מפתח תשובות · יחידה 18

צורות ומרחבים.

שאלות התרגול של כל שיעור, התשובות הנכונות שלהן והטעויות שהן מזהות. תשובות שנקראות מהסצנה משתמשות באותה הגדרה שהלומדים רואים.

קטלוג הטעויות הנפוצות

מפתח תשובות 5

שיעור 1 מתוך 5 · כ־30 דקות

גופים אפלטוניים

למה הפאות בקודקוד חייבות להשאיר רווח, למה זה משאיר רק חמישה גופים, ואיך הפריסה של גוף מסבירה את נוסחת אוילר.

לפתוח את השיעור

9 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 9
לפתוח את השלב
רווח בקודקוד
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בכל קודקוד של הקובייה נפגשים שלושה ריבועים, וכל זווית של ריבוע היא $90^\circ$ ⁠. משטחים את שלושתם על השולחן. כמה מעלות יחסרו להם עד סיבוב שלם?

התשובה הנכונה
90 ° ± 0.5 °
ניבוי מספרי נחשב נכון בטווח ± 0.5 °
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
קובייהקבוע
פריסה
גוףקבוע
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
פריסה
קודקודקבוע
ואז הסצנה מראה: 90 ° · The gap left at one corner pressed flat: 360° − the corner’s angles/nodes/solid/outputs/defect
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
שלושה ריבועים הם $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$ ⁠, ועד $360^\circ$ ⁠ חסרות $90^\circ$ ⁠. הרווח הזה הוא הגירעון הזוויתי של הקודקוד: בזכותו הפאות מתקפלות לפינה מחודדת.

רמז
סיבוב שלם הוא $360^\circ$ ⁠.

פתרון מלא
1. בכל קודקוד: $3$ ⁠ ריבועים של $90^\circ$ ⁠.
2. יחד: $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$ ⁠.
3. עד סיבוב שלם: $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$ ⁠.
שלב 2 מתוך 9
לפתוח את השלב
עשרימון
תרגול · חשבו
השאלה
בעשרימון נפגשים בכל קודקוד חמישה משולשים שווי צלעות. מהו הגירעון הזוויתי של כל קודקוד?

התשובה הנכונה
60 ° ± 0.5 °
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
עשרימוןקבוע
פריסה
גוףקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.5 °
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The gap left at one corner pressed flat: 360° − the corner’s angles/nodes/solid/outputs/defect
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 300 ° ± 0.5 °
  טעות נפוצה: Gives the face angles at a corner added up when asked for the gap they leave pressed flat (300° for the icosahedron instead of 60°).
  משוב מהקטלוג
  הגירעון הזוויתי הוא מה שחסר עד סיבוב שלם, לא מה שיש. מחברים את זוויות הפאות שבקודקוד, ואז מחסירים מ־ $360^\circ$ ⁠. בעשרימון: $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$ ⁠, והגירעון הוא $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$ ⁠, ועד $360^\circ$ ⁠ חסרות $60^\circ$ ⁠. בחרו בפריסה את קודקוד וראו את הרווח.

רמז
כל זווית של משולש שווה צלעות היא $60^\circ$ ⁠.

פתרון מלא
1. בכל קודקוד: $5$ ⁠ משולשים, כל זווית $60^\circ$ ⁠.
2. יחד: $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$ ⁠.
3. הגירעון: $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ ⁠.
אם עניתם $300^\circ$ ⁠, זה סכום הזוויות שבקודקוד. הגירעון הוא מה שחסר לו עד סיבוב שלם.
שלב 3 מתוך 9
לפתוח את השלב
רק חמישה
תרגול · בחרו
השאלה
למה אין גוף אפלטוני שהפאות שלו משושים משוכללים?

התשובה הנכונה
- נכונה כל זווית של משושה היא $120^\circ$ ⁠, ולכן שלושה משושים בקודקוד הם בדיוק $360^\circ$ ⁠: הם שוכבים שטוחים, כמו בכוורת, ואינם נסגרים לפינה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
קובייה
פריסה
קודקוד
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה כל זווית של משושה היא $120^\circ$ ⁠, ולכן שלושה משושים בקודקוד הם בדיוק $360^\circ$ ⁠: הם שוכבים שטוחים, כמו בכוורת, ואינם נסגרים לפינה
- שגויה למשושה יש יותר מדי צלעות, ואי אפשר לחבר אותו לשכנים צלע אל צלע
  משוב
  משושים מתחברים צלע אל צלע בלי שום בעיה: הם מרצפים רצפה שלמה. הבעיה היא בקודקוד.
- שגויה דווקא יש: שני משושים בכל קודקוד סוגרים גוף
  משוב
  שתי פאות אינן סוגרות פינה; הן רק מונחות זו על זו. בכל קודקוד חייבות להיפגש לפחות שלוש פאות.
- שגויה עוד לא מצאו אותו, ואולי יתגלה יום אחד
  משוב
  אוקלידס הוכיח שאין גוף שישי: הכלל שבקודקוד סוגר את הרשימה, ולא רק החיפוש.
משוב לתשובה נכונה
בקודקוד צריכות להיפגש לפחות שלוש פאות, וסכום הזוויות שלהן חייב להיות פחות מ־ $360^\circ$ ⁠. שלושה משושים כבר מגיעים ל־ $360^\circ$ ⁠, ולמצולעים עם יותר צלעות זוויות רחבות עוד יותר.

רמז
כמה פאות לפחות נפגשות בקודקוד, ומה צריך לקרות לסכום הזוויות שלהן?

פתרון מלא
1. זווית של משושה משוכלל: $\dfrac{180^\circ \cdot (6 - 2)}{6} = 120^\circ$ ⁠.
2. בקודקוד יש לפחות $3$ ⁠ פאות: $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$ ⁠.
3. גירעון של $0^\circ$ ⁠: הפאות שוכבות שטוחות, ואין פינה.
4. משבעה צלעות ומעלה הזווית גדולה עוד יותר, ולכן אין גם גופים כאלה.
שלב 4 מתוך 9
לפתוח את השלב
הפריסה ונוסחת אוילר
תרגול · חשבו
השאלה
לעשרימון יש $V = 12$ ⁠ קודקודים, $E = 30$ ⁠ מקצועות ו־ $F = 20$ ⁠ פאות. גוזרים אותו לאורך חלק מהמקצועות ופורשים אותו לפריסה שטוחה אחת. כמה מקצועות צריך לחתוך?

התשובה הנכונה
11 ± 0.1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
עשרימוןקבוע
פריסה
גוףקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.1
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Edges cut to open the net, V − 1/nodes/solid/outputs/cuts
משוב לתשובה נכונה
$V - 1 = 11$ ⁠ חיתוכים, ושאר $30 - 11 = 19$ ⁠ המקצועות הם קיפולים, $F - 1$ ⁠. מכאן נוסחת אוילר: $E = (V - 1) + (F - 1)$ ⁠, כלומר $V - E + F = 2$ ⁠.

רמז
החיתוכים צריכים להגיע לכל קודקוד בלי לסגור לולאה.

פתרון מלא
1. החיתוכים חייבים להגיע לכל אחד מ־ $V = 12$ ⁠ הקודקודים, אחרת הקודקוד לא ייפרש.
2. הם לא סוגרים לולאה, אחרת חתיכה תנשור. קווים כאלה שמחברים $12$ ⁠ נקודות הם $12 - 1 = 11$ ⁠ מקצועות.
3. בדיקה: הקיפולים מחזיקים $20$ ⁠ פאות בחתיכה אחת, $20 - 1 = 19$ ⁠, ו־ $11 + 19 = 30 = E$ ⁠.
אם עניתם $19$ ⁠, ספרתם את הקיפולים ולא את החיתוכים.
שלב 5 מתוך 9
לפתוח את השלב
פאות מתוך אוילר
תרגול · חשבו
השאלה
לגוף משוכלל אחד $20$ ⁠ קודקודים ו־ $30$ ⁠ מקצועות. לפי $V - E + F = 2$ ⁠, כמה פאות יש לו?

התשובה הנכונה
12 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
תריסרוןקבוע
פריסה
ספירה
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Faces, F/nodes/solid/outputs/faces
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 48 ± 0
  טעות נפוצה: Adds the edges in Euler’s formula, or mixes up which terms take a minus sign.
  משוב מהקטלוג
  במשוואה של אוילר, $V - E + F = 2$ ⁠, הקודקודים והפאות באים בפלוס והמקצועות במינוס. כדי למצוא את $F$ ⁠, מעבירים אגפים: $F = 2 - V + E$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$12$ ⁠ פאות: התריסרון, שכל פאה בו מחומש.

רמז
הציבו את $V$ ⁠ ואת $E$ ⁠ ובודדו את $F$ ⁠.

פתרון מלא
1. $20 - 30 + F = 2$ ⁠.
2. $F = 2 - 20 + 30 = 12$ ⁠.
3. $12$ ⁠ פאות: התריסרון.
אם עניתם $48$ ⁠, חיברתם את $V$ ⁠ ואת $E$ ⁠ במקום לחסר. במשוואה של אוילר הקודקודים והפאות בפלוס, והמקצועות במינוס.
שלב 6 מתוך 9
לפתוח את השלב
פאות וקודקודים
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
בחרו בגוף שהפאות שלו משולשים, ובכל קודקוד שלו נפגשות בדיוק $4$ ⁠ פאות. לחצו על בדיקה.

המטרה
- 3 ± 0
  בתחילת השלב: 4
- 4 ± 0
  בתחילת השלב: 3
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
קובייה
פריסה
קודקוד
נקרא מהסצנה בנקודה
Sides of each face, p/nodes/solid/outputs/faceSides
נקרא מהסצנה בנקודה
Faces meeting at each corner, q/nodes/solid/outputs/cornerFaces
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
גוף
תמניון
משוב לתשובה נכונה
תמניון, $\{3, 4\}$ ⁠: משולשים, ארבעה בכל קודקוד.

רמז
שלושה גופים בנויים ממשולשים. בכל אחד מהם נפגש מספר אחר של משולשים בקודקוד: $3$ ⁠, $4$ ⁠ או $5$ ⁠.

פתרון מלא
1. משולשים בונים שלושה גופים: הארבעון, התמניון והעשרימון.
2. בארבעון נפגשים $3$ ⁠ בכל קודקוד, בתמניון $4$ ⁠, ובעשרימון $5$ ⁠.
3. $6$ ⁠ משולשים כבר שוכבים שטוח, $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ ⁠, ולא יוצרים קודקוד.
לכן הגוף הוא התמניון. מתמטיקאים כותבים אותו $\{3, 4\}$ ⁠: פאה בת $3$ ⁠ צלעות, ו־ $4$ ⁠ בכל קודקוד.
שלב 7 מתוך 9
לפתוח את השלב
מחומש
תרגול · חשבו
השאלה
כל פאה של התריסרון היא מחומש משוכלל. כמה מעלות יש בכל זווית של מחומש כזה? סכום הזוויות במצולע בן $p$ ⁠ צלעות הוא $180^\circ (p - 2)$ ⁠.

התשובה הנכונה
108 ° ± 0.1 °
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
תריסרוןקבוע
פריסה
קודקוד
מתקבלת בטווח
± 0.1 °
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Each angle of a face, 180°(p − 2)/p/nodes/solid/outputs/faceAngle
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 72 ° ± 0.1 °
  טעות נפוצה: Gives the turn at each corner of a regular polygon, 360° ÷ p, as the angle inside it.
  משוב מהקטלוג
  כשהולכים לאורך מצולע משוכלל, בכל פינה מסתובבים ב־ $\dfrac{360^\circ}{p}$ ⁠: זו הזווית החיצונית. הזווית שבתוך המצולע היא מה שנשאר עד קו ישר: $180^\circ - \dfrac{360^\circ}{p}$ ⁠, במחומש $108^\circ$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
$108^\circ$ ⁠: לכן רק שלושה מחומשים נכנסים בקודקוד אחד.

רמז
מצאו את סכום הזוויות, וחלקו אותו בין חמש הזוויות השוות.

פתרון מלא
1. סכום הזוויות: $180 \times (5 - 2) = 540^\circ$ ⁠.
2. כל זווית: $\dfrac{540}{5} = 108^\circ$ ⁠.
3. שלושה מחומשים בקודקוד: $3 \times 108 = 324^\circ$ ⁠, פחות מ־ $360^\circ$ ⁠, ולכן הם יוצרים קודקוד. ארבעה כבר $432^\circ$ ⁠, יותר מדי.
אם עניתם $72^\circ$ ⁠, חישבתם את הסיבוב בכל פינה כשהולכים לאורך המחומש, $\dfrac{360}{5}$ ⁠, ולא את הזווית שבתוכו.
שלב 8 מתוך 9
לפתוח את השלב
כל הפערים יחד
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בקובייה $8$ ⁠ קודקודים, וכל אחד חסר $90^\circ$ ⁠: יחד $720^\circ$ ⁠. בתריסרון יש $20$ ⁠ קודקודים, וכל אחד חסר רק $36^\circ$ ⁠. נבאו: מה סכום הפערים בכל הקודקודים של התריסרון?

התשובה הנכונה
- נכונה בדיוק $720^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
קובייה
פריסה
גוף
האפשרויות
- שגויה פחות מ־ $720^\circ$ ⁠, כי כל פער קטן יותר
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
- נכונה בדיוק $720^\circ$ ⁠
- שגויה יותר מ־ $720^\circ$ ⁠, כי יש הרבה יותר קודקודים
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
גוף
תריסרון
ואז הסצנה מראה: 720 ° · The gaps at every corner added up: 720° for every convex solid (Descartes)/nodes/solid/outputs/totalDefect
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
בדיוק $720^\circ$ ⁠, כמו בקובייה ובכל גוף קמור: המשפט של דקארט.

רמז
כפלו: $20 \times 36^\circ$ ⁠.

פתרון מלא
1. $20 \times 36^\circ = 720^\circ$ ⁠.
2. גם בעשרימון: $12 \times 60^\circ = 720^\circ$ ⁠, ובארבעון $4 \times 180^\circ = 720^\circ$ ⁠.
זה המשפט של דקארט: בכל גוף קמור הפערים בכל הקודקודים יחד הם $720^\circ$ ⁠, שני סיבובים שלמים. גוף עם הרבה קודקודים מקבל פער קטן בכל אחד מהם.
שלב 9 מתוך 9
לפתוח את השלב
בין שתי פאות
תרגול · חשבו
השאלה
בארבעון הזווית בין שתי פאות שחולקות מקצוע מקיימת $\cos\theta = \dfrac{1}{3}$ ⁠. מה הזווית, במעלות?

התשובה הנכונה
70.53 ° ± 0.2 °
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
גוף
ארבעוןקבוע
פריסה
גוף
מתקבלת בטווח
± 0.2 °
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The angle between two faces that share an edge/nodes/solid/outputs/dihedral
כל יחידה של אותו גודל מתקבלת; התשובה מומרת לפני הבדיקה.
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 60 ° ± 0.2 °
  טעות נפוצה: Takes an angle inside a face for the angle between two faces.
  משוב מהקטלוג
  הזווית שבתוך פאה נמדדת בין שתי צלעות שלה, על הפאה עצמה. הזווית בין שתי פאות נמדדת במישור שחותך את המקצוע ביניהן בניצב, כמו זווית פתיחה של ספר. בארבעון הראשונה $60^\circ$ ⁠ והשנייה כ־ $70.5^\circ$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $70.5^\circ$ ⁠. חמישה ארבעונים סביב מקצוע משאירים רווח, ולכן הם לא ממלאים את המרחב.

רמז
השתמשו בפונקציה ההפוכה של הקוסינוס במחשבון.

פתרון מלא
1. $\theta = \arccos \dfrac{1}{3} \approx 70.5^\circ$ ⁠.
2. חמישה ארבעונים סביב מקצוע אחד: $5 \times 70.5 \approx 352.6^\circ$ ⁠, ונשאר רווח של כ־ $7.4^\circ$ ⁠.
אריסטו כתב שארבעונים ממלאים את המרחב בלי רווחים. החשבון הזה מראה שלא: הם לא נסגרים סביב מקצוע.

אם עניתם $60^\circ$ ⁠, נתתם את הזווית שבתוך פאה, ולא את הזווית בין שתי פאות.

שיעור 2 מתוך 5 · כ־15 דקות

ממדים גבוהים

איך רואים קובייה בממד הרביעי: הצל שלה במרחב שלנו, החתכים שלה, וספירה של מקצועות וקודקודים בעזרת פלטלנד, עולם של שני ממדים.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
צל של טסרקט
תרגול · בחרו
השאלה
בצל של הטסרקט, כשהוא ישר מול המנורה, רואים קובייה קטנה בתוך קובייה גדולה. מהי הקובייה הקטנה?

התשובה הנכונה
- נכונה תא קובייתי של הטסרקט, באותו גודל כמו התא הקרוב, שרחוק יותר מהמנורה לאורך $w$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בממד הרביעי
0 °קבוע
גובה החתך
0 מקצועות
תנוחה
ישר מולקבוע
מצל לחתך
צלקבוע
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה תא קובייתי של הטסרקט, באותו גודל כמו התא הקרוב, שרחוק יותר מהמנורה לאורך $w$ ⁠
- שגויה תא קטן יותר של הטסרקט, שיושב בתוך התא הגדול
  טעות נפוצה: Takes the smaller square or cube in a shadow for a smaller part of the shape, rather than an equal part farther from the lamp.
  משוב מהקטלוג
  צל של מנורה גדל ככל שהדבר קרוב יותר למנורה. בצל של קובייה, הפאה הקרובה מטילה את הריבוע הגדול והפאה הרחוקה, שגודלה זהה, את הריבוע הקטן. בצל של הטסרקט זה אותו דבר בממד אחד יותר: הקובייה הקטנה היא תא שלם, באותו גודל כמו הגדולה, שפשוט רחוק יותר מהמנורה לאורך $w$ ⁠.
- שגויה חלל ריק במרכז הטסרקט
  משוב
  הטסרקט אינו חלול; הקובייה הקטנה היא תא אמיתי שלו, כמו שהריבוע הקטן בצל של קובייה הוא פאה אמיתית.
משוב לתשובה נכונה
כמו הפאה הרחוקה של קובייה, שמטילה ריבוע קטן יותר, התא הרחוק של הטסרקט מטיל קובייה קטנה יותר. שני התאים זהים; רק המרחק מהמנורה שונה.

רמז
בפלטלנד, צל הקובייה הוא ריבוע בתוך ריבוע. איזו פאה של הקובייה מטילה את הריבוע הקטן?

פתרון מלא
1. בפלטלנד: הפאה הקרובה של הקובייה מטילה את הריבוע הגדול, והפאה הרחוקה, שגודלה זהה, מטילה את הריבוע הקטן.
2. צעד אחד למעלה: הטסרקט בנוי משני תאים קובייתיים לאורך $w$ ⁠, וביניהם עוד שישה.
3. התא הקרוב למנורה מטיל את הקובייה הגדולה, והרחוק את הקטנה.
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
ספירה
תרגול · חשבו
השאלה
קובייה היא שני ריבועים, ומקצוע שמחבר כל קודקוד של האחד לקודקוד המתאים בשני: $4 + 4 + 4 = 12$ ⁠ מקצועות. הטסרקט הוא שתי קוביות שמחוברות באותה דרך לאורך $w$ ⁠. כמה מקצועות יש לו?

התשובה הנכונה
32 ± 0.1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בממד הרביעי
0 °
גובה החתך
0 מקצועות
תנוחה
ישר מול
מצל לחתך
צל
מתקבלת בטווח
± 0.1
ערך קבוע בשאלה
משוב לתשובה נכונה
$12 + 12 + 8 = 32$ ⁠: שתי הקוביות, ועוד מקצוע אחד לאורך $w$ ⁠ מכל אחד מ־ $8$ ⁠ הקודקודים. ספרו אותם בצל.

רמז
לכל קובייה $12$ ⁠ מקצועות ו־ $8$ ⁠ קודקודים.

פתרון מלא
1. שתי קוביות: $12 + 12 = 24$ ⁠ מקצועות.
2. כל אחד מ־ $8$ ⁠ הקודקודים של הקובייה האחת מחובר לקודקוד המתאים בשנייה: עוד $8$ ⁠ מקצועות.
3. יחד: $24 + 8 = 32$ ⁠.
אם עניתם $24$ ⁠, שכחתם את המקצועות שמחברים בין שתי הקוביות.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
חתכים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
הטסרקט עובר דרך המרחב שלנו קודקוד קודם, והחתך בגובה הזה הוא ארבעון. מה יהיה החתך כשתעבירו את גובה החתך לאמצע?

התשובה הנכונה
- נכונה תמניון: ארבעון שפינותיו נחתכו עד שנפגשו
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בממד הרביעי
0 °קבוע
גובה החתך
0.5 מקצועות
תנוחה
קודקוד קודםקבוע
מצל לחתך
חתךקבוע
האפשרויות
- נכונה תמניון: ארבעון שפינותיו נחתכו עד שנפגשו
- שגויה ארבעון גדול יותר
  משוב
  בפלטלנד, הקובייה שעוברת קודקוד קודם נותנת משולש ליד הקצה, אבל באמצע הפינות שלו נחתכות ונשאר משושה. כך גם כאן, בממד אחד יותר.
- שגויה קובייה
  משוב
  קובייה מתקבלת כשהטסרקט עובר ישר מול, תא קודם. קודקוד קודם, החתכים נוטים ביחס לכל התאים.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
גובה החתך
0 מקצועות
ואז הסצנה מראה: 8 · Faces of the tesseract’s slice, one per cell it cuts/nodes/hyper/outputs/sliceFaces
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
באמצע החתך הוא תמניון, עם $8$ ⁠ פאות: אחת מכל אחד משמונת התאים. זה האח של המשושה שבפלטלנד, שיש לו $6$ ⁠ צלעות, אחת מכל פאה של הקובייה.

רמז
הסתכלו על פלטלנד: מה קורה לחתך של הקובייה כשהוא עובר מהקצה לאמצע?

פתרון מלא
1. בפלטלנד: ליד הקצה החתך של הקובייה הוא משולש, צלע מכל אחת משלוש הפאות שבקודקוד.
2. באמצע החתך פוגש גם את שלוש הפאות הרחוקות, והפינות של המשולש נחתכות: משושה, $6$ ⁠ צלעות.
3. בטסרקט: ליד הקצה ארבעון, פאה מכל אחד מארבעת התאים שבקודקוד.
4. באמצע החתך פוגש את כל $8$ ⁠ התאים: תמניון, $8$ ⁠ פאות.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
סיבוב בממד הרביעי
תרגול · חשבו
השאלה
אחרי סיבוב של $45^\circ$ ⁠ בממד הרביעי, פאה ריבועית של הטסרקט פונה אל המנורה. כמה מקודקודי הטסרקט קרובים אל המנורה יותר מכל השאר?

התשובה הנכונה
4 ± 0.1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
סיבוב בממד הרביעי
45 °קבוע
גובה החתך
0 מקצועות
תנוחה
ישר מולקבוע
מצל לחתך
צלקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.1
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Tesseract corners nearest the lamp: 8 a cell leads, 4 a square face, 2 an edge, 1 a corner/nodes/hyper/outputs/leading
משוב לתשובה נכונה
$4$ ⁠: הקודקודים של הפאה הריבועית שפונה למנורה. כשתא פונה אליה, הקרובים הם $8$ ⁠; כשמקצוע, $2$ ⁠; וכשקודקוד, $1$ ⁠.

רמז
בלי סיבוב, תא שלם פונה למנורה, ושמונת הקודקודים שלו הם הקרובים ביותר.

פתרון מלא
1. החלק של הטסרקט שפונה אל המנורה הוא מה שקרוב אליה יותר מכל השאר.
2. כאן זו פאה ריבועית.
3. לריבוע $4$ ⁠ קודקודים, ולכן $4$ ⁠ קודקודים קרובים ביותר.

שיעור 3 מתוך 5 · כ־20 דקות

קשרים

מה הופך לולאה של חבל לקשר: צמתים בשרטוט שאפשר להעלים בצעדים, וצביעה של הקשתות שמוכיחה שקשר אמיתי לא יותר לעולם.

לפתוח את השיעור

6 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 6
לפתוח את השלב
קשר מדומה
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
בקשר מדומה יש שני צמתים בשרטוט. מה יקרה כשתנסו להתיר אותו?

התשובה הנכונה
- נכונה הצד שנדחף יחליק חזרה, ושני הצמתים ייעלמו: זו לולאה פשוטה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
צמתים
2קבוע
שרטוט והתרה
שרטוט
האפשרויות
- נכונה הצד שנדחף יחליק חזרה, ושני הצמתים ייעלמו: זו לולאה פשוטה
- שגויה שני הצמתים יישארו, כי לולאה עם צמתים היא קשר
  טעות נפוצה: Thinks a drawing with crossings must be knotted, or that more crossings make a loop more surely knotted.
  משוב מהקטלוג
  צמתים בשרטוט הם רק מה שרואים מלמעלה, ואפשר להוסיף כמה שרוצים גם ללולאה פשוטה: פיתול מוסיף צומת אחד, ודחיפה של צד אחד מעל השני מוסיפה שניים. כדי לדעת שזה קשר צריך אינווריאנט, תכונה שלא משתנה באף צעד, כמו צביעה בשלושה צבעים.
- שגויה צומת אחד ייעלם ואחד יישאר
  משוב
  בצעד II, הדחיפה, צד אחד עובר כולו מעל הצד השני, ולכן הצמתים שלו נוצרים ונעלמים בזוגות.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
שרטוט והתרה
ניסיון להתיר
ואז הסצנה מראה: 0 · Crossings in the drawing once untangling is done: the curl and the pushed side come out, a knot keeps all of them/nodes/knot/outputs/crossingsLeft
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
צד אחד מונח כולו מעל השני, ולכן הוא מחליק חזרה (צעד II) ושני הצמתים נעלמים יחד. נשארת לולאה פשוטה, האל־קשר.

רמז
האם החבל באמת עובר מעל ומתחת לסירוגין, או שצד אחד פשוט מונח מעל השני?

פתרון מלא
1. בשני הצמתים אותו צד של החבל עובר מעל.
2. לכן אפשר למשוך אותו הצידה בלי שיתפוס שום דבר: צעד II.
3. אחרי הצעד אין צמתים, והלולאה היא האל־קשר.
שלב 2 מתוך 6
לפתוח את השלב
הוכחה שזה קשר
תרגול · בחרו
השאלה
את התלתן אי אפשר להתיר בצעדים. מה מוכיח שהוא באמת קשר?

התשובה הנכונה
- נכונה אפשר לצבוע את הקשתות שלו בשלושה צבעים לפי הכלל, אף צעד לא מקלקל צביעה כזאת, ובלולאה פשוטה אין כזאת
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
צמתים
3קבוע
שרטוט והתרה
ניסיון להתיר
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה אפשר לצבוע את הקשתות שלו בשלושה צבעים לפי הכלל, אף צעד לא מקלקל צביעה כזאת, ובלולאה פשוטה אין כזאת
- שגויה ניסו להתיר אותו פעמים רבות ולא הצליחו
  טעות נפוצה: Takes failing to untangle a loop as proof that it is knotted.
  משוב מהקטלוג
  אם לא הצלחתם להתיר, אולי פשוט לא מצאתם את הסדר הנכון של הצעדים; יש לולאות פשוטות שנראות מסובכות מאוד. הוכחה צריכה תכונה שכל צעד שומר עליה, ושללולאה הפשוטה אין: למשל, צביעה של הקשתות בשלושה צבעים לפי הכלל.
- שגויה יש בו שלושה צמתים, ולולאה עם שלושה צמתים היא תמיד קשר
  טעות נפוצה: Thinks a drawing with crossings must be knotted, or that more crossings make a loop more surely knotted.
  משוב מהקטלוג
  צמתים בשרטוט הם רק מה שרואים מלמעלה, ואפשר להוסיף כמה שרוצים גם ללולאה פשוטה: פיתול מוסיף צומת אחד, ודחיפה של צד אחד מעל השני מוסיפה שניים. כדי לדעת שזה קשר צריך אינווריאנט, תכונה שלא משתנה באף צעד, כמו צביעה בשלושה צבעים.
- שגויה החבל קשור חזק מדי ולא זז
  משוב
  בטופולוגיה החבל גמיש לגמרי: מותר למתוח ולהזיז אותו כמה שרוצים, רק לא לחתוך.
משוב לתשובה נכונה
הצביעה היא אינווריאנט: כל צעד שומר עליה. ללולאה הפשוטה יש קשת אחת בלבד, ולכן צבע אחד; אילו אפשר היה להתיר את התלתן, גם הצביעה בשלושה צבעים הייתה מגיעה איתו ללולאה הפשוטה.

רמז
הוכחה צריכה תכונה שאף צעד לא משנה.

פתרון מלא
1. הכלל: בכל צומת שלוש הקשתות באותו צבע, או שלושתן בצבעים שונים.
2. בתלתן אפשר לצבוע כל קשת בצבע אחר, וזה מקיים את הכלל.
3. אפשר לבדוק שכל אחד משלושת הצעדים שומר על צביעה כזאת.
4. בלולאה הפשוטה יש קשת אחת, ולכן אין לה צביעה בשלושה צבעים. מכאן שאף סדרת צעדים לא מובילה מהתלתן אליה.
שלב 3 מתוך 6
לפתוח את השלב
קשתות
תרגול · חשבו
השאלה
בשרטוט של שמינית, כמה קשתות יש? קשת היא קטע של החבל ממעבר אחד מתחת לחבל עד המעבר הבא מתחתיו.

התשובה הנכונה
4 ± 0.1
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
צמתים
4קבוע
שרטוט והתרה
שרטוטקבוע
מתקבלת בטווח
± 0.1
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Arcs of the drawing as tied: one per under pass, or 1 with none/nodes/knot/outputs/arcs
משוב לתשובה נכונה
$4$ ⁠: קשת אחת לכל צומת, כי כל צומת קוטע את החבל פעם אחת, במקום שבו הוא עובר מתחת. מספר הקשתות הוא מספר הצמתים.

רמז
בכל צומת החבל שעובר מתחת נקטע בשרטוט פעם אחת.

פתרון מלא
1. בשמינית יש $4$ ⁠ צמתים.
2. בכל צומת יש מעבר אחד מתחת, ושם הקו בשרטוט נקטע.
3. $4$ ⁠ קטיעות על לולאה סגורה מחלקות אותה ל־ $4$ ⁠ קשתות.
שלב 4 מתוך 6
לפתוח את השלב
מה הצמתים לא אומרים
תרגול · בחרו
השאלה
חבל סגור מונח על השולחן, ובשרטוט שלו שישה צמתים. מה אפשר לומר בוודאות?

התשובה הנכונה
- נכונה עדיין כלום: ייתכן שזה קשר וייתכן שזו לולאה פשוטה מסובכת. צריך אינווריאנט כדי לדעת
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
צמתים
6
שרטוט והתרה
ניסיון להתיר
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה עדיין כלום: ייתכן שזה קשר וייתכן שזו לולאה פשוטה מסובכת. צריך אינווריאנט כדי לדעת
- שגויה זה בטוח קשר, כי יש בו יותר משלושה צמתים
  טעות נפוצה: Thinks a drawing with crossings must be knotted, or that more crossings make a loop more surely knotted.
  משוב מהקטלוג
  צמתים בשרטוט הם רק מה שרואים מלמעלה, ואפשר להוסיף כמה שרוצים גם ללולאה פשוטה: פיתול מוסיף צומת אחד, ודחיפה של צד אחד מעל השני מוסיפה שניים. כדי לדעת שזה קשר צריך אינווריאנט, תכונה שלא משתנה באף צעד, כמו צביעה בשלושה צבעים.
- שגויה זה בטוח קשר ששישה צמתים הם המינימום שלו
  משוב
  שרטוט עם שישה צמתים יכול להיות של קשר פשוט יותר, כמו התלתן, שצויר עם צמתים מיותרים. מספר הצמתים של קשר הוא המספר הקטן ביותר בכל השרטוטים שלו.
משוב לתשובה נכונה
לכל לולאה אפשר להוסיף צמתים בלי לקשור אותה: פיתול מוסיף אחד, דחיפה מוסיפה שניים. מספר הצמתים בשרטוט אחד אינו מוכיח דבר; צביעה, למשל, יכולה.

רמז
כמה צמתים מוסיף פיתול? וכמה מוסיפה דחיפה של צד אחד מעל השני?

פתרון מלא
1. צעד I (פיתול) מוסיף או מוריד צומת אחד; צעד II (דחיפה) מוסיף או מוריד שניים.
2. לכן גם לולאה פשוטה יכולה להיראות עם שישה צמתים, או שישים.
3. כדי להכריע צריך אינווריאנט: אם לקשתות יש צביעה בשלושה צבעים, למשל, זה קשר.
שלב 5 מתוך 6
לפתוח את השלב
מספר הצמתים של קשר מדומה
תרגול · חשבו
השאלה
בשרטוט של הקשר המדומה יש $2$ ⁠ צמתים, אבל אפשר להתיר אותו. מספר הצמתים של לולאה הוא המספר הקטן ביותר של צמתים מבין כל השרטוטים שלה. מה מספר הצמתים של הקשר המדומה?

התשובה הנכונה
0 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
צמתים
2קבוע
שרטוט והתרה
ניסיון להתיר
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The fewest crossings any drawing of this loop can have: 0 for the unknot/nodes/knot/outputs/crossingNumber
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2 ± 0
  טעות נפוצה: Thinks a drawing with crossings must be knotted, or that more crossings make a loop more surely knotted.
  משוב מהקטלוג
  צמתים בשרטוט הם רק מה שרואים מלמעלה, ואפשר להוסיף כמה שרוצים גם ללולאה פשוטה: פיתול מוסיף צומת אחד, ודחיפה של צד אחד מעל השני מוסיפה שניים. כדי לדעת שזה קשר צריך אינווריאנט, תכונה שלא משתנה באף צעד, כמו צביעה בשלושה צבעים.
משוב לתשובה נכונה
$0$ ⁠: אחרי ההתרה זו לולאה פשוטה, הקשר הטריוויאלי.

רמז
אחרי ההתרה, כמה צמתים נשארים בשרטוט?

פתרון מלא
1. צעד II, הדחיפה, מוריד את שני הצמתים בבת אחת.
2. נשארת לולאה פשוטה, בלי צמתים בכלל.
3. אין שרטוט עם פחות מ־ $0$ ⁠ צמתים, ולכן מספר הצמתים $0$ ⁠.
כל לולאה שאפשר להתיר היא הקשר הטריוויאלי, ומספר הצמתים שלו $0$ ⁠, כמה צמתים שיהיו בשרטוט שממנו התחלתם.
שלב 6 מתוך 6
לפתוח את השלב
חמישה צבעים
תרגול · הגיעו למטרה
השאלה
הכלל של 3־צביעה מוכיח שהתלתן הוא קשר. אבל יש קשרים אמיתיים שאי אפשר לצבוע בשלושה צבעים, ולהם צריך כלל עם $5$ ⁠ צבעים. שנו את צמתים עד שתמצאו קשר כזה, ולחצו על בדיקה.

המטרה
- 5 ± 0
  בתחילת השלב: 3
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
צמתים
3
שרטוט והתרה
שרטוט
נקרא מהסצנה בנקודה
How many colours the colouring rule counts with: the smallest prime dividing the determinant, 0 for the unknot/nodes/knot/outputs/colours
הגדרה אחת שמגיעה למטרה
צמתים
4
משוב לתשובה נכונה
השמינית, או קשר עם $5$ ⁠ צמתים: 3־צביעה לא מבחינה בהם, אבל כלל של $5$ ⁠ צבעים כן.

רמז
נסו את הקשר שבא אחרי התלתן.

פתרון מלא
1. השמינית, $4$ ⁠ צמתים, היא קשר אמיתי.
2. אבל כל ניסיון לצבוע את הקשתות שלה בשלושה צבעים, לפי הכלל, נגמר בקשת אחת לכל השרטוט.
3. בכלל דומה עם $5$ ⁠ צבעים, שבו בכל צומת הקשת העליונה היא ממוצע של שתי האחרות, היא נצבעת. לכן גם היא קשר.
3־צביעה היא אינווריאנט: מה שהיא מוכיחה נכון. אבל כשהיא נכשלת, היא לא מוכיחה כלום. צריך אינווריאנטים רבים כדי להבחין בין כל הקשרים.

שיעור 4 מתוך 5 · כ־25 דקות

טופולוגיה וטבעת מביוס

צורות שמותר למתוח ולמעוך אבל לא לקרוע: טבעת עם צד אחד, מה נשאר כשגוזרים אותה לאורך האמצע, ולמה ספל ודונאט הם אותה צורה.

לפתוח את השיעור

7 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 7
לפתוח את השלב
צד אחד
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
לטבעת יש שני צדדים: הנמלה שהולכת על קו האמצע לא מגיעה לצד השני בלי לחצות את השפה. מה יקרה אם תוסיפו חצי פיתול אחד לפני ההדבקה?

התשובה הנכונה
- נכונה לטבעת יהיה צד אחד: הנמלה תעבור על כל הנייר ותחזור למקום שבו התחילה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
חצאי פיתול
0
מעיכת הספל
0ברירת מחדל
חיתוך לאורך האמצע
טבעת שלמהקבוע
האפשרויות
- נכונה לטבעת יהיה צד אחד: הנמלה תעבור על כל הנייר ותחזור למקום שבו התחילה
- שגויה עדיין שני צדדים: חצי פיתול רק מסובב את הנייר
  משוב
  אחרי סיבוב אחד מסביב, הנייר מגיע להדבקה הפוך: הצד שלמעלה מודבק לצד שלמטה, ושני הצדדים נעשים צד אחד.
- שגויה שלושה צדדים: הפיתול יוצר צד חדש
  משוב
  פיתול לא מוסיף נייר, ולכן גם לא צדדים. הוא רק משנה איך הצדדים מתחברים בהדבקה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
חצאי פיתול
1
ואז הסצנה מראה: 1 · Sides of the paper loop: 1 with an odd number of half-twists, else 2/nodes/strip/outputs/sides
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
זו טבעת מביוס: צד אחד ושפה אחת. הנמלה מקיפה את הטבעת פעמיים לפני שהיא חוזרת להתחלה, ובדרך עוברת על כל הנייר משני “הצדדים”.

רמז
עקבו אחרי הצד הכתום עד ההדבקה. לאיזה צד הוא מודבק?

פתרון מלא
1. בלי פיתול, הצד הכתום מודבק לצד הכתום: שני צדדים נפרדים.
2. עם חצי פיתול, הנייר מגיע להדבקה הפוך, והצד הכתום מודבק לצד הכחול.
3. מי שהולך על הכתום ממשיך בלי הפסקה אל הכחול: יש רק צד אחד.
שלב 2 מתוך 7
לפתוח את השלב
חיתוך לאורך האמצע
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
גוזרים את טבעת מביוס לאורך קו האמצע שלה, כל הדרך עד שחוזרים להתחלה. מה יישאר?

התשובה הנכונה
- נכונה טבעת אחת, ארוכה פי שניים
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
חצאי פיתול
1קבוע
מעיכת הספל
0ברירת מחדל
חיתוך לאורך האמצע
טבעת שלמה
האפשרויות
- נכונה טבעת אחת, ארוכה פי שניים
- שגויה שתי טבעות נפרדות, כמו כשגוזרים טבעת רגילה
  טעות נפוצה: Expects cutting any loop of paper down its middle to leave two loops.
  משוב מהקטלוג
  בטבעת רגילה החיתוך מפריד בין חצי השמאלי לחצי הימני, ולכן נשארות שתיים. בטבעת עם מספר אי־זוגי של חצאי פיתול אין “חצי שמאלי” ו“חצי ימני”: אחרי סיבוב אחד מסביב, הצד השמאלי של הקו ממשיך בצד הימני. לכן מה שנשאר הוא חתיכה אחת, ארוכה פי שניים.
- שגויה שתי טבעות, שלובות זו בזו
  משוב
  שתי טבעות שלובות מתקבלות מטבעת עם שני חצאי פיתול. בטבעת מביוס יש רק חתיכה אחת אחרי החיתוך.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
חיתוך לאורך האמצע
חתוכה
ואז הסצנה מראה: 1 · Loops left after one cut down the middle/nodes/strip/outputs/pieces
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
נשארת טבעת אחת, ארוכה פי שניים. הצד שמשמאל לקו האמצע ממשיך, אחרי סיבוב אחד, בצד שמימין לו, ולכן שני “החצאים” הם חתיכה אחת.

רמז
לטבעת מביוס יש שפה אחת. בכמה שפות היא נגעה אחרי החיתוך?

פתרון מלא
1. בטבעת רגילה, החצי שמשמאל לקו והחצי שמימין לו נפרדים, ולכן נשארות שתיים.
2. בטבעת מביוס, אחרי סיבוב אחד הנייר חוזר הפוך: מה שהיה משמאל לקו נמצא עכשיו מימין לו.
3. לכן שני החצאים הם רצועה אחת, שמקיפה פעמיים: טבעת אחת, ארוכה פי שניים.
שלב 3 מתוך 7
לפתוח את השלב
שלושה חצאי פיתול
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
ועכשיו טבעת עם שלושה חצאי פיתול. מה ייצא כשתגזרו אותה לאורך האמצע?

התשובה הנכונה
- נכונה טבעת אחת ארוכה, קשורה בקשר תלתן
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
חצאי פיתול
3
מעיכת הספל
0ברירת מחדל
חיתוך לאורך האמצע
טבעת שלמה
האפשרויות
- נכונה טבעת אחת ארוכה, קשורה בקשר תלתן
- שגויה טבעת אחת ארוכה ופשוטה, כמו בטבעת מביוס
  משוב
  נכון שיש חתיכה אחת, כי מספר חצאי הפיתול אי־זוגי. אבל שלושה חצאי פיתול גם מלפפים אותה סביב עצמה, והיא יוצאת קשורה.
- שגויה שתי טבעות נפרדות
  טעות נפוצה: Expects cutting any loop of paper down its middle to leave two loops.
  משוב מהקטלוג
  בטבעת רגילה החיתוך מפריד בין חצי השמאלי לחצי הימני, ולכן נשארות שתיים. בטבעת עם מספר אי־זוגי של חצאי פיתול אין “חצי שמאלי” ו“חצי ימני”: אחרי סיבוב אחד מסביב, הצד השמאלי של הקו ממשיך בצד הימני. לכן מה שנשאר הוא חתיכה אחת, ארוכה פי שניים.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
חיתוך לאורך האמצע
חתוכה
ואז הסצנה מראה: 1 · 1 if the single loop after the cut is tied in a knot (a trefoil), else 0/nodes/strip/outputs/knotted
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
חתיכה אחת, כי שלוש היא מספר אי־זוגי, והיא קשורה בקשר תלתן: היא מקיפה את הטבעת פעמיים, ובדרך מתלפפת שלוש פעמים סביב קו האמצע שלה.

רמז
מספר אי־זוגי של חצאי פיתול נותן חתיכה אחת. מה עושים הפיתולים הנוספים?

פתרון מלא
1. שלושה חצאי פיתול: מספר אי־זוגי, ולכן לטבעת צד אחד, והחיתוך משאיר חתיכה אחת, ארוכה פי שניים.
2. החתיכה מקיפה את הטבעת פעמיים, ובכל סיבוב היא מתפתלת סביב קו האמצע.
3. שני סיבובים עם שלושה חצאי פיתול יוצרים את קשר התלתן.
שלב 4 מתוך 7
לפתוח את השלב
ספל ודונאט
תרגול · בחרו
השאלה
לספל קפה יש חור אחד, דרך הידית, ולכן הוא אותה צורה כמו דונאט. כמה חורים, במובן של טופולוגיה, יש לכוס זכוכית בלי ידית?

התשובה הנכונה
- נכונה אפס: החלל של הכוס הוא שקע, ואפשר למעוך את הכוס לכדור בלי לקרוע
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
חצאי פיתול
1
מעיכת הספל
0ברירת מחדל
חיתוך לאורך האמצע
טבעת שלמה
האפשרויות
מוצגות בסדר אקראי.
- נכונה אפס: החלל של הכוס הוא שקע, ואפשר למעוך את הכוס לכדור בלי לקרוע
- שגויה אחד: החלל שבתוכה
  טעות נפוצה: Counts a dent or hollow, such as the inside of a cup, as a hole.
  משוב מהקטלוג
  בטופולוגיה חור הוא משהו שאפשר להשחיל דרכו חוט ולקשור אותו, כמו הידית של ספל. החלל של כוס הוא רק שקע: אפשר למלא אותו בחומר של הדפנות ולמעוך את הכוס לכדור, בלי לקרוע ובלי להדביק.
- שגויה שניים: הפתח למעלה והחלל שבפנים
  טעות נפוצה: Counts a dent or hollow, such as the inside of a cup, as a hole.
  משוב מהקטלוג
  בטופולוגיה חור הוא משהו שאפשר להשחיל דרכו חוט ולקשור אותו, כמו הידית של ספל. החלל של כוס הוא רק שקע: אפשר למלא אותו בחומר של הדפנות ולמעוך את הכוס לכדור, בלי לקרוע ובלי להדביק.
משוב לתשובה נכונה
בכוס אין חור שאפשר להשחיל דרכו חוט. כמו הכוס של הספל, שמתמלאת בתחילת המעיכה, החלל שלה הוא שקע, וכולה היא אותה צורה כמו כדור.

רמז
גררו את מעיכת הספל מ־0, ספל קפה, אל 1, דונאט: מה קורה לחלל של הספל, ומה לחור של הידית?

פתרון מלא
1. בטופולוגיה מותר למתוח ולמעוך, אבל לא לקרוע ולא להדביק.
2. את החלל של הכוס אפשר למלא בחומר של הדפנות: זה רק שקע.
3. מה שנשאר הוא גוש בלי חורים, כמו כדור: $0$ ⁠ חורים.
4. בספל, לעומת זאת, את החור של הידית אי אפשר לסגור בלי להדביק.
שלב 5 מתוך 7
לפתוח את השלב
שפה אחת
תרגול · חשבו
השאלה
לטבעת רגילה, בלי פיתול, יש שתי שפות: אחת למעלה ואחת למטה. למביוס, טבעת עם חצי פיתול אחד, כמה שפות יש?

התשובה הנכונה
1 ± 0
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
חצאי פיתול
1קבוע
מעיכת הספל
0ברירת מחדל
חיתוך לאורך האמצע
טבעת שלמה
מתקבלת בטווח
± 0
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Edges of the paper loop: 1 with an odd number of half-twists, else 2/nodes/strip/outputs/edges
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2 ± 0
  טעות נפוצה: Thinks a loop of paper always has two edges, a top and a bottom, however it is twisted.
  משוב מהקטלוג
  חצי פיתול מחבר את השפה העליונה לתחתונה, ולכן הן נעשות שפה אחת ארוכה. במספר אי־זוגי של חצאי פיתול יש שפה אחת, ובמספר זוגי שתיים.
משוב לתשובה נכונה
שפה אחת בלבד, ארוכה פי שניים מהטבעת: כמו הצד האחד שלה.

רמז
שימו אצבע על השפה והעבירו אותה לאורך הרצועה, בלי להרים, עד שתחזרו לנקודה שבה התחלתם.

פתרון מלא
1. מתחילים בשפה העליונה ועוברים לאורכה.
2. בחצי הפיתול השפה העליונה ממשיכה לשפה שהייתה התחתונה.
3. אחרי שני סיבובים סביב הטבעת חוזרים לנקודת ההתחלה, ועברנו על כל השפה: יש רק אחת.
למביוס צד אחד ושפה אחת. לכן חיתוך לאורך האמצע לא מפריד אותו לשניים.
שלב 6 מתוך 7
לפתוח את השלב
פיתול שלם
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
טבעת עם חצאי פיתול: $2$ ⁠, פיתול שלם אחד. יש לה שני צדדים ושתי שפות, כמו טבעת רגילה. נבאו: מה יישאר כשנחתוך אותה לאורך האמצע?

התשובה הנכונה
- נכונה שתי טבעות שמשולבות זו בזו
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
חצאי פיתול
2קבוע
מעיכת הספל
0ברירת מחדל
חיתוך לאורך האמצע
טבעת שלמה
האפשרויות
- שגויה שתי טבעות נפרדות, כמו בטבעת רגילה
  טעות נפוצה: Thinks that once a loop has two edges, its twists make no difference to what a cut leaves.
  משוב מהקטלוג
  עם שתי שפות החיתוך באמת משאיר שתי טבעות. אבל הפיתולים נשארים בהן, וכל פיתול שלם מסובב אותן זו סביב זו פעם אחת. בפיתול שלם אחד הן משולבות ואי אפשר להפריד אותן בלי לחתוך.
- שגויה טבעת אחת ארוכה פי שניים, כמו במביוס
  אין משוב משלה; הלומדים רואים את ההודעה הרגילה
  עוד לא. הסתכלו שוב ונסו פעם נוספת.
- נכונה שתי טבעות שמשולבות זו בזו
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
חיתוך לאורך האמצע
חתוכה
ואז הסצנה מראה: 1 · Times the two loops after the cut wind round each other, 0 for a single loop/nodes/strip/outputs/linking
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
שתי טבעות משולבות, כמו שתי חוליות בשרשרת.

רמז
יש שתי שפות, ולכן החיתוך מפריד שתי טבעות. אבל כל אחת מהן עדיין מסובבת סביב השנייה.

פתרון מלא
1. לטבעת שתי שפות, ולכן החיתוך מחלק אותה לשתי טבעות, כל אחת באורך המקורי.
2. הפיתול השלם נשאר בשתיהן: כל אחת מתפתלת סביב השנייה.
3. לכן הן משולבות: כל אחת עוברת פעם אחת דרך השנייה.
בטבעת רגילה מספר השילובים $0$ ⁠, ושתי הטבעות נופלות זו מזו. הפיתולים לא משנים את מספר הצדדים כאן, אבל הם משנים איך החלקים קשורים.
שלב 7 מתוך 7
לפתוח את השלב
כמה ארוכה כל אחת
תרגול · חשבו
השאלה
הטבעת עם $2$ ⁠ חצאי פיתול נחתכה לאורך האמצע לשתי טבעות משולבות. מה אורך כל אחת מהן, ביחס לטבעת המקורית?

התשובה הנכונה
1 ± 0.01
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
חצאי פיתול
2קבוע
מעיכת הספל
0ברירת מחדל
חיתוך לאורך האמצע
חתוכה
מתקבלת בטווח
± 0.01
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
Length of each loop after the cut, times the original loop/nodes/strip/outputs/pieceLength
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 2 ± 0.01
  טעות נפוצה: Thinks cutting a twisted loop down the middle always gives a loop twice as long, as with the Möbius strip.
  משוב מהקטלוג
  החתיכה ארוכה פי שניים רק כשיש שפה אחת, שעוברת פעמיים סביב הטבעת: במספר אי־זוגי של חצאי פיתול. במספר זוגי לכל שפה רצועה משלה, באורך של סיבוב אחד.
משוב לתשובה נכונה
פי $1$ ⁠: שתי טבעות באורך המקורי, ורק צרות פי שניים.

רמז
כל אחת משתי השפות של הטבעת הופכת לשפה של טבעת אחת. כמה ארוכה כל שפה?

פתרון מלא
1. לטבעת שתי שפות, וכל אחת מהן עוברת פעם אחת סביב הטבעת.
2. החיתוך באמצע משאיר לכל שפה רצועה משלה, באורך של סיבוב אחד.
3. לכן כל טבעת באורך המקורי: פי $1$ ⁠.
רק כשיש שפה אחת, במספר אי־זוגי של חצאי פיתול, השפה עוברת פעמיים סביב הטבעת, והחתיכה ארוכה פי שניים.

שיעור 5 מתוך 5 · כ־20 דקות

גאומטריה לא־אוקלידית

משולשים על כדור ועל אוכף: סכום זוויות שאינו 180 מעלות, משפט גאוס–בונה שמקשר אותו לשטח, וקווים מקבילים שמתקרבים או מתרחקים.

לפתוח את השיעור

4 השלבים והתשובות שלהם

שלב 1 מתוך 4
לפתוח את השלב
משולש על כדור
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
על הכדור, כל צלע של המשולש היא המסלול הקצר ביותר בין שני קודקודים לאורך המשטח. מה יהיה סכום הזוויות שלו?

התשובה הנכונה
- נכונה יותר מ־ $180^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עקמומיות K
0.25קבוע
גודל המשולש
1.8
מדידת המשולש
משולשקבוע
האפשרויות
- נכונה יותר מ־ $180^\circ$ ⁠
- שגויה בדיוק $180^\circ$ ⁠, כמו בכל משולש
  טעות נפוצה: Assumes the flat plane's facts hold on any surface: a triangle's angles add up to 180°, and lines that start parallel stay the same distance apart.
  משוב מהקטלוג
  סכום של $180^\circ$ ⁠ וקווים מקבילים שנשארים באותו מרחק נכונים רק במישור; ההוכחה של שניהם נשענת על אקסיומת המקבילים. על כדור הסכום גדול מ־ $180^\circ$ ⁠ ומקבילים מתקרבים; על אוכף הסכום קטן ממנו ומקבילים מתרחקים. ההפרש מ־ $180^\circ$ ⁠ שווה לעקמומיות כפול השטח.
- שגויה פחות מ־ $180^\circ$ ⁠
  משוב
  פחות מ־ $180^\circ$ ⁠ מתקבל על אוכף, שהעקמומיות שלו שלילית. על כדור הצלעות מתעקמות החוצה, והזוויות נפתחות.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
מדידת המשולש
זוויותקבוע
ואז הסצנה מראה: 257.3 ° · The three angles added up/nodes/shell/outputs/angleSum
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $257^\circ$ ⁠: הרבה יותר מ־ $180^\circ$ ⁠. על כדור, כל משולש “מנופח”, וככל שהוא גדול יותר הסכום גדל.

רמז
חשבו על משולש על כדור הארץ: מהקוטב הצפוני לאורך שני קווי אורך עד קו המשווה, ולאורך קו המשווה ביניהם.

פתרון מלא
1. במשולש מהקוטב עד קו המשווה, שני קווי האורך פוגשים את קו המשווה בזווית ישרה: $90^\circ + 90^\circ$ ⁠.
2. יחד עם הזווית שבקוטב, הסכום כבר יותר מ־ $180^\circ$ ⁠.
3. על כל כדור זה כך: הסכום הוא $180^\circ$ ⁠ ועוד עודף שגדל עם השטח.
שלב 2 מתוך 4
לפתוח את השלב
משפט גאוס–בונה
תרגול · חשבו
השאלה
על הכדור הזה $K = 0.25$ ⁠, וסכום הזוויות מופיע על הלוח. לפי משפט גאוס–בונה, $\alpha + \beta + \gamma - \pi = K \cdot A$ ⁠, כשהזוויות ברדיאנים. מהו שטח המשולש, ביחידות ריבועיות של הרשת?

התשובה הנכונה
5.398 ± 3%
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עקמומיות K
0.25קבוע
גודל המשולש
1.8קבוע
מדידת המשולש
זוויותקבוע
מתקבלת בטווח
± 3%
מחושבת מהסצנה בהגדרה של השלב
The area inside, along the surface, square grid units/nodes/shell/outputs/area
תשובות שגויות שהשאלה מזהה
- 309.3 ± 3%
  טעות נפוצה: Divides the angle excess in degrees by K to get the area, instead of converting it to radians first.
  משוב מהקטלוג
  במשפט גאוס–בונה, $\alpha + \beta + \gamma - \pi = K \cdot A$ ⁠, הזוויות נמדדות ברדיאנים: לכן מופיע בו $\pi$ ⁠ ולא $180^\circ$ ⁠. המירו קודם את העודף, $\text{rad} = \text{deg} \cdot \dfrac{\pi}{180}$ ⁠, ורק אחר כך חלקו ב־ $K$ ⁠.
משוב לתשובה נכונה
העודף הוא כ־ $77.3^\circ$ ⁠, כלומר כ־ $1.35$ ⁠ רדיאנים, ו־ $A = \dfrac{1.35}{0.25} \approx 5.4$ ⁠ יחידות ריבועיות.

רמז
העודף הוא הסכום פחות $180^\circ$ ⁠. המירו אותו לרדיאנים לפני שתחלקו ב־ $K$ ⁠.

פתרון מלא
1. מהלוח: סכום הזוויות כ־ $257.3^\circ$ ⁠.
2. העודף: $257.3^\circ - 180^\circ = 77.3^\circ$ ⁠.
3. ברדיאנים: $77.3 \cdot \dfrac{\pi}{180} \approx 1.349$ ⁠.
4. $A = \dfrac{1.349}{0.25} \approx 5.40$ ⁠.
אם יצא לכם כ־ $309$ ⁠, חילקתם את העודף במעלות. במשפט הזוויות הן ברדיאנים.
שלב 3 מתוך 4
לפתוח את השלב
משולש קטן
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
המשולש עכשיו גדול, וסכום הזוויות שלו רחוק מ־ $180^\circ$ ⁠. מה יקרה לסכום כשתקטינו את המשולש מאוד, על אותו כדור?

התשובה הנכונה
- נכונה הוא יתקרב ל־ $180^\circ$ ⁠
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עקמומיות K
0.25קבוע
גודל המשולש
2.2
מדידת המשולש
זוויותקבוע
האפשרויות
- נכונה הוא יתקרב ל־ $180^\circ$ ⁠
- שגויה הוא יישאר אותו דבר, כי הסכום תלוי רק בעקמומיות
  משוב
  העודף הוא $K \cdot A$ ⁠: עקמומיות כפול שטח. משולש קטן יותר על אותו כדור מקבל עודף קטן יותר.
- שגויה הוא ירד מתחת ל־ $180^\circ$ ⁠
  משוב
  על כדור העודף תמיד חיובי, כי $K$ ⁠ חיובי. הסכום יכול רק להתקרב ל־ $180^\circ$ ⁠ מלמעלה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
גודל המשולש
0.6
ואז הסצנה מראה: 186.9 ° · The three angles added up/nodes/shell/outputs/angleSum
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
כ־ $187^\circ$ ⁠: השטח קטן, ולכן גם העודף. משולש קטן כמעט לא מרגיש את העקמומיות, ולכן על כדור הארץ מפה של עיר נראית שטוחה.

רמז
לפי גאוס–בונה, העודף מעל $180^\circ$ ⁠ שווה ל־ $K \cdot A$ ⁠.

פתרון מלא
1. סכום הזוויות הוא $180^\circ$ ⁠ ועוד העודף, והעודף ברדיאנים הוא $K \cdot A$ ⁠.
2. $K$ ⁠ נשאר $0.25$ ⁠, והשטח קטן מאוד.
3. לכן העודף קטן, והסכום מתקרב ל־ $180^\circ$ ⁠ מלמעלה.
שלב 4 מתוך 4
לפתוח את השלב
מקבילים
תרגול · נבאו, ואז הסתכלו
השאלה
במישור, שני ישרים שיוצאים במאונך לאותו קו בסיס נשארים באותו מרחק זה מזה. מה יקרה להם על אוכף?

התשובה הנכונה
- נכונה הם יתרחקו זה מזה
הגדרות, אפשרויות ומשוב
הסצנה בשלב הזה
עקמומיות K
0
גודל המשולש
1.8
מדידת המשולש
מקביליםקבוע
האפשרויות
- נכונה הם יתרחקו זה מזה
- שגויה הם יישארו באותו מרחק, כמו במישור
  טעות נפוצה: Assumes the flat plane's facts hold on any surface: a triangle's angles add up to 180°, and lines that start parallel stay the same distance apart.
  משוב מהקטלוג
  סכום של $180^\circ$ ⁠ וקווים מקבילים שנשארים באותו מרחק נכונים רק במישור; ההוכחה של שניהם נשענת על אקסיומת המקבילים. על כדור הסכום גדול מ־ $180^\circ$ ⁠ ומקבילים מתקרבים; על אוכף הסכום קטן ממנו ומקבילים מתרחקים. ההפרש מ־ $180^\circ$ ⁠ שווה לעקמומיות כפול השטח.
- שגויה הם יתקרבו וייפגשו
  משוב
  כך קורה על כדור, שהעקמומיות שלו חיובית. על אוכף העקמומיות שלילית, וההפך קורה.
אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה
עקמומיות K
-0.1
ואז הסצנה מראה: 1.96 · Gap between the parallels' ends, grid units/nodes/shell/outputs/endGap
ניבוי אף פעם לא נחשב כישלון: בכל מקרה הלומדים רואים את התוצאה ואת ההסבר.
משוב לתשובה נכונה
על האוכף הקווים מתרחקים: הפער גדל מ־ $1.6$ ⁠ לכ־ $1.96$ ⁠ יחידות. זו גאומטריה היפרבולית, שבה דרך נקודה עוברים אינסוף ישרים שאינם פוגשים ישר נתון.

רמז
על אוכף, סכום הזוויות במשולש קטן מ־ $180^\circ$ ⁠. איך זה מתיישב עם קווים שמתקרבים או מתרחקים?

פתרון מלא
1. במישור: הקווים נשארים במרחק קבוע, ואקסיומת המקבילים מתקיימת.
2. על כדור ( $K > 0$ ⁠) הם מתקרבים, כמו קווי אורך שנפגשים בקוטב.
3. על אוכף ( $K < 0$ ⁠) קורה ההפך: הם מתרחקים.

בכל היחידה · 16 טעויות נפוצות

קטלוג הטעויות הנפוצות

כל טעות נפוצה שהיחידה מזהה, בכמה מילים. פתחו טעות כדי לראות מה הלומדים קוראים כשהתשובה מתאימה לה, ואיפה היא נשאלת.

תוכן העניינים

גופים אפלטוניים

רווח בקודקוד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

עשרימון

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

רק חמישה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

רמז

פתרון מלא

הפריסה ונוסחת אוילר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

רמז

פתרון מלא

פאות מתוך אוילר

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

פאות וקודקודים

השאלה

המטרה

הסצנה בשלב הזה

הגדרה אחת שמגיעה למטרה

רמז

פתרון מלא

מחומש

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

כל הפערים יחד

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

אחרי נעילת הניבוי הסצנה משתנה

רמז

פתרון מלא

בין שתי פאות

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

תשובות שגויות שהשאלה מזהה

רמז

פתרון מלא

ממדים גבוהים

צל של טסרקט

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

האפשרויות

רמז

פתרון מלא

ספירה

השאלה

התשובה הנכונה

הסצנה בשלב הזה

רמז

פתרון מלא

חתכים

השאלה