מפתח תשובות · יחידה 8

טריגונומטריה.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 4

שיעור 1 מתוך 4 · כ־25 דקות

סינוס, קוסינוס וטנגנס

במשולש ישר זווית, היחס בין שתי צלעות תלוי רק בזווית. לשלושת היחסים האלה קוראים סינוס, קוסינוס וטנגנס.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
שמות לצלעות
תרגול · בחרו
השאלה
הלוח נותן לצלעות שמות כפי שרואים אותן מהזווית $A$ ⁠. עכשיו הסתכלו מהזווית $C$ ⁠, בקודקוד העליון. איזו צלע היא הניצב שליד $C$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $BC$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
35 °קבוע
הצלע AB
6קבוע
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "names"
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה $BC$ ⁠
- שגויה $AB$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks 'opposite' and 'adjacent' are fixed names of two sides, instead of depending on the angle you look from.
  משוב מהקטלוג
  השמות “שמול” ו“שליד” תלויים בזווית שמסתכלים ממנה. הניצב שנוגע בזווית הוא הניצב שלידה, והניצב השני נמצא מולה. כשעוברים לזווית האחרת, שני הניצבים מחליפים תפקידים. רק היתר נשאר יתר: הוא תמיד מול הזווית הישרה.
- שגויה $CA$ ⁠
  משוב
  $CA$ ⁠ אמנם נוגעת ב־ $C$ ⁠, אבל היא מול הזווית הישרה: היא היתר, מכל זווית שמסתכלים.
משוב לתשובה נכונה
$BC$ ⁠ יוצאת מ־ $C$ ⁠ ואיננה היתר, ולכן היא הניצב שליד $C$ ⁠. מ־ $A$ ⁠ אותה צלע היא הניצב שמול. השמות שייכים לזווית, לא לצלע.

רמז
הניצב שליד זווית הוא ניצב שנוגע בה. אילו שתי צלעות יוצאות מ־ $C$ ⁠, ואיזו מהן איננה היתר?

פתרון מלא
1. מ־ $C$ ⁠ יוצאות שתי צלעות: $CA$ ⁠ ו־ $CB$ ⁠.
2. $CA$ ⁠ מול הזווית הישרה ב־ $B$ ⁠, ולכן היא היתר.
3. הצלע השנייה שיוצאת מ־ $C$ ⁠, $BC$ ⁠, היא הניצב שליד $C$ ⁠.
4. הניצב שנשאר, $AB$ ⁠, לא נוגע ב־ $C$ ⁠: הוא הניצב שמול $C$ ⁠.
אם בחרתם $AB$ ⁠, השארתם לה את השם שהיה לה מ־ $A$ ⁠. כשעוברים לזווית האחרת, שני הניצבים מחליפים שמות.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
אותה זווית, אותו יחס
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
$A = 30^\circ$ ⁠ ו־ $AB = 4$ ⁠. כשהצלע $AB$ ⁠ תגדל ל־ $8$ ⁠, כל המשולש יגדל פי שניים, והזווית $A$ ⁠ לא תשתנה. מה יקרה ל־ $\sin A$ ⁠, היחס בין הניצב שמול $A$ ⁠ לבין היתר?

התשובה הנכונה
- נכונה יישאר $0.5$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
30 °קבוע
הצלע AB
4
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "sin"
האפשרויות
- נכונה יישאר $0.5$ ⁠
- שגויה יגדל פי שניים, ל־ $1$ ⁠
  טעות נפוצה: Treats sin, cos or tan as a length (a side), not as a ratio of two sides.
  משוב מהקטלוג
  סינוס הוא לא צלע אלא יחס: צלע אחת חלקי צלע אחרת. כשהמשולש גדל פי שניים, גם הניצב וגם היתר גדלים פי שניים, והיחס ביניהם לא משתנה. לכן $\sin A$ ⁠ תלוי רק בזווית, לא בגודל המשולש.
- שגויה יקטן לחצי, ל־ $0.25$ ⁠
  משוב
  גם הניצב וגם היתר גדלים, אז אין סיבה שהיחס יקטן: כל אחד מהם מוכפל באותו מספר.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הצלע AB
8
ואז הסצנה מראה: 0.5 · Triangle: sin A; with a right angle at B, the side opposite A (BC) over the hypotenuse (CA)/nodes/board/outputs/sinA
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
הניצב גדל מ־ $2.31$ ⁠ ל־ $4.62$ ⁠ והיתר מ־ $4.62$ ⁠ ל־ $9.24$ ⁠, והיחס נשאר $0.5$ ⁠. במשולש עם זווית של $30^\circ$ ⁠ הניצב שמולה תמיד חצי מהיתר: $\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠.

פתרון מלא
1. כשכל הצלעות מוכפלות ב־ $2$ ⁠, המשולש החדש דומה לישן: אותן זוויות.
2. $\sin A = \frac{BC}{CA}$ ⁠, והמונה והמכנה מוכפלים שניהם ב־ $2$ ⁠.
3. $\frac{2 \cdot BC}{2 \cdot CA} = \frac{BC}{CA}$ ⁠: היחס לא משתנה.
4. לכן $\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠ בכל משולש ישר זווית עם זווית של $30^\circ$ ⁠.
אם בחרתם שהוא יגדל פי שניים, התייחסתם לסינוס כאל אורך של צלע. הוא יחס בין שתי צלעות.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
לחשב סינוס
תרגול · חשבו
השאלה
$A = 40^\circ$ ⁠. הניצב שמול $A$ ⁠ הוא $5.03$ ⁠, והיתר $7.83$ ⁠. מהו $\sin 40^\circ$ ⁠? ענו בשתי ספרות אחרי הנקודה.

התשובה הנכונה
0.6428 ± 0.006
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
40 °קבוע
הצלע AB
6קבוע
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "sin"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "sinA"
מתקבלת בטווח
± 0.006
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle: sin A; with a right angle at B, the side opposite A (BC) over the hypotenuse (CA)/nodes/board/outputs/sinA
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 5.035 ± 0.05
  טעות נפוצה: Treats sin, cos or tan as a length (a side), not as a ratio of two sides.
  משוב מהקטלוג
  סינוס הוא לא צלע אלא יחס: צלע אחת חלקי צלע אחרת. כשהמשולש גדל פי שניים, גם הניצב וגם היתר גדלים פי שניים, והיחס ביניהם לא משתנה. לכן $\sin A$ ⁠ תלוי רק בזווית, לא בגודל המשולש.
- 0.766 ± 0.006
  טעות נפוצה: Mixes up the opposite and the adjacent side, and so uses cos for sin or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  הניצב שמול הזווית לא נוגע בה; הניצב שליד הזווית הוא אחת משתי הצלעות שיוצרות אותה. סינוס משתמש בניצב שמול, קוסינוס בניצב שליד. כדאי לסמן את שלוש הצלעות לפני שבוחרים יחס.
- 0.8391 ± 0.006
  טעות נפוצה: Picks sin, cos or tan without checking which two sides the question links.
  משוב מהקטלוג
  לפני שבוחרים יחס, שואלים אילו שתי צלעות מעורבות: זו שידועה וזו שמחפשים. מול ויתר: סינוס. ליד ויתר: קוסינוס. מול וליד: טנגנס.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{5.03}{7.83} \approx 0.64$ ⁠. זה $\sin 40^\circ$ ⁠ בכל משולש ישר זווית, גדול או קטן. מחשבון במצב מעלות נותן $0.6428$ ⁠.

רמז
סינוס: הניצב שמול הזווית חלקי היתר.

פתרון מלא
1. סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר: $\sin A = \frac{BC}{CA}$ ⁠.
2. מהלוח: $BC = 5.03$ ⁠ ו־ $CA = 7.83$ ⁠.
3. $\sin 40^\circ = \frac{5.03}{7.83} \approx 0.64$ ⁠.
אם יצא לכם $0.77$ ⁠, חילקתם את הניצב שליד $A$ ⁠, $6$ ⁠, ביתר: זה הקוסינוס. אם עניתם $5.03$ ⁠, נתתם את הצלע עצמה, לא את היחס.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
קוסינוס
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הצלע AB נעולה. קבעו את זווית A כך ש־ $\cos A = 0.5$ ⁠, כלומר הניצב שליד $A$ ⁠ יהיה בדיוק חצי מהיתר, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0.5 ± 0.005
  בתחילת השלב: 0.866
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
30 °
הצלע AB
6קבוע
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "cos"
נקרא מהסצנה בנקודה
Triangle: cos A; with a right angle at B, the side adjacent to A (AB) over the hypotenuse (CA)/nodes/board/outputs/cosA
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
זווית A
60 °
משוב לתשובה נכונה
$\cos 60^\circ = 0.5$ ⁠. זה המשולש מהצעד הקודם, הפוך: הניצב שמול $30^\circ$ ⁠ הוא הניצב שליד $60^\circ$ ⁠, ולכן $\cos 60^\circ = \sin 30^\circ$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כשהזווית גדלה הקוסינוס קטן: השורה התחתונה מראה אותו בכל רגע.

רמז
ב־ $30^\circ$ ⁠ הקוסינוס $0.866$ ⁠. כדי שיקטן, הזווית צריכה לגדול.

פתרון מלא
1. $\cos A = \frac{AB}{CA}$ ⁠, והוא צריך להיות $0.5$ ⁠: היתר ארוך פי שניים מהניצב שליד $A$ ⁠.
2. ב־ $A = 30^\circ$ ⁠ הקוסינוס $0.866$ ⁠, גדול מדי. כשהזווית גדלה, המשולש מזדקף והקוסינוס קטן.
3. בזווית של $60^\circ$ ⁠ הזווית השנייה היא $30^\circ$ ⁠, והניצב שליד $A$ ⁠ הוא הניצב שמול ה־ $30^\circ$ ⁠: חצי מהיתר.
4. קבעו את זווית A ל־ $60^\circ$ ⁠.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
טנגנס
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
$\tan A$ ⁠ הוא הניצב שמול $A$ ⁠ חלקי הניצב שליד $A$ ⁠. מה יהיה $\tan 45^\circ$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $1$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
30 °קבוע
הצלע AB
6קבוע
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "tan"
האפשרויות
- נכונה $1$ ⁠
- שגויה $0.5$ ⁠
  משוב
  $45^\circ$ ⁠ היא חצי מזווית ישרה, אבל היחס בין הצלעות לא חצי. בדקו מה ידוע על שתי הזוויות האחרות במשולש.
- שגויה $0.707$ ⁠
  טעות נפוצה: Picks sin, cos or tan without checking which two sides the question links.
  משוב מהקטלוג
  לפני שבוחרים יחס, שואלים אילו שתי צלעות מעורבות: זו שידועה וזו שמחפשים. מול ויתר: סינוס. ליד ויתר: קוסינוס. מול וליד: טנגנס.
- שגויה $45$ ⁠
  טעות נפוצה: Confuses an angle with its sine, cosine or tangent.
  משוב מהקטלוג
  הזווית נמדדת במעלות, והסינוס, הקוסינוס והטנגנס שלה הם יחסים בין צלעות. $\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠: מ־ $30^\circ$ ⁠ מגיעים ל־ $0.5$ ⁠, ומ־ $0.5$ ⁠ חוזרים ל־ $30^\circ$ ⁠ בפונקציה ההפוכה, $\sin^{-1}$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
זווית A
45 °קבוע
ואז הסצנה מראה: 1 · Triangle: tan A; with a right angle at B, BC over AB/nodes/board/outputs/tanA
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$A = 45^\circ$ ⁠ ו־ $B = 90^\circ$ ⁠, ולכן גם $C = 45^\circ$ ⁠. משולש עם שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים: שני הניצבים שווים, $6$ ⁠ ו־ $6$ ⁠, והיחס ביניהם $1$ ⁠.

פתרון מלא
1. סכום הזוויות $180^\circ$ ⁠: $C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ ⁠.
2. במשולש עם שתי זוויות שוות, הצלעות שמולן שוות: $BC = AB$ ⁠.
3. $\tan 45^\circ = \frac{BC}{AB} = 1$ ⁠.
אם בחרתם $0.707$ ⁠, חישבתם את $\sin 45^\circ$ ⁠ או את $\cos 45^\circ$ ⁠, עם היתר. הטנגנס משתמש בשני הניצבים.

שיעור 2 מתוך 4 · כ־25 דקות

למצוא צלעות וזוויות

זווית וצלע אחת מספיקות כדי לחשב כל צלע אחרת במשולש ישר זווית, ושתי צלעות מספיקות כדי לחשב את הזווית: סולם, רמפה, עץ, ופונקציות הפוכות.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
סולם על קיר
תרגול · חשבו
השאלה
סולם באורך 10 m נשען על קיר בזווית של $60^\circ$ ⁠ לקרקע. לאיזה גובה על הקיר הוא מגיע, במטרים?

התשובה הנכונה
8.66 ± 0.05
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
60 °קבוע
הצלע AB
5קבוע
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "sin"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "sideA"
מתקבלת בטווח
± 0.05
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle: BC, opposite A/nodes/board/outputs/sideA
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 5 ± 0.05
  טעות נפוצה: Mixes up the opposite and the adjacent side, and so uses cos for sin or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  הניצב שמול הזווית לא נוגע בה; הניצב שליד הזווית הוא אחת משתי הצלעות שיוצרות אותה. סינוס משתמש בניצב שמול, קוסינוס בניצב שליד. כדאי לסמן את שלוש הצלעות לפני שבוחרים יחס.
- 0.866 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives the ratio itself as the answer, forgetting to multiply by the known side.
  משוב מהקטלוג
  $\sin A$ ⁠ הוא רק היחס, מספר בלי יחידות. כדי לקבל אורך כופלים אותו בצלע הידועה: אם $\sin A = \frac{x}{c}$ ⁠, אז $x = c \cdot \sin A$ ⁠.
- 11.55 ± 0.05
  טעות נפוצה: Divides the known side by the ratio when it should multiply (or the reverse).
  משוב מהקטלוג
  כתבו את היחס עם הנעלם במקום שלו, ורק אז העבירו אגף. כשהצלע הידועה במכנה, כופלים בה: $\frac{x}{10} = 0.866$ ⁠ נותן $x = 10 \cdot 0.866$ ⁠. כשהנעלם במכנה, מחלקים.
משוב לתשובה נכונה
$10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot 0.866 \approx 8.66$ ⁠ מטרים. אפשר גם לבדוק בפיתגורס: $\sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} \approx 8.66$ ⁠.

רמז
הגובה הוא הניצב שמול הזווית, והסולם הוא היתר. איזה יחס מקשר ביניהם?

פתרון מלא
1. הסולם הוא היתר, $10$ ⁠, והגובה על הקיר הוא הניצב שמול הזווית של $60^\circ$ ⁠.
2. מול ויתר: סינוס. $\sin 60^\circ = \frac{x}{10}$ ⁠.
3. כופלים ב־ $10$ ⁠: $x = 10 \cdot \sin 60^\circ$ ⁠.
4. $\sin 60^\circ \approx 0.866$ ⁠, ולכן $x \approx 8.66$ ⁠ מטרים.
אם יצא לכם $5$ ⁠, השתמשתם בקוסינוס: זה המרחק של רגל הסולם מהקיר. אם יצא לכם $0.866$ ⁠, עצרתם ביחס ושכחתם לכפול ב־ $10$ ⁠.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
רמפה
תרגול · חשבו
השאלה
רמפה באורך 12 m עולה בזווית של $20^\circ$ ⁠. מה האורך שלה לאורך הקרקע, הצלע $AB$ ⁠, במטרים? ( $\cos 20^\circ \approx 0.940$ ⁠)

התשובה הנכונה
11.28 ± 0.05
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
20 °קבוע
הצלע AB
11.28מוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "cos"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "sideC"
מתקבלת בטווח
± 0.05
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle: AB = base, opposite C/nodes/board/outputs/sideC
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 4.104 ± 0.05
  טעות נפוצה: Mixes up the opposite and the adjacent side, and so uses cos for sin or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  הניצב שמול הזווית לא נוגע בה; הניצב שליד הזווית הוא אחת משתי הצלעות שיוצרות אותה. סינוס משתמש בניצב שמול, קוסינוס בניצב שליד. כדאי לסמן את שלוש הצלעות לפני שבוחרים יחס.
- 12.77 ± 0.05
  טעות נפוצה: Divides the known side by the ratio when it should multiply (or the reverse).
  משוב מהקטלוג
  כתבו את היחס עם הנעלם במקום שלו, ורק אז העבירו אגף. כשהצלע הידועה במכנה, כופלים בה: $\frac{x}{10} = 0.866$ ⁠ נותן $x = 10 \cdot 0.866$ ⁠. כשהנעלם במכנה, מחלקים.
משוב לתשובה נכונה
$12 \cdot \cos 20^\circ \approx 12 \cdot 0.940 \approx 11.3$ ⁠ מטרים. בזווית קטנה הניצב שליד כמעט באורך היתר.

רמז
הקרקע היא הניצב שליד הזווית, והרמפה היא היתר.

פתרון מלא
1. הרמפה היא היתר, $12$ ⁠. האורך על הקרקע הוא הניצב שליד הזווית של $20^\circ$ ⁠.
2. ליד ויתר: קוסינוס. $\cos 20^\circ = \frac{x}{12}$ ⁠.
3. $x = 12 \cdot \cos 20^\circ \approx 12 \cdot 0.940 \approx 11.3$ ⁠ מטרים.
אם יצא לכם $4.1$ ⁠, השתמשתם בסינוס: זה הגובה שהרמפה מטפסת, הניצב שמול הזווית.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
גובה של עץ
תרגול · חשבו
השאלה
עומדים 15 m מעץ, ורואים את הצמרת בזווית של $35^\circ$ ⁠ מעל הקרקע. מה גובה העץ, במטרים? ( $\tan 35^\circ \approx 0.700$ ⁠)

התשובה הנכונה
10.5 ± 0.06
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
35 °קבוע
הצלע AB
15קבוע
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "tan"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "sideA"
מתקבלת בטווח
± 0.06
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle: BC, opposite A/nodes/board/outputs/sideA
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 8.6 ± 0.05
  טעות נפוצה: Picks sin, cos or tan without checking which two sides the question links.
  משוב מהקטלוג
  לפני שבוחרים יחס, שואלים אילו שתי צלעות מעורבות: זו שידועה וזו שמחפשים. מול ויתר: סינוס. ליד ויתר: קוסינוס. מול וליד: טנגנס.
- 21.4 ± 0.1
  טעות נפוצה: Divides the known side by the ratio when it should multiply (or the reverse).
  משוב מהקטלוג
  כתבו את היחס עם הנעלם במקום שלו, ורק אז העבירו אגף. כשהצלע הידועה במכנה, כופלים בה: $\frac{x}{10} = 0.866$ ⁠ נותן $x = 10 \cdot 0.866$ ⁠. כשהנעלם במכנה, מחלקים.
משוב לתשובה נכונה
$15 \cdot \tan 35^\circ \approx 15 \cdot 0.700 \approx 10.5$ ⁠ מטרים. בלי לטפס, ובלי לדעת את היתר.

רמז
המרחק הוא הניצב שליד הזווית, והגובה הוא הניצב שמולה. איזה יחס משתמש בשני הניצבים?

פתרון מלא
1. המרחק מהעץ, $15$ ⁠, הוא הניצב שליד הזווית. הגובה הוא הניצב שמולה.
2. מול וליד: טנגנס. $\tan 35^\circ = \frac{h}{15}$ ⁠.
3. $h = 15 \cdot \tan 35^\circ \approx 15 \cdot 0.700 \approx 10.5$ ⁠ מטרים.
אם יצא לכם $8.6$ ⁠, השתמשתם בסינוס, כאילו $15$ ⁠ הוא היתר. אם יצא לכם $21.4$ ⁠, חילקתם ב־ $0.700$ ⁠ במקום לכפול.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
מהיחס לזווית
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הצלע AB נעולה על $4$ ⁠. קבעו את זווית A כך שהניצב שמול $A$ ⁠ יהיה $3$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 3 ± 0.05
  בתחילת השלב: 2.309
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
30 °
הצלע AB
4קבוע
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "tan"
נקרא מהסצנה בנקודה
Triangle: BC, opposite A/nodes/board/outputs/sideA
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
זווית A
37 °
משוב לתשובה נכונה
$37^\circ$ ⁠ נותנת $3.01$ ⁠, הכי קרוב שזווית A יכולה. הזווית המדויקת היא $\tan^{-1} 0.75 \approx 36.87^\circ$ ⁠. זה המשולש $3$ ⁠, $4$ ⁠, $5$ ⁠ מיחידת הגאומטריה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כשהזווית גדלה, הניצב שמולה מתארך: השורה התחתונה מראה את הטנגנס.

רמז
צריך $\tan A = \frac{3}{4} = 0.75$ ⁠. ב־ $30^\circ$ ⁠ הטנגנס $0.577$ ⁠, ב־ $45^\circ$ ⁠ הוא $1$ ⁠.

פתרון מלא
1. הניצב שליד $A$ ⁠ הוא $4$ ⁠, והניצב שמול $A$ ⁠ צריך להיות $3$ ⁠.
2. מול וליד: $\tan A = \frac{3}{4} = 0.75$ ⁠.
3. $0.75$ ⁠ נמצא בין $\tan 30^\circ \approx 0.577$ ⁠ לבין $\tan 45^\circ = 1$ ⁠, ולכן הזווית בין $30^\circ$ ⁠ ל־ $45^\circ$ ⁠.
4. ב־ $37^\circ$ ⁠: $4 \cdot \tan 37^\circ \approx 3.01$ ⁠. הזווית המדויקת היא $\tan^{-1} 0.75 \approx 36.87^\circ$ ⁠.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
הפונקציה ההפוכה
תרגול · חשבו
השאלה
במשולש ישר זווית, הניצב שמול $A$ ⁠ הוא $5$ ⁠ והיתר $10$ ⁠. כמה מעלות יש בזווית $A$ ⁠?

התשובה הנכונה
30 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
זווית A
30 °מוסתר
הצלע AB
8.66מוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Trig/nodes/board/props/trig = "sin"
הגדרות נוספות
Show/nodes/board/props/show = "sides"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "angleA"
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle: the angle at A/nodes/board/outputs/angleA
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.5 ± 0.01
  טעות נפוצה: Confuses an angle with its sine, cosine or tangent.
  משוב מהקטלוג
  הזווית נמדדת במעלות, והסינוס, הקוסינוס והטנגנס שלה הם יחסים בין צלעות. $\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠: מ־ $30^\circ$ ⁠ מגיעים ל־ $0.5$ ⁠, ומ־ $0.5$ ⁠ חוזרים ל־ $30^\circ$ ⁠ בפונקציה ההפוכה, $\sin^{-1}$ ⁠.
- 60 ± 0.5
  טעות נפוצה: Mixes up the opposite and the adjacent side, and so uses cos for sin or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  הניצב שמול הזווית לא נוגע בה; הניצב שליד הזווית הוא אחת משתי הצלעות שיוצרות אותה. סינוס משתמש בניצב שמול, קוסינוס בניצב שליד. כדאי לסמן את שלוש הצלעות לפני שבוחרים יחס.
משוב לתשובה נכונה
$\sin A = \frac{5}{10} = 0.5$ ⁠, ו־ $\sin^{-1} 0.5 = 30^\circ$ ⁠. בחרו הפתרון תחת מבט פנימה כדי לראות את הזווית.

רמז
חשבו קודם את $\sin A$ ⁠. איזו זווית נותנת את הסינוס הזה? פגשתם אותה בשיעור הקודם.

פתרון מלא
1. מול ויתר: $\sin A = \frac{5}{10} = 0.5$ ⁠.
2. מחפשים זווית שהסינוס שלה $0.5$ ⁠: $A = \sin^{-1} 0.5$ ⁠.
3. בשיעור הקודם ראיתם ש־ $\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠, ולכן $A = 30^\circ$ ⁠.
אם עניתם $0.5$ ⁠, עצרתם ביחס: זה הסינוס, לא הזווית. אם עניתם $60^\circ$ ⁠, השתמשתם ב־ $\cos^{-1}$ ⁠, כאילו $5$ ⁠ הוא הניצב שליד $A$ ⁠: $60^\circ$ ⁠ היא הזווית $C$ ⁠.

שיעור 3 מתוך 4 · כ־30 דקות

מעגל היחידה ורדיאנים

סינוס וקוסינוס לכל זווית, גם מעל 90 מעלות: הגובה והרוחב של נקודה על מעגל שרדיוסו 1. ורדיאנים, הדרך השנייה למדוד זוויות.

לפתוח את השיעור

7 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 7
לפתוח את השלב
יותר מ־90 מעלות
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
ב־ $30^\circ$ ⁠ החרוז בגובה $0.5$ ⁠, ולכן $\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠. מה יהיה $\sin 150^\circ$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $0.5$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
30 °קבוע
מעגל / גלים
מעגל
האפשרויות
- נכונה $0.5$ ⁠
- שגויה $-0.5$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks sine and cosine are never negative, as if they were lengths.
  משוב
  ב־ $150^\circ$ ⁠ החרוז עדיין מעל הציר האופקי, ברביע השני: הגובה שלו חיובי. רק הרוחב התחלף לשלילי.
- שגויה אין לו ערך: אין משולש ישר זווית עם זווית של $150^\circ$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks sine and cosine exist only for angles below 90°, because a right triangle has no larger angle.
  משוב מהקטלוג
  במעגל היחידה הסינוס הוא הגובה של הנקודה, והקוסינוס הוא הרוחב שלה, וכך יש להם ערך לכל זווית, גם מעל $90^\circ$ ⁠. בזוויות חדות זה בדיוק היחס שבמשולש, ומעבר להן ההגדרה ממשיכה.
- שגויה $1.5$ ⁠
  משוב
  הגובה של נקודה על מעגל שהרדיוס שלו $1$ ⁠ לא יכול לעבור את $1$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הזווית
150 °קבוע
ואז הסצנה מראה: 0.5 · Unit-circle: sin θ, the bead's height/nodes/board/outputs/sin
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$150^\circ$ ⁠ היא $30^\circ$ ⁠ לפני חצי סיבוב: תמונת ראי של $30^\circ$ ⁠ מעבר לציר האנכי. הגובה זהה, $0.5$ ⁠, והרוחב התהפך: $\cos 150^\circ \approx -0.866$ ⁠.

פתרון מלא
1. על מעגל היחידה, $\sin\theta$ ⁠ הוא הגובה של החרוז.
2. $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ ⁠: החרוז נמצא ברביע השני, בזווית של $30^\circ$ ⁠ מעל הציר האופקי השמאלי.
3. זו תמונת הראי של הנקודה ב־ $30^\circ$ ⁠, מעבר לציר האנכי: אותו גובה, רוחב הפוך.
4. לכן $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = 0.5$ ⁠.
אם בחרתם שאין לו ערך, חשבתם רק על משולש. במעגל היחידה לכל זווית יש סינוס: הגובה של החרוז.
שלב 2 מתוך 7
לפתוח את השלב
סימנים ברביעים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
החרוז יסתובב מ־ $60^\circ$ ⁠ ל־ $240^\circ$ ⁠. אילו סימנים יהיו שם לסינוס ולקוסינוס?

התשובה הנכונה
- נכונה $\sin$ ⁠ שלילי ו־ $\cos$ ⁠ שלילי
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
60 °קבוע
מעגל / גלים
מעגל
האפשרויות
- נכונה $\sin$ ⁠ שלילי ו־ $\cos$ ⁠ שלילי
- שגויה $\sin$ ⁠ חיובי ו־ $\cos$ ⁠ חיובי
  טעות נפוצה: Thinks sine and cosine are never negative, as if they were lengths.
  משוב מהקטלוג
  הסינוס הוא הגובה של הנקודה על מעגל היחידה, והקוסינוס הוא הרוחב שלה, כמו קואורדינטות. מתחת לציר האופקי הגובה שלילי, ומשמאל לציר האנכי הרוחב שלילי.
- שגויה $\sin$ ⁠ שלילי ו־ $\cos$ ⁠ חיובי
  משוב
  כך זה ברביע הרביעי, בין $270^\circ$ ⁠ ל־ $360^\circ$ ⁠: למטה ומימין. $240^\circ$ ⁠ עוד לא הגיעה לשם.
- שגויה $\sin$ ⁠ חיובי ו־ $\cos$ ⁠ שלילי
  משוב
  כך זה ברביע השני, בין $90^\circ$ ⁠ ל־ $180^\circ$ ⁠: למעלה ומשמאל. $240^\circ$ ⁠ כבר עברה את חצי הסיבוב.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הזווית
240 °קבוע
ואז הסצנה מראה: -0.866 · Unit-circle: sin θ, the bead's height/nodes/board/outputs/sin
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$240^\circ$ ⁠ היא $60^\circ$ ⁠ אחרי חצי סיבוב, ברביע השלישי: למטה ומשמאל. $\sin 240^\circ \approx -0.866$ ⁠ ו־ $\cos 240^\circ = -0.5$ ⁠, אותם מספרים כמו ב־ $60^\circ$ ⁠, עם מינוס.

פתרון מלא
1. $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ ⁠: חצי סיבוב ועוד $60^\circ$ ⁠.
2. אחרי חצי סיבוב החרוז בצד השמאלי, מתחת לציר האופקי: הרביע השלישי.
3. מתחת לציר האופקי הגובה שלילי: $\sin 240^\circ < 0$ ⁠.
4. משמאל לציר האנכי הרוחב שלילי: $\cos 240^\circ < 0$ ⁠.
אם בחרתם ששניהם חיוביים, התייחסתם לסינוס ולקוסינוס כאל אורכים. במעגל היחידה הם קואורדינטות, ויכולים להיות שליליים.
שלב 3 מתוך 7
לפתוח את השלב
שתי זוויות, אותו סינוס
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
מצאו זווית בסיבוב הראשון, שאיננה $30^\circ$ ⁠, שגם בה $\sin\theta = 0.5$ ⁠. קבעו את הזווית ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0.5 ± 0.005
  בתחילת השלב: 1
- -0.866 ± 0.01
  בתחילת השלב: 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
90 °
מעגל / גלים
מעגל
נקרא מהסצנה בנקודה
Unit-circle: sin θ, the bead's height/nodes/board/outputs/sin
נקרא מהסצנה בנקודה
Unit-circle: cos θ, the bead's width/nodes/board/outputs/cos
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הזווית
150 °
משוב לתשובה נכונה
$150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ ⁠. לכל גובה בין $-1$ ⁠ ל־ $1$ ⁠ יש שתי זוויות בסיבוב אחד, ולכן $\sin^{-1} 0.5$ ⁠ במחשבון נותן רק אחת מהן, $30^\circ$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. צריך את הנקודה בגובה $0.5$ ⁠ בצד השמאלי של המעגל, שם הקוסינוס שלילי.

רמז
קו אופקי בגובה $0.5$ ⁠ חותך את המעגל פעם מימין ופעם משמאל. הנקודה השמאלית היא תמונת הראי של $30^\circ$ ⁠.

פתרון מלא
1. $\sin\theta = 0.5$ ⁠ פירושו שהחרוז בגובה $0.5$ ⁠.
2. קו אופקי בגובה $0.5$ ⁠ חותך את המעגל בשתי נקודות: ב־ $30^\circ$ ⁠, ובתמונת הראי שלה מעבר לציר האנכי.
3. תמונת הראי נמצאת $30^\circ$ ⁠ לפני חצי סיבוב: $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ ⁠.
4. קבעו את הזווית ל־ $150^\circ$ ⁠.
שלב 4 מתוך 7
לפתוח את השלב
זווית כפולה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
$\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠. מה יהיה $\sin 60^\circ$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה בערך $0.866$ ⁠: יותר מ־ $0.5$ ⁠, פחות מ־ $1$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
30 °קבוע
מעגל / גלים
מעגל
האפשרויות
- שגויה $1$ ⁠: פי שניים
  טעות נפוצה: Thinks doubling the angle doubles the sine: sin 2x = 2 sin x.
  משוב מהקטלוג
  הסינוס לא גדל בקצב קבוע עם הזווית: הגובה על המעגל עולה מהר ליד $0^\circ$ ⁠ ולאט ליד $90^\circ$ ⁠, ולעולם לא עובר את $1$ ⁠. לכן $\sin 60^\circ \approx 0.866$ ⁠, לא $2 \cdot \sin 30^\circ = 1$ ⁠. רק בזוויות קטנות מאוד זה בערך נכון.
- נכונה בערך $0.866$ ⁠: יותר מ־ $0.5$ ⁠, פחות מ־ $1$ ⁠
- שגויה $0.5$ ⁠: אותו דבר
  משוב
  החרוז עולה בין $30^\circ$ ⁠ ל־ $60^\circ$ ⁠, אז הגובה שלו גדל.
- שגויה $0.25$ ⁠: חצי
  משוב
  החרוז עולה בין $30^\circ$ ⁠ ל־ $60^\circ$ ⁠, אז הגובה שלו גדל, לא קטן.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הזווית
60 °קבוע
ואז הסצנה מראה: 0.866 · Unit-circle: sin θ, the bead's height/nodes/board/outputs/sin
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ ⁠. הגובה גדל, אבל לא פי שניים: ככל שהחרוז מתקרב לראש המעגל הוא עולה לאט יותר, ובראש, ב־ $90^\circ$ ⁠, הוא רק $1$ ⁠. לכן $\sin 2x \ne 2\sin x$ ⁠.

פתרון מלא
1. אם $\sin 60^\circ$ ⁠ היה $2 \cdot \sin 30^\circ = 1$ ⁠, החרוז היה בראש המעגל כבר ב־ $60^\circ$ ⁠. אבל לשם הוא מגיע רק ב־ $90^\circ$ ⁠.
2. ב־ $60^\circ$ ⁠ החרוז נמצא באמצע הדרך מ־ $30^\circ$ ⁠ ל־ $90^\circ$ ⁠, בין הגובה $0.5$ ⁠ לגובה $1$ ⁠.
3. בפיתגורס: $\cos 60^\circ = 0.5$ ⁠, ולכן $\sin 60^\circ = \sqrt{1 - 0.5^2} = \sqrt{0.75} \approx 0.866$ ⁠.
אם בחרתם $1$ ⁠, הכפלתם את הסינוס כשהכפלתם את הזווית. הסינוס לא גדל בקצב קבוע: $\sin 2x$ ⁠ אינו $2\sin x$ ⁠.
שלב 5 מתוך 7
לפתוח את השלב
רדיאנים
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
קבעו את הזווית כך שתהיה קרובה ככל האפשר לרדיאן אחד, קשת באורך הרדיוס, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 1 ± 0.01
  בתחילת השלב: 2.094
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
120 °
מעגל / גלים
מעגל
הגדרות נוספות
Angle unit/nodes/board/props/angleUnit = "radians"
נקרא מהסצנה בנקודה
Unit-circle: the angle in radians, the arc it cuts from the unit circle/nodes/board/outputs/radians
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הזווית
57 °
משוב לתשובה נכונה
$57^\circ \approx 0.995$ ⁠ רדיאנים. רדיאן אחד הוא $\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ$ ⁠: קשת באורך הרדיוס.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הלוח כותב את הזווית ברדיאנים ליד החרוז.

רמז
$90^\circ$ ⁠ הם בערך $1.57$ ⁠ רדיאנים. רדיאן אחד הוא קצת יותר מחצי מזה.

פתרון מלא
1. חצי סיבוב הוא $\pi$ ⁠ רדיאנים, כלומר $180^\circ = \pi$ ⁠ רדיאנים.
2. לכן רדיאן אחד הוא $\frac{180^\circ}{\pi} \approx \frac{180^\circ}{3.14} \approx 57.3^\circ$ ⁠.
3. הזווית זזה במעלות שלמות: קבעו אותה ל־ $57^\circ$ ⁠, כ־ $0.995$ ⁠ רדיאנים.
שלב 6 מתוך 7
לפתוח את השלב
סיבוב שלם
תרגול · חשבו
השאלה
חצי סיבוב, $180^\circ$ ⁠, הוא $\pi \approx 3.14$ ⁠ רדיאנים. כמה רדיאנים יש בסיבוב שלם, $360^\circ$ ⁠?

התשובה הנכונה
6.283 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
180 °קבוע
מעגל / גלים
מעגל
הגדרות נוספות
Angle unit/nodes/board/props/angleUnit = "radians"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Unit-circle: the angle in radians, the arc it cuts from the unit circle/nodes/board/outputs/radians
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 3.142 ± 0.01
  טעות נפוצה: Thinks a full turn is π radians rather than 2π.
  משוב מהקטלוג
  $\pi$ ⁠ רדיאנים הם חצי סיבוב, $180^\circ$ ⁠: הקשת לאורך חצי מעגל היחידה. סיבוב שלם הוא כל ההיקף, $2\pi \approx 6.28$ ⁠ רדיאנים.
- 360 ± 0.01
  טעות נפוצה: Ignores whether an angle (or a calculator) is in degrees or radians.
  משוב מהקטלוג
  המספר $30$ ⁠ לבד לא אומר באיזו יחידה הוא. $30^\circ$ ⁠ הם $\frac{1}{12}$ ⁠ סיבוב, אבל $30$ ⁠ רדיאנים הם כמעט חמישה סיבובים שלמים. מחשבון במצב RAD מבין כל מספר כרדיאנים, ובמצב DEG כמעלות: בדקו את המצב לפני שאתם סומכים על התשובה.
משוב לתשובה נכונה
$2\pi \approx 6.28$ ⁠ רדיאנים: ההיקף של מעגל היחידה, $2\pi r$ ⁠ עם $r = 1$ ⁠. הזיזו את הזווית ל־ $360^\circ$ ⁠ כדי לראות.

רמז
סיבוב שלם הוא שני חצאי סיבוב.

פתרון מלא
1. רדיאנים מודדים את אורך הקשת על מעגל היחידה.
2. סיבוב שלם הוא כל ההיקף: $2\pi r = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ ⁠.
3. $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$ ⁠ רדיאנים.
אם עניתם $3.14$ ⁠, זה חצי סיבוב. אם עניתם $360$ ⁠, זה המספר במעלות, לא ברדיאנים.
שלב 7 מתוך 7
לפתוח את השלב
מעלות או רדיאנים במחשבון
תרגול · בחרו
השאלה
מקלידים במחשבון $\sin 30$ ⁠ ומקבלים $-0.988$ ⁠, ולא $0.5$ ⁠. מה קרה?

התשובה הנכונה
- נכונה המחשבון במצב רדיאנים, אז הוא חישב את הסינוס של $30$ ⁠ רדיאנים
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
30 °
מעגל / גלים
מעגל
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה המחשבון במצב רדיאנים, אז הוא חישב את הסינוס של $30$ ⁠ רדיאנים
- שגויה שום דבר: $30$ ⁠ ו־ $30^\circ$ ⁠ הם אותה זווית, אז $-0.988$ ⁠ נכון
  טעות נפוצה: Ignores whether an angle (or a calculator) is in degrees or radians.
  משוב מהקטלוג
  המספר $30$ ⁠ לבד לא אומר באיזו יחידה הוא. $30^\circ$ ⁠ הם $\frac{1}{12}$ ⁠ סיבוב, אבל $30$ ⁠ רדיאנים הם כמעט חמישה סיבובים שלמים. מחשבון במצב RAD מבין כל מספר כרדיאנים, ובמצב DEG כמעלות: בדקו את המצב לפני שאתם סומכים על התשובה.
- שגויה המחשבון עיגל את $0.5$ ⁠ לא נכון
  משוב
  עיגול לא הופך סימן ולא משנה $0.5$ ⁠ ל־ $0.988$ ⁠. המחשבון חישב את הסינוס של זווית אחרת.
משוב לתשובה נכונה
במצב רדיאנים, $30$ ⁠ הם $30$ ⁠ רדיאנים: ארבעה סיבובים שלמים ועוד בערך $279^\circ$ ⁠, ושם החרוז נמוך מאוד, $\sin \approx -0.988$ ⁠. העבירו את המחשבון למצב מעלות, DEG, או המירו: $30^\circ = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$ ⁠ רדיאנים.

רמז
כמה סיבובים הם $30$ ⁠ רדיאנים, אם סיבוב שלם הוא בערך $6.28$ ⁠ רדיאנים?

פתרון מלא
1. סיבוב שלם הוא $2\pi \approx 6.28$ ⁠ רדיאנים, ולכן $30$ ⁠ רדיאנים הם $\frac{30}{6.28} \approx 4.77$ ⁠ סיבובים.
2. ארבעה סיבובים שלמים מחזירים את החרוז למקומו, ונשארים $0.77$ ⁠ סיבוב, בערך $279^\circ$ ⁠.
3. ב־ $279^\circ$ ⁠ החרוז כמעט בתחתית המעגל: $\sin 279^\circ \approx -0.988$ ⁠. זה מה שהמחשבון הראה.
4. כדי לקבל $\sin 30^\circ = 0.5$ ⁠, עברו למצב מעלות.
אם בחרתם שאין הבדל, זו בדיוק הטעות: מספר בלי יחידה הוא מעלות או רדיאנים לפי המצב של המחשבון.

שיעור 4 מתוך 4 · כ־25 דקות

וקטורים ורכיבים

וקטור הוא חץ: אורך וכיוון. הסינוס והקוסינוס מפרקים אותו לרכיב אופקי ולרכיב אנכי, ובעזרת הרכיבים מחברים וקטורים.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
רכיבים
תרגול · חשבו
השאלה
החץ $u$ ⁠ באורך $10$ ⁠, בזווית של $30^\circ$ ⁠ מעל הציר האופקי. מהו הרכיב האופקי שלו, $u_x$ ⁠? ( $\cos 30^\circ \approx 0.866$ ⁠)

התשובה הנכונה
8.66 ± 0.05
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך של u
10קבוע
הכיוון של u
30 °קבוע
הכיוון של v
90 °ברירת מחדלמוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "vectorX"
מתקבלת בטווח
± 0.05
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Vector: the horizontal component of u, length × cos direction/nodes/board/outputs/vectorX
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 5 ± 0.05
  טעות נפוצה: Mixes up the opposite and the adjacent side, and so uses cos for sin or the reverse.
  משוב מהקטלוג
  הניצב שמול הזווית לא נוגע בה; הניצב שליד הזווית הוא אחת משתי הצלעות שיוצרות אותה. סינוס משתמש בניצב שמול, קוסינוס בניצב שליד. כדאי לסמן את שלוש הצלעות לפני שבוחרים יחס.
- 0.866 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives the ratio itself as the answer, forgetting to multiply by the known side.
  משוב מהקטלוג
  $\sin A$ ⁠ הוא רק היחס, מספר בלי יחידות. כדי לקבל אורך כופלים אותו בצלע הידועה: אם $\sin A = \frac{x}{c}$ ⁠, אז $x = c \cdot \sin A$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$u_x = 10 \cdot \cos 30^\circ \approx 8.66$ ⁠. החץ מתקדם $8.66$ ⁠ ימינה ועולה $10 \cdot \sin 30^\circ = 5$ ⁠ למעלה.

רמז
הרכיב האופקי הוא הניצב שליד הזווית, והחץ הוא היתר.

פתרון מלא
1. החץ, הרכיב האופקי והרכיב האנכי יוצרים משולש ישר זווית. החץ הוא היתר, $10$ ⁠.
2. הרכיב האופקי הוא הניצב שליד הזווית של $30^\circ$ ⁠: ליד ויתר, קוסינוס.
3. $u_x = 10 \cdot \cos 30^\circ \approx 10 \cdot 0.866 = 8.66$ ⁠.
אם יצא לכם $5$ ⁠, חישבתם את הרכיב האנכי, עם סינוס. אם יצא לכם $0.866$ ⁠, שכחתם לכפול באורך.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
רכיב שלילי
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
האורך של u נעול על $6$ ⁠. סובבו את הכיוון של u כך שהרכיב האופקי שלו יהיה $-3$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- -3 ± 0.05
  בתחילת השלב: 5.196
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך של u
6קבוע
הכיוון של u
30 °
הכיוון של v
90 °ברירת מחדלמוסתר
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
Vector: the horizontal component of u, length × cos direction/nodes/board/outputs/vectorX
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הכיוון של u
120 °
משוב לתשובה נכונה
$6 \cdot \cos 120^\circ = 6 \cdot (-0.5) = -3$ ⁠. גם $240^\circ$ ⁠ עובדת: שם החץ מצביע שמאלה ולמטה, והרכיב האנכי שלילי גם הוא.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הרכיב האופקי שלילי רק כשהחץ מצביע שמאלה, בין $90^\circ$ ⁠ ל־ $270^\circ$ ⁠.

רמז
צריך $6 \cdot \cos\theta = -3$ ⁠, כלומר $\cos\theta = -0.5$ ⁠. איפה במעגל היחידה הרוחב הוא $-0.5$ ⁠?

פתרון מלא
1. $u_x = 6 \cdot \cos\theta$ ⁠, והוא צריך להיות $-3$ ⁠.
2. לכן $\cos\theta = \frac{-3}{6} = -0.5$ ⁠.
3. $\cos 60^\circ = 0.5$ ⁠. הקוסינוס הוא $-0.5$ ⁠ בתמונת הראי מעבר לציר האנכי: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ ⁠ (וגם ב־ $240^\circ$ ⁠).
4. סובבו את הכיוון של u ל־ $120^\circ$ ⁠.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
מהרכיבים לאורך
תרגול · חשבו
השאלה
לווקטור $u$ ⁠ רכיב אופקי $3$ ⁠ ורכיב אנכי $4$ ⁠. מה האורך שלו?

התשובה הנכונה
5 ± 0.02
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך של u
5מוסתר
הכיוון של u
53.13 °מוסתר
הכיוון של v
90 °ברירת מחדלמוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "vectorLength"
מתקבלת בטווח
± 0.02
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Vector: the length of u/nodes/board/outputs/vectorLength
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 7 ± 0.02
  טעות נפוצה: Adds vector lengths (or a vector's components) as plain numbers, ignoring directions.
  משוב מהקטלוג
  אורכים מתחברים ישירות רק כשהחצים מצביעים לאותו כיוון. אחרת מחברים רכיב לרכיב: הרכיבים האופקיים יחד, והאנכיים יחד. את האורך של התוצאה מוצאים במשפט פיתגורס, והוא תמיד קטן מסכום האורכים או שווה לו.
- 25 ± 0.02
  טעות נפוצה: Adds vector lengths (or a vector's components) as plain numbers, ignoring directions.
  משוב
  $25$ ⁠ הוא $3^2 + 4^2$ ⁠, הריבוע של האורך. נשאר להוציא שורש.
משוב לתשובה נכונה
$|u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ ⁠: משפט פיתגורס. הרכיבים לא מתחברים כמו מספרים, כי הם מצביעים לכיוונים שונים.

רמז
הרכיבים הם הניצבים של משולש ישר זווית, והחץ הוא היתר.

פתרון מלא
1. הרכיב האופקי, $3$ ⁠, והרכיב האנכי, $4$ ⁠, ניצבים זה לזה. החץ הוא היתר של המשולש שהם יוצרים.
2. פיתגורס: $|u|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ⁠.
3. $|u| = \sqrt{25} = 5$ ⁠.
אם עניתם $7$ ⁠, חיברתם את הרכיבים. זה האורך של הדרך אם הולכים קודם ימינה ואחר כך למעלה, לא המרחק בקו ישר.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
חיבור וקטורים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הולכים $4$ ⁠ צעדים מזרחה, ואחר כך $3$ ⁠ צעדים צפונה. כמה רחוק תהיו, בקו ישר, מנקודת ההתחלה?

התשובה הנכונה
- נכונה $5$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך של u
4קבוע
הכיוון של u
0 °קבוע
הכיוון של v
90 °קבוע
הנתונים / הפתרון
הנתוניםקבוע
הגדרות נוספות
Vector2 length/nodes/board/props/vector2Length = 3
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "sumLength"
האפשרויות
- נכונה $5$ ⁠
- שגויה $7$ ⁠
  טעות נפוצה: Adds vector lengths (or a vector's components) as plain numbers, ignoring directions.
  משוב מהקטלוג
  אורכים מתחברים ישירות רק כשהחצים מצביעים לאותו כיוון. אחרת מחברים רכיב לרכיב: הרכיבים האופקיים יחד, והאנכיים יחד. את האורך של התוצאה מוצאים במשפט פיתגורס, והוא תמיד קטן מסכום האורכים או שווה לו.
- שגויה $1$ ⁠
  משוב
  $4 - 3 = 1$ ⁠ נכון רק כשחוזרים אחורה, בכיוון ההפוך. צפונה זה הצידה.
- שגויה $12$ ⁠
  משוב
  $4 \cdot 3 = 12$ ⁠ הוא שטח של מלבן, לא מרחק.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
ואז הסצנה מראה: 5 · Vector: the length of u + v, by Pythagoras from its components/nodes/board/outputs/sumLength
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$u + v = (4, 3)$ ⁠, והאורך שלו $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ ⁠. הלכתם $7$ ⁠ צעדים, אבל אתם רק $5$ ⁠ מההתחלה: אורכים מתחברים ישירות רק כשהולכים כל הזמן באותו כיוון.

פתרון מלא
1. $u = (4, 0)$ ⁠ ו־ $v = (0, 3)$ ⁠. מחברים רכיב לרכיב: $u + v = (4 + 0, 0 + 3) = (4, 3)$ ⁠.
2. הסכום הוא היתר של משולש ישר זווית עם ניצבים $4$ ⁠ ו־ $3$ ⁠.
3. $|u + v| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ ⁠.
אם בחרתם $7$ ⁠, חיברתם את האורכים. $7$ ⁠ הוא אורך הדרך שהלכתם, לא המרחק מההתחלה.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
לחבר רכיב לרכיב
תרגול · חשבו
השאלה
$u = (6, 2)$ ⁠ ו־ $v = (-2, 3)$ ⁠. מה האורך של $u + v$ ⁠?

התשובה הנכונה
6.403 ± 0.02
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך של u
6.325מוסתר
הכיוון של u
18.43 °מוסתר
הכיוון של v
123.7 °מוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Vector2 length/nodes/board/props/vector2Length = 3.605551275
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "sumLength"
מתקבלת בטווח
± 0.02
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Vector: the length of u + v, by Pythagoras from its components/nodes/board/outputs/sumLength
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 9.93 ± 0.03
  טעות נפוצה: Adds vector lengths (or a vector's components) as plain numbers, ignoring directions.
  משוב מהקטלוג
  אורכים מתחברים ישירות רק כשהחצים מצביעים לאותו כיוון. אחרת מחברים רכיב לרכיב: הרכיבים האופקיים יחד, והאנכיים יחד. את האורך של התוצאה מוצאים במשפט פיתגורס, והוא תמיד קטן מסכום האורכים או שווה לו.
- 41 ± 0.02
  טעות נפוצה: Adds vector lengths (or a vector's components) as plain numbers, ignoring directions.
  משוב
  $41$ ⁠ הוא $4^2 + 5^2$ ⁠, הריבוע של האורך. נשאר להוציא שורש.
משוב לתשובה נכונה
$u + v = (4, 5)$ ⁠, ו־ $\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41} \approx 6.40$ ⁠. סכום האורכים, $6.32 + 3.61 \approx 9.93$ ⁠, ארוך בהרבה: הרכיבים האופקיים מושכים לכיוונים הפוכים.

רמז
חברו קודם את הרכיבים: $6 + (-2)$ ⁠ ו־ $2 + 3$ ⁠. אחר כך פיתגורס.

פתרון מלא
1. רכיב אופקי: $6 + (-2) = 4$ ⁠. רכיב אנכי: $2 + 3 = 5$ ⁠. לכן $u + v = (4, 5)$ ⁠.
2. פיתגורס: $|u + v|^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$ ⁠.
3. $|u + v| = \sqrt{41} \approx 6.40$ ⁠.
אם יצא לכם בערך $9.93$ ⁠, חיברתם את האורכים של $u$ ⁠ ושל $v$ ⁠. זה נכון רק כשהם מצביעים לאותו כיוון.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
זווית ישרה בין וקטורים
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
$u$ ⁠ באורך $4$ ⁠ מזרחה, ו־ $v$ ⁠ באורך $3$ ⁠. סובבו את הכיוון של v כך שהאורך של $u + v$ ⁠ יהיה בדיוק $5$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 5 ± 0.02
  בתחילת השלב: 7
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך של u
4קבוע
הכיוון של u
0 °קבוע
הכיוון של v
0 °
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
הגדרות נוספות
Vector2 length/nodes/board/props/vector2Length = 3
נקרא מהסצנה בנקודה
Vector: the length of u + v, by Pythagoras from its components/nodes/board/outputs/sumLength
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הכיוון של v
90 °
משוב לתשובה נכונה
ב־ $90^\circ$ ⁠ (או ב־ $270^\circ$ ⁠) $v$ ⁠ ניצב ל־ $u$ ⁠, והסכום הוא היתר: $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ ⁠. בכיוונים אחרים האורך נע בין $4 - 3 = 1$ ⁠ ל־ $4 + 3 = 7$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. כשהכיוונים זהים האורך $7$ ⁠, וכשהם הפוכים, $1$ ⁠. איפה באמצע?

רמז
$5$ ⁠ הוא היתר של משולש עם ניצבים $4$ ⁠ ו־ $3$ ⁠. איזו זווית צריכה להיות בין $u$ ⁠ לבין $v$ ⁠?

פתרון מלא
1. האורכים $4$ ⁠, $3$ ⁠ ו־ $5$ ⁠ הם המשולש מיחידת הגאומטריה: $3^2 + 4^2 = 5^2$ ⁠.
2. לכן $u + v$ ⁠ באורך $5$ ⁠ כש־ $u$ ⁠ ו־ $v$ ⁠ ניצבים זה לזה.
3. $u$ ⁠ מצביע ב־ $0^\circ$ ⁠, ולכן $v$ ⁠ צריך להצביע ב־ $90^\circ$ ⁠ או ב־ $270^\circ$ ⁠.
4. סובבו את הכיוון של v ל־ $90^\circ$ ⁠.

בכל היחידה · 13 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

סינוס, קוסינוס וטנגנס

שמות לצלעות

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

רמז

פתרון מלא

אותה זווית, אותו יחס

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

לחשב סינוס

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

קוסינוס

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

טנגנס

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

למצוא צלעות וזוויות

סולם על קיר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

רמפה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

גובה של עץ

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מהיחס לזווית

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

הפונקציה ההפוכה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מעגל היחידה ורדיאנים

יותר מ־90 מעלות

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא