מפתח תשובות · יחידה 7

גאומטריה.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 5

שיעור 1 מתוך 5 · כ־25 דקות

זוויות ומשולשים

זוויות צמודות וזוויות קודקודיות, זוויות בין ישרים מקבילים, ולמה סכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
זוויות על קו ישר
תרגול · חשבו
השאלה
קרן יוצאת מנקודה על קו ישר ויוצרת איתו זווית של $65^\circ$ ⁠. כמה מעלות יש בזווית שלצדה, שמסומנת בסימן שאלה?

התשובה הנכונה
115 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
65 °קבוע
זווית A
60 °ברירת מחדלמוסתר
זווית B
70 °ברירת מחדלמוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Mode/nodes/board/props/mode = "angles"
הגדרות נוספות
Lines/nodes/board/props/lines = "straight"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "supplement"
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Angles: 180° − turn, its neighbour on a straight line/nodes/board/outputs/supplement
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 25 ± 0.5
  טעות נפוצה: Thinks angles on a straight line add up to 90°, as in a right angle.
  משוב מהקטלוג
  קו ישר הוא חצי סיבוב, $180^\circ$ ⁠, לא זווית ישרה. שתי זוויות שיחד יוצרות קו ישר משלימות זו את זו ל־ $180^\circ$ ⁠, ושתי זוויות שיחד יוצרות זווית ישרה משלימות ל־ $90^\circ$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ ⁠. שתי זוויות שיחד יוצרות קו ישר נקראות זוויות צמודות, וסכומן תמיד $180^\circ$ ⁠. בחרו הפתרון תחת מבט פנימה כדי לראות.

רמז
שתי הזוויות יחד ממלאות את כל הקו הישר, חצי סיבוב.

פתרון מלא
1. קו ישר הוא חצי סיבוב: $180^\circ$ ⁠.
2. הזווית הנתונה והזווית שלצדה ממלאות אותו יחד: $65^\circ + x = 180^\circ$ ⁠.
3. לכן $x = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ ⁠.
אם יצא לכם $25^\circ$ ⁠, השלמתם ל־ $90^\circ$ ⁠, כמו בפינה של דף. קו ישר הוא שתי פינות כאלה, $180^\circ$ ⁠.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
זוויות קודקודיות
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
שני קווים ישרים נחתכים, ואחת הזוויות שנוצרות היא $40^\circ$ ⁠. מה גודל הזווית שמולה, מעבר לנקודת החיתוך?

התשובה הנכונה
- נכונה $40^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
40 °קבוע
זווית A
60 °ברירת מחדלמוסתר
זווית B
70 °ברירת מחדלמוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתוניםקבוע
הגדרות נוספות
Mode/nodes/board/props/mode = "angles"
הגדרות נוספות
Lines/nodes/board/props/lines = "crossing"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "opposite"
האפשרויות
- נכונה $40^\circ$ ⁠
- שגויה $140^\circ$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks vertically opposite angles add up to 180° instead of being equal.
  משוב מהקטלוג
  זווית ושכנתה על אותו קו ישר מסתכמות ב־ $180^\circ$ ⁠. הזווית שמולה, מעבר לנקודת החיתוך, שווה לה: שתיהן משלימות את אותה שכנה ל־ $180^\circ$ ⁠.
- שגויה $50^\circ$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks angles on a straight line add up to 90°, as in a right angle.
  משוב מהקטלוג
  קו ישר הוא חצי סיבוב, $180^\circ$ ⁠, לא זווית ישרה. שתי זוויות שיחד יוצרות קו ישר משלימות זו את זו ל־ $180^\circ$ ⁠, ושתי זוויות שיחד יוצרות זווית ישרה משלימות ל־ $90^\circ$ ⁠.
- שגויה $320^\circ$ ⁠
  משוב
  $320^\circ$ ⁠ הם כל שאר הסיבוב סביב הנקודה: שלוש הזוויות האחרות יחד, לא אחת מהן.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
ואז הסצנה מראה: 40 · Angles: the vertically opposite angle, equal to turn/nodes/board/outputs/opposite
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
זוויות קודקודיות שוות: $40^\circ$ ⁠. כל אחת מהן צמודה לאותה זווית של $140^\circ$ ⁠, ולכן שתיהן $180^\circ - 140^\circ$ ⁠.

פתרון מלא
1. הזווית של $40^\circ$ ⁠ והזווית שלצדה יושבות על קו ישר: $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ ⁠.
2. גם הזווית שמול ה־ $40^\circ$ ⁠ יושבת לצד אותה זווית של $140^\circ$ ⁠, על הקו השני.
3. לכן גם היא $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ ⁠: זוויות קודקודיות שוות.
אם בחרתם $140^\circ$ ⁠, זו הזווית שלצד ה־ $40^\circ$ ⁠, לא זו שמולה.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
ישרים מקבילים
תרגול · חשבו
השאלה
שני קווים מקבילים נחתכים בקו ישר שלישי. ליד הקו התחתון מסומנת זווית של $70^\circ$ ⁠. מה גודל הזווית שמסומנת בסימן שאלה ליד הקו העליון, בצד השני של החותך?

התשובה הנכונה
70 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
70 °קבוע
זווית A
60 °ברירת מחדלמוסתר
זווית B
70 °ברירת מחדלמוסתר
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Mode/nodes/board/props/mode = "angles"
הגדרות נוספות
Lines/nodes/board/props/lines = "parallel"
הגדרות נוספות
Pair/nodes/board/props/pair = "alternate"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "alternate"
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Angles: the alternate angle at the second parallel line/nodes/board/outputs/alternate
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 110 ± 0.5
  טעות נפוצה: Thinks alternate angles between parallel lines add up to 180° instead of being equal.
  משוב מהקטלוג
  זוויות מתחלפות, משני צדי החותך ובין שני הישרים, שוות. מי שמסתכמות ב־ $180^\circ$ ⁠ הן הזוויות החד־צדדיות, שנמצאות באותו צד של החותך.
משוב לתשובה נכונה
$70^\circ$ ⁠. זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות. בחרו הפתרון תחת מבט פנימה: הזווית התחתונה עולה במעלה החותך ומסתובבת חצי סיבוב אל הזווית המסומנת.

רמז
הזיזו בדמיון את זווית ה־ $70^\circ$ ⁠ במעלה החותך עד הקו העליון, בלי לסובב אותה. מה נמצא מולה שם?

פתרון מלא
1. הקווים מקבילים, ולכן החותך חותך את שניהם באותה נטייה: הזווית המתאימה ליד הקו העליון, באותו צד ובאותו כיוון, היא גם $70^\circ$ ⁠.
2. הזווית המסומנת נמצאת מול הזווית המתאימה, מעבר לנקודת החיתוך: הן קודקודיות.
3. זוויות קודקודיות שוות, ולכן הזווית המסומנת היא $70^\circ$ ⁠.
אם יצא לכם $110^\circ$ ⁠, חיברתם אותה ל־ $70^\circ$ ⁠ כאילו הן צמודות על קו אחד. הן בצדדים שונים של החותך, והן שוות.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
סכום הזוויות במשולש
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
קורעים את שלוש הפינות של המשולש ומניחים אותן זו ליד זו, הקודקודים צמודים. כמה מעלות יהיו בהן יחד?

התשובה הנכונה
- נכונה $180^\circ$ ⁠: קו ישר
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
60 °ברירת מחדלמוסתר
זווית A
50 °קבוע
זווית B
60 °קבוע
הנתונים / הפתרון
הנתוניםקבוע
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "angleC"
האפשרויות
- נכונה $180^\circ$ ⁠: קו ישר
- שגויה $360^\circ$ ⁠: סיבוב שלם
  טעות נפוצה: Thinks the angles of a triangle add up to 360°.
  משוב מהקטלוג
  $360^\circ$ ⁠ הם סיבוב שלם, או סכום הזוויות במרובע. שלוש הפינות של משולש מסתדרות לקו ישר, חצי סיבוב: $180^\circ$ ⁠.
- שגויה תלוי בגודל ובצורה של המשולש
  טעות נפוצה: Thinks the angle sum of a triangle depends on its size or shape.
  משוב מהקטלוג
  משולש גדול יותר נראה כאילו יש בו “יותר זווית”, אבל זווית מודדת פתיחה, לא אורך. בכל משולש, ארוך או צר, הפינות נפגשות לקו ישר: $180^\circ$ ⁠.
- שגויה $90^\circ$ ⁠: זווית ישרה
  משוב
  שתי זוויות של המשולש הזה לבדן, $50^\circ$ ⁠ ו־ $60^\circ$ ⁠, כבר יותר מ־ $90^\circ$ ⁠.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הנתונים / הפתרון
הפתרוןקבוע
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
שלוש הפינות נפגשות לקו ישר: $50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ ⁠. כך בכל משולש, ארוך או צר, ובצעד הבא תשנו זווית בעצמכם.

פתרון מלא
1. דרך הקודקוד $C$ ⁠ עובר קו ישר המקביל לבסיס $AB$ ⁠.
2. הפינה של $A$ ⁠ מחליקה לאורך הצלע $AC$ ⁠ אל $C$ ⁠ בלי להסתובב, ונכנסת בין הקו המקביל לבין ההמשך של $AC$ ⁠: זוויות מתאימות.
3. הפינה של $B$ ⁠ מחליקה באותו אופן לאורך $BC$ ⁠.
4. הפינה של $C$ ⁠ מסתובבת חצי סיבוב ונכנסת בדיוק ביניהן: זוויות קודקודיות.
5. שלוש הפינות ממלאות את הקו הישר, ולכן $A + B + C = 180^\circ$ ⁠, בכל משולש.
אם בחרתם $360^\circ$ ⁠, זה הסכום של סיבוב שלם סביב נקודה, או של הזוויות במרובע. במשולש הן ממלאות רק חצי סיבוב.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
משולש ישר זווית
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
זווית A נעולה על $35^\circ$ ⁠. קבעו את זווית B כך שזווית $C$ ⁠ תהיה ישרה, $90^\circ$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 90 ± 0.5
  בתחילת השלב: 75
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
60 °ברירת מחדלמוסתר
זווית A
35 °קבוע
זווית B
70 °
הנתונים / הפתרון
הנתוניםקבוע
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "angleC"
נקרא מהסצנה בנקודה
Triangle: 180° − A − B (zero or less when there is no triangle)/nodes/board/outputs/angleC
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
זווית B
55 °
משוב לתשובה נכונה
$35^\circ + 55^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ ⁠. במשולש ישר זווית, שתי הזוויות האחרות משלימות זו את זו ל־ $90^\circ$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. זווית $C$ ⁠ היא מה שנשאר מ־ $180^\circ$ ⁠ אחרי $A$ ⁠ ו־ $B$ ⁠.

רמז
הזווית הישרה לוקחת $90^\circ$ ⁠ מתוך $180^\circ$ ⁠. כמה נשאר ל־ $A$ ⁠ ול־ $B$ ⁠ יחד?

פתרון מלא
1. סכום הזוויות במשולש $180^\circ$ ⁠, וזווית $C$ ⁠ צריכה להיות $90^\circ$ ⁠.
2. ל־ $A$ ⁠ ול־ $B$ ⁠ יחד נשארו $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ ⁠.
3. $A = 35^\circ$ ⁠, ולכן $B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ ⁠.
4. קבעו את זווית B ל־ $55^\circ$ ⁠. בדיקה: $35^\circ + 55^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ ⁠.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
זווית חיצונית
תרגול · חשבו
השאלה
במשולש $A = 45^\circ$ ⁠ ו־ $B = 75^\circ$ ⁠. מאריכים את הצלע $AB$ ⁠ מעבר ל־ $B$ ⁠. מה גודל הזווית החיצונית שנוצרת ב־ $B$ ⁠, בין ההמשך לבין הצלע $BC$ ⁠?

התשובה הנכונה
105 ± 0.5
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הזווית
60 °ברירת מחדלמוסתר
זווית A
45 °קבוע
זווית B
75 °קבוע
הנתונים / הפתרון
הנתונים
הגדרות נוספות
Exterior/nodes/board/props/exterior = true
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "exteriorB"
מתקבלת בטווח
± 0.5
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle: the exterior angle at B, 180° − B = A + C/nodes/board/outputs/exteriorB
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 75 ± 0.5
  טעות נפוצה: Takes the exterior angle to be the interior angle beside it.
  משוב מהקטלוג
  הזווית החיצונית נמצאת מחוץ למשולש, בין צלע לבין ההמשך של הצלע השכנה. היא צמודה לזווית הפנימית, ולכן שווה ל־ $180^\circ$ ⁠ פחות הזווית הפנימית, וגם לסכום שתי הזוויות הפנימיות האחרות.
משוב לתשובה נכונה
$180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ ⁠, וזה בדיוק $45^\circ + 60^\circ$ ⁠: סכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה. בחרו הפתרון תחת מבט פנימה: הפינות של $A$ ⁠ ושל $C$ ⁠ ממלאות את הזווית החיצונית.

רמז
הזווית החיצונית והזווית $B$ ⁠ יושבות יחד על קו ישר.

פתרון מלא
1. הזווית החיצונית והזווית $B$ ⁠ צמודות על הקו הישר: $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ ⁠.
2. דרך נוספת: הזווית השלישית היא $C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$ ⁠.
3. הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הרחוקות ממנה: $45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$ ⁠.
אם עניתם $75^\circ$ ⁠, לקחתם את הזווית הפנימית $B$ ⁠ עצמה. הזווית החיצונית נמצאת מחוץ למשולש, בין הצלע $BC$ ⁠ לבין ההמשך של $AB$ ⁠.

שיעור 2 מתוך 5 · כ־25 דקות

שטח

שטח סופר משבצות: מלבן, ואחריו מקבילית, משולש וטרפז שנגזרים ומסתדרים מחדש, ועיגול שנפרס לרצועה.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
לספור משבצות
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
קבעו את הבסיס ואת הגובה כך שהמלבן יכסה בדיוק $24$ ⁠ משבצות, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 24 ± 0.01
  בתחילת השלב: 15
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הבסיס
5
הגובה
3
הרדיוס
3ברירת מחדלמוסתר
כפי שצויר / בסידור חדש
בסידור חדש
נקרא מהסצנה בנקודה
Triangle and similar: the triangle's area; area: the shape's; NaN otherwise/nodes/board/outputs/area
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הבסיס
8
הגובה
3
משוב לתשובה נכונה
$24$ ⁠ משבצות: למשל $6 \times 4$ ⁠, $8 \times 3$ ⁠ או $4 \times 6$ ⁠. כל משבצת היא יחידת שטח אחת, ומלבן מכסה בסיס כפול גובה משבצות.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא $24$ ⁠. גררו את מבט פנימה וספרו את השורות.

רמז
במלבן יש שורות שוות של משבצות. אילו שני מספרים נותנים $24$ ⁠ בכפל?

פתרון מלא
1. מספר השורות במלבן הוא הגובה, ובכל שורה יש משבצות כמספר הבסיס.
2. לכן שטח המלבן הוא בסיס כפול גובה.
3. צריך שני מספרים שמכפלתם $24$ ⁠: למשל $6 \times 4 = 24$ ⁠.
4. קבעו את הבסיס ל־ $6$ ⁠ ואת הגובה ל־ $4$ ⁠ (או $8$ ⁠ ו־ $3$ ⁠, או $4$ ⁠ ו־ $6$ ⁠).
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
היקף ושטח
תרגול · חשבו
השאלה
בסיס המלבן $7$ ⁠ וגובהו $3$ ⁠. מה ההיקף שלו, האורך של הקו שמקיף אותו?

התשובה הנכונה
20 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הבסיס
7קבוע
הגובה
3קבוע
הרדיוס
3ברירת מחדלמוסתר
כפי שצויר / בסידור חדש
כפי שצויר
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "perimeter"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle and similar: a + b + c; area: the shape's perimeter (a circle's circumference); NaN otherwise/nodes/board/outputs/perimeter
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 21 ± 0.01
  טעות נפוצה: Confuses perimeter and area.
  משוב מהקטלוג
  ההיקף הוא אורך: כמה גדר צריך מסביב. השטח הוא מספר משבצות: כמה דשא צריך בפנים. במלבן $7 \times 3$ ⁠ ההיקף $20$ ⁠ והשטח $21$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$7 + 3 + 7 + 3 = 2 \times (7 + 3) = 20$ ⁠. ההיקף הוא אורך, והשטח $7 \times 3 = 21$ ⁠ הוא מספר משבצות: שני דברים שונים.

רמז
הולכים מסביב: בסיס, גובה, בסיס, גובה.

פתרון מלא
1. ההיקף הוא כל הדרך מסביב: שני בסיסים ושני גבהים.
2. $7 + 3 + 7 + 3 = 20$ ⁠, או בקיצור $2 \times (7 + 3) = 20$ ⁠.
אם יצא לכם $21$ ⁠, חישבתם את השטח, $7 \times 3$ ⁠: כמה משבצות יש בפנים, לא כמה ארוך הקו שמסביב.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
מקבילית
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
למקבילית בסיס $6$ ⁠ וגובה $4$ ⁠. הצלע המשופעת שלה ארוכה יותר מהגובה, בערך $4.47$ ⁠. מה השטח שלה?

התשובה הנכונה
- נכונה $24$ ⁠: בסיס כפול גובה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הבסיס
6קבוע
הגובה
4קבוע
הרדיוס
3ברירת מחדלמוסתר
כפי שצויר / בסידור חדש
כפי שצוירקבוע
הגדרות נוספות
Shape/nodes/board/props/shape = "parallelogram"
הגדרות נוספות
Offset/nodes/board/props/offset = 2
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "area"
האפשרויות
- נכונה $24$ ⁠: בסיס כפול גובה
- שגויה בערך $26.8$ ⁠: בסיס כפול הצלע המשופעת
  טעות נפוצה: Multiplies the base by the slanted side instead of the height.
  משוב מהקטלוג
  הגובה הוא המרחק בניצב בין הבסיס לצלע שמולו, כמו הקו המקווקו, ולא אורך הצלע המשופעת. מקבילית נוטה יותר נעשית נמוכה יותר, והשטח שלה קטן, גם אם הצלעות באותו אורך.
- שגויה $12$ ⁠: חצי מבסיס כפול גובה
  משוב
  חצי שייך למשולש. המקבילית מכוסה כולה, כמו מלבן.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
כפי שצויר / בסידור חדש
בסידור חדשקבוע
ואז הסצנה מראה: 24 · Triangle and similar: the triangle's area; area: the shape's; NaN otherwise/nodes/board/outputs/area
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
גוזרים את המשולש שמשמאל לקו הגובה ומזיזים אותו לצד ימין: המקבילית הופכת למלבן של $6 \times 4$ ⁠, ושום חלק לא נוסף או נעלם. השטח $24$ ⁠.

פתרון מלא
1. הקו המקווקו הוא הגובה: המרחק בניצב בין הבסיס לבין הצלע שמולו, $4$ ⁠.
2. חותכים לאורכו את המשולש שמשמאל ומזיזים אותו ימינה, בדיוק באורך הבסיס, $6$ ⁠.
3. יוצא מלבן שבסיסו $6$ ⁠ וגובהו $4$ ⁠.
4. לכן השטח $6 \times 4 = 24$ ⁠.
אם בחרתם $26.8$ ⁠, כפלתם בצלע המשופעת. הגובה נמדד תמיד בניצב לבסיס, לא לאורך הצלע.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
משולש
תרגול · חשבו
השאלה
למשולש בסיס $8$ ⁠ וגובה $5$ ⁠. מה השטח שלו?

התשובה הנכונה
20 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הבסיס
8קבוע
הגובה
5קבוע
הרדיוס
3ברירת מחדלמוסתר
כפי שצויר / בסידור חדש
כפי שצויר
הגדרות נוספות
Shape/nodes/board/props/shape = "triangle"
הגדרות נוספות
Offset/nodes/board/props/offset = 3
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "area"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle and similar: the triangle's area; area: the shape's; NaN otherwise/nodes/board/outputs/area
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 40 ± 0.01
  טעות נפוצה: Leaves out the ½ in the area of a triangle or trapezoid (or a triangular base).
  משוב מהקטלוג
  משולש הוא חצי ממקבילית: שני עותקים שלו, אחד הפוך, ממלאים אותה. לכן שטח משולש הוא בסיס כפול גובה חלקי $2$ ⁠. גם טרפז הוא חצי ממקבילית שבסיסה סכום שני הבסיסים.
משוב לתשובה נכונה
$8 \times 5 \div 2 = 20$ ⁠. שני עותקים של המשולש יוצרים מקבילית שבסיסה $8$ ⁠ וגובהה $5$ ⁠, ששטחה $40$ ⁠, והמשולש הוא חצי ממנה.

רמז
שני משולשים כאלה, אחד מהם הפוך, יוצרים מקבילית. גררו את מבט פנימה.

פתרון מלא
1. מסובבים עותק של המשולש חצי סיבוב סביב אמצע הצלע הימנית שלו.
2. המשולש והעותק יוצרים יחד מקבילית: בסיס $8$ ⁠, גובה $5$ ⁠, שטח $8 \times 5 = 40$ ⁠.
3. המשולש הוא חצי מהמקבילית: $40 \div 2 = 20$ ⁠.
אם יצא לכם $40$ ⁠, שכחתם לחלק ב־ $2$ ⁠: זה השטח של שני משולשים.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
טרפז
תרגול · חשבו
השאלה
לטרפז שני בסיסים מקבילים, $8$ ⁠ למטה ו־ $4$ ⁠ למעלה, והגובה ביניהם $3$ ⁠. מה השטח שלו?

התשובה הנכונה
18 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הבסיס
8קבוע
הגובה
3קבוע
הרדיוס
3ברירת מחדלמוסתר
כפי שצויר / בסידור חדש
כפי שצויר
הגדרות נוספות
Shape/nodes/board/props/shape = "trapezoid"
הגדרות נוספות
Top/nodes/board/props/top = 4
הגדרות נוספות
Offset/nodes/board/props/offset = 1
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "area"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle and similar: the triangle's area; area: the shape's; NaN otherwise/nodes/board/outputs/area
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 36 ± 0.01
  טעות נפוצה: Leaves out the ½ in the area of a triangle or trapezoid (or a triangular base).
  משוב מהקטלוג
  משולש הוא חצי ממקבילית: שני עותקים שלו, אחד הפוך, ממלאים אותה. לכן שטח משולש הוא בסיס כפול גובה חלקי $2$ ⁠. גם טרפז הוא חצי ממקבילית שבסיסה סכום שני הבסיסים.
משוב לתשובה נכונה
$(8 + 4) \times 3 \div 2 = 18$ ⁠. הטרפז ועותק הפוך שלו יוצרים מקבילית שבסיסה $8 + 4 = 12$ ⁠, והטרפז הוא חצי ממנה.

רמז
גם כאן עותק הפוך משלים את הצורה למקבילית. מה הבסיס של המקבילית?

פתרון מלא
1. מסובבים עותק של הטרפז חצי סיבוב סביב אמצע הצלע הימנית שלו.
2. יחד הם יוצרים מקבילית שבסיסה $8 + 4 = 12$ ⁠ וגובהה $3$ ⁠: שטח $12 \times 3 = 36$ ⁠.
3. הטרפז הוא חצי ממנה: $36 \div 2 = 18$ ⁠.
אם יצא לכם $36$ ⁠, שכחתם לחלק ב־ $2$ ⁠. את שני הבסיסים מחברים, לא כופלים.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
עיגול
תרגול · חשבו
השאלה
רדיוס העיגול $3$ ⁠. מה השטח שלו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

התשובה הנכונה
28.27 ± 0.05
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הבסיס
6ברירת מחדלמוסתר
הגובה
4ברירת מחדלמוסתר
הרדיוס
3קבוע
כפי שצויר / בסידור חדש
כפי שצויר
הגדרות נוספות
Shape/nodes/board/props/shape = "circle"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "area"
מתקבלת בטווח
± 0.05
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Triangle and similar: the triangle's area; area: the shape's; NaN otherwise/nodes/board/outputs/area
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 18.85 ± 0.05
  טעות נפוצה: Uses the circumference 2πr for the area of a circle.
  משוב מהקטלוג
  $2\pi r$ ⁠ הוא ההיקף, אורך הקו שמקיף את העיגול. השטח הוא $\pi r^2$ ⁠: פורסים את העיגול לרצועה שרוחבה חצי מההיקף, $\pi r$ ⁠, וגובהה $r$ ⁠.
- 113.1 ± 0.1
  טעות נפוצה: Puts the diameter where the formula needs the radius.
  משוב מהקטלוג
  הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לשפה, חצי מהקוטר. ב־ $\pi r^2$ ⁠ מעלים בריבוע את הרדיוס: עם הקוטר התוצאה גדולה פי $4$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.27$ ⁠. הפרוסות יוצרות כמעט מלבן שרוחבו $\pi r$ ⁠ וגובהו $r$ ⁠, ולכן שטח העיגול $\pi r^2$ ⁠.

רמז
גררו את מבט פנימה: הפרוסות מסתדרות בצורה שרוחבה חצי מההיקף, $\pi r$ ⁠, וגובהה הרדיוס $r$ ⁠.

פתרון מלא
1. חותכים את העיגול לפרוסות דקות ומסדרים אותן לסירוגין, אחת עם החוד למטה ואחת עם החוד למעלה.
2. יוצאת צורה כמעט מלבנית: גובהה הרדיוס, $r = 3$ ⁠, ורוחבה חצי מההיקף, $\pi r = 3\pi$ ⁠.
3. השטח: $\pi r \times r = \pi r^2 = 9\pi \approx 28.27$ ⁠.
אם יצא לכם $18.85$ ⁠, חישבתם את ההיקף, $2\pi r$ ⁠, שהוא אורך. אם יצא $113.1$ ⁠, השתמשתם בקוטר $6$ ⁠ במקום ברדיוס.

שיעור 3 מתוך 5 · כ־25 דקות

משפט פיתגורס

במשולש ישר זווית, הריבועים על שני הניצבים ממלאים בדיוק את הריבוע על היתר: איך מוצאים צלע חסרה, ואיך יודעים אם זווית ישרה.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
ריבועים על הצלעות
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
על כל צלע של המשולש הישר זווית עומד ריבוע. חותכים את הריבועים על $a$ ⁠ ועל $b$ ⁠ לחלקים ומחליקים אותם אל הריבוע על $c$ ⁠. מה יקרה?

התשובה הנכונה
- נכונה הם ימלאו אותו בדיוק
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הצלע a
3קבוע
הצלע b
4קבוע
הזווית בין a ל־b
90 °קבוע
ריבועים / מסודרים מחדש
ריבועיםקבוע
האפשרויות
- נכונה הם ימלאו אותו בדיוק
- שגויה יישאר בו חלק ריק
  משוב
  ספרו את המשבצות: $9 + 16 = 25$ ⁠, בדיוק השטח של הריבוע על $c$ ⁠.
- שגויה הם גדולים מדי ויעלו זה על זה
  משוב
  החלקים נכנסים בלי חפיפה. זה קורה רק כשהזווית בין $a$ ⁠ ל־ $b$ ⁠ אינה ישרה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
ריבועים / מסודרים מחדש
מסודרים מחדשקבוע
ואז הסצנה מראה: 25 · Pythagoras: c², equal to a² + b² only at a right angle/nodes/board/outputs/squareC
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
בדיוק: $a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 = c^2$ ⁠. זה משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, שטחי הריבועים על הניצבים מצטרפים לשטח הריבוע על היתר.

פתרון מלא
1. שטח הריבוע על $a$ ⁠ הוא $a^2 = 3^2 = 9$ ⁠, ועל $b$ ⁠ הוא $b^2 = 4^2 = 16$ ⁠.
2. יחד: $9 + 16 = 25$ ⁠.
3. שטח הריבוע על $c$ ⁠ הוא $c^2 = 25$ ⁠, ולכן החלקים ממלאים אותו בדיוק.
4. במשולש ישר זווית תמיד $a^2 + b^2 = c^2$ ⁠, כאשר $c$ ⁠ הוא היתר, הצלע שמול הזווית הישרה.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
למצוא את היתר
תרגול · חשבו
השאלה
הניצבים הם $a = 6$ ⁠ ו־ $b = 8$ ⁠. מה אורך היתר $c$ ⁠?

התשובה הנכונה
10 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הצלע a
6קבוע
הצלע b
8קבוע
הזווית בין a ל־b
90 °קבוע
ריבועים / מסודרים מחדש
ריבועים
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Pythagoras: the side c opposite the corner, by the law of cosines/nodes/board/outputs/sideC
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 14 ± 0.01
  טעות נפוצה: Thinks the hypotenuse is the sum of the two legs.
  משוב מהקטלוג
  הדרך הישרה קצרה מהעיקוף: היתר תמיד קצר מסכום הניצבים. מחברים את הריבועים של הצלעות, $a^2 + b^2 = c^2$ ⁠, ורק אז מוציאים שורש.
- 100 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives c² as the length of the hypotenuse.
  משוב מהקטלוג
  $a^2 + b^2$ ⁠ הוא השטח של הריבוע על היתר, לא האורך שלו. האורך הוא הצלע של הריבוע: השורש של השטח.
משוב לתשובה נכונה
$c^2 = 36 + 64 = 100$ ⁠, ולכן $c = \sqrt{100} = 10$ ⁠.

רמז
הלוח מראה את $c^2$ ⁠. איזה מספר בריבוע נותן אותו?

פתרון מלא
1. לפי משפט פיתגורס $c^2 = a^2 + b^2$ ⁠.
2. מציבים: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ ⁠.
3. $c$ ⁠ הוא המספר שבריבוע נותן $100$ ⁠: $c = \sqrt{100} = 10$ ⁠.
אם עניתם $14$ ⁠, חיברתם את הצלעות עצמן, $6 + 8$ ⁠. אם עניתם $100$ ⁠, עצרתם ב־ $c^2$ ⁠ ושכחתם להוציא שורש.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
כשהשורש לא שלם
תרגול · חשבו
השאלה
הניצבים הם $a = 2$ ⁠ ו־ $b = 3$ ⁠. מה אורך היתר $c$ ⁠? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

התשובה הנכונה
3.606 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הצלע a
2קבוע
הצלע b
3קבוע
הזווית בין a ל־b
90 °קבוע
ריבועים / מסודרים מחדש
ריבועים
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Pythagoras: the side c opposite the corner, by the law of cosines/nodes/board/outputs/sideC
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 5 ± 0.01
  טעות נפוצה: Thinks the hypotenuse is the sum of the two legs.
  משוב מהקטלוג
  הדרך הישרה קצרה מהעיקוף: היתר תמיד קצר מסכום הניצבים. מחברים את הריבועים של הצלעות, $a^2 + b^2 = c^2$ ⁠, ורק אז מוציאים שורש.
- 13 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives c² as the length of the hypotenuse.
  משוב מהקטלוג
  $a^2 + b^2$ ⁠ הוא השטח של הריבוע על היתר, לא האורך שלו. האורך הוא הצלע של הריבוע: השורש של השטח.
משוב לתשובה נכונה
$c = \sqrt{13} \approx 3.61$ ⁠. רוב היתרים אינם מספרים שלמים, ו־ $3$ ⁠, $4$ ⁠, $5$ ⁠ הם מקרה מיוחד.

רמז
$c^2 = 4 + 9$ ⁠. השורש של המספר הזה בין $3$ ⁠ ל־ $4$ ⁠.

פתרון מלא
1. $c^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ ⁠.
2. $c = \sqrt{13}$ ⁠. בדיקה: $3^2 = 9$ ⁠ ו־ $4^2 = 16$ ⁠, ולכן $c$ ⁠ בין $3$ ⁠ ל־ $4$ ⁠.
3. במחשבון: $\sqrt{13} \approx 3.61$ ⁠.
אם עניתם $13$ ⁠, זה $c^2$ ⁠, לא $c$ ⁠. אם עניתם $5$ ⁠, חיברתם $2 + 3$ ⁠: היתר תמיד קצר מסכום הניצבים.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
למצוא ניצב
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הצלע a נעולה על $5$ ⁠. קבעו את הצלע b כך שהיתר יהיה $c = 13$ ⁠, כלומר $c^2 = 169$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 13 ± 0.01
  בתחילת השלב: 6.403
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הצלע a
5קבוע
הצלע b
4
הזווית בין a ל־b
90 °קבוע
ריבועים / מסודרים מחדש
ריבועים
נקרא מהסצנה בנקודה
Pythagoras: the side c opposite the corner, by the law of cosines/nodes/board/outputs/sideC
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הצלע b
12
משוב לתשובה נכונה
$b = 12$ ⁠: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ⁠. כדי למצוא ניצב מחסרים: $b^2 = c^2 - a^2$ ⁠.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. הסתכלו על הסכום בראש הלוח: $c^2$ ⁠ צריך להגיע ל־ $169$ ⁠.

רמז
$b^2 = c^2 - a^2$ ⁠. כמה זה, ומה השורש שלו?

פתרון מלא
1. לפי פיתגורס $a^2 + b^2 = c^2$ ⁠, ולכן $b^2 = c^2 - a^2$ ⁠.
2. מציבים: $b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ ⁠.
3. $b = \sqrt{144} = 12$ ⁠.
4. קבעו את הצלע b ל־ $12$ ⁠. בדיקה: $25 + 144 = 169$ ⁠.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
האם הזווית ישרה?
תרגול · בחרו
השאלה
במשולש הצלעות $5$ ⁠ ו־ $12$ ⁠ נפגשות בפינה, והצלע השלישית היא $14$ ⁠. האם הזווית ביניהן ישרה?

התשובה הנכונה
- נכונה לא, היא קהה, גדולה מ־ $90^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
הצלע a
5קבוע
הצלע b
12קבוע
הזווית בין a ל־b
90 °
ריבועים / מסודרים מחדש
ריבועים
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה לא, היא קהה, גדולה מ־ $90^\circ$ ⁠
- שגויה כן, בכל משולש $a^2 + b^2 = c^2$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks a² + b² = c² holds in every triangle.
  משוב מהקטלוג
  $a^2 + b^2 = c^2$ ⁠ נכון רק כשהזווית בין $a$ ⁠ ל־ $b$ ⁠ ישרה. כשהיא רחבה יותר $c^2$ ⁠ גדול מ־ $a^2 + b^2$ ⁠, וכשהיא חדה יותר הוא קטן ממנו. נסו את הזווית בין a ל־b בלוח.
- שגויה לא, היא חדה, קטנה מ־ $90^\circ$ ⁠
  משוב
  פינה חדה מקרבת את קצות הצלעות $5$ ⁠ ו־ $12$ ⁠ זה לזה, והצלע השלישית מתקצרת אל מתחת ל־ $13$ ⁠. כאן היא ארוכה יותר.
משוב לתשובה נכונה
בזווית ישרה הצלע השלישית הייתה $\sqrt{25 + 144} = 13$ ⁠. היא $14$ ⁠, ארוכה יותר, ולכן הפינה רחבה מ־ $90^\circ$ ⁠: $14^2 = 196 > 169$ ⁠. קבעו את הזווית בין a ל־b לבערך $103^\circ$ ⁠ ותראו $c^2 \approx 196$ ⁠.

רמז
אם הזווית הייתה ישרה, כמה הייתה הצלע השלישית? נסו בלוח.

פתרון מלא
1. אילו הזווית הייתה ישרה: $c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ⁠, כלומר $c = 13$ ⁠.
2. כאן $c = 14$ ⁠, ו־ $c^2 = 196$ ⁠, יותר מ־ $169$ ⁠.
3. פינה רחבה יותר מרחיקה את קצות הצלעות, ו־ $c$ ⁠ גדל; פינה חדה מקרבת אותם, ו־ $c$ ⁠ קטן.
4. לכן הזווית קהה. משפט פיתגורס פועל גם בכיוון ההפוך: $a^2 + b^2 = c^2$ ⁠ בדיוק רק כשהזווית ישרה.
אם בחרתם “כן”, הנחתם שהמשפט נכון בכל משולש. הוא נכון רק במשולש ישר זווית.

שיעור 4 מתוך 5 · כ־20 דקות

דמיון

משולשים דומים: אותן זוויות, כל הצלעות מוכפלות באותו מספר, והשטח גדל בריבוע שלו. ובסוף: למדוד עץ לפי הצל שלו.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
אותה צורה, גודל אחר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
מימין יופיע עותק של המשולש שכל צלע בו ארוכה פי $2$ ⁠. מה יהיו הזוויות שלו?

התשובה הנכונה
- נכונה אותן זוויות כמו במקור
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
יחס הדמיון
2קבוע
הצלע AB
4קבוע
זווית A
50 °קבוע
המקור / העותק
המקורקבוע
הגדרות נוספות
Show/nodes/board/props/show = "both"
האפשרויות
- נכונה אותן זוויות כמו במקור
- שגויה כפולות, כמו הצלעות
  טעות נפוצה: Thinks enlarging a triangle enlarges its angles.
  משוב מהקטלוג
  הגדלה מכפילה מרחקים אבל לא משנה כיוונים, וזווית היא הפתיחה בין שני כיוונים. במשולשים דומים הזוויות שוות, ורק הצלעות מוכפלות.
- שגויה קטנות יותר, כי המשולש נמתח
  משוב
  המשולש לא נמתח לכיוון אחד: הוא גדל באותו יחס לכל הכיוונים, ולכן הצורה נשארת אותה צורה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
המקור / העותק
העותקקבוע
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
אותן זוויות: $50^\circ$ ⁠, $60^\circ$ ⁠ ו־ $70^\circ$ ⁠. משולשים דומים הם אותה צורה בגודל אחר: הזוויות שוות, וכל הצלעות מוכפלות באותו מספר, יחס הדמיון.

פתרון מלא
1. הגדלה פי $2$ ⁠ מכפילה כל מרחק, אבל לא משנה את הכיוון של אף צלע.
2. זווית היא ההבדל בין הכיוונים של שתי צלעות, ולכן היא לא משתנה.
3. העותק הוא משולש עם אותן זוויות, $50^\circ$ ⁠, $60^\circ$ ⁠ ו־ $70^\circ$ ⁠, וצלעות כפולות.
אם בחרתם “כפולות”, שימו לב שזוויות כפולות היו מסתכמות ב־ $360^\circ$ ⁠, וסכום הזוויות בכל משולש $180^\circ$ ⁠.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
להכפיל את הצלעות
תרגול · חשבו
השאלה
במשולש המקורי $AB = 4$ ⁠ ו־ $BC = 3$ ⁠. בעותק הדומה $A'B' = 6$ ⁠. מה אורך $B'C'$ ⁠?

התשובה הנכונה
4.5 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
יחס הדמיון
1.5קבוע
הצלע AB
4קבוע
זווית A
36.87 °קבוע
המקור / העותק
המקור
הגדרות נוספות
Angle b/nodes/board/props/angleB = 90
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "scaledSideA"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Similar: k · BC/nodes/board/outputs/scaledSideA
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 5 ± 0.01
  טעות נפוצה: Adds the same amount to every side instead of multiplying by the scale factor.
  משוב מהקטלוג
  בדמיון כל צלע מוכפלת באותו מספר, יחס הדמיון. אם מוסיפים לכל צלע אותו אורך, הצורה משתנה: צלע קצרה גדלה יחסית יותר מצלע ארוכה.
משוב לתשובה נכונה
יחס הדמיון $k = 6 \div 4 = 1.5$ ⁠, ולכן $B'C' = 1.5 \times 3 = 4.5$ ⁠.

רמז
פי כמה גדלה הצלע $AB$ ⁠? כל הצלעות גדלות פי אותו מספר.

פתרון מלא
1. יחס הדמיון הוא היחס בין צלעות מתאימות: $k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{6}{4} = 1.5$ ⁠.
2. כל צלע בעותק ארוכה פי $k$ ⁠: $B'C' = k \times BC = 1.5 \times 3 = 4.5$ ⁠.
3. בדיקה: $\frac{4.5}{3} = 1.5$ ⁠, אותו יחס.
אם עניתם $5$ ⁠, הוספתם $2$ ⁠ לכל צלע, כמו ש־ $AB$ ⁠ גדלה מ־ $4$ ⁠ ל־ $6$ ⁠. בדמיון כופלים, לא מוסיפים: צלע קצרה גדלה פחות מצלע ארוכה.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
למצוא את יחס הדמיון
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
במשולש המקורי $AB = 4$ ⁠. קבעו את יחס הדמיון כך שבעותק $A'B' = 10$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 10 ± 0.01
  בתחילת השלב: 4
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
יחס הדמיון
1
הצלע AB
4קבוע
זווית A
50 °קבוע
המקור / העותק
העותק
נקרא מהסצנה בנקודה
Similar: k · AB/nodes/board/outputs/scaledSideC
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
יחס הדמיון
2.5
משוב לתשובה נכונה
$k = 10 \div 4 = 2.5$ ⁠. יחס הדמיון הוא צלע בעותק חלקי הצלע המתאימה במקור.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא. $A'B'$ ⁠ הוא $k$ ⁠ כפול $4$ ⁠.

רמז
$4 \times k = 10$ ⁠. פי כמה?

פתרון מלא
1. בעותק כל צלע ארוכה פי $k$ ⁠: $A'B' = k \times AB$ ⁠.
2. $10 = k \times 4$ ⁠, ולכן $k = \frac{10}{4} = 2.5$ ⁠.
3. קבעו את יחס הדמיון ל־ $2.5$ ⁠.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
השטח גדל מהר יותר
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
שטח המשולש המקורי $6$ ⁠, וכל צלע בעותק ארוכה פי $2$ ⁠. פי כמה גדל השטח?

התשובה הנכונה
- נכונה פי $4$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
יחס הדמיון
2קבוע
הצלע AB
4קבוע
זווית A
36.87 °קבוע
המקור / העותק
המקורקבוע
הגדרות נוספות
Angle b/nodes/board/props/angleB = 90
הגדרות נוספות
Area readout/nodes/board/props/areaReadout = true
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "scaledArea"
האפשרויות
- שגויה פי $2$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks area grows by the scale factor k rather than k².
  משוב מהקטלוג
  שטח נפרש בשני כיוונים, ובהגדלה פי $k$ ⁠ שניהם גדלים: הבסיס פי $k$ ⁠ והגובה פי $k$ ⁠. לכן השטח גדל פי $k^2$ ⁠: פי $4$ ⁠ כשמכפילים.
- נכונה פי $4$ ⁠
- שגויה פי $8$ ⁠
  משוב
  פי $8 = 2^3$ ⁠ גדל נפח, שנמדד בשלושה כיוונים. שטח נמדד בשניים.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
המקור / העותק
העותקקבוע
ואז הסצנה מראה: 4 · Similar: k²/nodes/board/outputs/areaRatio
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
פי $4 = 2^2$ ⁠: השטח $6$ ⁠ הופך ל־ $24$ ⁠. גם הבסיס וגם הגובה גדלים פי $2$ ⁠, ולכן השטח גדל פי $2 \times 2$ ⁠.

פתרון מלא
1. שטח המשולש הוא בסיס כפול גובה חלקי $2$ ⁠.
2. בעותק הבסיס ארוך פי $2$ ⁠ וגם הגובה גבוה פי $2$ ⁠.
3. לכן השטח גדל פי $2 \times 2 = 2^2 = 4$ ⁠: מ־ $6$ ⁠ ל־ $24$ ⁠.
4. באופן כללי, ביחס דמיון $k$ ⁠ השטח גדל פי $k^2$ ⁠.
אם בחרתם פי $2$ ⁠, הכפלתם רק כיוון אחד. שטח נפרש בשני כיוונים, ושניהם גדלים.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
לפי הצל
תרגול · חשבו
השאלה
מוט בגובה $2$ ⁠ מטרים מטיל צל באורך $3$ ⁠ מטרים. באותו רגע עץ מטיל צל באורך $12$ ⁠ מטרים. קרני השמש פוגעות בקרקע באותה זווית, ולכן המשולשים דומים. מה גובה העץ, במטרים?

התשובה הנכונה
8 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
יחס הדמיון
4קבוע
הצלע AB
3קבוע
זווית A
33.69 °קבוע
המקור / העותק
המקור
הגדרות נוספות
Angle b/nodes/board/props/angleB = 90
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "scaledSideA"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Similar: k · BC/nodes/board/outputs/scaledSideA
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 11 ± 0.01
  טעות נפוצה: Adds the same amount to every side instead of multiplying by the scale factor.
  משוב מהקטלוג
  בדמיון כל צלע מוכפלת באותו מספר, יחס הדמיון. אם מוסיפים לכל צלע אותו אורך, הצורה משתנה: צלע קצרה גדלה יחסית יותר מצלע ארוכה.
משוב לתשובה נכונה
הצל ארוך פי $12 \div 3 = 4$ ⁠, ולכן גם העץ גבוה פי $4$ ⁠ מהמוט: $4 \times 2 = 8$ ⁠ מטרים.

רמז
פי כמה הצל של העץ ארוך מהצל של המוט?

פתרון מלא
1. במשולש הקטן: הצל $AB = 3$ ⁠ והמוט $BC = 2$ ⁠. במשולש הגדול: הצל $A'B' = 12$ ⁠ והעץ $B'C'$ ⁠.
2. יחס הדמיון: $k = \frac{12}{3} = 4$ ⁠.
3. גובה העץ: $B'C' = 4 \times 2 = 8$ ⁠ מטרים.
אם עניתם $11$ ⁠, הוספתם לגובה את מה שהצל גדל ב־ $9$ ⁠ מטרים. בדמיון כל אורך מוכפל באותו מספר.

שיעור 5 מתוך 5 · כ־20 דקות

נפח

נפח סופר קוביות יחידה: שטח הבסיס כפול הגובה, בתיבה, במנסרה ובגליל, ולמה קובייה כפולה מכילה פי שמונה.

לפתוח את השיעור

5 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 5
לפתוח את השלב
לספור קוביות
תרגול · חשבו
השאלה
תיבה באורך $4$ ⁠, ברוחב $3$ ⁠ ובגובה $2$ ⁠. כמה קוביות יחידה ממלאות אותה?

התשובה הנכונה
24 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך
4קבוע
הרוחב
3קבוע
הגובה
2קבוע
הבסיס / בנוי
הבסיס
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "volume"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Solid: base area × height/nodes/board/outputs/volume
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 9 ± 0.01
  טעות נפוצה: Adds the length, width and height to get the volume.
  משוב מהקטלוג
  נפח סופר קוביות: שכבה מכסה את הבסיס, אורך כפול רוחב קוביות, ויש שכבות כמספר הגובה. לכן כופלים את שלוש המידות, לא מחברים.
- 52 ± 0.01
  טעות נפוצה: Gives the surface area (or the curved surface) for the volume.
  משוב מהקטלוג
  שטח הפנים הוא העטיפה, כמות הקרטון או הנייר מסביב, ונמדד במשבצות. הנפח הוא מה שבפנים, ונמדד בקוביות: שטח הבסיס כפול הגובה.
משוב לתשובה נכונה
בשכבה אחת $4 \times 3 = 12$ ⁠ קוביות, ויש שתי שכבות: $12 \times 2 = 24$ ⁠. זה הנפח: מספר קוביות היחידה שממלאות את הגוף.

רמז
כמה קוביות יש בשכבה התחתונה, וכמה שכבות כאלה יש?

פתרון מלא
1. השכבה התחתונה מכסה את הבסיס: $4 \times 3 = 12$ ⁠ קוביות.
2. הגובה $2$ ⁠, ולכן יש שתי שכבות כאלה.
3. הנפח: $12 \times 2 = 24$ ⁠ קוביות יחידה.
אם עניתם $9$ ⁠, חיברתם את שלושת המידות, $4 + 3 + 2$ ⁠. אם עניתם $52$ ⁠, חישבתם את שטח הפנים, הקרטון שעוטף את התיבה, ולא את מה שבתוכה.
שלב 2 מתוך 5
לפתוח את השלב
שכבה על שכבה
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הבסיס של התיבה $4 \times 3$ ⁠. קבעו את הגובה כך שהנפח יהיה $36$ ⁠, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 36 ± 0.01
  בתחילת השלב: 12
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך
4קבוע
הרוחב
3קבוע
הגובה
1
הבסיס / בנוי
הבסיסקבוע
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "volume"
נקרא מהסצנה בנקודה
Solid: base area × height/nodes/board/outputs/volume
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
הגובה
3
משוב לתשובה נכונה
$12 \times 3 = 36$ ⁠: שלוש שכבות של $12$ ⁠. נפח הוא שטח הבסיס כפול הגובה.

משוב לתשובה שגויה
עוד לא $36$ ⁠. כמה שכבות של $12$ ⁠ צריך?

רמז
כל שכבה מכילה $12$ ⁠ קוביות. כמה שכבות צריך ל־ $36$ ⁠?

פתרון מלא
1. שטח הבסיס: $4 \times 3 = 12$ ⁠, כלומר $12$ ⁠ קוביות בכל שכבה.
2. נפח = שטח הבסיס $\times$ ⁠ גובה, ולכן $12 \times h = 36$ ⁠.
3. $h = 36 \div 12 = 3$ ⁠.
4. קבעו את הגובה ל־ $3$ ⁠.
שלב 3 מתוך 5
לפתוח את השלב
מנסרה
תרגול · חשבו
השאלה
הבסיס של המנסרה הוא משולש ישר זווית עם ניצבים $4$ ⁠ ו־ $3$ ⁠, וגובה המנסרה $5$ ⁠. מה הנפח שלה?

התשובה הנכונה
30 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך
4קבוע
הרוחב
3קבוע
הגובה
5קבוע
הבסיס / בנוי
הבסיס
הגדרות נוספות
Solid/nodes/board/props/solid = "prism"
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "volume"
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Solid: base area × height/nodes/board/outputs/volume
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 60 ± 0.01
  טעות נפוצה: Leaves out the ½ in the area of a triangle or trapezoid (or a triangular base).
  משוב מהקטלוג
  משולש הוא חצי ממקבילית: שני עותקים שלו, אחד הפוך, ממלאים אותה. לכן שטח משולש הוא בסיס כפול גובה חלקי $2$ ⁠. גם טרפז הוא חצי ממקבילית שבסיסה סכום שני הבסיסים.
משוב לתשובה נכונה
שטח הבסיס $4 \times 3 \div 2 = 6$ ⁠, והנפח $6 \times 5 = 30$ ⁠. אותו כלל כמו בתיבה: שטח הבסיס כפול הגובה.

רמז
קודם שטח הבסיס: משולש, חצי מבסיס כפול גובה.

פתרון מלא
1. הבסיס הוא משולש: $4 \times 3 \div 2 = 6$ ⁠.
2. כל שכבה בגובה $1$ ⁠ מכילה נפח של $6$ ⁠.
3. יש $5$ ⁠ שכבות: $6 \times 5 = 30$ ⁠.
אם יצא לכם $60$ ⁠, שכחתם לחלק את שטח הבסיס ב־ $2$ ⁠: זה הנפח של תיבה שלמה, $4 \times 3 \times 5$ ⁠, והמנסרה היא חצי ממנה.
שלב 4 מתוך 5
לפתוח את השלב
גליל
תרגול · חשבו
השאלה
לגליל רדיוס $3$ ⁠ וגובה $4$ ⁠. מה הנפח שלו? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

התשובה הנכונה
113.1 ± 0.1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך
4ברירת מחדלמוסתר
הרוחב
3ברירת מחדלמוסתר
הגובה
4קבוע
הבסיס / בנוי
הבסיס
הגדרות נוספות
Solid/nodes/board/props/solid = "cylinder"
הגדרות נוספות
Radius/nodes/board/props/radius = 3
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "volume"
מתקבלת בטווח
± 0.1
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Solid: base area × height/nodes/board/outputs/volume
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 75.4 ± 0.1
  טעות נפוצה: Gives the surface area (or the curved surface) for the volume.
  משוב מהקטלוג
  שטח הפנים הוא העטיפה, כמות הקרטון או הנייר מסביב, ונמדד במשבצות. הנפח הוא מה שבפנים, ונמדד בקוביות: שטח הבסיס כפול הגובה.
- 452.4 ± 0.2
  טעות נפוצה: Puts the diameter where the formula needs the radius.
  משוב מהקטלוג
  הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לשפה, חצי מהקוטר. ב־ $\pi r^2$ ⁠ מעלים בריבוע את הרדיוס: עם הקוטר התוצאה גדולה פי $4$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
שטח הבסיס $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.27$ ⁠, והנפח $9\pi \times 4 = 36\pi \approx 113.1$ ⁠.

רמז
הבסיס הוא עיגול: $\pi r^2$ ⁠. כמה שכבות כאלה יש?

פתרון מלא
1. שטח הבסיס, עיגול ברדיוס $3$ ⁠: $\pi r^2 = 9\pi \approx 28.27$ ⁠.
2. הגליל הוא $4$ ⁠ שכבות כאלה: $9\pi \times 4 = 36\pi$ ⁠.
3. $36\pi \approx 113.1$ ⁠.
אם יצא לכם $75.4$ ⁠, חישבתם את שטח המעטפת, $2\pi r h$ ⁠, הדף שמתגלגל סביב הגליל. אם יצא $452.4$ ⁠, השתמשתם בקוטר $6$ ⁠ במקום ברדיוס.
שלב 5 מתוך 5
לפתוח את השלב
קובייה כפולה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
קובייה שאורך מקצועה $1$ ⁠ מכילה קוביית יחידה אחת. מכפילים כל מקצוע, ל־ $2$ ⁠. כמה קוביות יחידה תכיל הקובייה החדשה?

התשובה הנכונה
- נכונה $8$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
האורך
2קבוע
הרוחב
2קבוע
הגובה
2קבוע
הבסיס / בנוי
הבסיסקבוע
הגדרות נוספות
Unknown/nodes/board/props/unknown = "volume"
האפשרויות
- שגויה $2$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks doubling every edge doubles the volume.
  משוב מהקטלוג
  כשמכפילים כל מקצוע גדלים שלושה כיוונים: אורך, רוחב וגובה. כל אחד מהם מכפיל את מספר הקוביות, ולכן הנפח גדל פי $2 \times 2 \times 2 = 8$ ⁠.
- שגויה $4$ ⁠
  טעות נפוצה: Thinks volume grows by k² when every length grows by k.
  משוב מהקטלוג
  $k^2$ ⁠ מתאים לשטח, שנפרש בשני כיוונים. לנפח יש גם גובה, שגדל גם הוא, ולכן הנפח גדל פי $k^3$ ⁠: פי $8$ ⁠ כשמכפילים.
- נכונה $8$ ⁠
- שגויה $6$ ⁠
  משוב
  $6$ ⁠ הוא מספר הפאות של קובייה, לא מספר הקוביות שבתוכה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
הבסיס / בנוי
בנויקבוע
ואז הסצנה מראה: 8 · Solid: base area × height/nodes/board/outputs/volume
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ ⁠: שתי שכבות של $4$ ⁠. כשכל אורך גדל פי $k$ ⁠, השטח גדל פי $k^2$ ⁠ והנפח פי $k^3$ ⁠.

פתרון מלא
1. הבסיס החדש $2 \times 2 = 4$ ⁠ קוביות.
2. הגובה $2$ ⁠: שתי שכבות של $4$ ⁠.
3. $4 \times 2 = 8 = 2^3$ ⁠.
4. הנפח גדל פי $k^3$ ⁠, כי הוא נמדד בשלושה כיוונים, וכל אחד מהם גדל פי $k$ ⁠.
אם בחרתם $4$ ⁠, הכפלתם את הבסיס ושכחתם שגם הגובה הוכפל. אם בחרתם $2$ ⁠, הכפלתם כיוון אחד בלבד.

בכל היחידה · 21 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

זוויות ומשולשים

זוויות על קו ישר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

זוויות קודקודיות

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

ישרים מקבילים

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

סכום הזוויות במשולש

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

משולש ישר זווית

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

זווית חיצונית

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

שטח

לספור משבצות

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

היקף ושטח

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

מקבילית

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

פתרון מלא

משולש

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

טרפז

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

עיגול