מפתח תשובות · יחידה 9

וקטורים והעתקות.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 3

שיעור 1 מתוך 3 · כ־30 דקות

מטריצות שמזיזות את המישור

העתקה לינארית מזיזה את כל המישור יחד, וקווים נשארים ישרים ומקבילים: לאן הולכים וקטורי היחידה, איך בונים את מטריצת הסיבוב, לאן הולכת כל נקודה, ולמה גזירה לא משנה שטח.

לפתוח את השיעור

7 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 7
לפתוח את השלב
וקטורי היחידה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
המתיחה היא $1$ ⁠, הגזירה $0$ ⁠ והסיבוב $90^\circ$ ⁠. לאן יגיע החץ הוורוד, $\hat\imath = (1, 0)$ ⁠?

התשובה הנכונה
- נכונה $(0, 1)$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1קבוע
גזירה
0קבוע
סיבוב
90 °קבוע
החלת ההעתקה
לפניקבוע
האפשרויות
- נכונה $(0, 1)$ ⁠
- שגויה $(0, -1)$ ⁠
  טעות נפוצה: Turns the wrong way: takes a positive angle as clockwise, so the sine terms of a rotation get the wrong sign.
  משוב מהקטלוג
  במתמטיקה זווית חיובית היא סיבוב נגד כיוון השעון, כמו במעגל היחידה. סיבוב של $90^\circ$ ⁠ מעביר את $\hat\imath = (1, 0)$ ⁠ ל־ $(0, 1)$ ⁠, למעלה, ואת $\hat\jmath = (0, 1)$ ⁠ ל־ $(-1, 0)$ ⁠, שמאלה. לכן במטריצת הסיבוב $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ⁠ סימן המינוס נמצא למעלה מימין.
- שגויה $(-1, 0)$ ⁠
  משוב
  $(-1, 0)$ ⁠ הוא חצי סיבוב, $180^\circ$ ⁠. רבע סיבוב מעביר את $\hat\imath$ ⁠ רק עד הציר האנכי.
- שגויה $(1, 0)$ ⁠: הוא לא זז
  משוב
  סיבוב מזיז כל וקטור חוץ מווקטור האפס. רק המרכז נשאר במקומו.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
החלת ההעתקה
אחריקבוע
ואז הסצנה מראה: 1 · Transform: M’s bottom-left entry, the y of M·î/nodes/board/outputs/matrixC
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$(0, 1)$ ⁠: רבע סיבוב נגד כיוון השעון מעביר את $\hat\imath$ ⁠ למעלה, ואת $\hat\jmath$ ⁠ שמאלה, ל־ $(-1, 0)$ ⁠. העמודות של המטריצה הן בדיוק שני המקומות האלה: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ⁠.

פתרון מלא
1. זווית חיובית היא סיבוב נגד כיוון השעון.
2. $\hat\imath$ ⁠ מצביע ב־ $0^\circ$ ⁠; אחרי סיבוב של $90^\circ$ ⁠ הוא מצביע ב־ $90^\circ$ ⁠, למעלה.
3. $(\cos 90^\circ, \sin 90^\circ) = (0, 1)$ ⁠.
אם בחרתם $(0, -1)$ ⁠, סובבתם עם כיוון השעון.
שלב 2 מתוך 7
לפתוח את השלב
מטריצת הסיבוב
תרגול · חשבו
השאלה
הסיבוב הוא $30^\circ$ ⁠, בלי מתיחה ובלי גזירה. מהו האיבר הימני העליון של $M$ ⁠, הרכיב האופקי של המקום שאליו מגיע $\hat\jmath$ ⁠? ענו, ואז גררו את החלת ההעתקה עד הסוף.

התשובה הנכונה
-0.5 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1קבוע
גזירה
0קבוע
סיבוב
30 °קבוע
החלת ההעתקה
לפני
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Transform: M’s top-right entry, the x of M·ĵ/nodes/board/outputs/matrixB
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.5 ± 0.01
  טעות נפוצה: Turns the wrong way: takes a positive angle as clockwise, so the sine terms of a rotation get the wrong sign.
  משוב מהקטלוג
  במתמטיקה זווית חיובית היא סיבוב נגד כיוון השעון, כמו במעגל היחידה. סיבוב של $90^\circ$ ⁠ מעביר את $\hat\imath = (1, 0)$ ⁠ ל־ $(0, 1)$ ⁠, למעלה, ואת $\hat\jmath = (0, 1)$ ⁠ ל־ $(-1, 0)$ ⁠, שמאלה. לכן במטריצת הסיבוב $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ⁠ סימן המינוס נמצא למעלה מימין.
- 0.866 ± 0.01
  טעות נפוצה: Swaps cos and sin in a rotation: takes the x of a turned vector from sin θ.
  משוב מהקטלוג
  וקטור באורך $1$ ⁠ בזווית $\theta$ ⁠ הוא $(\cos\theta, \sin\theta)$ ⁠: הקוסינוס הוא הרכיב האופקי, הניצב שליד הזווית, והסינוס הוא האנכי. כש־ $\hat\jmath$ ⁠ מסתובב ב־ $\theta$ ⁠ הוא מגיע ל־ $(-\sin\theta, \cos\theta)$ ⁠: רבע סיבוב יותר.
משוב לתשובה נכונה
$-\sin 30^\circ = -0.5$ ⁠. $\hat\jmath$ ⁠ מצביע למעלה, ב־ $90^\circ$ ⁠; אחרי הסיבוב הוא ב־ $120^\circ$ ⁠, נוטה שמאלה: $(\cos 120^\circ, \sin 120^\circ) = (-0.5, 0.866)$ ⁠.

רמז
אחרי הסיבוב $\hat\jmath$ ⁠ נוטה שמאלה. מה הסימן של הרכיב האופקי שלו?

פתרון מלא
1. $\hat\jmath$ ⁠ מצביע ב־ $90^\circ$ ⁠. סיבוב של $30^\circ$ ⁠ מביא אותו ל־ $120^\circ$ ⁠.
2. וקטור באורך $1$ ⁠ ב־ $120^\circ$ ⁠ הוא $(\cos 120^\circ, \sin 120^\circ)$ ⁠.
3. $\cos 120^\circ = -\sin 30^\circ = -0.5$ ⁠.
אם יצא לכם $0.5$ ⁠, סובבתם עם כיוון השעון. אם יצא $0.866$ ⁠, לקחתם את הרכיב האנכי.
שלב 3 מתוך 7
לפתוח את השלב
לאן הולכת כל נקודה
תרגול · חשבו
השאלה
המתיחה היא $2$ ⁠, הגזירה $0.5$ ⁠ והסיבוב $0^\circ$ ⁠, כך ש־ $M = \begin{pmatrix} 2 & 0.5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ⁠. לאן מגיעה הפינה $(1, 1)$ ⁠ של ריבוע היחידה? תנו את רכיב ה־ $x$ ⁠. ענו, ואז גררו את החלת ההעתקה.

התשובה הנכונה
2.5 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
2קבוע
גזירה
0.5קבוע
סיבוב
0 °קבוע
החלת ההעתקה
לפני
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Transform: the x of M·(1, 1), the unit square’s far corner, a + b/nodes/board/outputs/cornerX
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2 ± 0.01
  טעות נפוצה: Takes M·(1, 1) from one column only, forgetting that (1, 1) = î + ĵ.
  משוב מהקטלוג
  $(1, 1) = \hat\imath + \hat\jmath$ ⁠, והעתקה לינארית שומרת על חיבור: $M(1, 1) = M\hat\imath + M\hat\jmath$ ⁠, סכום שתי העמודות. כל נקודה $(x, y)$ ⁠ הולכת ל־ $x$ ⁠ פעמים העמודה הראשונה ועוד $y$ ⁠ פעמים השנייה.
משוב לתשובה נכונה
$M(1, 1) = (2 \cdot 1 + 0.5 \cdot 1, \; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = (2.5, 1)$ ⁠: העמודה הראשונה ועוד השנייה.

פתרון מלא
1. $(1, 1) = \hat\imath + \hat\jmath$ ⁠.
2. $M\hat\imath$ ⁠ היא העמודה הראשונה, $(2, 0)$ ⁠, ו־ $M\hat\jmath$ ⁠ השנייה, $(0.5, 1)$ ⁠.
3. $M(1, 1) = (2, 0) + (0.5, 1) = (2.5, 1)$ ⁠.
אם יצא לכם $2$ ⁠, לקחתם רק את $M\hat\imath$ ⁠.
שלב 4 מתוך 7
לפתוח את השלב
גזירה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הגזירה היא $1$ ⁠, בלי מתיחה ובלי סיבוב: כל שורה זזה ימינה כמו הגובה שלה. ריבוע היחידה יהפוך למקבילית. מה יהיה השטח שלה?

התשובה הנכונה
- נכונה $1$ ⁠, כמו הריבוע
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1קבוע
גזירה
1קבוע
סיבוב
0 °קבוע
החלת ההעתקה
לפניקבוע
האפשרויות
- נכונה $1$ ⁠, כמו הריבוע
- שגויה $\sqrt2 \approx 1.41$ ⁠, כי הצלע התארכה
  טעות נפוצה: Thinks a shear changes area because it makes the shape longer.
  משוב מהקטלוג
  גזירה מזיזה כל שורה הצידה, וכמה שהיא רחוקה יותר מהציר, כך היא זזה יותר, כמו חפיסת קלפים שדוחפים לאלכסון. הבסיס והגובה של המקבילית נשארים כמו של הריבוע, ולכן גם השטח: $1 \cdot 1 = 1$ ⁠. הצלעות אמנם מתארכות, אבל הצורה גם נעשית צרה יותר.
- שגויה $2$ ⁠
  משוב
  המקבילית נמשכת על פני $2$ ⁠ יחידות ברוחב, אבל זה רק מהקצה לקצה. הבסיס שלה $1$ ⁠ והגובה $1$ ⁠.
- שגויה $0.5$ ⁠
  משוב
  גזירה לא מוחקת שום דבר מהריבוע: היא רק מסיטה את השורות.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
החלת ההעתקה
אחריקבוע
ואז הסצנה מראה: 1 · Transform: det M = ad − bc, the factor every area is scaled by (negative when flipped)/nodes/board/outputs/determinant
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$1$ ⁠. הבסיס נשאר $1$ ⁠ והגובה נשאר $1$ ⁠, ולכן השטח לא משתנה. הדטרמיננטה בכרטיס היא $1$ ⁠.

פתרון מלא
1. $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ⁠: $\hat\imath$ ⁠ נשאר $(1, 0)$ ⁠, ו־ $\hat\jmath$ ⁠ הולך ל־ $(1, 1)$ ⁠.
2. המקבילית יושבת על אותו בסיס, $1$ ⁠, והקודקוד העליון באותו גובה, $1$ ⁠.
3. שטח = בסיס × גובה = $1$ ⁠. וגם: $\det M = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 1$ ⁠.
שלב 5 מתוך 7
לפתוח את השלב
לבנות מטריצה
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
בנו מטריצה ששולחת את $\hat\imath$ ⁠ ל־ $(0, 2)$ ⁠: ישר למעלה, באורך $2$ ⁠. הגזירה נעולה; שנו את המתיחה ואת הסיבוב, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0 ± 0.01
  בתחילת השלב: 1
- 2 ± 0.01
  בתחילת השלב: 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1
גזירה
0קבוע
סיבוב
0 °
החלת ההעתקה
אחריקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
Transform: M’s top-left entry, the x of M·î/nodes/board/outputs/matrixA
נקרא מהסצנה בנקודה
Transform: M’s bottom-left entry, the y of M·î/nodes/board/outputs/matrixC
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מתיחה
-2
סיבוב
-90 °
משוב לתשובה נכונה
המתיחה $2$ ⁠ מאריכה את $\hat\imath$ ⁠ ל־ $(2, 0)$ ⁠, והסיבוב $90^\circ$ ⁠ מעמיד אותו ל־ $(0, 2)$ ⁠. הגזירה משנה רק את $\hat\jmath$ ⁠, ולכן היא לא הייתה משנה את התשובה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. העמודה הראשונה של $M$ ⁠ היא $M\hat\imath$ ⁠: צריך שהיא תהיה $(0, 2)$ ⁠.

פתרון מלא
1. $M\hat\imath$ ⁠ נקבע רק על ידי המתיחה והסיבוב: קודם $\hat\imath$ ⁠ נמתח ל־ $(s, 0)$ ⁠, ואז מסתובב.
2. האורך צריך להיות $2$ ⁠, ולכן $s = 2$ ⁠.
3. הכיוון צריך להיות למעלה, ולכן הסיבוב $90^\circ$ ⁠.
גם $s = -2$ ⁠ עם סיבוב של $-90^\circ$ ⁠ עובד: $(-2, 0)$ ⁠ שמסתובב עם כיוון השעון מגיע ל־ $(0, 2)$ ⁠.
שלב 6 מתוך 7
לפתוח את השלב
$\hat\jmath$ אחרי סיבוב
תרגול · חשבו
השאלה
מתיחה $1$ ⁠, גזירה $0$ ⁠ וסיבוב $60^\circ$ ⁠. מה האיבר הימני התחתון של $M$ ⁠, הרכיב האנכי של המקום שאליו $\hat\jmath = (0, 1)$ ⁠ מגיע?

התשובה הנכונה
0.5 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1קבוע
גזירה
0קבוע
סיבוב
60 °קבוע
החלת ההעתקה
לפני
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Transform: M’s bottom-right entry, the y of M·ĵ/nodes/board/outputs/matrixD
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 0.866 ± 0.01
  טעות נפוצה: Swaps cos and sin in a rotation: takes the x of a turned vector from sin θ.
  משוב מהקטלוג
  וקטור באורך $1$ ⁠ בזווית $\theta$ ⁠ הוא $(\cos\theta, \sin\theta)$ ⁠: הקוסינוס הוא הרכיב האופקי, הניצב שליד הזווית, והסינוס הוא האנכי. כש־ $\hat\jmath$ ⁠ מסתובב ב־ $\theta$ ⁠ הוא מגיע ל־ $(-\sin\theta, \cos\theta)$ ⁠: רבע סיבוב יותר.
משוב לתשובה נכונה
$0.5$ ⁠: $\cos 60^\circ$ ⁠. $\hat\jmath$ ⁠ נוטה שמאלה, וגובהו יורד לחצי.

רמז
סיבוב ב־ $\theta$ ⁠ שולח את $\hat\jmath$ ⁠ אל $(-\sin\theta, \cos\theta)$ ⁠.

פתרון מלא
1. העמודה השנייה של $M$ ⁠ היא המקום שאליו $\hat\jmath$ ⁠ מגיע: $(-\sin 60^\circ, \cos 60^\circ)$ ⁠.
2. הרכיב האנכי: $\cos 60^\circ = 0.5$ ⁠.
3. כל המטריצה: $M = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.866 \\ 0.866 & 0.5 \end{pmatrix}$ ⁠.
אם עניתם $0.866$ ⁠, החלפתם בין הסינוס לקוסינוס. אחרי סיבוב קטן $\hat\jmath$ ⁠ עדיין כמעט למעלה, ולכן הרכיב האנכי שלו קרוב ל־ $1$ ⁠ כשהזווית קטנה: זה הקוסינוס.
שלב 7 מתוך 7
לפתוח את השלב
האלכסון
תרגול · חשבו
השאלה
מתיחה $1$ ⁠, גזירה $0$ ⁠ וסיבוב $45^\circ$ ⁠. הפינה $(1, 1)$ ⁠ של ריבוע היחידה מסתובבת יחד עם המישור. לאיזה גובה, $y$ ⁠, היא מגיעה?

התשובה הנכונה
1.414 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1קבוע
גזירה
0קבוע
סיבוב
45 °קבוע
החלת ההעתקה
לפני
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Transform: the y of M·(1, 1), c + d/nodes/board/outputs/cornerY
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1 ± 0.01
  טעות נפוצה: Takes M·(1, 1) from one column only, forgetting that (1, 1) = î + ĵ.
  משוב מהקטלוג
  $(1, 1) = \hat\imath + \hat\jmath$ ⁠, והעתקה לינארית שומרת על חיבור: $M(1, 1) = M\hat\imath + M\hat\jmath$ ⁠, סכום שתי העמודות. כל נקודה $(x, y)$ ⁠ הולכת ל־ $x$ ⁠ פעמים העמודה הראשונה ועוד $y$ ⁠ פעמים השנייה.
משוב לתשובה נכונה
$\sqrt{2} \approx 1.414$ ⁠: האלכסון עומד זקוף על הציר האנכי.

רמז
$M \cdot (1, 1)$ ⁠ הוא סכום שתי העמודות של $M$ ⁠: המקום שאליו $\hat\imath$ ⁠ מגיע ועוד המקום שאליו $\hat\jmath$ ⁠ מגיע.

פתרון מלא
1. $\hat\imath$ ⁠ מגיע אל $(\cos 45^\circ, \sin 45^\circ) \approx (0.707, 0.707)$ ⁠.
2. $\hat\jmath$ ⁠ מגיע אל $(-\sin 45^\circ, \cos 45^\circ) \approx (-0.707, 0.707)$ ⁠.
3. הסכום: $(0, 1.414)$ ⁠. הפינה מגיעה בדיוק אל הציר האנכי, בגובה $\sqrt{2}$ ⁠.
זה הגיוני: האלכסון של הריבוע ארוך $\sqrt{2}$ ⁠ ונטוי ב־ $45^\circ$ ⁠, וסיבוב של $45^\circ$ ⁠ מעמיד אותו זקוף. אם עניתם $1$ ⁠, חיברתם רק עמודה אחת.

שיעור 2 מתוך 3 · כ־20 דקות

הדטרמיננטה

כל העתקה לינארית מכפילה כל שטח באותו מקדם, הדטרמיננטה ad − bc: למה סיבוב וגזירה שומרים על שטח, מה אומרת דטרמיננטה שלילית, ומה קורה כשהיא אפס.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
מקדם השטח
תרגול · חשבו
השאלה
$M$ ⁠ נבנה ממתיחה של $1.5$ ⁠, גזירה של $0.5$ ⁠ וסיבוב של $30^\circ$ ⁠. פי כמה יגדל כל שטח במישור? ענו, ואז גררו את החלת ההעתקה וקראו את $\det M$ ⁠ בכרטיס.

התשובה הנכונה
1.5 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1.5קבוע
גזירה
0.5קבוע
סיבוב
30 °קבוע
החלת ההעתקה
לפני
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Transform: det M = ad − bc, the factor every area is scaled by (negative when flipped)/nodes/board/outputs/determinant
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 1.677 ± 0.01
  טעות נפוצה: Takes the area scale as the product of the lengths of the two image vectors, ignoring the angle between them.
  משוב מהקטלוג
  שטח של מקבילית הוא בסיס כפול גובה, לא כפול הצלע השנייה. אורכי $M\hat\imath$ ⁠ ו־ $M\hat\jmath$ ⁠ נותנים את השטח רק כשהם ניצבים. בכל מקרה אחר השטח קטן יותר, והוא $|\det M| = |ad - bc|$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$\det M = 1.5$ ⁠. הסיבוב והגזירה לא משנים שטח, ולכן רק המתיחה נשארת.

פתרון מלא
1. $M$ ⁠ היא שלושה צעדים: מתיחה, גזירה, סיבוב. הדטרמיננטה של מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות.
2. מתיחה של $\hat\imath$ ⁠ ב־ $1.5$ ⁠: $\det = 1.5$ ⁠. גזירה: $\det = 1$ ⁠. סיבוב: $\det = \cos^2 30^\circ + \sin^2 30^\circ = 1$ ⁠.
3. $\det M = 1.5 \cdot 1 \cdot 1 = 1.5$ ⁠.
אם יצא לכם בערך $1.68$ ⁠, כפלתם את אורכי שני החצים: זה נכון רק כשהם ניצבים.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
כל צורה
תרגול · חשבו
השאלה
לפני ההעתקה השטח של ה־F הוא בערך $1.055$ ⁠. מה יהיה השטח שלה אחרי אותה $M$ ⁠?

התשובה הנכונה
1.583 ± 1%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1.5קבוע
גזירה
0.5קבוע
סיבוב
30 °קבוע
החלת ההעתקה
אחרי
מתקבלת בטווח
± 1%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Transform: the F’s area after M, |det M| times its area before/nodes/board/outputs/shapeArea
משוב לתשובה נכונה
$1.5 \cdot 1.055 \approx 1.58$ ⁠. הדטרמיננטה היא מקדם השטח של כל צורה, לא רק של ריבוע היחידה: גם ה־F מתמלאת בריבועים קטנים, וכל אחד מהם גדל פי $1.5$ ⁠.

פתרון מלא
1. העתקה לינארית מכפילה כל שטח באותו מקדם, $|\det M|$ ⁠.
2. $\det M = 1.5$ ⁠.
3. השטח החדש: $1.5 \cdot 1.055 \approx 1.58$ ⁠.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
דטרמיננטה שלילית
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
המתיחה היא $-1$ ⁠, בלי גזירה ובלי סיבוב: $\hat\imath$ ⁠ הולך ל־ $(-1, 0)$ ⁠ ו־ $\hat\jmath$ ⁠ נשאר. מה יקרה ל־F?

התשובה הנכונה
- נכונה היא תתהפך לתמונת ראי, והצד האחורי שלה ייראה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
-1קבוע
גזירה
0קבוע
סיבוב
0 °קבוע
החלת ההעתקה
לפניקבוע
האפשרויות
- נכונה היא תתהפך לתמונת ראי, והצד האחורי שלה ייראה
- שגויה היא תסתובב ב־ $180^\circ$ ⁠, על הראש
  טעות נפוצה: Confuses a reflection with a half turn.
  משוב מהקטלוג
  סיבוב של $180^\circ$ ⁠ הופך את ה־F “על הראש”, אבל הוא עדיין אותה F, שאפשר להחזיר בסיבוב. שיקוף הופך אותה לתמונת ראי שלה, F הפוכה, ושום סיבוב לא יחזיר אותה. לכן לסיבוב יש דטרמיננטה $1$ ⁠, ולשיקוף $-1$ ⁠.
- שגויה היא תימחץ לקו
  משוב
  מחיצה לקו קורית כשהמתיחה $0$ ⁠. ב־ $-1$ ⁠ האורכים נשמרים, רק הכיוון מתהפך.
- שגויה שום דבר: האורכים לא משתנים
  משוב
  האורכים אכן נשמרים, אבל ימין ושמאל מתחלפים: $(x, y)$ ⁠ הולך ל־ $(-x, y)$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
החלת ההעתקה
אחריקבוע
ואז הסצנה מראה: -1 · Transform: det M = ad − bc, the factor every area is scaled by (negative when flipped)/nodes/board/outputs/determinant
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
ה־F מתהפכת לתמונת ראי, כמו דף שהופכים, ו־ $\det M = -1$ ⁠. הסימן השלילי אומר שההעתקה הפכה את כיוון המישור: מה שהיה נגד כיוון השעון נעשה עם כיוון השעון.

פתרון מלא
1. $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ⁠ שולחת $(x, y)$ ⁠ ל־ $(-x, y)$ ⁠: שיקוף בציר האנכי.
2. $\det M = -1 \cdot 1 - 0 = -1$ ⁠: השטח נשמר, והכיוון מתהפך.
3. סיבוב של $180^\circ$ ⁠ שולח $(x, y)$ ⁠ ל־ $(-x, -y)$ ⁠, עם $\det = 1$ ⁠: זו העתקה אחרת.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
דטרמיננטה אפס
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
מחצו את כל המישור לקו אחד: שנו את הפקדים כך ש־ $\det M = 0$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 0 ± 0.001
  בתחילת השלב: 1.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1.5
גזירה
0.5
סיבוב
30 °
החלת ההעתקה
אחריקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
Transform: det M = ad − bc, the factor every area is scaled by (negative when flipped)/nodes/board/outputs/determinant
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
מתיחה
0
גזירה
-1.5
סיבוב
-180 °
משוב לתשובה נכונה
המתיחה $0$ ⁠ מוחצת את $\hat\imath$ ⁠ לאפס, וכל המישור נופל על הקו של $M\hat\jmath$ ⁠. לכל צורה יש עכשיו שטח $0$ ⁠, ואי אפשר להחזיר את ההעתקה: נקודות רבות נוחתות על אותה נקודה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הגזירה והסיבוב לא משנים שטח. איזה פקד כן?

פתרון מלא
1. כאן $\det M$ ⁠ שווה למתיחה, כי הגזירה והסיבוב שומרים על שטח.
2. $\det M = 0$ ⁠ כשהמתיחה $0$ ⁠.
3. קבעו את המתיחה על $0$ ⁠.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
מה משנה שטח
תרגול · בחרו
השאלה
אילו מהפקדים משנים את השטח של ה־F? סמנו את כל הנכונים. נסו כל אחד בנפרד.

התשובה הנכונה
- נכונה המתיחה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
מתיחה
1
גזירה
0
סיבוב
0 °
החלת ההעתקה
אחרי
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה המתיחה
- שגויה הגזירה
  טעות נפוצה: Thinks a shear changes area because it makes the shape longer.
  משוב מהקטלוג
  גזירה מזיזה כל שורה הצידה, וכמה שהיא רחוקה יותר מהציר, כך היא זזה יותר, כמו חפיסת קלפים שדוחפים לאלכסון. הבסיס והגובה של המקבילית נשארים כמו של הריבוע, ולכן גם השטח: $1 \cdot 1 = 1$ ⁠. הצלעות אמנם מתארכות, אבל הצורה גם נעשית צרה יותר.
- שגויה הסיבוב
  משוב
  סיבוב מזיז את ה־F כגוף קשיח: שום אורך ושום זווית לא משתנים, ולכן גם לא השטח.
משוב לתשובה נכונה
רק המתיחה: $\det M$ ⁠ שווה לה. גזירה וסיבוב שומרים על שטח, ולכן בכרטיס הדטרמיננטה לא זזה כשמזיזים אותם.

פתרון מלא
1. לסיבוב $\det = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ⁠.
2. לגזירה $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ⁠ יש $\det = 1$ ⁠.
3. למתיחה $\begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ⁠ יש $\det = s$ ⁠.
4. לכן רק המתיחה משנה שטח.

שיעור 3 מתוך 3 · כ־30 דקות

סימטריה

סימטריה היא תנועה שמשאירה צורה כפי שהייתה: סיבובים ושיקופים, כמה סימטריות יש לדוגמה, איך שני שיקופים יוצרים סיבוב, ולמה ריצוף יכול לחזור רק על סיבובים מסדר 1, 2, 3, 4 או 6.

לפתוח את השיעור

8 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 8
לפתוח את השלב
לספור סימטריות
תרגול · חשבו
השאלה
הדוגמה היא פתית שלג: $6$ ⁠ סיבובים ו־ $6$ ⁠ מראות. כמה תנועות משאירות אותה בדיוק כפי שהייתה, כולל לא לעשות כלום?

התשובה הנכונה
12 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
6 בסיבובקבוע
מראות
פועלקבוע
מציאת הסימטריה
תבניתקבוע
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
How many moves leave the plate unchanged, doing nothing included: n turns, and n mirrors more with mirrors on/nodes/plate/outputs/symmetries
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 6 ± 0
  טעות נפוצה: Counts only the turns of a pattern and forgets its reflections.
  משוב מהקטלוג
  גם שיקוף במראה הוא סימטריה: הוא משאיר את הדוגמה כפי שהייתה. בדוגמה עם $n$ ⁠ סיבובים ו־ $n$ ⁠ מראות, $D_n$ ⁠, יש $2n$ ⁠ סימטריות: $n$ ⁠ סיבובים (כולל הסיבוב באפס, לא לעשות כלום) ועוד $n$ ⁠ שיקופים.
משוב לתשובה נכונה
$12$ ⁠: הסיבובים ב־ $0^\circ, 60^\circ, \dots, 300^\circ$ ⁠ ועוד שישה שיקופים. החבורה נקראת $D_6$ ⁠.

פתרון מלא
1. הסיבוב הקטן ביותר הוא $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ ⁠, ולכן יש $6$ ⁠ סיבובים: $0^\circ$ ⁠ עד $300^\circ$ ⁠.
2. יש $6$ ⁠ מראות, ושיקוף בכל אחת הוא סימטריה.
3. ביחד: $6 + 6 = 12$ ⁠.
אם עניתם $6$ ⁠, שכחתם את השיקופים.
שלב 2 מתוך 8
לפתוח את השלב
אותו גודל, צורות אחרות
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
שנו את סדר הסיבוב ואת המראות כך שלדוגמה יהיו בדיוק $8$ ⁠ סימטריות, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 8 ± 0.1
  בתחילת השלב: 12
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
6 בסיבוב
מראות
פועל
מציאת הסימטריה
תבניתקבוע
נקרא מהסצנה בנקודה
How many moves leave the plate unchanged, doing nothing included: n turns, and n mirrors more with mirrors on/nodes/plate/outputs/symmetries
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
סדר הסיבוב
8 בסיבוב
מראות
כבוי
משוב לתשובה נכונה
יש שתי דרכים: ריבוע, $D_4$ ⁠, עם $4$ ⁠ סיבובים ו־ $4$ ⁠ מראות, או $C_8$ ⁠, עם $8$ ⁠ סיבובים ובלי מראות. שתי חבורות שונות באותו גודל.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. בלי מראות יש $n$ ⁠ סימטריות, ועם מראות $2n$ ⁠.

פתרון מלא
1. עם מראות, $D_n$ ⁠ יש $2n$ ⁠ סימטריות: $2n = 8$ ⁠ נותן $n = 4$ ⁠.
2. בלי מראות, $C_n$ ⁠ יש $n$ ⁠: $n = 8$ ⁠.
3. קבעו $4$ ⁠ עם המראות, או $8$ ⁠ בלעדיהן.
שלב 3 מתוך 8
לפתוח את השלב
הזווית בין המראות
תרגול · חשבו
השאלה
לכוכב הים יש $5$ ⁠ סיבובים ו־ $5$ ⁠ מראות, $D_5$ ⁠. מהי הזווית בין שתי מראות שכנות?

התשובה הנכונה
36 ° ± 0.5 °
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
5 בסיבובקבוע
מראות
פועלקבוע
מציאת הסימטריה
תבניתקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.5 °
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The angle between neighbouring mirror lines, 180° / n; NaN with fewer than two mirrors/nodes/plate/outputs/mirrorAngle
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 72 ° ± 0.5 °
  טעות נפוצה: Expects the mirrors of Dₙ to be 360°/n apart, as the turns are, instead of 180°/n.
  משוב מהקטלוג
  כל מראה היא קו שלם דרך המרכז, ולכן היא מופיעה פעמיים מסביב: $n$ ⁠ קווים חוצים את המעגל ל־ $2n$ ⁠ פלחים. הזווית בין מראות שכנות היא $\frac{180^\circ}{n}$ ⁠, חצי מהסיבוב הקטן ביותר.
משוב לתשובה נכונה
$\frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$ ⁠. חמשת קווי המראה עוברים במרכז, ולכן הם חוצים את המעגל לעשרה פלחים.

פתרון מלא
1. כל מראה היא קו שלם דרך המרכז, ופוגשת את שפת הצלחת פעמיים.
2. $5$ ⁠ קווים חוצים את $360^\circ$ ⁠ ל־ $10$ ⁠ פלחים שווים.
3. $\frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$ ⁠, כלומר $\frac{180^\circ}{n}$ ⁠.
אם עניתם $72^\circ$ ⁠, זה הסיבוב הקטן ביותר, $\frac{360^\circ}{5}$ ⁠.
שלב 4 מתוך 8
לפתוח את השלב
שני שיקופים
תרגול · בחרו
השאלה
שקפו את המוטיב במראה אחת של $D_5$ ⁠, ואז במראה השכנה לה, $36^\circ$ ⁠ ממנה. איזו תנועה אחת עושה את אותו הדבר?

התשובה הנכונה
- נכונה סיבוב של $72^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
5 בסיבובקבוע
מראות
פועלקבוע
מציאת הסימטריה
תבנית
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה סיבוב של $72^\circ$ ⁠
- שגויה סיבוב של $36^\circ$ ⁠
  משוב
  שני שיקופים מסובבים בכפליים מהזווית שבין המראות: $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$ ⁠.
- שגויה שיקוף במראה שלישית
  משוב
  כל שיקוף הופך את המוטיב לתמונת ראי. שניים מחזירים אותו לצד הישר, ולכן התוצאה היא סיבוב.
- שגויה לא לעשות כלום
  משוב
  זה נכון רק כששני השיקופים באותה מראה.
משוב לתשובה נכונה
סיבוב של $72^\circ$ ⁠: שני שיקופים במראות שהזווית ביניהן $\alpha$ ⁠ הם סיבוב של $2\alpha$ ⁠. לכן הסיבובים של $D_n$ ⁠ נובעים כבר מהמראות שלו.

פתרון מלא
1. כל שיקוף הופך את כיוון המישור ( $\det = -1$ ⁠), ושניים מחזירים אותו ( $(-1)(-1) = 1$ ⁠): התוצאה היא סיבוב.
2. נקודה על המראה הראשונה עוברת בשיקוף השני לזווית $2 \cdot 36^\circ$ ⁠ ממנה.
3. לכן זה סיבוב של $72^\circ$ ⁠, אחד הסיבובים של $D_5$ ⁠.
שלב 5 מתוך 8
לפתוח את השלב
ריצוף
תרגול · בחרו
השאלה
איזה מסדרי הסיבוב האלה יכול ריצוף לחזור עליו, עם אריחים זהים שמכסים את כל הרצפה? סמנו את כולם. ענו, ואז העבירו את מציאת הסימטריה לריצוף ובדקו כל אחד.

התשובה הנכונה
- נכונה $3$ ⁠
- נכונה $4$ ⁠
- נכונה $6$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
5 בסיבוב
מראות
פועל
מציאת הסימטריה
תבנית
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי. יותר מאפשרות נכונה אחת: צריך לסמן את כולן.
- נכונה $3$ ⁠
- נכונה $4$ ⁠
- שגויה $5$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks a floor can repeat a turn of any order, five- and eight-fold included.
  משוב מהקטלוג
  ריצוף חוזר על עצמו בהזזות, ולכן הסימטריות שלו חייבות להתאים לשריג. סיבוב של $\frac{360^\circ}{n}$ ⁠ מתאים לשריג רק כש־ $2\cos\frac{360^\circ}{n}$ ⁠ הוא מספר שלם: $n = 1, 2, 3, 4, 6$ ⁠ בלבד. מחומשים משאירים רווחים, ומתומנים חופפים.
- נכונה $6$ ⁠
- שגויה $8$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks a floor can repeat a turn of any order, five- and eight-fold included.
  משוב מהקטלוג
  ריצוף חוזר על עצמו בהזזות, ולכן הסימטריות שלו חייבות להתאים לשריג. סיבוב של $\frac{360^\circ}{n}$ ⁠ מתאים לשריג רק כש־ $2\cos\frac{360^\circ}{n}$ ⁠ הוא מספר שלם: $n = 1, 2, 3, 4, 6$ ⁠ בלבד. מחומשים משאירים רווחים, ומתומנים חופפים.
משוב לתשובה נכונה
$3$ ⁠, $4$ ⁠ ו־ $6$ ⁠: משולשים, ריבועים ומשושים. ריצוף יכול לחזור רק על סיבובים מסדר $1$ ⁠, $2$ ⁠, $3$ ⁠, $4$ ⁠ או $6$ ⁠. לכן אין גבישים עם סימטריה מחומשת, ופתיתי שלג תמיד משושים.

פתרון מלא
1. סביב פינה של ריצוף באריחים משוכללים, הזוויות צריכות להשלים $360^\circ$ ⁠.
2. במשולש $60^\circ$ ⁠ (שישה בפינה), בריבוע $90^\circ$ ⁠ (ארבעה), במשושה $120^\circ$ ⁠ (שלושה).
3. במחומש $108^\circ$ ⁠: שלושה הם $324^\circ$ ⁠, ונשאר רווח. במתומן $135^\circ$ ⁠: שלושה הם $405^\circ$ ⁠, חפיפה.
4. באופן כללי, סיבוב של $\frac{360^\circ}{n}$ ⁠ מתאים לשריג רק כש־ $2\cos\frac{360^\circ}{n}$ ⁠ שלם: $n = 1, 2, 3, 4, 6$ ⁠.
שלב 6 מתוך 8
לפתוח את השלב
שמונה פעמים
תרגול · חשבו
השאלה
סדר הסיבוב נעול על $8$ ⁠: התבנית חוזרת לעצמה שמונה פעמים בסיבוב שלם. מה הסיבוב הקטן ביותר שמחזיר אותה בדיוק כפי שהייתה?

התשובה הנכונה
45 ° ± 0.1 °
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
8 בסיבובקבוע
מראות
פועל
מציאת הסימטריה
תבנית
מתקבלת בטווח
± 0.1 °
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The smallest turn that brings the pattern back, 360° / n/nodes/plate/outputs/turnAngle
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 22.5 ° ± 0.1 °
  טעות נפוצה: Expects the mirrors of Dₙ to be 360°/n apart, as the turns are, instead of 180°/n.
  משוב מהקטלוג
  כל מראה היא קו שלם דרך המרכז, ולכן היא מופיעה פעמיים מסביב: $n$ ⁠ קווים חוצים את המעגל ל־ $2n$ ⁠ פלחים. הזווית בין מראות שכנות היא $\frac{180^\circ}{n}$ ⁠, חצי מהסיבוב הקטן ביותר.
משוב לתשובה נכונה
$45^\circ$ ⁠: שמינית סיבוב.

רמז
שמונה סיבובים שווים יחד הם סיבוב שלם.

פתרון מלא
1. סיבוב שלם הוא $360^\circ$ ⁠.
2. התבנית חוזרת $8$ ⁠ פעמים, ולכן הסיבוב הקטן ביותר $\dfrac{360}{8} = 45^\circ$ ⁠.
3. גם $90^\circ$ ⁠, $135^\circ$ ⁠ וכן הלאה מחזירים אותה: כל כפולה של $45^\circ$ ⁠.
אם עניתם $22.5^\circ$ ⁠, נתתם את הזווית בין שתי מראות סמוכות, $\dfrac{180}{8}$ ⁠. הסיבוב גדול ממנה פי שניים.
שלב 7 מתוך 8
לפתוח את השלב
שבשבת
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
בנו שבשבת: תבנית שחוזרת לעצמה אחרי רבע סיבוב, אבל שאין בה אף קו מראה. שנו את סדר הסיבוב ואת מראות, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 90 ± 0.1
  בתחילת השלב: 60
- 0 ± 0
  בתחילת השלב: 6
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
6 בסיבוב
מראות
פועל
מציאת הסימטריה
תבנית
נקרא מהסצנה בנקודה
The smallest turn that brings the pattern back, 360° / n/nodes/plate/outputs/turnAngle
נקרא מהסצנה בנקודה
Mirror lines through the centre: n with mirrors on, 0 without/nodes/plate/outputs/mirrorLines
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
סדר הסיבוב
4 בסיבוב
מראות
כבוי
משוב לתשובה נכונה
סדר $4$ ⁠ בלי מראות: ארבעה סיבובים, ושום שיקוף.

רמז
כמה פעמים חוזרת לעצמה תבנית שחוזרת אחרי רבע סיבוב?

פתרון מלא
1. רבע סיבוב הוא $90^\circ = \dfrac{360^\circ}{4}$ ⁠, ולכן סדר הסיבוב $4$ ⁠.
2. כדי שלא יהיה אף קו מראה, מכבים את מראות.
3. נשארות $4$ ⁠ סימטריות: סיבובים של $0^\circ$ ⁠, $90^\circ$ ⁠, $180^\circ$ ⁠ ו־ $270^\circ$ ⁠.
לשבשבת יש כיוון: היא מסתובבת לצד אחד. התמונה שלה במראה מסתובבת לצד השני, ולכן היא לא סימטרית במראה.
שלב 8 מתוך 8
לפתוח את השלב
הגדול ביותר שמרצף
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
ב־ $5$ ⁠ אי אפשר לרצף רצפה. מצאו את סדר הסיבוב הגדול ביותר שאריחים זהים, שמכסים רצפה שלמה, יכולים לחזור עליו, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 1 ± 0
  בתחילת השלב: 0
- 60 ± 0.1
  בתחילת השלב: 72
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סדר הסיבוב
5 בסיבוב
מראות
פועל
מציאת הסימטריה
ריצוף
נקרא מהסצנה בנקודה
1 when a floor of tiles can repeat this many-fold turn (1, 2, 3, 4 or 6), 0 when it cannot/nodes/plate/outputs/tiles
נקרא מהסצנה בנקודה
The smallest turn that brings the pattern back, 360° / n/nodes/plate/outputs/turnAngle
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
סדר הסיבוב
6 בסיבוב
מראות
כבוי
משוב לתשובה נכונה
$6$ ⁠, כמו בחלות דבש: אחריו שום סדר לא מרצף רצפה.

רמז
נסו גם סדרים גבוהים מ־ $5$ ⁠, וגררו את מציאת הסימטריה לריצוף כדי לראות אם הם מתאימים.

פתרון מלא
1. ריצוף חוזר על עצמו בהזזות, ושתי נקודות סיבוב סמוכות חייבות להתאים לשריג של ההזזות.
2. רק $1$ ⁠, $2$ ⁠, $3$ ⁠, $4$ ⁠ ו־ $6$ ⁠ מתאימים: אלה הסדרים שבהם $2\cos\dfrac{360^\circ}{n}$ ⁠ הוא מספר שלם.
3. $7$ ⁠ ו־ $8$ ⁠ כבר לא, ולכן הגדול ביותר הוא $6$ ⁠: חלות דבש.
זה חוק ההגבלה הקריסטלוגרפית: בגבישים, שהם ריצוף בשלושה ממדים, אין סימטריה של $5$ ⁠, $7$ ⁠ או $8$ ⁠.

בכל היחידה · 9 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

מטריצות שמזיזות את המישור

וקטורי היחידה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

מטריצת הסיבוב

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

לאן הולכת כל נקודה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

פתרון מלא

גזירה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

לבנות מטריצה

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

$\hat\jmath$ אחרי סיבוב

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

האלכסון

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

הדטרמיננטה

מקדם השטח

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

פתרון מלא

כל צורה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

פתרון מלא

דטרמיננטה שלילית

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

דטרמיננטה אפס

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

פתרון מלא

מה משנה שטח

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

פתרון מלא

סימטריה