבו
השאלה
חמישה חברים ספרו כמה ספרים קראו בשנה: $4, 7, 7, 9, 13$ ⁠. מה הממוצע?

התשובה הנכונה
8 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1
מדידה שגויה
כבוי
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזור
מתקבלת בטווח
± 0.01
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 7 ± 0.01
  טעות נפוצה: Treats the mean, the median and the mode as one number, so any of them answers for the others.
  משוב מהקטלוג
  שלושתם “ממוצעים” במובן היומיומי, אבל כל אחד עונה על שאלה אחרת. הממוצע הוא הסכום חלקי מספר הערכים, נקודת שיווי המשקל. החציון הוא הערך שבאמצע אחרי שמסדרים את הנתונים. השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בנתונים סימטריים הם קרובים, אבל בנתונים עם זנב לצד אחד או עם ערך חריג הם נפרדים, ולכן חשוב לדעת איזה מהם מבקשים.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{4 + 7 + 7 + 9 + 13}{5} = \frac{40}{5} = 8$ ⁠. אם כל אחד היה קורא $8$ ⁠ ספרים, הם היו קוראים יחד אותו מספר ספרים.

משוב לתשובה שגויה
סכמו את חמשת המספרים, ואז חלקו ב־ $5$ ⁠.

רמז
חברו את כל הערכים וחלקו במספר הערכים.

פתרון מלא
1. הסכום: $4 + 7 + 7 + 9 + 13 = 40$ ⁠.
2. מספר הערכים: $5$ ⁠.
3. הממוצע: $\bar{x} = \frac{40}{5} = 8$ ⁠.
אם עניתם $7$ ⁠, לקחתם את הערך שבאמצע (החציון) או את הערך שחוזר פעמיים (השכיח). כאן שניהם $7$ ⁠, אבל הממוצע $8$ ⁠: ה־ $13$ ⁠ מושך אותו למעלה.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
הערך שבאמצע
תרגול · חשבו
השאלה
זמני ההמתנה לאוטובוס, בדקות, בחמישה בקרים: $12, 3, 9, 5, 8$ ⁠. מה החציון?

התשובה הנכונה
8 min ± 0.01 min
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1
מדידה שגויה
כבוי
מדידות / ממוצע ופיזור
מדידות
מתקבלת בטווח
± 0.01 min
ערך קבוע בשאלה
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 9 min ± 0.01 min
  טעות נפוצה: Takes the middle value of the list as written, without putting the values in order first.
  משוב מהקטלוג
  החציון הוא האמצע של הנתונים מסודרים לפי גודל, לא האמצע של הרשימה כפי שנכתבה. קודם מסדרים מהקטן לגדול, ורק אז בוחרים את הערך שבאמצע. ברשימה $12, 3, 9, 5, 8$ ⁠ האיבר האמצעי הוא $9$ ⁠, אבל אחרי הסידור, $3, 5, 8, 9, 12$ ⁠, החציון הוא $8$ ⁠.
- 7.4 min ± 0.01 min
  טעות נפוצה: Treats the mean, the median and the mode as one number, so any of them answers for the others.
  משוב מהקטלוג
  שלושתם “ממוצעים” במובן היומיומי, אבל כל אחד עונה על שאלה אחרת. הממוצע הוא הסכום חלקי מספר הערכים, נקודת שיווי המשקל. החציון הוא הערך שבאמצע אחרי שמסדרים את הנתונים. השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בנתונים סימטריים הם קרובים, אבל בנתונים עם זנב לצד אחד או עם ערך חריג הם נפרדים, ולכן חשוב לדעת איזה מהם מבקשים.
משוב לתשובה נכונה
בסדר עולה: $3, 5, 8, 9, 12$ ⁠, והאמצעי הוא $8$ ⁠. שני זמנים קצרים ממנו ושניים ארוכים ממנו.

משוב לתשובה שגויה
סדרו את חמשת הזמנים לפי גודל, ובחרו את השלישי.

רמז
סדרו את הזמנים מהקצר לארוך לפני שאתם מחפשים את האמצע.

פתרון מלא
1. מסדרים מהקטן לגדול: $3, 5, 8, 9, 12$ ⁠.
2. יש $5$ ⁠ ערכים, ולכן האמצעי הוא השלישי.
3. החציון הוא $8$ ⁠.
אם עניתם $9$ ⁠, לקחתם את האמצע של הרשימה כפי שנכתבה, בלי לסדר. אם עניתם $7.4$ ⁠, חישבתם את הממוצע: $\frac{37}{5}$ ⁠.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
מספר זוגי של ערכים
תרגול · חשבו
השאלה
לשישה ילדים יש $1, 4, 6, 10, 13, 20$ ⁠ גולות. מה החציון?

התשובה הנכונה
8 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1
מדידה שגויה
כבוי
מדידות / ממוצע ופיזור
מדידות
מתקבלת בטווח
± 0.01
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 6 ± 0.01
  טעות נפוצה: With an even number of values, gives one of the two middle values as the median instead of their mean.
  משוב מהקטלוג
  כשיש מספר זוגי של ערכים אין ערך אחד באמצע: יש שניים. החציון הוא הממוצע שלהם, הנקודה שבדיוק ביניהם. ב־ $1, 4, 6, 10, 13, 20$ ⁠ שני האמצעיים הם $6$ ⁠ ו־ $10$ ⁠, והחציון הוא $\frac{6 + 10}{2} = 8$ ⁠. כך חצי מהערכים מתחתיו וחצי מעליו.
- 10 ± 0.01
  טעות נפוצה: With an even number of values, gives one of the two middle values as the median instead of their mean.
  משוב מהקטלוג
  כשיש מספר זוגי של ערכים אין ערך אחד באמצע: יש שניים. החציון הוא הממוצע שלהם, הנקודה שבדיוק ביניהם. ב־ $1, 4, 6, 10, 13, 20$ ⁠ שני האמצעיים הם $6$ ⁠ ו־ $10$ ⁠, והחציון הוא $\frac{6 + 10}{2} = 8$ ⁠. כך חצי מהערכים מתחתיו וחצי מעליו.
- 9 ± 0.01
  טעות נפוצה: Treats the mean, the median and the mode as one number, so any of them answers for the others.
  משוב מהקטלוג
  שלושתם “ממוצעים” במובן היומיומי, אבל כל אחד עונה על שאלה אחרת. הממוצע הוא הסכום חלקי מספר הערכים, נקודת שיווי המשקל. החציון הוא הערך שבאמצע אחרי שמסדרים את הנתונים. השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בנתונים סימטריים הם קרובים, אבל בנתונים עם זנב לצד אחד או עם ערך חריג הם נפרדים, ולכן חשוב לדעת איזה מהם מבקשים.
משוב לתשובה נכונה
שני האמצעיים הם $6$ ⁠ ו־ $10$ ⁠, והחציון הוא הממוצע שלהם: $\frac{6 + 10}{2} = 8$ ⁠. שלושה ילדים מתחתיו ושלושה מעליו.

רמז
הערכים כבר מסודרים, אבל יש שישה. אילו שניים באמצע?

פתרון מלא
1. הערכים מסודרים: $1, 4, 6, 10, 13, 20$ ⁠.
2. יש $6$ ⁠ ערכים, מספר זוגי, ולכן באמצע יש שניים: השלישי והרביעי, $6$ ⁠ ו־ $10$ ⁠.
3. החציון: $\frac{6 + 10}{2} = 8$ ⁠.
אם עניתם $6$ ⁠ או $10$ ⁠, בחרתם רק אחד משני האמצעיים. אם עניתם $9$ ⁠, חישבתם את הממוצע: $\frac{54}{6} = 9$ ⁠.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
הערך הנפוץ ביותר
תרגול · חשבו
השאלה
חנות מכרה בבוקר אחד נעליים במידות $36, 38, 38, 38, 40, 41, 43, 46$ ⁠. מה השכיח?

התשובה הנכונה
38 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1
מדידה שגויה
כבוי
מדידות / ממוצע ופיזור
מדידות
מתקבלת בטווח
± 0.01
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 3 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives how many times the most common value appears (or how tall the tallest bar is) instead of the value itself.
  משוב מהקטלוג
  השכיח הוא הערך שחוזר הכי הרבה פעמים, לא מספר הפעמים. אם המידה $38$ ⁠ מופיעה שלוש פעמים, השכיח הוא $38$ ⁠, ו־ $3$ ⁠ הוא רק השכיחות שלו. בהיסטוגרמה זה ההבדל בין המקום של העמודה הגבוהה (על הציר האופקי) לבין הגובה שלה.
- 40 ± 0.01
  טעות נפוצה: Treats the mean, the median and the mode as one number, so any of them answers for the others.
  משוב מהקטלוג
  שלושתם “ממוצעים” במובן היומיומי, אבל כל אחד עונה על שאלה אחרת. הממוצע הוא הסכום חלקי מספר הערכים, נקודת שיווי המשקל. החציון הוא הערך שבאמצע אחרי שמסדרים את הנתונים. השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בנתונים סימטריים הם קרובים, אבל בנתונים עם זנב לצד אחד או עם ערך חריג הם נפרדים, ולכן חשוב לדעת איזה מהם מבקשים.
- 39 ± 0.01
  טעות נפוצה: Treats the mean, the median and the mode as one number, so any of them answers for the others.
  משוב מהקטלוג
  שלושתם “ממוצעים” במובן היומיומי, אבל כל אחד עונה על שאלה אחרת. הממוצע הוא הסכום חלקי מספר הערכים, נקודת שיווי המשקל. החציון הוא הערך שבאמצע אחרי שמסדרים את הנתונים. השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בנתונים סימטריים הם קרובים, אבל בנתונים עם זנב לצד אחד או עם ערך חריג הם נפרדים, ולכן חשוב לדעת איזה מהם מבקשים.
משוב לתשובה נכונה
המידה $38$ ⁠ נמכרה שלוש פעמים, יותר מכל מידה אחרת. לחנות זה המספר המועיל: אותו כדאי להזמין יותר.

רמז
איזו מידה נמכרה הכי הרבה פעמים?

פתרון מלא
1. סופרים כמה פעמים כל מידה מופיעה: $36$ ⁠ פעם אחת, $38$ ⁠ שלוש פעמים, וכל השאר פעם אחת.
2. השכיח הוא המידה שמופיעה הכי הרבה פעמים: $38$ ⁠.
אם עניתם $3$ ⁠, נתתם את מספר הפעמים ולא את המידה. אם עניתם $40$ ⁠, חישבתם את הממוצע ( $\frac{320}{8}$ ⁠), ואם $39$ ⁠, את החציון ( $\frac{38 + 40}{2}$ ⁠). לחנות נעליים במידה $39$ ⁠ לא עוזרות: אף אחד לא קנה כזאת.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
מדידה שגויה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עשרים המדידות על הלוח ממוצען $5$ ⁠. מדליקים מדידה שגויה: עוד מדידה אחת, של $0$ ⁠. מה יקרה לממוצע ולחציון?

התשובה הנכונה
- נכונה הממוצע יורד בבירור, והחציון כמעט לא זז
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1קבוע
מדידה שגויה
כבויקבוע
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזור
האפשרויות
- נכונה הממוצע יורד בבירור, והחציון כמעט לא זז
- שגויה שניהם יורדים באותה מידה
  טעות נפוצה: Expects one extreme value to drag the median as far as it drags the mean.
  משוב מהקטלוג
  הממוצע משתמש בגודל של כל ערך, ולכן ערך אחד רחוק מושך אותו. החציון משתמש רק בסדר: ערך קיצוני אחד מזיז את האמצע לכל היותר במקום אחד ברשימה, כמה רחוק שלא יהיה. לכן החציון “עמיד” לערכים חריגים, ולכן משתמשים בו למשל לשכר, שבו כמה משכורות ענק מנפחות את הממוצע.
- שגויה החציון יורד יותר מהממוצע
  טעות נפוצה: Expects one extreme value to drag the median as far as it drags the mean.
  משוב מהקטלוג
  הממוצע משתמש בגודל של כל ערך, ולכן ערך אחד רחוק מושך אותו. החציון משתמש רק בסדר: ערך קיצוני אחד מזיז את האמצע לכל היותר במקום אחד ברשימה, כמה רחוק שלא יהיה. לכן החציון “עמיד” לערכים חריגים, ולכן משתמשים בו למשל לשכר, שבו כמה משכורות ענק מנפחות את הממוצע.
- שגויה אף אחד מהם לא משתנה: מדידה אחת מתוך $21$ ⁠ לא משנה כלום
  משוב
  מדידה אחת אכן לא מזיזה הרבה את הסדר, ולכן החציון כמעט לא זז. אבל הממוצע מחבר את הגדלים, ו־ $0$ ⁠ רחוק ב־ $5$ ⁠ מהממוצע.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מדידה שגויה
פועלקבוע
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזור
ואז הסצנה מראה: 4.762 · Ȳ, the mean of the y values/nodes/scatter/outputs/mean
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
הממוצע יורד מ־ $5$ ⁠ ל־ $4.76$ ⁠, והחציון רק מ־ $5.10$ ⁠ ל־ $5.07$ ⁠. המדידה החדשה נכנסת לתחתית הרשימה ומזיזה את האמצע בחצי מקום בלבד.

רמז
הממוצע מחבר את כל הערכים. החציון רק שואל מי באמצע.

פתרון מלא
1. הממוצע: הסכום היה $20 \times 5 = 100$ ⁠. עם המדידה החדשה הוא נשאר $100$ ⁠, אבל מתחלק ב־ $21$ ⁠: $\frac{100}{21} \approx 4.76$ ⁠.
2. החציון: ב־ $20$ ⁠ מדידות הוא הממוצע של העשירית והאחת־עשרה בסדר. עם $21$ ⁠ מדידות הוא האחת־עשרה, והמדידה החדשה נכנסה בתחתית, אז האחת־עשרה היא העשירית הישנה: $5.07$ ⁠ במקום $5.10$ ⁠.
3. לכן הממוצע זז בערך פי שבעה יותר מהחציון.
גם אם המדידה השגויה הייתה $-100$ ⁠, החציון היה זז בדיוק באותה מידה. הממוצע היה צונח.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
הממוצע החדש
תרגול · חשבו
השאלה
עשרים מדידות שהממוצע שלהן בדיוק $5$ ⁠, ועוד מדידה שגויה אחת של $0$ ⁠. מה הממוצע של כל $21$ ⁠ המדידות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

התשובה הנכונה
4.762 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1קבוע
מדידה שגויה
פועלקבוע
מדידות / ממוצע ופיזור
מדידותקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Ȳ, the mean of the y values/nodes/scatter/outputs/mean
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2.5 ± 0.01
  טעות נפוצה: Averages two group means as if the groups were the same size: 20 readings averaging 5 and 1 reading of 0 give 2.5.
  משוב מהקטלוג
  ממוצע של שני ממוצעים נותן לכל קבוצה משקל שווה, גם כשאחת מהן גדולה בהרבה. כאן יש $20$ ⁠ מדידות שהממוצע שלהן $5$ ⁠, ומדידה אחת של $0$ ⁠. הסכום הכולל הוא $20 \times 5 + 0 = 100$ ⁠, ומספר המדידות $21$ ⁠, ולכן הממוצע $\frac{100}{21} \approx 4.76$ ⁠, לא $2.5$ ⁠. המדידה הבודדת היא רק אחת מתוך $21$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{20 \times 5 + 0}{21} = \frac{100}{21} \approx 4.76$ ⁠. הלוח מראה אותו ערך ב־ממוצע ופיזור.

משוב לתשובה שגויה
המדידה השגויה נספרת: הסכום נשאר $100$ ⁠, אבל עכשיו מחלקים ב־ $21$ ⁠.

רמז
מה הסכום של עשרים המדידות? ואז הוסיפו את החדשה וחלקו במספר החדש.

פתרון מלא
1. מהממוצע חוזרים לסכום: $20 \times 5 = 100$ ⁠.
2. מוסיפים את המדידה השגויה: $100 + 0 = 100$ ⁠, ועכשיו יש $21$ ⁠ מדידות.
3. הממוצע: $\frac{100}{21} \approx 4.76$ ⁠.
אם עניתם $2.5$ ⁠, מיצעתם את שני הממוצעים, $5$ ⁠ ו־ $0$ ⁠, כאילו לשתי הקבוצות אותו גודל. אבל בצד אחד יש $20$ ⁠ מדידות ובשני רק אחת.

שיעור 2 מתוך 5 · כ־25 דקות

טווח וסטיית תקן

שתי קבוצות עם אותו ממוצע יכולות להיות שונות מאוד. כמה רחוק הערכים מתפזרים: הטווח, סטיית התקן ולמה מעלים בריבוע, ואיזה חלק מהמדידות נופל בטווח של סטיית תקן אחת.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
הטווח
תרגול · חשבו
השאלה
הטמפרטורות בצהריים, במעלות צלזיוס, בחמישה ימים: $14, 19, 11, 23, 17$ ⁠. מה הטווח?

התשובה הנכונה
12 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1
מדידה שגויה
כבוי
מדידות / ממוצע ופיזור
מדידות
מתקבלת בטווח
± 0.01
ערך קבוע בשאלה
משוב לתשובה נכונה
$23 - 11 = 12$ ⁠ מעלות: כל הטמפרטורות נמצאות בתוך רצועה ברוחב $12$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
הטווח הוא המרחק בין הערך הגבוה ביותר לנמוך ביותר.

רמז
מצאו את הגבוהה ביותר ואת הנמוכה ביותר.

פתרון מלא
1. הגבוהה ביותר: $23$ ⁠. הנמוכה ביותר: $11$ ⁠.
2. הטווח: $23 - 11 = 12$ ⁠.
הטווח קל לחישוב, אבל הוא תלוי רק בשני הערכים הקיצוניים. יום אחד חם במיוחד היה משנה אותו, גם אם כל שאר הימים דומים.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
המרחק מהממוצע
תרגול · חשבו
השאלה
שמונה מדידות: $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ ⁠. הממוצע הוא $5$ ⁠. מה סטיית התקן? (חלקו ב־ $n = 8$ ⁠.)

התשובה הנכונה
2 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1
מדידה שגויה
כבוי
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזור
מתקבלת בטווח
± 0.01
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 7 ± 0.01
  טעות נפוצה: Takes the standard deviation to be the range (largest minus smallest) or half of it.
  משוב מהקטלוג
  הטווח תלוי רק בשני ערכים, הגדול והקטן. סטיית התקן משתמשת בכולם: היא בערך המרחק הטיפוסי של ערך מהממוצע. מעלים כל מרחק בריבוע, ממצעים, ומוציאים שורש: $s = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$ ⁠. ב־ $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ ⁠ הטווח $7$ ⁠, אבל סטיית התקן רק $2$ ⁠, כי רוב הערכים קרובים לממוצע $5$ ⁠.
- 3.5 ± 0.01
  טעות נפוצה: Takes the standard deviation to be the range (largest minus smallest) or half of it.
  משוב מהקטלוג
  הטווח תלוי רק בשני ערכים, הגדול והקטן. סטיית התקן משתמשת בכולם: היא בערך המרחק הטיפוסי של ערך מהממוצע. מעלים כל מרחק בריבוע, ממצעים, ומוציאים שורש: $s = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$ ⁠. ב־ $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ ⁠ הטווח $7$ ⁠, אבל סטיית התקן רק $2$ ⁠, כי רוב הערכים קרובים לממוצע $5$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
סכום הריבועים $32$ ⁠, הממוצע שלהם $4$ ⁠, והשורש $2$ ⁠. מדידה טיפוסית רחוקה כ־ $2$ ⁠ מהממוצע.

רמז
חשבו לכל מדידה את המרחק מ־ $5$ ⁠, העלו בריבוע, מצעו, והוציאו שורש.

פתרון מלא
1. המרחקים מהממוצע: $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ ⁠. הסכום שלהם $0$ ⁠, כמו תמיד, ולכן מעלים בריבוע.
2. הריבועים: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ ⁠, וסכומם $32$ ⁠.
3. השונות: $\frac{32}{8} = 4$ ⁠.
4. סטיית התקן: $s = \sqrt{4} = 2$ ⁠.
אם עניתם $4$ ⁠, עצרתם בשונות ושכחתם את השורש. אם עניתם $7$ ⁠ או $3.5$ ⁠, חישבתם את הטווח או את חציו, שתלויים רק בשני ערכים.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
מכוונים את הפיזור
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
שנו את פיזור עד שסטיית התקן שעל הלוח תהיה $s = 1.5$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 1.5 ± 0.02
  בתחילת השלב: 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
0.5
מדידה שגויה
כבויקבוע
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזורקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
S, the standard deviation of the y values (dividing by n)/nodes/scatter/outputs/spread
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
פיזור
1.5
משוב לתשובה נכונה
$s = 1.5$ ⁠. כל המרחקים מהממוצע גדלו פי $3$ ⁠, ולכן גם הריבוע הממוצע גדל פי $9$ ⁠ והשורש שלו פי $3$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הסתכלו על הערך של $s$ ⁠ שהלוח מדפיס בזמן שאתם מזיזים.

רמז
הרצועה התכולה היא $\bar{y} \pm s$ ⁠. הרחיבו אותה.

פתרון מלא
1. מתחילים ב־ $s = 0.5$ ⁠, כשפיזור על $0.5$ ⁠.
2. כשמכפילים את כל המרחקים מהממוצע במספר, סטיית התקן מוכפלת באותו מספר.
3. כדי להגיע מ־ $0.5$ ⁠ ל־ $1.5$ ⁠ צריך פי $3$ ⁠: קבעו את פיזור על $1.5$ ⁠.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
טווח מול סטיית תקן
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
מדליקים שוב את מדידה שגויה, מדידה של $0$ ⁠. מה יגדל יותר, בערך יחסי: הטווח או סטיית התקן?

התשובה הנכונה
- נכונה הטווח כמעט מוכפל, וסטיית התקן גדלה בפחות מחצי
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1קבוע
מדידה שגויה
כבויקבוע
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזורקבוע
האפשרויות
- נכונה הטווח כמעט מוכפל, וסטיית התקן גדלה בפחות מחצי
- שגויה שניהם גדלים פי אותו מספר
  טעות נפוצה: Takes the standard deviation to be the range (largest minus smallest) or half of it.
  משוב מהקטלוג
  הטווח תלוי רק בשני ערכים, הגדול והקטן. סטיית התקן משתמשת בכולם: היא בערך המרחק הטיפוסי של ערך מהממוצע. מעלים כל מרחק בריבוע, ממצעים, ומוציאים שורש: $s = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$ ⁠. ב־ $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ ⁠ הטווח $7$ ⁠, אבל סטיית התקן רק $2$ ⁠, כי רוב הערכים קרובים לממוצע $5$ ⁠.
- שגויה סטיית התקן גדלה יותר מהטווח
  משוב
  סטיית התקן אכן רגישה לערכים רחוקים, כי היא מעלה מרחקים בריבוע. אבל היא ממצעת על $21$ ⁠ מדידות, והטווח תלוי כולו בערך הקיצוני.
- שגויה אף אחד מהם לא משתנה
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מדידה שגויה
פועלקבוע
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזורקבוע
ואז הסצנה מראה: 7.109 · The range of the y values, largest − smallest/nodes/scatter/outputs/range
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
הטווח קופץ מ־ $3.78$ ⁠ ל־ $7.11$ ⁠, כמעט פי $2$ ⁠, כי הערך הנמוך ביותר הוא עכשיו $0$ ⁠. סטיית התקן עולה מ־ $1$ ⁠ ל־ $1.44$ ⁠.

רמז
הטווח תלוי בשני ערכים בלבד. סטיית התקן ממצעת את כולם.

פתרון מלא
1. הטווח: לפני כן בין $3.33$ ⁠ ל־ $7.11$ ⁠, כלומר $3.78$ ⁠. עם המדידה השגויה הנמוכה ביותר היא $0$ ⁠, ולכן הטווח $7.11 - 0 = 7.11$ ⁠.
2. סטיית התקן: המדידה החדשה רחוקה כ־ $5$ ⁠ מהממוצע, והריבוע שלה, $25$ ⁠, מצטרף לעשרים ריבועים קטנים. הממוצע של הריבועים עולה מ־ $1$ ⁠ לכ־ $2.09$ ⁠, והשורש מ־ $1$ ⁠ ל־ $1.44$ ⁠.
3. לכן הטווח כמעט מוכפל, וסטיית התקן עולה בכ־ $44\%$ ⁠.
שני המדדים מגיבים לערך חריג, אבל הטווח בנוי כולו מהקצוות, וסטיית התקן משתפת את כל המדידות.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
בתוך הרצועה
תרגול · חשבו
השאלה
הרצועה התכולה על הלוח היא $\bar{y} \pm s$ ⁠, מסטיית תקן אחת מתחת לממוצע עד סטיית תקן אחת מעליו. כמה מתוך $20$ ⁠ המדידות נמצאות בתוכה?

התשובה הנכונה
13 ± 0.4
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
פיזור
1קבוע
מדידה שגויה
כבויקבוע
מדידות / ממוצע ופיזור
ממוצע ופיזורקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.4
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Readings inside the band ȳ ± s, edges included/nodes/scatter/outputs/inBand
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 20 ± 0.4
  טעות נפוצה: Expects (nearly) all the data to lie within one standard deviation of the mean.
  משוב מהקטלוג
  סטיית התקן היא מרחק טיפוסי, לא מרחק מרבי, ולכן הרבה ערכים נמצאים רחוק ממנה. בהתפלגות נורמלית בערך $68\%$ ⁠ מהערכים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע, בערך $95\%$ ⁠ בטווח של שתיים, ו־ $99.7\%$ ⁠ בטווח של שלוש. כלומר כשליש מהערכים נמצאים מחוץ לסטיית תקן אחת.
- 19 ± 0.4
  טעות נפוצה: Expects (nearly) all the data to lie within one standard deviation of the mean.
  משוב מהקטלוג
  סטיית התקן היא מרחק טיפוסי, לא מרחק מרבי, ולכן הרבה ערכים נמצאים רחוק ממנה. בהתפלגות נורמלית בערך $68\%$ ⁠ מהערכים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע, בערך $95\%$ ⁠ בטווח של שתיים, ו־ $99.7\%$ ⁠ בטווח של שלוש. כלומר כשליש מהערכים נמצאים מחוץ לסטיית תקן אחת.
משוב לתשובה נכונה
$13$ ⁠ מתוך $20$ ⁠, כלומר $65\%$ ⁠: בערך שני שלישים. שבע המדידות האחרות רחוקות מהממוצע יותר מ־ $s$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
ספרו שוב את החרוזים שבתוך הרצועה, בין $\bar{y} - s$ ⁠ ל־ $\bar{y} + s$ ⁠.

רמז
ספרו את החרוזים שבין שני הקווים המקווקווים.

פתרון מלא
1. כאן $\bar{y} = 5$ ⁠ ו־ $s = 1$ ⁠, ולכן הרצועה היא מ־ $4$ ⁠ עד $6$ ⁠.
2. סופרים את החרוזים שגובהם בין $4$ ⁠ ל־ $6$ ⁠: $13$ ⁠.
3. זה $\frac{13}{20} = 65\%$ ⁠ מהמדידות.
אם ציפיתם שכמעט כולן יהיו בפנים, זכרו שסטיית התקן היא מרחק טיפוסי, לא מרבי. בדרך כלל כשליש מהמדידות יוצאות ממנה.

שיעור 3 מתוך 5 · כ־25 דקות

ההתפלגות הנורמלית

היסטוגרמה מראה איך נתונים מתפזרים. על לוח גלטון: השכיח הוא העמודה הגבוהה, סטיית התקן גדלה כמו שורש מספר השורות, וכלל $68$–$95$: כמה מהנתונים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת ושתיים.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
היסטוגרמה
תרגול · חשבו
השאלה
בלוח יש $10$ ⁠ שורות, והסיכוי לקפוץ ימינה הוא $25\%$ ⁠. מספר התא הוא מספר הפעמים שהכדור הלך ימינה, מ־ $0$ ⁠ בשמאל. מה השכיח: באיזה תא העמודה הגבוהה ביותר?

התשובה הנכונה
2 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שורות של יתדות
10קבוע
סיכוי לקפוץ ימינה
25 %קבוע
כדורים / עקומת פעמון
עקומת פעמון
הגדרות נוספות
Probe/nodes/board/props/probe = 2
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The bin with the highest chance (the lower one on a tie)/nodes/board/outputs/likeliestBin
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2.5 ± 0.01
  טעות נפוצה: Treats the mean, the median and the mode as one number, so any of them answers for the others.
  משוב מהקטלוג
  שלושתם “ממוצעים” במובן היומיומי, אבל כל אחד עונה על שאלה אחרת. הממוצע הוא הסכום חלקי מספר הערכים, נקודת שיווי המשקל. החציון הוא הערך שבאמצע אחרי שמסדרים את הנתונים. השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בנתונים סימטריים הם קרובים, אבל בנתונים עם זנב לצד אחד או עם ערך חריג הם נפרדים, ולכן חשוב לדעת איזה מהם מבקשים.
- 140.8 ± 20
  טעות נפוצה: Gives how many times the most common value appears (or how tall the tallest bar is) instead of the value itself.
  משוב מהקטלוג
  השכיח הוא הערך שחוזר הכי הרבה פעמים, לא מספר הפעמים. אם המידה $38$ ⁠ מופיעה שלוש פעמים, השכיח הוא $38$ ⁠, ו־ $3$ ⁠ הוא רק השכיחות שלו. בהיסטוגרמה זה ההבדל בין המקום של העמודה הגבוהה (על הציר האופקי) לבין הגובה שלה.
משוב לתשובה נכונה
תא $2$ ⁠: שתי קפיצות ימינה ושמונה שמאלה. זה השכיח, התוצאה הנפוצה ביותר, אף שהממוצע הוא $10 \times 0.25 = 2.5$ ⁠.

רמז
הסתכלו על העמודות הכתומות: איזו מהן הגבוהה ביותר? ספרו תאים משמאל, מ־ $0$ ⁠.

פתרון מלא
1. בהיסטוגרמה כל עמודה היא תא, והגובה שלה הוא כמה כדורים צפויים בו.
2. העמודה הגבוהה ביותר עומדת מעל תא $2$ ⁠, ולכן השכיח הוא $2$ ⁠.
3. הממוצע $2.5$ ⁠ נופל בין שני תאים: אף כדור לא נוחת “בתא $2.5$ ⁠”. לכן השכיח והממוצע שונים כאן.
אם עניתם מספר של כ־ $140$ ⁠, נתתם את הגובה של העמודה, כמה כדורים בתא, ולא את התא עצמו.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
רוחב הפעמון
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
כשהלוח הוגן, סטיית התקן היא $\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ ⁠ תאים, כש־ $n$ ⁠ הוא מספר השורות ו־ $p = 0.5$ ⁠. שנו את שורות של יתדות כך שסטיית התקן תהיה בדיוק $2$ ⁠ תאים, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 2 ± 0.01
  בתחילת השלב: 1.414
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שורות של יתדות
8
סיכוי לקפוץ ימינה
50 %קבוע
כדורים / עקומת פעמון
עקומת פעמון
נקרא מהסצנה בנקודה
The standard deviation in bins, √(rows · p · (1 − p))/nodes/board/outputs/spread
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
שורות של יתדות
16
משוב לתשובה נכונה
$16$ ⁠ שורות: $\sqrt{16 \times 0.25} = \sqrt{4} = 2$ ⁠. כדי להכפיל את סטיית התקן צריך פי ארבעה שורות.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כמה שורות נותנות $\frac{n}{4} = 4$ ⁠?

רמז
$n \cdot 0.5 \cdot 0.5 = \frac{n}{4}$ ⁠ צריך להיות $2^2$ ⁠.

פתרון מלא
1. רוצים $\sqrt{n \times 0.25} = 2$ ⁠.
2. מעלים בריבוע: $n \times 0.25 = 4$ ⁠.
3. ולכן $n = 16$ ⁠: קבעו את שורות של יתדות על $16$ ⁠.
עם $8$ ⁠ שורות סטיית התקן היא $\sqrt{2} \approx 1.41$ ⁠, לא $1$ ⁠: היא גדלה כמו השורש של מספר השורות, לא כמו המספר עצמו.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
סטיית תקן אחת
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בלוח $16$ ⁠ שורות הוגנות: הממוצע הוא תא $8$ ⁠ וסטיית התקן $2$ ⁠ תאים. איזה חלק מהכדורים ינחת בין תא $6$ ⁠ לתא $10$ ⁠, כלומר בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע?

התשובה הנכונה
- נכונה בערך שני שלישים
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שורות של יתדות
16קבוע
סיכוי לקפוץ ימינה
50 %קבוע
כדורים / עקומת פעמון
כדורים
האפשרויות
- נכונה בערך שני שלישים
- שגויה בערך שליש
  משוב
  שליש הוא בערך החלק שנמצא מחוץ לסטיית תקן אחת, משני הצדדים יחד.
- שגויה בערך $95\%$ ⁠
  משוב
  $95\%$ ⁠ הוא בערך החלק בטווח של שתי סטיות תקן.
- שגויה כמעט כולם
  טעות נפוצה: Expects (nearly) all the data to lie within one standard deviation of the mean.
  משוב מהקטלוג
  סטיית התקן היא מרחק טיפוסי, לא מרחק מרבי, ולכן הרבה ערכים נמצאים רחוק ממנה. בהתפלגות נורמלית בערך $68\%$ ⁠ מהערכים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע, בערך $95\%$ ⁠ בטווח של שתיים, ו־ $99.7\%$ ⁠ בטווח של שלוש. כלומר כשליש מהערכים נמצאים מחוץ לסטיית תקן אחת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
כדורים / עקומת פעמון
עקומת פעמון
ואז הסצנה מראה: 0.6677 · The share of the histogram's area, bars one bin wide, between mean − within × spread and mean + within × spread, 0 to 1/nodes/board/outputs/shareWithin
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
בערך $0.67$ ⁠ מהשטח של ההיסטוגרמה נמצא בין $6$ ⁠ ל־ $10$ ⁠, קרוב מאוד ל־ $68\%$ ⁠ של העקומה הנורמלית.

רמז
סטיית התקן היא מרחק טיפוסי מהממוצע, לא המרחק הגדול ביותר.

פתרון מלא
1. ההיסטוגרמה של $16$ ⁠ שורות כמעט זהה לעקומת הפעמון, ההתפלגות הנורמלית.
2. בהתפלגות נורמלית בערך $68\%$ ⁠ מהשטח נמצא בטווח $\mu \pm \sigma$ ⁠, כאן בין $8 - 2 = 6$ ⁠ ל־ $8 + 2 = 10$ ⁠.
3. בלוח עצמו: $0.668$ ⁠ מהשטח של העמודות, כשמחצית מעמודות $6$ ⁠ ו־ $10$ ⁠ נופלת בתוך הטווח.
כשליש מהכדורים נוחתים רחוק מהממוצע ביותר מסטיית תקן אחת, וזה רגיל לגמרי.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
שתי סטיות תקן
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
ומה החלק בטווח של שתי סטיות תקן, בין תא $4$ ⁠ לתא $12$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה בערך $95\%$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שורות של יתדות
16קבוע
סיכוי לקפוץ ימינה
50 %קבוע
כדורים / עקומת פעמון
כדורים
האפשרויות
- נכונה בערך $95\%$ ⁠
- שגויה כל הכדורים
  משוב
  קרוב, אבל לא הכול: בערך כדור אחד מכל עשרים נוחת רחוק יותר.
- שגויה פי שניים מסטיית תקן אחת: כל הכדורים ועוד
  משוב
  החלק לא יכול לעבור את $100\%$ ⁠. כל סטיית תקן נוספת מוסיפה פחות, כי העקומה נמוכה בקצוות.
- שגויה בערך $75\%$ ⁠
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
כדורים / עקומת פעמון
עקומת פעמון
הגדרות נוספות
Within/nodes/board/props/within = 2
ואז הסצנה מראה: 0.951 · The share of the histogram's area, bars one bin wide, between mean − within × spread and mean + within × spread, 0 to 1/nodes/board/outputs/shareWithin
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$0.951$ ⁠ מהשטח: כמעט בדיוק $95\%$ ⁠. רק כדור אחד מכל עשרים נוחת מחוץ לתאים $4$ ⁠ עד $12$ ⁠.

רמז
העקומה יורדת מהר רחוק מהאמצע. כמה נשאר מחוץ לשתי סטיות תקן?

פתרון מלא
1. כלל $68$ ⁠– $95$ ⁠– $99.7$ ⁠: בהתפלגות נורמלית $68\%$ ⁠ בטווח של סטיית תקן אחת, $95\%$ ⁠ בטווח של שתיים, $99.7\%$ ⁠ בטווח של שלוש.
2. כאן שתי סטיות תקן הן $4$ ⁠ תאים, ולכן הטווח הוא מתא $4$ ⁠ עד תא $12$ ⁠.
3. הלוח נותן $0.951$ ⁠, כמו הכלל.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
נתונים אמיתיים
תרגול · חשבו
השאלה
הגובה של נשים בוגרות מתפלג בקירוב נורמלית, עם ממוצע 162 cm וסטיית תקן 6 cm. בערך כמה אחוזים מהנשים גובהן בין 150 cm ל־174 cm? כתבו מספר בלבד.

התשובה הנכונה
95 ± 1.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שורות של יתדות
16
סיכוי לקפוץ ימינה
50 %
כדורים / עקומת פעמון
עקומת פעמון
מתקבלת בטווח
± 1.5
ערך קבוע בשאלה
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 100 ± 1.5
  טעות נפוצה: Expects (nearly) all the data to lie within one standard deviation of the mean.
  משוב מהקטלוג
  סטיית התקן היא מרחק טיפוסי, לא מרחק מרבי, ולכן הרבה ערכים נמצאים רחוק ממנה. בהתפלגות נורמלית בערך $68\%$ ⁠ מהערכים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע, בערך $95\%$ ⁠ בטווח של שתיים, ו־ $99.7\%$ ⁠ בטווח של שלוש. כלומר כשליש מהערכים נמצאים מחוץ לסטיית תקן אחת.
משוב לתשובה נכונה
$174 - 162 = 12 = 2 \times 6$ ⁠: שתי סטיות תקן לכל צד, ולכן בערך $95\%$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
כמה סטיות תקן יש בין הממוצע לכל קצה? $68\%$ ⁠ שייך לסטיית תקן אחת בלבד.

רמז
כמה סטיות תקן יש בין 162 ל־174?

פתרון מלא
1. המרחק מהממוצע לכל קצה: $174 - 162 = 12$ ⁠ ו־ $162 - 150 = 12$ ⁠.
2. בסטיות תקן: $\frac{12}{6} = 2$ ⁠.
3. לפי כלל $68$ ⁠– $95$ ⁠– $99.7$ ⁠, בטווח של שתי סטיות תקן נמצאים בערך $95\%$ ⁠.
רק כאחת מכל עשרים נשים גבוהה מ־174 cm או נמוכה מ־150 cm, ובערך חצי מהן מכל צד.

שיעור 4 מתוך 5 · כ־25 דקות

מתאם

שני משתנים יחד: דיאגרמת פיזור, כיוון וחוזק של קשר, מקדם המתאם $r$ ומה הוא לא מודד: לא שיפוע, לא קשר שאינו קו ישר, ולא סיבה.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
עולה ויורד
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
המדידות על הלוח יורדות משמאל לימין, וצמודות למדי לקו. מה יהיה מקדם המתאם $r$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה קרוב ל־ $-1$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע
-0.6קבוע
רעש
0.8קבוע
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
מדידותקבוע
האפשרויות
- נכונה קרוב ל־ $-1$ ⁠
- שגויה קרוב ל־ $1$ ⁠, כי הנקודות צמודות לקו
  משוב
  הנקודות אכן צמודות לקו, ולכן $r$ ⁠ רחוק מ־ $0$ ⁠. אבל הקו יורד, ולכן הסימן שלילי.
- שגויה שלילי, ולכן קשר חלש
  טעות נפוצה: Takes a negative correlation coefficient as a weak or missing link.
  משוב מהקטלוג
  הסימן של $r$ ⁠ אומר רק לאיזה כיוון הקשר: חיובי כש־ $y$ ⁠ עולה עם $x$ ⁠, שלילי כשהוא יורד. החוזק הוא הגודל של $r$ ⁠, המרחק שלו מ־ $0$ ⁠. $r = -0.87$ ⁠ הוא קשר חזק, חזק יותר מ־ $r = 0.6$ ⁠: הנקודות צמודות לקו יורד.
- שגויה קרוב ל־ $0$ ⁠
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
ואז הסצנה מראה: -0.872 · The correlation coefficient, NaN when every y is the same/nodes/scatter/outputs/r
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$r = -0.87$ ⁠: קשר שלילי חזק. כש־ $x$ ⁠ גדל, $y$ ⁠ קטן, והנקודות קרובות לקו היורד.

רמז
הסימן של $r$ ⁠ הוא הכיוון של הקו. הגודל שלו הוא כמה צמוד אליו הענן.

פתרון מלא
1. הכיוון: הנקודות יורדות, ולכן $r < 0$ ⁠.
2. החוזק: הנקודות קרובות לקו, ולכן $|r|$ ⁠ קרוב ל־ $1$ ⁠.
3. ביחד: $r$ ⁠ קרוב ל־ $-1$ ⁠. הלוח נותן $r = -0.87$ ⁠.
$r$ ⁠ שלילי הוא לא קשר חלש. $r = -0.87$ ⁠ חזק בדיוק כמו $r = 0.87$ ⁠, רק לכיוון השני.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
צמוד יותר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
עכשיו $r = 0.70$ ⁠. מורידים את רעש מ־ $1.6$ ⁠ ל־ $0.4$ ⁠, והשיפוע נשאר אותו דבר. מה יקרה ל־ $r$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $r$ ⁠ יתקרב ל־ $1$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע
0.6קבוע
רעש
1.6קבוע
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
האפשרויות
- נכונה $r$ ⁠ יתקרב ל־ $1$ ⁠
- שגויה $r$ ⁠ לא ישתנה, כי השיפוע לא השתנה
  טעות נפוצה: Reads the strength of a correlation from how steep the points rise, rather than how tightly they hug a line.
  משוב מהקטלוג
  מקדם המתאם $r$ ⁠ לא מודד את השיפוע. הוא מודד כמה צמוד לקו מסתדרות הנקודות: $r$ ⁠ קרוב ל־ $1$ ⁠ או ל־ $-1$ ⁠ כשהן כמעט על קו ישר, וקרוב ל־ $0$ ⁠ כשהן מפוזרות. ענן מתון וצמוד נותן $r$ ⁠ גבוה יותר מענן תלול ומפוזר. השיפוע עונה על שאלה אחרת: בכמה עולה $y$ ⁠ כש־ $x$ ⁠ עולה ב־ $1$ ⁠.
- שגויה $r$ ⁠ יקטן
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
- שגויה $r$ ⁠ יהיה $0$ ⁠, כי כמעט אין רעש
  משוב
  בלי רעש הנקודות יושבות בדיוק על הקו, וזה הקשר החזק ביותר, $r = 1$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
רעש
0.4קבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
ואז הסצנה מראה: 0.9663 · The correlation coefficient, NaN when every y is the same/nodes/scatter/outputs/r
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$r$ ⁠ עולה ל־ $0.97$ ⁠. אותו שיפוע, אבל הנקודות צמודות יותר לקו, ולכן הקשר חזק יותר.

רמז
$r$ ⁠ מודד עד כמה הנקודות צמודות לקו.

פתרון מלא
1. הרעש הוא הפיזור של הנקודות סביב הקו. כשהוא קטן, הנקודות מתקרבות לקו.
2. $r$ ⁠ מודד בדיוק את זה: $r^2$ ⁠ הוא החלק מהפיזור של $y$ ⁠ שהקו מסביר.
3. לכן $r$ ⁠ עולה, מ־ $0.70$ ⁠ ל־ $0.97$ ⁠, אף שהשיפוע נשאר $0.6$ ⁠.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
תלול או צמוד
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
שני ענני נקודות. בענן א השיפוע $0.3$ ⁠ והרעש $0.2$ ⁠: עלייה מתונה וצמודה. בענן ב השיפוע $1$ ⁠ והרעש $2$ ⁠: עלייה תלולה ומפוזרת. לאיזה מהם $r$ ⁠ גדול יותר?

התשובה הנכונה
- נכונה ענן א, המתון והצמוד
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע
1
רעש
2
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
מדידותקבוע
האפשרויות
- נכונה ענן א, המתון והצמוד
- שגויה ענן ב, התלול
  טעות נפוצה: Reads the strength of a correlation from how steep the points rise, rather than how tightly they hug a line.
  משוב מהקטלוג
  מקדם המתאם $r$ ⁠ לא מודד את השיפוע. הוא מודד כמה צמוד לקו מסתדרות הנקודות: $r$ ⁠ קרוב ל־ $1$ ⁠ או ל־ $-1$ ⁠ כשהן כמעט על קו ישר, וקרוב ל־ $0$ ⁠ כשהן מפוזרות. ענן מתון וצמוד נותן $r$ ⁠ גבוה יותר מענן תלול ומפוזר. השיפוע עונה על שאלה אחרת: בכמה עולה $y$ ⁠ כש־ $x$ ⁠ עולה ב־ $1$ ⁠.
- שגויה לשניהם אותו $r$ ⁠, כי שניהם עולים
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
שיפוע
0.3
רעש
0.2
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
ואז הסצנה מראה: 0.9663 · The correlation coefficient, NaN when every y is the same/nodes/scatter/outputs/r
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
בענן א $r = 0.97$ ⁠. נסו את ענן ב ( $1$ ⁠ ו־ $2$ ⁠): $r = 0.79$ ⁠ בלבד. השיפוע והחוזק הם שני דברים שונים.

רמז
שאלו כמה רחוקות הנקודות מהקו, לא כמה הוא תלול.

פתרון מלא
1. $r$ ⁠ לא תלוי בשיפוע עצמו, אלא ביחס בין מה שהקו מסביר לבין הפיזור סביבו.
2. בענן א הפיזור, $0.2$ ⁠, קטן מאוד לעומת העלייה לאורך הלוח, ולכן $r = 0.97$ ⁠.
3. בענן ב הקו תלול, אבל הפיזור, $2$ ⁠, גדול, ולכן $r = 0.79$ ⁠.
אם בחרתם בענן ב, קראתם את החוזק מהשיפוע. השיפוע אומר בכמה $y$ ⁠ עולה; $r$ ⁠ אומר כמה בטוח אפשר לנבא אותו.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
מכוונים את $r$
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
שנו את שיפוע ואת רעש עד שמקדם המתאם יהיה $r = -0.9$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- -0.9 ± 0.02
  בתחילת השלב: 0.8857
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע
0.6
רעש
0.8
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
The correlation coefficient, NaN when every y is the same/nodes/scatter/outputs/r
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
שיפוע
-0.25
רעש
0.3
משוב לתשובה נכונה
$r$ ⁠ קרוב ל־ $-0.9$ ⁠: קשר יורד וחזק. יש הרבה צירופים שמגיעים לשם, כי $r$ ⁠ תלוי ביחס בין השיפוע לרעש.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הסימן נקבע לפי השיפוע, והגודל לפי כמה רעש יש ביחס אליו.

רמז
קודם הפכו את הכיוון של הקו, ואז כוונו את הרעש עד ש־ $r$ ⁠ מגיע.

פתרון מלא
1. $r$ ⁠ שלילי דורש שיפוע שלילי: העבירו את שיפוע מתחת ל־ $0$ ⁠, למשל $-0.6$ ⁠.
2. עם $-0.6$ ⁠ ורעש $0.8$ ⁠ יוצא $r = -0.87$ ⁠, קצת חלש מדי. הורידו מעט את רעש, ל־ $0.7$ ⁠, ו־ $r$ ⁠ מגיע ל־ $-0.9$ ⁠.
3. גם שיפוע תלול יותר עם קצת יותר רעש עובד: מה שקובע הוא היחס ביניהם.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
לא קו ישר
תרגול · בחרו
השאלה
זורקים כדור למעלה ומודדים את הגובה שלו כל עשירית שנייה, מהזריקה ועד שהוא חוזר ליד. בדיאגרמת הפיזור של הגובה מול הזמן יוצא $r \approx 0$ ⁠. מה זה אומר?

התשובה הנכונה
- נכונה אין קשר קווי: הגובה תלוי בזמן, אבל לאורך קשת ולא לאורך קו ישר
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע
0
רעש
0.8
ערך חריג
כבוי
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיה
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה אין קשר קווי: הגובה תלוי בזמן, אבל לאורך קשת ולא לאורך קו ישר
- שגויה לגובה אין שום קשר לזמן
  טעות נפוצה: Concludes from r near 0 that the two variables have no relationship at all.
  משוב מהקטלוג
  $r$ ⁠ מודד רק קשר קווי, כמה טוב קו ישר מתאר את הנקודות. נקודות על פרבולה סימטרית, למשל גובה כדור שנזרק לאוויר לעומת הזמן, נותנות $r \approx 0$ ⁠, אף שהגובה נקבע לגמרי על ידי הזמן. לפני שמחשבים $r$ ⁠ מסתכלים על דיאגרמת הפיזור.
- שגויה המדידות כנראה שגויות
  משוב
  המדידות בסדר. $r$ ⁠ פשוט לא בנוי לקשת: חצי מהנקודות עולות וחצי יורדות, והשניים מבטלים זה את זה.
- שגויה הקשר חלש: אפשר לנבא את הגובה רק בקירוב
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
משוב לתשובה נכונה
הנקודות יושבות על פרבולה, ואפשר לנבא את הגובה בדיוק מהזמן. $r$ ⁠ מודד רק כמה טוב קו ישר מתאר אותן.

רמז
ציירו בראש את הנקודות: מה הצורה שלהן?

פתרון מלא
1. הגובה עולה ואז יורד, ולכן הנקודות יוצרות קשת סימטרית.
2. קו ישר שמתאים להן הכי טוב הוא כמעט אופקי, ולכן $r \approx 0$ ⁠.
3. אבל הקשר מושלם: $h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$ ⁠ נותן את הגובה בכל רגע.
לכן מסתכלים תמיד על דיאגרמת הפיזור, ולא רק על $r$ ⁠.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
לא סיבה
תרגול · בחרו
השאלה
בעיר חוף, לאורך השנה, יש מתאם חזק בין מכירות הגלידה בשבוע לבין מספר מקרי הטביעה באותו שבוע: $r = 0.8$ ⁠. מה אפשר להסיק?

התשובה הנכונה
- נכונה כנראה שמשהו שלישי, מזג אוויר חם, מעלה את שניהם
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע
0.6
רעש
0.8
ערך חריג
כבוי
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיה
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה כנראה שמשהו שלישי, מזג אוויר חם, מעלה את שניהם
- שגויה גלידה גורמת לטביעות, וכדאי להגביל את מכירתה
  טעות נפוצה: Reads a strong correlation as proof that one variable causes the other.
  משוב מהקטלוג
  מתאם אומר ששני משתנים עולים ויורדים יחד, לא למה. לעתים קרובות גורם שלישי מזיז את שניהם: בקיץ החם נמכרת יותר גלידה, ויותר אנשים שוחים ולכן גם טובעים. הגלידה לא גורמת לטביעות. כדי לדעת מה גורם למה צריך ניסוי, שבו משנים רק דבר אחד ומשאירים את כל השאר קבוע.
- שגויה הטביעות גורמות לאנשים לקנות גלידה
  טעות נפוצה: Reads a strong correlation as proof that one variable causes the other.
  משוב מהקטלוג
  מתאם אומר ששני משתנים עולים ויורדים יחד, לא למה. לעתים קרובות גורם שלישי מזיז את שניהם: בקיץ החם נמכרת יותר גלידה, ויותר אנשים שוחים ולכן גם טובעים. הגלידה לא גורמת לטביעות. כדי לדעת מה גורם למה צריך ניסוי, שבו משנים רק דבר אחד ומשאירים את כל השאר קבוע.
- שגויה המתאם מקרי ואין לו שום משמעות
  משוב
  מתאם של $0.8$ ⁠ לאורך שנה שלמה כנראה אינו מקרי. הוא אמיתי, רק שהוא לא אומר מה גורם למה.
משוב לתשובה נכונה
בשבועות חמים נמכרת יותר גלידה, ויותר אנשים נכנסים לים. החום מזיז את שני המשתנים, ולכן הם עולים ויורדים יחד.

רמז
מתי אנשים קונים הרבה גלידה, ומתי הם שוחים בים?

פתרון מלא
1. מתאם אומר רק ששני משתנים משתנים יחד.
2. כאן יש משתנה שלישי שמשפיע על שניהם: הטמפרטורה. בקיץ יש גם יותר גלידה וגם יותר שחייה.
3. כדי לבדוק אם גלידה גורמת לטביעות היה צריך ניסוי: לשנות רק את מכירות הגלידה ולהשאיר את מזג האוויר קבוע.
מתאם הוא רמז שכדאי לחקור, לא הוכחה לסיבה.

שיעור 5 מתוך 5 · כ־25 דקות

ישר הרגרסיה

איזה קו ישר מתאים הכי טוב לענן נקודות? מסובבים קו ביד עד שסכום הריבועים הכי קטן, ומגלים את שיטת הריבועים הפחותים, את נקודת האיזון, תחזית מהקו, ואת מה שערך חריג עושה לו.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
ביד
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הקו שלכם עובר דרך $(\bar{x}, \bar{y})$ ⁠. שנו את שיפוע הקו שלכם עד ששטח הריבועים יהיה לכל היותר $5\%$ ⁠ מעל הקטן ביותר האפשרי, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0 ± 5
  בתחילת השלב: 363.9
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע הקו שלכם
0
רעש
0.8קבוע
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ממוצע ופיזורקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
Per cent by which the squares about the hand-turned line exceed the least possible (the best-fit line’s); 0 at the least-squares slope/nodes/scatter/outputs/guessExcess
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
שיפוע הקו שלכם
0.55
משוב לתשובה נכונה
מצאתם את תחתית הפרבולה. בשיפוע הזה סכום ריבועי השאריות הקטן ביותר: זה ישר הרגרסיה, “הריבועים הפחותים”.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. אם הריבועים גדלים כשאתם מגדילים את השיפוע, לכו לכיוון השני.

רמז
הסתכלו על הריבוע הממוצע שמתחת ללוח ועל הנקודה בגרף שליד הסצנה: חפשו את השיפוע שבו הם הכי קטנים.

פתרון מלא
1. בשיפוע $0$ ⁠ הקו הוא קו הממוצע, והריבועים שלו הם הפיזור של $y$ ⁠ סביב $\bar{y}$ ⁠.
2. כשמגדילים את השיפוע לכיוון הנקודות, המקלות מתקצרים והריבועים קטנים.
3. אחרי נקודה מסוימת הקו נעשה תלול מדי והריבועים גדלים שוב. השטח הכולל הוא פרבולה בשיפוע, ותחתיתה בשיפוע של כ־ $0.62$ ⁠.
4. כל שיפוע מ־ $0.55$ ⁠ עד $0.65$ ⁠ עובר את הבדיקה.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
נקודת האיזון
תרגול · בחרו
השאלה
דרך איזו נקודה עובר ישר הרגרסיה תמיד, בכל ענן נקודות?

התשובה הנכונה
- נכונה נקודת האיזון $(\bar{x}, \bar{y})$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע הקו שלכם
0קבוע
רעש
0.8קבוע
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיה
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה נקודת האיזון $(\bar{x}, \bar{y})$ ⁠
- שגויה המדידה הראשונה והאחרונה
  טעות נפוצה: Draws the line of best fit through the first and last points, or through as many points as possible.
  משוב מהקטלוג
  ישר הרגרסיה לא צריך לעבור דרך אף מדידה. הוא הקו שסכום ריבועי המרחקים האנכיים מכל הנקודות אליו הוא הקטן ביותר, ולכן כל הנקודות משפיעות עליו, לא רק שתיים. הוא תמיד עובר דרך נקודת האיזון $(\bar{x}, \bar{y})$ ⁠, הממוצעים של שני המשתנים.
- שגויה ראשית הצירים $(0, 0)$ ⁠
  משוב
  רק אם במקרה $\bar{y} = b\bar{x}$ ⁠. כאן הקו חותך את ציר $y$ ⁠ בערך ב־ $1.90$ ⁠.
- שגויה דרך כמה שיותר מדידות
  טעות נפוצה: Draws the line of best fit through the first and last points, or through as many points as possible.
  משוב מהקטלוג
  ישר הרגרסיה לא צריך לעבור דרך אף מדידה. הוא הקו שסכום ריבועי המרחקים האנכיים מכל הנקודות אליו הוא הקטן ביותר, ולכן כל הנקודות משפיעות עליו, לא רק שתיים. הוא תמיד עובר דרך נקודת האיזון $(\bar{x}, \bar{y})$ ⁠, הממוצעים של שני המשתנים.
משוב לתשובה נכונה
ישר הרגרסיה תמיד עובר דרך $(\bar{x}, \bar{y})$ ⁠, ולכן המשוואה שלו היא $\hat{y} - \bar{y} = b(x - \bar{x})$ ⁠.

רמז
על הלוח, הקו מסתובב סביב נקודה אחת. איזו?

פתרון מלא
1. לכל שיפוע $b$ ⁠, הקו שהכי טוב מתאים לנקודות עובר דרך $(\bar{x}, \bar{y})$ ⁠: אז השאריות מתאזנות וסכומן $0$ ⁠.
2. נשאר לבחור רק את השיפוע, וזה מה שעשיתם ביד בשלב הקודם.
3. לכן $a = \bar{y} - b\bar{x}$ ⁠: על הלוח $5.01 - 0.62 \times 5.02 \approx 1.90$ ⁠.
הקו לא צריך לעבור דרך אף מדידה. כל המדידות משפיעות עליו דרך הריבועים.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
תחזית
תרגול · חשבו
השאלה
הלוח מדפיס את ישר הרגרסיה, $\hat{y} = a + bx$ ⁠. לפיו, מה הערך החזוי של $y$ ⁠ כש־ $x = 8$ ⁠? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

התשובה הנכונה
6.861 ± 0.05
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע הקו שלכם
0ברירת מחדלקבוע
רעש
0.8קבוע
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.05
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Ŷ at predictX on the best-fit line, a + b·predictX/nodes/scatter/outputs/prediction
משוב לתשובה נכונה
$\hat{y} = 1.90 + 0.62 \times 8 \approx 6.86$ ⁠. זו התחזית לערך טיפוסי ב־ $x = 8$ ⁠; מדידה בודדת שם תסטה ממנה בערך ב־ $s_e \approx 0.8$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
הציבו $x = 8$ ⁠ וזכרו את $a$ ⁠: הקו לא עובר דרך הראשית.

רמז
הציבו $x = 8$ ⁠ במשוואה שעל הלוח.

פתרון מלא
1. מהלוח: $\hat{y} = 1.90 + 0.62x$ ⁠.
2. מציבים $x = 8$ ⁠: $0.62 \times 8 = 4.96$ ⁠.
3. מוסיפים את החיתוך: $1.90 + 4.96 = 6.86$ ⁠.
אם קיבלתם $4.96$ ⁠, שכחתם את $a$ ⁠. ותחזית בתוך טווח המדידות, כמו כאן, אמינה הרבה יותר מתחזית רחוק מחוצה לו.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
נקודה אחת רחוקה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
מדליקים ערך חריג: מדידה אחת בצד ימין, הרבה מתחת לשאר. מה יקרה לשיפוע של ישר הרגרסיה, שהוא עכשיו $0.62$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה הקו יהיה מתון יותר
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע הקו שלכם
0ברירת מחדלקבוע
רעש
0.8קבוע
ערך חריג
כבויקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
האפשרויות
- נכונה הקו יהיה מתון יותר
- שגויה הקו יהיה תלול יותר
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
- שגויה הקו לא ישתנה: זו מדידה אחת מתוך $21$ ⁠
  משוב
  לחציון מדידה אחת לא משנה הרבה, אבל לקו כן: הוא מקטין ריבועים, והריבוע של מדידה רחוקה ענקי.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
ערך חריג
פועלקבוע
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיהקבוע
ואז הסצנה מראה: 0.4675 · B, the least-squares slope Sxy / Sxx/nodes/scatter/outputs/slope
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
השיפוע יורד ל־ $0.47$ ⁠. הריבוע של המדידה החריגה כל כך גדול, שהקו מוותר על התאמה לשאר כדי להתקרב אליה.

רמז
הריבוע של מדידה רחוקה ענקי. לאן הקו יזוז כדי להקטין אותו?

פתרון מלא
1. המדידה החריגה נמצאת ב־ $x = 9.4$ ⁠, כ־ $5$ ⁠ מתחת לקו. הריבוע שלה כ־ $25$ ⁠, יותר מכל שאר הריבועים יחד.
2. כדי להקטין את הסכום הכולל, הקו מוריד את הקצה הימני שלו לכיוונה.
3. לכן השיפוע יורד מ־ $0.62$ ⁠ ל־ $0.47$ ⁠, ו־ $r$ ⁠ יורד מ־ $0.89$ ⁠ ל־ $0.69$ ⁠.
בניגוד לחציון, ישר הרגרסיה רגיש מאוד לערכים חריגים, בגלל הריבועים. לכן כדאי לבדוק כל מדידה חשודה.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
כמה הקו מסביר
תרגול · חשבו
השאלה
במחקר נמצא $r = 0.8$ ⁠ בין שעות הלימוד לציון. איזה אחוז מהפיזור של הציונים (משטח הריבועים סביב הממוצע) מסביר ישר הרגרסיה? כתבו מספר בלבד.

התשובה הנכונה
64 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
שיפוע הקו שלכם
0ברירת מחדלקבוע
רעש
0.8
ערך חריג
כבוי
מדידות / ישר הרגרסיה
ישר הרגרסיה
מתקבלת בטווח
± 0.5
ערך קבוע בשאלה
משוב לתשובה נכונה
$r^2 = 0.8^2 = 0.64$ ⁠: הקו מוריד $64\%$ ⁠ משטח הריבועים, ו־ $36\%$ ⁠ נשארים כפיזור סביב הקו.

משוב לתשובה שגויה
לא $r$ ⁠ עצמו: החלק המוסבר הוא $r^2$ ⁠, כמו שהלוח מדפיס, $r^2 = 1 - \frac{s_e^2}{s^2}$ ⁠.

רמז
על הלוח, איזה מספר משווה בין שני הריבועים הממוצעים?

פתרון מלא
1. הלוח מראה ש־ $r^2 = 1 - \frac{s_e^2}{s^2}$ ⁠: החלק משטח הריבועים סביב הממוצע שהקו מוריד.
2. כאן $r^2 = 0.8^2 = 0.64$ ⁠.
3. כלומר $64\%$ ⁠.
$r = 0.8$ ⁠ נשמע כמו “ $80\%$ ⁠”, אבל החלק המוסבר קטן יותר. ו־ $r = 0.5$ ⁠ מסביר רק רבע.

בכל היחידה · 13 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

ממוצע, חציון ושכיח

נקודת האיזון

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

הערך שבאמצע

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מספר זוגי של ערכים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

הערך הנפוץ ביותר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מדידה שגויה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

הממוצע החדש

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

טווח וסטיית תקן

הטווח

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

רמז

פתרון מלא

המרחק מהממוצע

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מכוונים את הפיזור

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

טווח מול סטיית תקן

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

בתוך הרצועה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא